Ударный переход слабосверхзвуковой однородной струи в дозвуковую вблизи ее свободной границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рассмотренный метод исследования колебательных процессов имеет значительное преимущество перед известными широко распространенными «неявными» схемами ввиду неограниченного разнообразия прилагаемых нахрузок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зылев В. Б, Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций. М.: Науч. издат. центр «Инженер», 1999. 145 с.

УДК 533.6.011

Д. Н. Коновалов, Г. Д. Севостьянов

УДАРНЫЙ ПЕРЕХОД СЛАБОСВЕРХЗВУКОВОЙ ОДНОРОДНОЙ СТРУИ В ДОЗВУКОВУЮ ВБЛИЗИ ЕЁ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ

Плоские стационарные околозвуковые безвихревые течения идеального газа описываются системой Фальковича - Кармана [1] (и = М- число Маха):

иих = уу,ух = иу, (1)

на околозвуковом скачке х = к(у) имеем два условия:

£ = —М/[м]>(# )* = <„>, (2)

где [/],</>- разность и полусумма значений/ + и / разрывной на скачке функции / Исключив в (2) И', имеем уравнение ударной поляры Буземана

[у]2 = <и>[и]2. ^ (3)

Пусть однородная слабосверхзвуковая струя (и = М - 1 > 0, V = Ус = 0) вытекает из щели в стенке в область со сверхкритическим давлением р\ > р,. Направив ось х по стенке (у = 0, х < 0) в сторону течения, ось у перпендикулярно .г вне струи, исследуем околозвуковое течение вблизи края щели 0(0,0), из которой выходят околозвуковой скачок ОА и свободная дозвуковая граница струи ОВ (и = щ <0). Требуется найти решение и < 0, V системы (1) за неизвестным скачком ОА, свободную границу ОВ (скачок ОА криволинеен, если в струе за ним имеются возмущения, например преграда (рис. 1)).

Ударная поляра (3) является «ежевидной» («дикобраз» Буземана), если в однородном потоке скачок криволинейный. В [2] указана характерная точка 5" поляры, в которой наклон «иголки» (ЫсЫ = 0:

и = и, = -3/5 их < 0, М = = 8/(5 V 5) иУ2х. (4)

На свободной дозвуковой границе постоянно давление (р = р\), поэтому величина скорости не меняется, и = us.

Если за скачком поток однородный и = и„ v = vs (преграда отсутствует), то скачок ОА"— косой (х = 8у, у < 0), свободная граница ОВ° струи прямолинейна (v = vf, и = us).

Для этого нулевого приближения решения из условий (2) имеем

|5|=VujV5. (5)

Введя для кривого скачка ОА неизвестную функцию G(y), у < 0: g(y) ~ б + G(y), G(0) = 0, запишем через нее из (2) решение на скачке ОА \ и — и<ж~ us +48G + 2G2,

V = Vck = vs - 4/3 usG - 66G2 - 2G3. (6)

Эту функцию и уравнение скачка ОА будем искать в виде рядов: G(y) = Coy + су2 + Сгу3 + ...,

X = h(y) = 5^ + Со/2 у2 + с,/3 у3 +... (7)

Решение системы (1) с учетом условия на ОВ и(х,0) = us < 0 ищем в виде рядов вблизи края О'.

и = щ + Во' у + uJ6 В™ у* + 1/12 W До")' /+-■-, V = Во + иД Во"у2 + 1/3 Во'Во"у + ... (8)

с произвольной функцией В0(х):

В0(х) = у, + еох + е\х2 + е2х3 + ... (9)

Построим второе приближение системы (1): и - и„. + еау + 2е1 ху + ...,

у~у5 + е0х + (е1х2 + и!е\у2)+... (10)

Подставив (10) и (7) в (6), выразим коэффициенты ск и ек через параметры 8 и = е0 = уг(0,0):

Со = &/(45), с, = 3/64 й2/63, е, = 5/32 &2/83. (11)

Тогда уравнение скачка О А у края щели примет вид

х = /7(у) = 5^ + яЛ85)/ + &2/(6453)у3 + ..., у<0. При gs = 0 скачок - косой.

Поле скорости за скачком (второе приближение): и = и,+ ^ + 5/16 gs2/S3 ху+ ...,

v^vs + g¡x+ 5/32 gs2/b3 (х2 + + (12)

Величина скорости V, угол 0 её наклона к оси х, коэффициент давления ср - функции и или V (у > 1 - отношение теплоемкостей), они равны: V2 = К2„ [1 + 2(и - «и)/(у+1)АГ-Л]; 9 = у/(у+1 )М~2т сР = {р -Р»У( 1/2 Р.У2) = -2 (и - м„)/(у+1 )\Г2Л. (13)

Эти зависимости можно записать в универсальной форме, используя закон околозвукового подобия:

и=и/\щ\, = е5 = з1^8 = ±1,

Г= 8/(ЗУЗ) + 6^+5/(32^3) ЕД2 - 15/(32^3) Б&Г2 + ..., и=-1 +гчУ+ 15V3/16 ЕйАТ +

X= H{Y) = Eg/V3 Y+ V3/8 e6£gY2 + 3V3/64 esY3 + ... (14)

Уравнение свободной дозвуковой границы OB:

У = [(r+l^-r'tv,* + gJ2 x2 + 5/96 g2/53 x3+ ...]. На рис. 2 показаны изобары течения (т.е. U— const) для 5 > 0. g, > 0.

У

При решении (14) использован метод ускорения сходимости рядов. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севастьянов Г. Д. Основы теории околозвуковых течений таза. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. Ч. 1.

2. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений / Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

УДК 539.3

В. И. Копнина, М. В. Демина

ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО КРУГУ МЕНЬШЕГО РАДИУСА

Рассмотрим круглую плиту радиуса г -а, изготовленную из изотропного материала (рисунок). Будем считать, что она изгибается под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по кругу меньшего радиуса, при этом край плиты жестко защемлен. В силу того что плита загружена таким образом, можно считать, что она состоит из двух час-

176