Регулярное несимметричное взаимодействие околозвуковых скачков Текст научной статьи по специальности «Математика»

чается независимое уравнение. Окончание этого этапа соответствует моменту / = 72, когда напряжение на границе "ядра" достигло значения хд.

Бели угол наклона плоскости будет продолжать уменьшаться, то начнется восстановление структуры материала. Область течения начнет уменьшаться. Решение на этом этапе (I > Тг) строится аналогично первому этапу, изменится лишь условие (9), вместо которого будет условие

и пределы интегрирования в условии (5).

Отметим, что аналогичная задача для обычной бингамовской жидкости решена другим методом в [2]. В этой работе допущены неточности при формулировке одного из граничных условий на неизвестной поверхности. В данной статье эта неточность исправлена.

В заключение отметим, что подобным методом решаются задачи в случаях, когда собственные числа можно задать в явном виде. При условиях третьего рода и в осесимметричных задачах этот метод не применим.

1 Меламед В Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений //Изв АН СССР Сер. Геофизика 1958 № 7. С 848 - 869.

2. Сафрончик А.И. Некоторые задачи неустановившегося течения вязкопластич-ной среды Дис канд физ -мат наук Ростов н/Д, 1962. 109 с

Построено околозвуковое поле течения за двумя криволинейными скачками (в результате пересечения косых скачков; причина их искривления - зона уплотнения или разрежения ниже по потоку).

Околозвуковое безвихревое течение идеального газа описывается уравнениями Фальковича-Кармана []) (и - число Маха)

(17)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

УДК 533.6.011:532.529

Г. Д. Севостьянов

РЕГУЛЯРНОЕ НЕСИММЕТРИЧНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ СКАЧКОВ

(1)

на скачке х = И(у) имеем два условия

[/], < / > - разность и полусумма значений /+ и /_ разрывной на скачке функции/

Ударная поляра Буземана (1943) согласно (2) имеет уравнение

Пусть в однородном слабосверхзвуковом потоке (и = их = = К1^ - 1 >0, у = уос=0, у^О), параллельном оси х, в точке 0(0, 0) пересекаются два косых скачка А^О (х = -у+ ■ у, у > 0) и А О (х-у ■ у\ у<0); у+Л- >0 - постоянные. Эти скачки переходят в неизвестные кривые скачки ОВ+ (х = И+(у)> 0, у > 0) и ОВ_ (х = /1_(.у)> 0, _у<0) Между А+О и ОВ+ имеется наклонный однородный поток (и = и1+> 0, v = v1+<0), аналогично между А_0 и ОВ_. и = их >0, у = У|_ >0 . Индекс "+" ("-") относится к области у^0 (у< 0).

1. Нулевое приближение: ы(0, 0)=м0, у(0,0)=уо.

Строим три ежевидные поляры ("дикобразы" Буземана) [2] по значению потоков: Р(0,их), и1+), (, две последние скользят вершинами по Р. Требование, чтобы из точки О выходила одна линия тока, приводит к тому, что в точке пересечения (у0, и0) на плоскости (у, и) правой стороны Р+ и левой стороны Р_ наклоны "иголок" Ыу/ (1и этих поляр одинаковы (условие совместимости двух потоков в точке О) [2]: ("»о -"■+)?+ +("=0 =("1+ ~«о)8+ +(«1- -и0)8-,

«о + 38+ «о + 35?

"=о +ы1± =2у±, и1±+и0=2Ь2±.

Точка (у0 , и0) вычерчивает внутри поляры Р дозвуковое ежевидное ядро, "дикобразик" (при уо=0 его верх - точка Крокко () [2]: и0 и -0,0866их; низ - точка 5 : и0 ® -0,3693м,,). Проведя через (у0, ц0) на (у, и) поляры Р+ иР_, найдём величины (у1+, и1+) и (у,_, «,_), т. е. нулевое приближение " = "о> узгуо с косыми скачками ОВ.0 и ОН „ (х = 5±|^|; 5±>0).

2.Следующие приближения.

Возмущения ниже точки О (наличие тела или разряжения потока) искривляет скачки ОВ+ и ОВ_.

Решение (1) за ними ищем с помощью двух произвольных функций

Л) и во '■

и = Ло(х)+ В0(х)у + ЦаьЛ^'у1 + ЦаоВ'о)' 1 о

Ац(х)=и0 +с10х + с1х х1 + с/^хг + ..., В0(х) = у0 +с0л + е,л2 + е2*3 + ... Тогда для второго приближения по малым х, у имеем

ы = и0 + с/0х + е0у + иу + + -<*о)У + 2е1 Ух +

V = ^(ио)+ ио^оУ + еох + ["ое1 + +^-ио<*\+ао)ух + е\х1 + (5)

Уравнение скачка В+ОВ_ ищем в виде ряда

х = /1±(у)=8±|>'|+^с0±^2 +-с1±|^|3 + ...

С±{У)=\Ь'±\~5±, С±(0) = 0. (6)

Записав условия (2) на В+ОВ_ с помощью (6), имеем " = "ск = "о + 4&±с0±| У | + (45±с1± + 2с1±)уг +...

* = 2("о +81)со±>' - [2("0 + У + 65±с02±]у2 +... (7)

Приравняв и, V в (7) значениям из (5) на скачке (6), выразим все коэффициенты в (5) и (6) через = g(¡ = иж(0, 0) - градиент скорости в точке О, учитывая второе равенство в (3)

е„ =-

3"о +5; и0 +382

Мо^ё" У, ■> со± =

а ео

(8)

Симметричное пересечение скачков (регулярное отражение скачка от стенки х. (у+ = у_ = у, 5+=8_=5, = = и, = -7и0) рассмотрено в [3] и в нашей статье этого сборника:

о

е0 = е1 =е2 = • •• = О, С0± = Сд = —, СI = -

15

64 ип

>0,...

32 "о

Коэффициент давления выражается через функцию и из (5):

' мм'

4 > I - отношение теплоёмкостей.

В теории "коротких" волн для аналогичной особенности не учитывается условие (3) соединения потоков в точке О, что приводит к появлению фиктивного "жидкого клина", вызванного встречной фиктивной струйкой газа

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Севастьянов Г.Д Основы теории околозвуковых течений газа Ч 1 Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1987

2 С i líder/еу KG Theorie schallnaher Strömungen Herlin, Göttingen, Heidelbegr Springer-Verlag 1957 / Пер с нем К Г Гудерлей Теория околозвуковых течений М Изд-во иностр лит , 1960

3 Севастьянов Г.Д Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки // Математика Механика Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып 3 С 181 - 184.

УДК 539.3

Н. М. Сироткина, II. С. Сироткина

РАСЧЁТ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОКРЫТИЯХ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ИЗГИБА ДВУХСЛОЙНОЙ БАЛКИ

В покрытиях после их нанесения, как правило, возникают внутренние напряжения Величина этих напряжений является весьма важной характеристикой покрытия, поскольку она определяет сцспляемость покрытия с подслоем, коррозионную стойкость, износостойкость и другие важные с точки зрения практики свойства. Для определения напряжений в покрытиях большинство исследователей используют следующий экспериментальный метод: покрытие (плёнка) наносится на тонкую пластинку (подложку), в результате чего последняя изгибается Далее замеряется радиус кривизны К изогнутой пластинки и рассчитывается величина напряжений по формуле Стони [1]

где Иу - толщина пленки, Их - толщина подложки, £'л. - модуль Юнга материала подложки

Заметим, что формула (1) применима только в том случае, когда толщина плёнки значительно меньше толщины подложки. Она выведена в предположении, что внутреннее напряжение, возникающее в проводимом эксперименте, определяется только свойствами покрытия, в то время как на самом деле оно зависит от условий работы покрытия, в данном случае