CC BY
42
УДК 539.3
СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА ВБЛИЗИ ВЕРШИНЫ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ С ЖЁСТКОЙ НАКЛАДКОЙ НА ЕЁ БЕРЕГУ
Ю. О. Васильева, В. В. Сильвестров
1 Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова,
428015, Чебоксары, Московский пр., 65.
2 Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина,
199991, Москва, Ленинский пр., 65.
E-mails: [email protected], [email protected]
Изучается плоское напряжённое состояние вблизи вершины межфазной трещины, порождённое заданной сосредоточенной силой. Один из берегов трещины частично усилен жёсткой прямолинейной накладкой. Находятся комплексные потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины, приводятся их графики.
Ключевые слова: трещина, жёсткая накладка, сосредоточенная сила, кусочнооднородная упругая плоскость, напряжения, коэффициенты интенсивности напряжений, гипергеометрическая функция.
Пусть в кусочно-однородном упругом изотропном теле, составленном из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред у = 0 расположена полубесконечная открытая трещина [0, +те), верхний берег которой на участке [0,1] подкреплён абсолютно жесткой прямолинейной накладкой, присоединённой к телу без натяга, а остальная часть этого берега и весь нижний берег трещины свободны от напряжений:
u+ (x) + iv+(x) = iex, x £ (0,1); T+y(x) + ia+(x) = 0, x £ (I, +те);
T- (x) + io~(x) = 0, x £ (0, +те),
где u+iv — вектор смещений, Txy + iay — вектор напряжений, £ — неизвестный угол поворота накладки, а верхними индексами плюс и минус помечены значения функций на верхнем и нижнем берегах трещины. Вдоль луча (-те, 0] полуплоскости жёстко соединены друг с другом, и в точке x = xo (xo < 0) действует сосредоточенная сила Xo + iY0. На бесконечности напряжения и вращение исчезают. На накладку никакие внешние силы не действуют.
Требуется найти комплексные потенциалы, описывающие плоское напряженное состояние тела, и исследовать поведение напряжений вблизи вершины трещины.
Воспользуемся формулами Колосова—Мусхелишвили для кусочно-одно-
Юлия Олеговна Васильева, аспирант, каф. математического анализа и дифференциальных уравнений. Василий Васильевич Сильвестров (д.ф.-м.н.), профессор, каф. высшей математики.
родной плоскости [1]:
оХ + оу = 4Ие Ф*(г), г = х + гу,
Оу - гтху = Ф*(г) + О*(г) + (г - г)Ф*(г),____ (1)
2^-(и + то)Х = к- Ф*(г) - О* (г) - (г - г)Ф*(г),
Ф (г) = / Ф(г) 1тг > °> О (г) = / О(г) 1тг > 0
*( ) | «1Ф(г) + а2О(г), 1тг < °, *( ) | а3О(г) + а4Ф(г), 1тг < 0,
а = (1 + ^*К1 )/(1 + К2), а2 = (1 - ^*)/(1+ К2), аз = 1 - «2, «4 = 1 - «1,
^* = ^2/^1, К- = (3 - V-)/(1 + V-), j = 1,2,
где Ф(г), О(г) —кусочно-голоморфные функции (комплексные потенциалы) с линией разрыва [0, +те), а ^1, v1 и ^2, v2 — модули сдвига и коэффициенты Пуассона верхней = 1) и нижней = 2) полуплоскостей соответственно. В точках г = 0 и г = I ± г° функции Ф(г), О(г) могут иметь интегрируемые особенности, на те они исчезают, а в точке г = хо имеют простые полюсы с вычетами Р1 = -(Хо + гУ0)/[2п(1 + ^*К1)] и Р2 = К2(Хо + г^0)/[2п(и* + К2)] соответственно [2]. На луче (0, +те) функции Ф(г), О(г) удовлетворяют краевым условиям
к1Ф+(х) - О-(х) = 2г^1е, х е (0,1);
Ф+(х) + О-(х) = 0, х е (I, +те); (2)
а1Ф-(х) + а2О-(х) + а3О+(х) + а4Ф+(х) =0, х е (0, +те),
откуда находим [3]:
Ф(г) = Я1(г/1), О(г) = Я2(г/1);
Н3 (С) = [А0+С2(С-^0)-1+е^1^2(С )]х-1(с) + [С1(С-^0)-1+е^1^1(С )]х-2(с),
Ао =-------X + ,Г° ', С- = (-1)- Р]Х2;(*0> -+Р2Х1-(г0>, (0 = хо/1,
- (С) = /1 Х+(() + Гу1*-() <#, j = 1,2,
К1П Уо (( - С) йе! Х+(()
е^1 = -^У ( Ие [(Ао + С2(( - (о) 1) Хп(()+ С1(( - (о) 1Х+2(()] ^ х
х ^ (Ие [Хи(()-2(() + Х+2(()-1(()] ^
С1{2в^п“Г(С)Г(Ь - а) С2бе^(“+1-с)Г(2 - с)Г(Ь - а)
Г(с - а)Г(Ь) + Г(Ь + 1 - с)Г(1 - а)
^ = (1 - ^)Г(2 - с)е-^с ^ = (1 - 6)Г(с)
1 Г(а + 1 - с)Г(1 - Ь) , 2 Г(а)Г(с - Ь),
1 ( , Г~о ] Гл + «4 «1
' 11 а =-----------------------------, т —
2 V V у а3 к1 а3
а = 1 - И • Ь =3 + 2П«(1п т - 1п ^ с = 1 + 2П (1п & - ^
(0 < arg{1 ^ п, п ^ arg{2 < 2п, 1ш{1 ^ 0, 1ш{2 ^ 0),
где Г(() — гамма-функция Эйлера и Хз(С) — элементы канонической матрицы Х(С) однородной векторной краевой задачи Римана (2) при I = 1. Для изучения напряжений вблизи вершины трещины г = 0 достаточно знать выражение этой матрицы при Ив г < 1:
х(С) = СЛ (С1^2 С2^11 (Пп(Й П12й) , А = -—,
\С1т С2т/ \П21(С) П22(С)/ 2пг
Пп(С) = р(а, Ь; с; С), пЫС) = а(1 - С)^(а + 1, Ь; с; (),
П21(С) = С1_с^(а - с + 1, Ь - с + 1; 2 - с; (),
П22(С) = (а - с + 1)( 1-с(1 - С)^(а - с + 2, Ь - с + 1; 2 - с; ()
при К| < 1, С £ [0,1];
П11(С) = а*(С - 1)“°^(а, с - Ь; с; (*),
П12(С) = аа*(( - 1)“°^(а + 1, с - Ь; с; (*),
ЫС) = -с*С 1“С(С - 1)е-°“1^(а + 1 - с,1 - Ь; 2 - с; (*),
П22(С) = (с - а - 1)с*С1 С(С - 1)с ° 1^(а + 2 - с,1 - Ь;2 - с; (*), а* = в*™, (* = С/(С - 1), с* = е*п(°-с)
при Ив( < 1/2, ( £ [0,1/2].
Здесь ^(а, Ь; с; £) — гипергеометрическая функция Гаусса, а у многозначных функций (р и (( - 1)9 берутся ветви, однозначные в плоскости с разрезами [0, +го) и [1, +го) соответственно, определяемые условиями 0 < а^ ( < 2п и 0 < ащ(( - 1) < 2п.
Из приведённых формул и формул (1) следует, что вблизи точки г = 0 на действительной отрицательной полуоси х < 0 вектор напряжений ау - гтху имеет асимптотику
/ \ . / \ К - гКп Кш - гКу
ау(х) - гтху(х) = —=-----— +—=— ----------------— + 0(1), х ^ 0-0,
—2л|х|^о-^о —2п|х|1-^о-^о 1 ’
Кг - гКп = —2П(^1 + т)^2е-^(7о-йо),
Кш - гК]у = —2П(6 + т)Ае-^(1-7о-йо), 70 - г£о = 1п&/(2пг),
^3 = с3 [А0 - С2^о 1 + е^1 ^2(0) + (Аj - 1)(С1^0 1 - е^1 ^1(0)]^Л^ ,
Аз = (2пг)-11п&, з = 1,2
в случае 70 = 1/2 и асимптотику
.у (х) - гтху (х) = (К - <К-)|х|‘- +К“ - <К">|х1И1 + 0(1), х ^ 0-0,
V 2п|х|
Кг - гКц = -—2п(С1 + т)^2е-ПЙ2,
Кш — гКц = -^2П(6 + m)Die
— пб 1
^1,2 = ln |^1,2|/(2п)
в случае Yo = 1/2. Таким образом, интенсивность напряжений вблизи точки z = 0 в любом случае определяется четырьмя коэффициентами Ki, Кц, Кш, Kjv, и напряжения в вершине трещины всегда имеют как степенную, так и осциллирующую особенность. Для значений упругих параметров ki = 1,8, к2 = 2,2 и =2, когда Y0 = 0,79373, графики зависимости коэффициентов KI, KII, Кш, KIV и угла поворота накладки е от расстояния d = |х0| между точкой приложения сосредоточенной силы и вершиной трещины и от направления ф силы приведены на рис. 1-4. В первом случае сила Xo + iYo = — P (P > 0) постоянна и направлена вдоль действительной оси, а во втором случае сила X0 + iY0 = P(cos ф + i sin ф) составляет угол ф с осью х, х0 = 0,2. В обоих случаях принято l = 1.
Рис. 1
0,8
0,4
0
-0,4
-0,8
\
^ 4 X. \ ч ч Ч -тки/р V АГЮ/Р^
; Кш/Р ..•V/
lOATi/P Ч ✓
0,5 0,75 1,0 0,25 ф/ж
Рис. 3
0,15
0,075
0
-0,075
-0,15
/W-Р у
0,5 0,75 1,0 0,25 ф/ж
Рис. 4
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10-01-00103).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с. [Cherepanov G. P. Fracture Mechanics of composite materials. Moscow: Nauka, 1983. 296 pp.]
2. Сильвестров В. В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Изв. вузов. Матем., 2004. №7. С. 7891; англ. пер.: Sil’vestrov V. V. The method of Riemann surfaces in the problem of interfacial cracks and inlcusions in the presence of point forces.// Russian Math. (Iz. VUZ), 2004. Vol. 48, no. 7. Pp. 75-88.
3. Хвощинская Л. А. К проблеме Римана в случае произвольного числа особых точек / В сб.: Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Труды международной конференции (16-20 февраля 1996 г.); ред. А. А. Килбас. Минск: Белорус.
ун-т, 1996. С. 377-382. [Khvoshchinskaya L. A. To the Riemann problem in the case of an arbitrary number of singular points / In: Boundary value problems, special functions and fractional calculus: Proceedings of the International Conference (February 16-20, 1996); ed. A. A. Kilbas. Minsk: Belorus. Un-t, 1996. Pp. 377-382].
Поступила в редакцию 27/1/2011; в окончательном варианте — 14/111/2011.
MSC: 74B05; 74Rxx, 33Cxx
CONCENTRATED FORCE ACTING NEAR THE TIP OF AN INTERFACE CRACK WITH A RIGID OVERLAY ON ITS SIDE
Yu. O. Vasilyeva, V. V. Silvestrov
1 Ulyanov Chuvash State University,
65, Moskovskiy pr., Cheboksary, 428015, Russia.
2 Gubkin Russian State University of Oil and Gas,
65, Leninskiy pr., Moscow, 199991, Russia.
E-mails: [email protected], [email protected]
Plane stress state near the tip of an interface crack induced by specified concentrated force is considered. One of the crack faces is partially reinforced by a rigid straight line overlay. The complex potentials, the stress intensity factors at the crack-tip are found, corresponding plots are presented.
Key words: crack, rigid overlay, concentrated force, piecewise-homogeneous elastic plane, stresses, stress intensity factors, hypergeometric function.
Original article submitted 27/I/2011; revision submitted 14/III/2011.
Yulia O. Vasilyeva, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis & Differential Equations. Vasiliy V. Silvestrov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Higher Mathematics.
