Задачи механики разрушения для кусочно-однородного тела с дефектами на линии раздела сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

1768

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с.1768-1770

УДК 539.375

ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОГО ТЕЛА С ДЕФЕКТАМИ НА ЛИНИИ РАЗДЕЛА СРЕД

© 2011 г. В.В. Сильвестров1, Е.В. Мочалов2, А.К. ЯрдухиН

Российский госуниверситет нефти и газа им. И.М. Губкина, Москва 2Чувашский госуниверситет им. И.Н. Ульянова, Чебоксары 3Чувашская государственная сельскохозяйственная академия, Чебоксары

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Рассматривается плоское деформированное состояние кусочно-однородного упругого тела с дефектами в виде открытых трещин и тонких жестких остроконечных включений на линии раздела сред. Включения либо жестко соединены с окружающей их средой, либо отсоединены от среды и контактируют с ней со скольжением. Путем сведения к краевой задаче Римана на двулистной римановой поверхности находятся явно комплексные потенциалы среды, коэффициенты интенсивности напряжений вблизи вершин дефектов, изучается их зависимость от упругих параметров среды, видов внешних нагрузок, формы дефектов и расстояний между ними.

Ключевые слова: межфазные трещины, включения, задачи, решения, коэффициенты интенсивности напряжений.

Кусочно-однородное тело с межфазными включениями

В кусочно-однородном изотропном упругом теле, моделируемом в виде плоскости, составленной из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред вдоль отрезков [а1, Ь^,..., [ап, Ьп] и [с1, [с ,й ] расположены тонкие жесткие остроконеч-

т тл А А

ные включения, первые п из которых жестко соединены с окружающей их средой, а последние т контактируют со средой подобно гладкому жесткому штампу. Тело находится в плоском деформированном состоянии. Все включения или их часть удерживается принудительно в заданном положении, а остальные поворачиваются на некоторые малые углы, которые предстоит найти в ходе решения задачи. Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига и коэффициент Пуассона | V!, нижняя — |2, V2 соответственно. На ^ составной плоскости действуют заданные нормальные и касательное напряжения. На сторонах включений задаются краевые условия:

и ± (г) + 1У± (г) = (0+(г) + (и,- + ) +

ге (с}, йу), у = 1,2,к,т,

(2)

+ е у(г — ^ = (ау + Ьу)/2,

ге (ау,Ьу), у = 1,2,...,п, т±у (г) = р± (г), V2 (г) = 4 (г) + vJ+,

+ еу+п(г — +пX +п = (с, + йу)/2,

(1)

+

у + п

у+п

где и + ¡V — вектор смещения, т — касательная компонента вектора напряжений, и, V. — неизвестные константы, £у — углы поворотов включений,

± ± у

X Р~(г) — заданные функции, а индексы «+» и «—» соответствуют значениям функций на верхней и нижней сторонах включений. Еслиу-е включение удерживается принудительно в заданном положении, то априори известны значения и, V, £у и никакие дополнительные условия не задаются. Если же у-е включение поворачивается на неизвестный угол £, то дополнительно задается значение главного вектора внешних усилий, приложенных к этому включению, и момент этих сил. Задача корректна физически, если на сторонах последних т включений нормальная компонента вектора напряжений принимает неположительные значения: с±(г) < 0 , г е (с, й), что обеспечивает контакт этих включений с окружающей их средой. Добиться выполнения последних неравенств заранее, до решения задачи, невозможно. Поэтому в каждом конкретном случае они должны проверяться после решения задачи.

Математически поставленная задача сводится к комбинации матричной краевой задачи Ри-мана

— к 2(а1Ф—(г) + а (г)) + а3П+ (г) + + а4Ф+ (г) = И~ (г), — к1Ф+(г) + (г) = И+ (г),

Задачи механики разрушения для кусочно-однородного тела с дефектами

1769

И ± (0 = -2ци 4 С?Г (1) + is2 (1)) - 2/цие},

а?1

1 е (°у'Ь)' у = !'2,к,и, а1 = (1 + к2)-1(1 + ц*к1), а3 = (1 + к2)-1(ц* + к2), а2 = 1 -а3,

а4 = 1 -а1, ц* =ц-У2, ки = 3 - 4vu (3) с матричной задачей Гильберта

1т( Ф+ (1) + П- (1)) =- р+ (1), 1т( а1Ф- (1) + а 2П- (1) + а 3П+ (?) + а 4Ф+(?)) = = - р - (1), Im( к1Ф+(1) -П- (1)) = И+(1), Im( к2а1Ф" (1) + к2а2П- (1) -а3П+ (1) -

а4Ф+ (1)) = И-(1), И± (1) = 2^1,2 (1) + 2циеу+„,

(4)

1 е (о},), у = 1,2,к,га,

где Ф(г), П(г) - комплексные потенциалы кусочно-однородной плоскости. Решение комбинированной матричной краевой задачи Римана - Гильберта находится явно путем сведения ее к скалярной краевой задаче Римана на двулистной римано-вой поверхности функции

г) = 7 (г - с^( г - а^-.Д г - ст )(г - йт). Ввиду громоздкости это решение здесь не приводится. На основании этого решения нами найдены комплексные потенциалы составной упругой плоскости, углы поворотов включений и напряжения в составной плоскости, вычислены коэф -фициенты интенсивности напряжений вблизи концов включений, исследована зависимость напряжений от упругих и геометрических параметров задачи, в том числе и от формы включений.

Подробные исследования проведены для случая двух включений, одно из которых жестко соединено со средой, а другое отсоединено от нее [1, 2].

Кусочно-однородное тело с межфазными трещинами и включениями

Пусть на линии раздела сред вдоль отрезков [а1, Ь^,..., [аи, Ьи] расположены открытые трещины, а вдоль отрезков [с1, а^],..., [ст, - отсоединившиеся от среды тонкие жесткие остроконечные включения, контактирующие со средой подобно гладкому жесткому штампу. В данном случае, оставив краевые условия (2) без изменения, надо заменить условия (1) на условия

(0 - гТ±у (1) = Р1± (1) - гР± (1X

1е (°у' Ь)' У = 1,2, — , и.

Это приводит к краевой задаче Римана - Гильбер-

(5)

та (3), (4), где в условиях задачи Римана (3) надо положить к1 = к2 = -1, И± (1) = р± (1) - 1р2± (1), оставив условия (4) без изменения. Решение полученной математической задачи строится аналогично предыдущему случаю [3, 4].

Кусочно-однородное тело с открытыми

и закрытыми межфазными трещинами

Если на линии раздела сред вдоль отрезков [а1, Ь1],., [аи, Ьи] расположены открытые трещины, а вдоль отрезков [с1, й1],., [с^, йт] - трещины скольжения, то из условий

т+у(1) = т-у(1) = р(0, с+ (1) = а-(1),

V + (1) = V- (1), 1 е (су, йу), у = 1,2,..., т

вместе с условиями (5) получим краевую задачу (3), (4), где в условиях задачи (3) снова надо положить к1 = к2 = -1, И± (1) = р± (1) - 1р ± (1), в первых двух условиях (4) взятьр±(1) = р(1) и заменить последние два условия (4) условиями

Яе( Ф+(1) + П-(1)) = Яе( а1Ф- (1) + а 2П-(1) + + а3П+(0 + а 4Ф+ (1)),

1т[ ц*(к1Ф+ (1) - П-(1))] = 1т( к 2а1Ф- (1) + + к2а2П-(1) - а3П+(1) - а4Ф+ (0), 1 е (су, йу), у = 1,2,т,

Решение данной задачи построено в [5].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00103.

Список литературы

1. Сильвестров В.В., Мочалов Е.В. Напряженное состояние кусочно-однородной упругой плоскости с тонкими жесткими прямолинейными включениями, расположенными на линии раздела сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16, №2. С. 197-213.

2. Мочалов Е.В., Сильвестров В.В. Задача взаимодействия тонких жестких остроконечных включений, расположенных между разными упругими материалами // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011.

3. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагру жении // Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001. С. 301-313.

4. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся межфазное включение в поле действия сосредоточенных сил // Проблемы нелинейной механики: Сб. статей к восьмидесятилетию Л.А. Толоконникова. Тула: ТулГУ, 2003. С. 279-289.

5. Сильвестров В.В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Изв. вузов. Математика. 2004. №7. С. 78-91.

1770

В.В. CunbBecmpoB, E.B. MouanoB, A.K. HpdyxuH

PROBLEMS OF FRACTURE MECHANICS FOR PIECEWISE-HOMOGENEOUS BODY WITH DEFECTS

ALONG THE IN-TERFACE OF MATERIALS

V.V. Silvestrov, E.V. Mochalov, A.K. Yardukhin

The plane deformable state of piecewise-homogeneous body with defects as open cracks and thin rigid sharp inclusions which locate on the interface of materials is studied. The inclusions perfectly join to the material or they contact with material as a smooth rigid stamp. The complex potentials of composite material and the stress intensity factors near the end-points of the defects are found in explicit form using the Riemann - Hilbert problem on a two-sheeted Riemann surface, and its functional dependence from the elastic parameters of composite material, external forces and forms of the defects is studied.

Keywords: interface cracks, inclusions, problems, solutions, stress intensity factors.