Регулярное несимметричное пересечение косых околозвуковых скачков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.011:532.529

Г. Д. Севостьннов

РЕГУЛЯРНОЕ НЕСИММЕТРИЧНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОСЫХ ОКОЛОЗВУКОВЫХ СКАЧКОВ

Дан метод решения системы условий совместимости потоков при регулярном пересечении косых околозвуковых скачков уплотнения.

Нелинейная система Фальковича-Кармана [1] (и = М2 —1, М- число Маха) для околозвуковых плоских течений идеального газа

uux = vy, V; = иу (1)

на скачке х = И(у) задаёт два условия и ударную поляру Буземана

[у]2=<и>[и]2, (2)

[/]> < / > _ разность и полусумма значений /+ и /_ разрывной на скачке функции/

Пусть в однородном слабосверхзвуковом потоке (и=м00 = = — 1 >0, у = уоо=0)> параллельном оси л, в точке 0(0,0) пересекаются два косых скачка А+0 (х=-у+-у; у>0) и А_0 (х = у_-у; >'<0); 7+1 У_ > 0 - постоянные. Эти скачки регулярно преломляются и превращаются в неизвестные косые скачки ОВ+ (х = 8+ ■ у\ у>0) и ОВ_(х = -8_ ■ у; у< 0); 5+,8_>0 - неизвестные постоянные. Между А+0 и ОВ+ имеется наклонный однородный поток (и=и1+>0, у = у1+<0); между А_0 и ОВ_ - другой однородный поток (и = > 0, \> = > 0). Индекс "+" ("-") относится к полуплоскости у > 0 (у <0). Эта схема течения есть нулевое приближение схемы, когда ОВл и ОВ_ - криволинейные скачки за счёт некоторых возмущений ниже по потоку за скачками. В [2] построено первое приближение в рядах по х, у, зависящее от нулевого приближения. Ниже косых скачков ОВ+ и ОВ имеется неизвестный дозвуковой однородный поток (м = м„ <0, v = vQ).

Построив три ежевидные ударные поляры Буземана по значениям однородных потоков: ¿"(О, и«.), Р+(у1+,и1+), м,_) (две последние

скользят вершинами по Р), потребуем, чтобы в точке пересечения ( у0, ы0) на плоскости (V, и) правой стороны Р+ и левой стороны Р_ наклоны 'иголок" этих поляр были одинаковы (условие совместимости двух потоков в точке О).

Тогда придём [2] к алгебраической системе, связывающей параметры течения (и0 <0)

и1++и0 ?Ц0 +ии | |ц7-+Ц0 7м0 + =0 2 5м0+3ы1+ V 2 Зыр+Зм,.

= (3)

После её решения находим другие параметры: 2у±=«„о+И1±, 28+=м1±+м0,

± 'о « ^Й«« -"!-)- ^рЧ*- - "О)- (4)

Точка ( у() , и{)) вычерчивает внутри поляры Р симметричное дозвуковое ежевиднос ядро [2]. В симметричном случае (и1+ =«1 >0, у0 =0) его верх - точка Крокко (2 [3]: м0 = -к,/7 »-0,0866их; его низ - точка 5: и0 = -3/5ы, я —0,3693к,Л. в случае, когда поляра Р, (или Р_) вырождается в точку, а другая поляра Р_ (или Р+) совпадает с Р, ядро оканчивается в звуковых точках поляры Р. Проведя через любую точку ( у0, и0) контура ядра поляры Р+ и Р_, найдём величины (у1+,м1+) и (у, ,и] ), наклоны у±, 5Аскачков.

Сход точки (у0, "о) с контура ядра приводит к фиктивному "жидкому клину", вызванному встречной фиктивной струйкой газа. Для решения первого уравнения в (3) сделаем замену

(5,

где корень понимается в алгебраическом смысле, его знак берётся одинаковым для одной и той же,величины (считаем, что ы>г>0). Тогда 1» иг связаны параболической зависимостью

3(и' - г)2 - 40(и/ + г) + 64г + 48 = 0,

и/=н>(г) = у+ г±лДб + 31; 0<г<оо. (6)

При г = 0:\г=*>0=\2 (знак "+" в (6)), и>=и>5 =4/3 (знак "-"). Для нашей задачи в (6) выбираем знак "+" и ветвь и<=и{г), выходящую из точки (о, ), так как точка 5 соответствует свободной дозвуковой границе течения (другая задача газодинамики). 2 = оо соответствует краям ядра (и0 =0). Поделив равенства (5) почленно, найдём связь между величинами «1+, «1_ >0 и параметром г. Сделав замены

«0| - |«оГ2

получим для /. уравнение четвёртой степени Р4(/.) = 0, возведя второе

уравнение (3) дважды в квадрат (степени L6 и L5 уничтожаются). Из него найдём связь между Luz, так как зависимость >v= w(z) дана в (6). В симметричном случае (ы1+=и1_; v0=0) уравнение имеет вещественный корень L0 » 23,1.

Из (4) после замен (5), (7) имеем

± 4VU =(L-B^ + В_ - (В_ -1 • (8)

Задав Мх >1 и параметр z>0, из (6) находим w, выбирая знак "+" ; параметр L определяем из уравнения l\(L)= 0; тогда из (7) найдём н0 < 0 , а из (5) и1+ и и,., из (7) и (8) получим ± v0; из первых равенств в (4) вычислим наклоны у±, 5± скачков. Проведя на плоскости (у, и) через точку (v0, и0) поляры Р+ и Р_,определим углы однородных потоков v1+ и v,_ . Связь между v и углом 9 наклона скорости к оси х приведена в [1]: v = (y + l)M¿0, где у > 1 — отношение теплоёмкостей (для одноатомного

газа Y = ~> A118 двухатомного — ^ = Изменяя г> М0Ж1Ю вычислить

дозвуковое ядро.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севостьиноа Г Д. Основы теории околозвуковых течений газа. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. Ч. 1.

2. Севастьянов Г Д. Регулярное несимметричное взаимодействие околозвуковых скачков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 219-222.

3. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений / Мер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

УДК 539.3 Н. М. Сироткина

АНАЛИЗ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛИМЕРНОЙ ПАНЕЛИ ПРИ НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ВИБРАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

В данной статье рассматриваются вопросы исследования напряжён-но-деформированного состояния (НДС) бесконечной консольной панели, колебания которой вызваны приложенным на незакрепленном крае Р = а вибрационным воздействием Л/р(а,г) = М{) соксог. Определены первые три