Центральная предельная теорема для эндоморфизмов евклидова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 2

Физико-математические пауки

2006

УДК 519.21

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЭНДОМОРФИЗМОВ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

В. Т. Дубровин

Аннотация

Пусть W - невырожденная целочисленная матрица такая, что | det W | > 1, f (t) = = f (ti,... , td) — вещественнозначная, периодическая по каждому ti,... , td функция, удовлетворяющая условию: |/(i) — fit') | < A\\t — i'||, где A = const, t, t' G fid = {t : 0 < ti < < 1, i = 1,..., d}. Для последовательности (f (tWn)) доказана центральная предельная теорема с остаточным членом вида O , где е — сколь угодно малое положи-

тельное число.

Рассмотрим преобразование Tt = {tW}, задаваемое с помощью невырожденной целочисленной матрицы W, где t G Qd — d-мерному тору, {•} — обозначение дробной доли. Пусть mes(-) инвариантная мера на Cid, которую можно отождествить с мерой Лебега, определенной на гиперкубе Çld = = {t = (ti,..., td) : 0 < ti < 1, i = 1,..., d}. Указанное преобразование является энодоморфизмом. сохраняющим меру, и оно эргодично тогда и только тогда, когда

W

(см. [1, 2]). В работе [1] доказана сходимость функции распределения

Fn(x) = mes ji : t G Ud, ¿J/ (tWk) < rj к функции распределения

x

Ф(х) = -4= ! e~u^2du.

V^ J

— OO

/ n \2

Здесь a2 = lim f A= f (tWk) dt: f(t) вещественнозначная. периодиче-

екая по каждому t\,... ,td функция, заданная на Cid-

Первое продвижение в направлении исследования скорости сходимости Fn(x) к Ф(х) было сделано в работе [3], в которой доказано, что если существует предел

lim

n—>оо

с

то

Fn(x) = Ф(х) + О '

1+ |x|

2

— ос

1

■V —е

П 4

Здесь и ниже е - сколь угодно малое положительное число. При этом предполагалось, что Т и / (¿) удовлетворяют условиям: 1. Для некоторой постоянной А

|/(*)-/(01 t,t>Gnd,

где ||t|| = у £ t?-

2. Матрица W такова, что

sup \\tW< 1, | det W| > 1.

PII<1

3. f(t) интегрируема по Лебегу на Qd и J f(t)dt = 0.

nd

Оставляя неизменными условия 1-3, накладываемые на T и f (t), и применяя метод «последовательных приближений» из работы [4], можно получить практически оптимальную оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме.

Теорема. Если в условиях 1 3 существует предел

сю

lim / x2dFn(x) = а2,

n—>ю J — с

и если 0 < а2 < <ж, то равномерно относительно x при n ^ <х>

вд = ф(*) + О(—L-).

Доказательство. Прежде всего, докажем оценки, которые понадобятся в ходе доказательства теоремы.

Пусть k = (k1,... ,kv) - мультииндекс; xk = x^1 • • • x^ ; k! = k1! • • • kv!;

b b д dv

E= E

da dai ...dav

k=a =a

Обозначим через xv(n) ^-й семиинвариант суммы ^ f (tWfc), то есть

fc=i

X„(n) = l^ln f exp ( zj^f (Wk)) dt 1 V fc=1 )

Лемма 1. При фиксированном V, 2 < V < и (здесь и в дальнейшем и достаточно большое вещественное число) справедлива оценка

XV (п) = О(п).

Доказательство. Известно (см. [1], (1.4)), что

п

V)!

Xv (n) = E S (V)(!),

1=1

о

где

dt

, 1 — (/1,..., lv).

а=0

Оценим Набор (¿1,... ), 1 < /ц < п, натуральных чисел назовем й-

набором, если в записи его членов в виде вариационного ряда /* < < ... < /* верно неравенство

2й< шах (/%+1 - /%) < 2(й +1).

Пусть числа /1,... /1 < /2 < ... < /^образу ют ¿-набор, и пусть /т+1-—/т > 2й. Рассмотрим аналитическую в окрестности и = {а : |а1|,..., |aV| < е0} (здесь е0 - достаточно мало) функцию

?(<*) = J exp (j2a'f dt-,

которую можно записать следующим образом

„к

^ с -

(и

Числа /1;..., /V образу ют ¿-набор, поэтому из леммы 2 работы [3] следует

v m v

jWf (twl<) dt -J Ц/(twli) dt .J П f (tw

dt

_ i=i

nd

— i= l

— i=m+l ttd +

< Cv ed,

где 0 < в < 1, С1 - некоторая положительная постоянная (обозначение С^ для положительных постоянных будем использовать и в дальнейшем).

Далее, повторяя доказательство леммы 1 из [4], получим, что при любом й-наборе 1

S (v)(1)

< ВС{ed.

(2)

Очевидно, что различных ¿-наборов - не более v!n(2(d + 1)^ 1. Учитывая это

п

и разбивая в равенстве xV(п) = S(^(1) суммирование по ¿-наборам, получим с

1=1

помощью (2) оценку

n — 1

Xv (n) — O n + ^ n (2(d + 1))v—1 CV ed) — O(n).

d=1

Лемма 2. При фиксированном v, 1 < v < ш, справедлива оценка

2v

^ ч '*) dt — O \ m"

_ V k=1 /

^d

□

/ m \ 2V

/ E f (tWk) dt — O (mv(w+v)/w) .

Доказательство. Повторяя доказательство леммы 2 из работы [5] и применяя при этом результат леммы 2 из [3]. получим оценку

(m \ 2v

Е/ (tWk)J dt < K2vv!(M +1)v (1 + вК(M + 1)v), (3)

Ш k= 1 '

где 0 < в < 1, M = [m/K], K - любое целое число из интервала (1,m/3). Здесь и в дальнейшем [а] — обозначение целой части числа а.

Допустим, что K = [mv/w] + 1. Тогда вК(M + 1)v < const, и из (3) вытекает утверждение леммы. □

Приступим непосредственно к доказательству теоремы. Пусть Q и N - растущие вместе с n натуральные числа, которые мы выберем позднее, p = [n/(Q + N)],

1 kQ+(k-1 )N

VQ r=(k- 1)(Q+N) + 1 , k(Q+N )

^ Q r=kQ+(k-1)N+1 1 n

VQ r=p(Q+N) + 1 p P+1 p

zp = E nr ,zp = E n^'Cp = E nr >

r=1 r=1 r=1

где ff1,...,fjp - величины, удовлетворяющие следующим свойствам:

A. mes {t : t G Qd, Щ < -г'} = mes {t t £ Qd, Щ < -г'} •

p

Od Qd

Здесь

(n\ - f (_

2

O * k= 1 Od

Пусть также

Pm(Q)

1 Q

Od

iîd Od

^)(x)=mes{i:iGn(l>^<x}>

Из леммы 3 работы [3] следует

(4)

Далее, положим

q=1

Ч!

Ы ■■■ kq!

где внутреннее суммирование ведется по к1,...,к<1 > 3, к1 + К = Хг/о1 (Я)', Хг - ^-й семиинвариант П1 > то есть

(5)

+ кq = к + 2д;

¿г [

Хг = / ехр(^?71)А

и введем функцию

с„р(х) = Ф(х) + '£Щпр-

к=1

где Рк (—Ф) вычисляются то формуле (5) с заменой Шг на

V 2п

Нг (х) - полином Чебышева-Эрмита, число V будет определено позднее. Преобразование Фурье - Стильтьеса функции Gvp(x) имеет вид

1

gvP(/)= в-12/Ч 1 + £ Рк (г/)р-

к/1

к=1

Теорема 1 (п. о) из § 41 [6] дает оценку

42)(о -9,Р(1)\< Ш (|'Г+3 +

¡'Р

(6)

если

Т=

< V Р

»(V + 3)рЗ+(з+3)(Я)

Здесь С(V) зависит только от V. По теореме 1 и § 39 [6] имеем

^Р ) (х) Gvp(x)

24 Я 1 ~ п Т п

/

й/,

(7)

где Н > 0 - постоянная. Выберем

0

2

где £о > 0. Оценим интеграл го правой части (7). Очевидно, что T > Tvp, поэтому т (1)

U {1)~д^{1) dl= i + i + i =Il+h+h.

I

-т -Tvp Tvp

Оценим /2:

/2 <

-T„.

fP1)(1) - fP2)(1)

dl

-Tv

fP2)(1) - gvp(l)

dl.

Для оценки первого интеграла правой части при |1| < n Ш1, w1 = w3/4, используем очевидную оценку

fP1)(1) - fP2)(1)

< C412,

а при n Ш1 < |1| < Tvp - оценку (4), преобразованную следующим образом. Положим в (4) N = п1/ш2 (здесь ^2 = w1/4). После чего оценка (4) примет вид

fP1)(1) - fP2)(1)

< Ся

Hp 1

q '

Таким образом.

fP1)(1) - fP2)(1)

П Tvp

dl = C4 J Idl + J

-П-ш1 П-ш1

-П-Ш1

+

d1+

v7^

p „ _ n ( yplnT.A

Для оценки интеграла

I

dl

применим оценку (6): TVP ' fP2)(1) - gvP(l)

l

СЮ

а<Ш f (\ir2 + \it+2)e-l2/4di = o(').

T VP J \ T VP /

(9)

Из(8) и (9) следует

, 1 y/plnTvp

2 1 т^1 + VQ^

Перейдем к оценке интеграла /3.

/з <

fP1)(1) - fP2)(1)

dl +

fP2)(1)

dl +

gvP(1)

dl.

l

l

p

p

p

Действуя так же, как и при оценке (8), оценим интеграл т

/Гт - /2)(о

i

dl = O

VP InQ

VQ n" 1

(10)

Для оценки интеграла

/P2)(l)

dl

понадобится утверждение о том, что |/q(1)| меньше единицы при |i| > 0. Здесь

/q(1) = j exp(ilni) dl.

Докажем это утверждение. В [3] доказано асимптотическое соотношение

Fn(x) = mes \ t : t G Qd, —7= ]T/ (t\Vk)

<x> =

fc=i

Ф(х) + O

1+ |x |2 nV4-

Обозначим Тогда

Rn(x) = Fn(x) - Ф(х).

/n(l)= eilxdMx/a)+ e dRn(x/a)

(H)

где

Ш = /ехр

Отсюда, учитывая то, что

Rn(x) = O

1+ x2 n1/4-

получим

|/n(l)| < e

-l2 a2/2 , C5|/| f dx

г1/4-е J 1 + :

Пусть <j > 0. Тогда существуют числа Д, 7 > 0 такие, что при п > ( — ]

Л/

1/(1/4-е)

будет верна оценка

max |/n(l)| < 1 - Д.

й<|г|<7п1/4-е

Теперь достаточно взять п = Я, и получим нужную нам оценку для |/д(/)|. Полученная оценка позволяет оценить интеграл

/P2)(l)

l

T„P/<r{Q)y/p

l

1

1

1

1

Р

Далее оценим интеграл /

9ур(1)

¿1:

5Ур(0

<

к=1

сИ

7'

Применяя оценку леммы 1. нетрудно показать, что

Рк(г/) = О ((Св)кв3кд-к/2) . Используя эту оценку и (13). получим

= О

-т„.

1

("+1)/2 / •

Из (10), (12), (14) получается окончательная оценка для /3:

/з =

Т„.

I

= О

1

("+1)/2 / •

Интеграл 11 оценивается аналогично интегралу /з: -т^

/

-т

/Г(0 - МО

I

= О

Произведя оценку интегралов /1, /2, /3, получим т

т

/Г(0 - МО

I

= О

/ 1 ^1пТ„

+

(13)

(14)

(15)

Из этой оценки и (7) находим: Заменим в (15) Рр1)(ж) на функцию распределения

а возникающую при этом погрешность оценим так же, как в [4], используя при этом неравенство Маркова и оценку из леммы 2. Результатом будет асимптотическое соотношение

шее

1

Ё/ (^к

< х > =

к=1 1

1 , у/рЪ- Ти

(Ж + 1)>

1

Полиномы Рк( —Ф), входягцие в Оир(х), оценим с помощью леммы 1: рк(-Ф) = о ((с9)к е-х2/2х3кд-к/2).

Отсюда следует

Оир(х) = Ф(х) + О ^ (°9)к е-х2/2х3кЯ-к/2^ . (17)

Далее, выберем V = [^1/3], р = [п(1/2+2е)/(3/2+2е)], а ф - из условия |п — р(ф+ )| < р (заметим, что ранее мы выбрали N = п1/ш2, где = ^1/4). Оценим ст2(ф). Из теоремы 18.2.1 [7] следует

! * X 2

v2{Q) = I dt =

= ^ + ^ " k) / /(*)/ (^fc) ^ = a2 + О

так как

Q ,

J2(Q - k) f (t)f (tWk) dt < const,

k= 1

что вытекает из леммы 2 [3]. Таким образом, a2(Q) = а2 + 0 ( — ) . Заметим также,

PQ)1/2 =

N

n ) \Q

Учитывая все сказанное, получим из (16) и (17):

mes < t : t G fld, —^ / (t\Vk) < x J> = Ф(ж) + О .

Из полученного соотношения следует оценка

mes < t : t G Qd, —?

Ф/ (rt,") <= *} = ф(1) + ° (lT¥F ¡лЫ ' (18)

Доказательство этого перехода аналогично доказательству формулы (24) из [4], поэтому мы его опускаем.

n

большим, чем в (11).

Далее, мы можем повторить все рассуждения, проделанные до этого, но используя уже при этом вновь полученную формулу (18). Итогом этого будет улучшение

n

Докажем, что результатом таких последовательных приближений будет утверждение нашей теоремы, то есть асимптотическое соотношение

mes jf : t G П* £ / (tWk) < * J = Ф(х) + О .

Обозначим показатель степени у п в формуле (11) через /?i, то есть Д = — — е. Тогда формулу (18) можно переписать следующим образом

Г _ 1 ^ / ; ч ) ^ ( 1 1

mes < t : t G Qj,, -

■■itf{tWk) <x| = Ф(ж)+о(-

l + N"2 nm-ih))-1-^1

к=1 J

и, следовательно,

в2 = (4(1 - ei))-1 - 2W-1. Продолжая этот итерационный процесс, получим рекуррентную формулу

lh+i = (4(1- ¡Зк))-1 - I3i = \~ £,

где вк - показатель степени у n в формуле (18) на к-м шаге. Нетрудно показать

1 2

(см. 141). что найдется номер к = ко такой, что /Зко >---—. что приводит нас

2 у/ш^

к окончательному результату:

mes jf : t G П* £ / (tWk) < s J = Ф(х) + О .

Теорема доказана. □

Summary

V. T. Dubrovin. Central limit theorem for endomorpliisms of the Euclidean space.

Let W be a non-degenerated integer-valued matrix such that | det W | > 1, f (t) = = f(ti,... , td) be a real function periodic with respect to any argument. / satisfy the condition 1/(0-/(01 < ^IK-OI where A const, t, t' € ttd = {t : 0 < ti < 1, i = 1,... , d}. A central limit theorem for the sequence (f (tWn)) with the rest O is established where e

is an arbitrarily small positive number.

Литература

1. Леонов В.П. Некоторые приложения старших семиинвариантов к теории случайных процессов. М.: Наука, 1964. 68 с.

2. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофаптовых приближений // Тр. Матом, ип-та им. В. А. Стоклова. М.: Наука, 1966. Т. 82. 112 с.

3. Дубровин В. Т., Москвин ДА. О распределении дробных долой одного класса преобразований евклидовых пространств // Вероятп. методы и кибернетика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. Вып. 9. С. 45 56.

4. Дубровин В.Т., Москвин Д.А. Центральная предельная теорема для сумм функций от последовательностей с переименованием // Теория вероятп. и её применение. 1979. Т. XXIV, Л» 3. С. 553 563.

5. Дубровин В. Т. Центральная продольная теорема для сумм функций от слабозависимых случайных величии // Вероятп. методы и кибернетика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. Вып. 9. С. 21 33.

6. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-.Л.: ГИТТЛ, 1949. 264 с.

7. Ибрагимов И,А,, Лиииик Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

Поступила в редакцию 03.04.06

Дубровин Вячеслав Тимофеевич кандидат физико-математических паук, доцент кафедры математической статистики Казанского государственного университета.