Асимптотика $\delta $-субгармонических функций и их ассоциированных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 83-107.

УДК 517.5

АСИМПТОТИКА 5-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ АССОЦИИРОВАННЫХ МЕР

Аннотация. Изучается вопрос о связи аимптотического поведения разности двух субгармонических функций П\ — щ в окрестности бесконечности и разности их ассоциированных мер — ^2- Асимптотическое поведение разности рассматривается вне

исключительных множеств "степенной"малости, а именно, вне множества, которое при любом 7 допускает покрытие кругами Б(х^, г^), удовлетворяющее условию

R/2<|zj |<R

Асимптотика разности ассоциированных мер характеризируется поведением функции

в бесконечности- Доказано, например, что эта функция ведет себя как о(|^|ст), если разность 1^1(2) — ^2(2) вне исключительного множества "степенной"малости ведет себя как о(|^|ст)- Если а Е М, то вернго и обратное утверждение.

Ключевые слова: Субгармонические функции, ассоциированная мера, формула

Йенсена, гармонические функции, представление Рисса.

Изучается вопрос об асимптотическом поведении ^-субгармонической функции и = и1 — и2 в терминах ассоциированных мер ^1,^2 субгармонических функций и1,и2. Вводятся исключительные множества "степенной"малости. Так названы множества, для которых при любом 7 Е К найдется покрытие кругами В) так, что выполняется соотношение

Одной из причин для введения таких исключительных множеств является следующая теорема из работы [2], играющая заметную роль в теории субгармонических и целых функций.

Теорема А. Пусть у(г) — субгармоническая функция на плоскости, имеющая конечный порядок роста. Тогда существует целая функция f (г), которая для любого 7 вне некоторого множества Л7 Е С1 удовлетворяет соотношению

A.A. Rumyantseva, Asymptotics of ¿-subharmonic functions and their associated measures. © Румянцева А.А. 2010.

Работа поддержана РФФИ № 10-01-00233 а.

Поступила 20 июня 2010 г.

А.А. РУМЯНЦЕВА

rj = o(R7+1), R —> ж.

Введение

^2 rj = o(R7+1), R —>ж.

R/2<|zj |<R

|v(z) - In |f (z)|1 < C In |z|.

Возникает естественный вопрос, каким образом должны быть распределены нули целой функции f, для того чтобы имело место указанное соотношение. Основная теорема данной работы, в частности, в некоторой степени отвечает на этот вопрос.

Основная теорема данной работы обобщает результаты, изложенные в работе [7].

Результаты в данном направлении находят применение в вопросах полноты систем экспонент в различных весовых пространствах (см. [8], [9]).

1. Подготовительные утверждения и формулировка основной теоремы

1.1. Исключительные множества. Круг с центром в точке z радиуса r будем обозначать через B(z,r). Для заданного числа y Е R множество A на плоскости будем называть множеством класса CY, если существует покрытие множества A кругами B(zj, rj) = {z : |Zj — z| < rj}, j = 1, 2,..., так,что выполняется условие

^ rj = o(R1+l), R —>rc. (1)

R/2<|zj |<2R

Ясно, что можно считать центры кругов различными и что множество центров не имеет конечных предельных точек. Значит, если кругов в покрытие бесконечно много, то |zj | —> +ж, когда j —> ж. Кроме того, из соотношения (1) следует, что

rj = o(|zj|1+Y), j —(2)

Перечислим простейшие свойства введенных классов.

1. Всякое ограниченное множество принадлежит любому классу CY.

2. Объединение конечного набора множеств класса CY принадлежит классу CY.

3. Если y1 > y2, то CY1 D CY2.

4. Множества класса Co являются Co-множествами в классическом (см. [1]) смысле.

5. При y > 0 класс CY содержит всю плоскость, значит, любое подмножество C. В этом можно убедиться, если рассмотреть покрытие из кругов с центрами в точках znk = п2вгп радиусами tnk = 2п(п +1), п Е N, к = 1, 2,..., п. Эти круги покрывают всю плоскость, и при этом выполняется соотношение (y > 0)

rj < Const. R = o(R7+1), R —> ж.

R/2<lzj |<2 R

Таким образом, в качестве исключительных множеств имеет смысл рассматривать лишь множества класса CY при y < 0. Всюду в дальнейшем будем считать, что y < 0. Для Y = —1 классы CY описываются несколько более простым образом.

Утверждение 1. Множество A принадлежит классу CY тогда и только тогда, когда существует покрытие этого множества кругами B(zj,rj) так, что выполняется условие

1. Если y > — 1, то

2. Если y < -1, то

£

| Zj |< R

r.j = o(R1"+1). (3)

J^Tj = o(R7+1). (3')

|zj |>R

Доказательство утверждения 1.

То, что из условия (3) или (3') вытекает условие (1), очевидно.

Пусть 7 = —1 и покрытие множества А кругами В, г,) = {г : |zj — г| < г,}, ] = 1, 2,...,

удовлетворяет условию (1). Возьмем произвольное £ > 0 и найдем т = т(£ Е N так,

чтобы для всех К > 2т выполнялась оценка

Е rj < £(1 — 2-Ь+1|) К+1. (4)

Я/2<^ \<2Я

1. Пусть 7 > —1. Покажем, что покрытие множества А удовлетворяет условию (3). По

выбору номера т для натуральных п > т в силу соотношения (4) имеем

Е г = Е е г <£(1 — 22-(''+1)) ^ 2(к+1,(7+1) =

2т<^ |<2"+1 к=т 2к< ^ \<2к+2 к=т

= £(1 — 2~(7+1))2(7+1)гагаЕГ- 1 2"к(7+1) < £2(7+1)п. (5)

к=0

Число К1 выберем настолько большим, чтобы

Е г < £к?+1. (6)

^ | ')Ш\

Возьмем произвольное К > тах(К1, 2т). Тогда если 2П < К < 2П+1, то

Е ^ < Е г, + Е rj.

|^д \<Я \zj \<2т 2т<^ |<2"+1

Суммы в правой части оценим по соотношениям (5) и (6).

Е rj < £К7+1 + £2га(7+1) < £К7+1.

\zj \<Я

Итак, в силу произвольности £ соотношение (1) выполнено.

2. Пусть 7 < —1. Возьмем произвольное К > 2т, если 2П < К < 2П+1, то 2П+1 > 2т и по соотношению (4) имеем

Е ^ < Е Е г, < £(1 — 22-|7+1|) Е 2-(‘+1)Ь+11 =

\zj\ >Я &=«. 2к<\zj\<2к+2 к=п

= £2-(п+1)\7+1 \ = £2(га+1)(т+1) < £К7+*

2 2 - 2 ■

Утверждение 1 доказано.

Классические С0-множества в теории целых функций применяются на основе такого свойства этих множеств: для любого С0-множества А и для всех достаточно больших К найдется окружность С(0,£) радиуса £ Е (К; 2К), не пересекающаяся с множеством А.

В следующем утверждении доказывается соответствующее свойство для множеств класса С7.

Утверждение 2. Пусть 7 < 0 и А Е С7. Тогда для любого положительного числа д > 0 (если 7 = 0, то д < 1) и для всех г Е С с достаточно большим |г| найдется £ Е (д; 2д) такое, что окружность С(г,£) = {и> : |эд — г| = £|г|Т+1} не пересекается с

множеством А.

Доказательство утверждения 2.

Пусть В = {В^, г j)}, ] = 1, 2,..., — система кругов, покрывающих множество А так, что выполняется соотношение (1). Учитывая свойство покрытий (2), можем найти число К1 > 1 так, что при |г| > К1 будет выполняться неравенство г, < |^|. Для г Е С

через В(г) обозначим множество кругов В(г/, г/) из покрытия В, пересекающихся с кругом В = В (г, 2д|г|7+1). Если круг покрытия В(г,-, г/) Є В(г), то |г — г/1 < г/ + 2д|г|7+1 или

8

Отсюда, учитывая, что 7 < 0 и условие на д при 7 = 0, получим для |г| > Л1 таких, что

3

4

|г/1 < |г| + (г/ + 2д|г|7+1) < |г| + -|^1 + 2д|г|7+1

2д|г|7 < 3

7 7

8|г/|<|г|(1 + 2д|гГ) < ^|г|,

таким образом, 1 < 2|г|. С другой стороны

1 > |г| — (г, + 2д|г|7+1) > |г| — 1|г,| — 2фР+1,

поэтому для |г| > К1 таких, что 2д|г|7 < 16

9 9

8г| > |г|(1 — 2ф|7) > 16|г|

или |zj| > 2|г|. Мы доказали, что если круг покрытия В(г,, г,) попадает в множество В(г), то при достаточно больших |г | будет выполняться

2|

Поворотом вокруг точки г спроецируем круги покрытия из В(г) на луч {и> = г + т, т > 0}, и объединение полученных проекций обозначим через Ь(г). Из неравенства (7) следует, что

Е г , < Е г ,

B(zj ,rj ^ <\zj\<2\z\

Из условия (1) следует, что при достаточно больших |г | будет выполняться неравенство

г, < д|г|7+:.

-|г| < |г/| < 2|г|. (7)

£ -

B(zj ,rj )€В^)

Это значит, что линейная лебегова мера множества Ь(г) меньше д|г|7+: и в отрезке [г + д|г|т+1; г + 2д|г|7+1] найдется точка г+£, не принадлежащая Ь(г). Тогда по построению число £ удовлетворяет условиям утверждения 2.

Утверждение 2 доказано.

Пересечение всех классов С7 обозначим через С:

с = П с

7‘

7

Следующее утверждение устанавливает связь между классами С7 и С.

Утверждение 3.Пусть и(г) — некоторая вещественнозначная функция на плоскости, ^(¿) — неотрицательная функция на (0, +ж). Тогда если для любого 7 Е К найдутся множество А7 Е С7 и постоянная М7 такие, что выполняется соотношение

и(г) < М7г>(|г|), г Е А7, (8)

то для любой положительной монотонно возрастающей до +ж функции х(£) на (0, +ж) найдется множество А Е С так, что выполняется соотношение

и(г) < ^(|г|)Х(|г|), гЕА. (9)

Доказательство утверждения 3. Возьмем произвольное натуральное число п. По условию (8) найдется множество А_п Е С_п и постоянная М_п такие, что выполняется соотношение

и(г) < М_пи(|г|), г Е А_„. (10)

Множество А_п покрывается системой кружков Вп = {В(г,п), г,га))}, ] = 1, 2,..., так, что для некоторой постоянной Т_п будет выполняться оценка

Е гГ < т_™я_п, я> 1. (11)

Я/2<^(п)\<2Я

Переходя при необходимости к последовательности Т_п := тахк=1)... га Т_&, можно считать, что последовательность констант Т_п не убывает при возрастании п. Положим

ЯП = тт{£ > 0 : х(£) > М_„},

и определим возрастающую последовательность положительных чисел рекуррентными формулами Я1 = 0,

Яп+1 = тах(2Яп, Яп+1, 3Т_(га+3)), п = 1, 2,...

Положим

А = У (А_гаР|{г : Я„ < |г| < Я„+1^ .

П=1

Возьмем произвольное г Е А и пусть Яп < |г| < Яп+1. По определению множества А точка г не принадлежит А_п, значит выполняется оценка (10). По определению последовательности Яп имеем |г| > Яп > ЯП, а по определению последовательности ЯП получим х(|г|) > М_п. Следовательно,

и(г) < гЕА.

Тем самым, мы доказали соотношение (9).

Докажем, что А Е С. Пусть система кругов В = {В(г,, г,)} состоит из кругов В(г,п) ,г,п)), для которых Яп < |г,п) | < Яп+1, п = 1, 2,... Возьмем произвольное Я > 1 и пусть Яп < Я < Яп+1. По определению последовательности Яп имеем Т > Тр- > Яп_1 и 2Я < 2Яп+1 < Яп+2. Таким образом, интервал (Т; 2Я) может пересекаться с интервалами (Я^_1; Я^) при к = п, п +1,п + 2. Значит, если центр г, круга покрытия из системы В попал в кольцо {г : |г| Е (Т;2Я)}, то это может быть центром г(к) круга покрытия из

системы В& для к = п,п + 1, п + 2. Отсюда по свойствам (11) систем В& получаем

га+2

Е г, < Е Е г(к) < Т_пЯ_П + Т_(„+1)Я_(п+1) + Т_(„+2)Я_(п+2).

| <\zj\<2Я к=п | < ^(к) \<2Я

Так как последовательность Т_п возрастающая, то

г, < Я П(Т_га + Т_(п+1) + Т_(п+2)) < 3Я ПТ_(„+2).

< \ zj \<2Я

По определению Яп > 3Т_(п+2) и Яп < Я, следовательно,

Е г, < 3Я_ПТ_(„+2) < Я_ПЯ„ < Я_(П_1).

< \zj \<2Я

Таким образом, покрытие В множества А кругами В (г,, г,) обладает свойством: для любого Я > 1 если Я Е (Яп; Яп+1), то

Возьмем произвольное число 7 и пусть натуральное число т > —7 + 1, например, т = — [7] + 1. Возьмем произвольное число Я > 1.

Множество А' = А Р| В (0, 4Ят) как ограниченное множество принадлежит классу С7.

Выше определили систему кругов В = В (г,, г,), покрывающую множество А. Часть В', состоящая из кругов В (г,, г,), для которых |г, | > 2Ят, покрывает множество

А'' = А \ В(0, 3Ят). Возьмем произвольное число Я > 1 и пусть Яп < Я < Яп+1. Если п +1 < т, то Яп+1 < Ят и в покрытии В' нет кругов с центром в кольце {Т < |г| < 2Я}. Если п +1 >т, то п +1 > т +1 > —7 + 2, значит — (п — 1) < 7 и по соотношению (12)

^ <|^ |<2Я

Это значит, что множество А'' принадлежит классу С7, следовательно, и множество А = А' и А" принадлежит классу С7 при любом 7.

Утверждение 3 доказано.

1.2. Оценочные функции. Через к(і) будем обозначать функции на (0, +ж), используемые для характеристики роста ^-субгармонических функций и ассоциированных мер. Общие требования к этим функциям:

К1) функция к(і) > 0 и монотонно не убывающая и 1пі = 0(к(і));

К2) для некоторой константы К и для всех і > 0 верно

Утверждение 4. Для функции к(£), удовлетворяющей условиям К1), К2), выполняются также следующие условия

1. Для всех £ > е имеет место неравенство

<|^ |<2Я

(12)

^ г, < Я-(п-1) < Я7 = о(Я7+1).

к(еі) < Кк(і).

к(і) < к(е)і1пк,

в частности,

2. Если д = [а] — целая часть а, то а) функция

удовлетворяет условияю К1) и при £ > е2 — условию К2):

коо (е£) < (К + 2)коо(£).

в) если интеграл сходится, то функция

при £ > 0 обладает свойствами К1), К2):

к. (е£) < е,+1к. (£).

г) если функцию коо(£) продолжить на отрезок [0,1] нулем, то функция коо(|г|) суб-гармонична на плоскости, причем

Дкоо(|г|) = к(|г|)|г|-2, ге С.

Доказательство утверждения 4.

Докажем пункт 1. Пусть еп < £ < ега+1. Тогда п < 1п £ и по свойствам К1, К2 имеем

к(£) < к(ега+1) < Кк(еп) < ... < Кпк(е) < к(е)К1п* = к(е)£1пк.

Докажем пункт 2. Свойство К1 не очевидно только для функции к.(£). Монотонность этой функции вытекает из неотрицательности ее производной:

(£) = (9 + !)*• /“ ^ ^ > *(£) (*• /“ ^ 1) =0.

Для функции к. (£) свойство К2 очевидно. Пункт 2в доказан.

Докажем пункт 2а. По свойству К2 для функции к(£) имеем при £ > е

к, (е()=е., уе‘ +/е ^) <

Г * г *

< П + е.? < (К + е.)к,(£).

к(ет^Т + е,Г к(т^Т 1 £,+1 + Л £,+1

Докажем пункт 2б. Поскольку

М«) = /‘

то при £ > е2 по пункту 2а

коо(0= [* + Г’’ < Г‘ ко(еТ+ /‘ МгМТ < (К + 2)коо(£).

Л2 т Jl т Л т Jl т

Пункт 2г) доказывается непосредственным вычислением оператора Лапласа в полярных координатах.

Утверждение 4 доказано.

Определение. Будем говорить, что некоторое асимптотическое соотношение выполняется вне множеств степенной малости, если для любого 7 найдется множество А7 е С7, вне которого это соотношение выполняется.

Для борелевской меры ^ на плоскости через ^(г,£) будем обозначать ^-меру круга В(г,£) = {и> : |и> — г| < £} и положим

М («)(г) = тах

Я<И/2

^(г, £)

Сформулируем основной результат, доказываемый в данной работе.

Основная теорема.

I. Пусть м1,м2 — субгармонические функции на плоскости, имеющие конечный порядок роста, ^1,^2 — ассоциированные по Риссу меры этих функций и функция к(£) удовлетворяет условиям К1, К2. Тогда если соотношение

|«1(г) — «2(г)| = 0(к(|г|)), |г| —> ж,

выполняется вне множеств степенной малости, то соотношения

М(^1 — ^2)(г) = 0(к(|г|)), |г| —> ж,

тоже выполняется вне множеств степенной малости.

II. Пусть

— iln k(t)

ln t

и q = [а] — целая часть а. Если соотношение

M(^i - ^2)(z) = O(k(|z|)), |z| —> ж,

выполняется вне множеств степенной малости, то существует гармоническая на всей плоскости функция H(z) так, что соотношение

. .. [|z| f f1 к(т)dr\ dt 1 f|z| к(т)dr

м*>- м.) + H<z)| = ^l [l -U-)T + q^/i -U-+

+ X(q)|z|q ^ ^|zГ Q ^ + k(1) ln |z| j , M

где x(0) = 0 и x(q) = i при q > 0, выполняется вне множеств степенной малости.

Довольно сложный вид соотношения (*) во второй части теоремы связан с тем, что доказателство этой части основано на теореме В, которая, в свою очередь, основана на первичных множителях Веершрассе. Однако, в некоторых частных случаях неравенство (*) записывается просто. Так, если k(t) = tCT и а G N, то (*) приобретает вид

|ui(z) - U2(z) + H(z)| = O(k(|z|)).

Если же а G N, то можно оценить погрубее

|ui(z) - U2(z) + H(z)| = O(k(|z|) ln |z|).

Более общим образом, такие оценки верны, когда k(t) = tCTs(t), где s(t) — возрастающая функция нулевого порядка, удовлетворяющая условию rs;(r) = o(s(r)).

2. Доказательство первой части основной теоремы

Теорема 1. Пусть ui,u2 — субгармонические функции на плоскости, имеющие конечный порядок роста, ^i,^2 — ассоциированные по Риссу меры этих функций, и функция k(t) удовлетворяет условиям K1, K2. Тогда если для любого 7 существует некоторое исключительное множество AY G C7 такое, что выполняется оценка

|ui(z) - U2(z)| < k(|z|), z ф A,

то для любого 7 существуют некоторое исключительное множество AÇ G C7 и постоянная MY такие, что выполняются соотношения

i'R ^i(z, i)

/0 t

Mz,t) -

< m7k(|z|), z g a;, r g ^0, Щ .

Для доказательства этой теоремы докажем две подготовительные леммы.

Лемма 1. Пусть неотрицательная борелевская мера на плоскости удовлетворяет условию

М0,£) < С£р, £ > 1,

и а е К. Тогда множество точек г, не удовлетворяющих условию

Мг,£) <N4 £ е (0, у), (13)

принадлежит классу CY для любого y > р — а — 1. Более точно, это множество покрывается кругами B(zj, rj) таким образом, что имеет место соотношение

rj < Const.Rp-a, R > 1.

R/2<|zj |<2R

Доказательство.

Возьмем число а и множество точек, не удовлетворяющих условию (13), обозначим через E. Таким образом, для каждой точки z Є E найдется число tz Є (0, -у-), так, что имеет место неравенство

^(z,iz) > |z|%.

Воспользуемся следующим утверждением (см. [4], стр. 246)

Лемма (О покрытиях шарами).

Пусть множество A С Rp покрыто шарами так, что каждая точка x Є A является центром некоторого шара S(x) радиуса r(x). Если supx€A r(x) < ж, то из системы {S(x)} можно выделить не более чем счетную систему {S(xfc)}, покрывающую все множество A и имеющую кратность, не превосходящую некоторого числа N(p), зависящего только от размерности пространства.

Через En, n = 1, 2,..., обозначим пересечение множества E с кольцом {2n-1 < |z| < 2n}, Eo = EQB(0,1). Множество En покрыто кругами B(z,tz), z Є En. Поскольку tz < -y, то это покрытие удовлетворяет условиям леммы о покрытиях. Значит, при каждом n найдется система точек zjn) Є En, такая, что система кругов Bn = {B(zjn),tjn))}, где tjn) = t (n), покрывает все множество En, при этом любая точка плоскости попадает не j zj

более чем в N(2) из этих кругов. Объединение всех систем B = (Jn Bn = {B(zk, tk)}, k > 1, покрывает все множество E, и при этом любая точка плоскости попадает не более чем в 3N(2) из этих кругов. Поскольку

Mzj ,tj) > |zj |atj,

то

^ tj < ^ |zj|-aMzj,tj).

R/2<|zj |<2R R/2<|zj |<2R

Рассматривая отдельно случаи а > 0 и а < 0, получим отсюда

^ tj < 2а+ R-a ^ ^(zj,tj),

R/2<|zj |<2R R/2<|zj |<2R

где а+ = тах(а, 0). Теперь из обозначенных свойств покрытия B и из того, что tj < ^ следует оценка

^ tj- < 3N(2) ■ 2а+ R-Q^(0, 4R) < 4P+1N(2)C2а+ Rp-a.

R/2<|zj |<2R

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть и — субгармоническая функция на плоскости, имеющяя конечный порядок роста, то есть для некоторых £, р

u(z) < £|z|p, |z| > 1, (14)

и A — открытое множество на плоскости. Тогда существует постоянная C, не зависящая от множества A, такая, что для всех w Є C, |w| > 1, и R Є ^0, выполняется оценка

I |и(С )|ds(C) < C |w|Ps(C (w,R) f A)ln (C n A),

./с^Я) П A ' ' s(C(w,R)fl A)

где ^з(£) — элемент длины дуги окружности С(и>,К) = {г : |и> — г| = К]. Доказательство.

1. Очевидно, что функция и+(г) удовлетворяет неравенству (14), значит, для некоторого $1 для всех г е С выполняется оценка и+(г) < ^(^| + 1)р. Следовательно, для всех w е С,

|эд| > 1 и К е ^0, у1) имеем

[ и+«)^«) < ¿12РИРз(С(ад, К) П А), (15)

•/С(ш,Д)П А

Из представления |и| = 2и+ — и получаем, что теперь для доказательства леммы 2 нужно соответствующим образом оценить снизу интеграл

/ и(С же).

./С(щ,д^ А

Положим Т = 4|эд| и воспользуемся представлением Грина функции и в круге В = В(0, Т):

и«) = Н(() — / С(С,г)ф(г), (16)

Зв

где

1 г2п Т2 — 1С12

Н(С) = — ^ • |Ци(Тег^Ш

2п Л |Тег^ — (|2

— гармоническая мажоранта функции и в круге В и

с* — Т2

G(Z,z) = ln

(z - Z )T

< 4

— функция Грина круга B, ß — ассоциированная мера функции u. Если Z лежит на окружности С(w, R), где R < у1, то |Z| < |w| + R < 2|w| < T/2, поэтому |Te*^ — Z|2 > T2/4 и T2 — |Z|2 < T2. Следовательно,

t 2 — |Z |2 |Te^ — Z |2

и для Z ^ C(w, R) имеем

1 Г2n T2 — IZI2 • 4 Г2п

H(Z) > 2Пl tiv-—tzf(“ — > 2П1 (“ — “+)<T<^

Поскольку u+ удовлетворяет неравенству вида (14), то

4 Г2п

H(Z) > — и(Тег^ — 4p+1^|w|p,

2п Jo

и так как усреднение субгармонической функции по окружности не убывает при возрастании радиуса окружности, то для некоторой положительной постоянной С

4

г-2ж

H(Z) > — u(e^ - 4p+1i|w|p > -C'MP, |w| > 1.

2^ о

Таким образом, на основе представления (16) имеем

f u(Z)ds(Z) > —Const. |w|ps(C(w,R) О A) —

./с(w,R) n A

f f G(Z,z)d^(z)ds(Z). (17)

'C(w,R^ A JB

Нам остается требуемым образом оценить сверху интеграл

/ / С(С,*)^^(*)^5(С )=/ / С(С,г)^(С П Ф(г). (18)

./С(ш,Д)П А ./В и^\ис(ш,Я)П А /

Во внутреннем интеграле сделаем замену переменных £ = и введем обозначения г = и^, К = |^|К1, А = иАь Т = |^|Т1, через С1(^1, г1) обозначим функцию Грина круга В1 = В(0,Т1). Имеем

[ С(С,г)^5(С ) = М/ С1((1,*1)^5(С1). (19)

./С(ш,Я)П А ./С(1,Д1)П А1

Поскольку Ti = 4, то

G(Zi,zi) = ln

CiZT - Ti2

-ln cTT = ln T^T • (20)

(zi — Zi)Ti

Нам нужно оценить интеграл от правой части (20) при произвольном фиксированном z1 ив оценке должна присутствовать только длина пересечения C (1, R1) Р| A1, поэтому z1 можем считать вещественным. Если z1 G R и Z1 £ C(1, R1), то есть Z1 = 1 + R1 ег^, то

|z1 — Z1| > min(|(1 — R1) — Z11, |(1 + R1) — Z1|) = R1 min 11 ± e^.

Поэтому

8 ,8,8,8 ,4

ln -— < max ln -—- < ln --— + ln -— = 2 ln

|zi — Zi| Ri|1 ± e^| Ri|1 — e^| Ri|1 + e^| Ri| sin<^|

Из этого неравенства вместе с (19) и (20) получим

í GK,z)dsK) < 2R / ln

./с(Ш)д) П a Ja R| sin И

где a = E [—n; n] : 1 + Riei^ E Ai}. Запишем это неравенство в виде

N

R

f G(Z, z)ds(<) - 2s(C(w, R) П A) ln M+

'C(w,R)n A R

+2R [ ln -------- d<£. (21)

Ja | sin И

Если положить a' = a P|[-n/2; п/2], a'' = (a \ a') + п, то

f 4 f 4 f 4

/ ln ---- d^ = / ln -------- d^ + / ln ------ d<£.

Ja | sin И Ja' | sin И Ja" | sin И

Воспользуемся простым неравенством | sin <^| > П2|<^|, когда |<^| < п:

Л 4 , Г 2п , f 2п

ln ------г d^ < ln -—- d^ + ln -—- d^

Ja | sin И Ja' M Л" M

Для оценки интегралов в правой части применим следующее утверждение (см. [5], стр. 56)

Лемма. Пусть <^(x) — действительная интегрируемая на интервале (-a,a), четная невозрастающая на (0,a) функция (допускается <^(0) = +ж). Пусть E С (-a, a) — измеримое подмножество, mes E = 2b. Тогда

/ ^(x)dx < / ^(x)dx.

Je J-ъ

Пусть d' — длина множества a'. По лемме имеем

2п , „Гd , 2п , „ 2пе

ln -—г d^ — 2 ln — d^ = 2d; ln

M Л ^ d'

Функция x ln 2^ возрастающая на интервале (0; 2п]. Если через d обозначим длину всего множества а, то d; < d < 2п. Поэтому

2п 2пе

ln-—- d^ < 2d ln——.

Л' М d

Аналогичным образом оценивается интеграл по множеству а/;, ив результате получим

Л 4 7 2пе

ln ------- d^ < 4d ln——.

Ja 1 sm ^ d

Подставим эту оценку в соотношение (21). Учитывая, что

s(C(1,Ri) П Ai) _ s(C(w,R) П A) _ s(C(w,R) П A)

R1 |w|R1 R ,

получим

i С(С z)ds(C) < 8s(C(— R) П A) ln (Cn A).

JO(w,R) П A ' ' s(C(R,R)fl A)

Полученную оценку применим в соотношении (18):

/о(WR)П A /в G((' z)d"(z)ds((> < 8 /в S(C<w-R) П A) ln s(C(W.R'n A) ^ =

= 8s(C(w R) П A) ln s(C(r, R) П A)^(B).

Из условия (14) следует оценка на считающую функцию ^(0,t) (см. [6])

Mo, t) < ^tp, t > 1,

следовательно,

[ f С((, z)d^(z)ds(C) < 8i'4p|w|ps(c(— R) П A) ln (C^R) n A).

Jo(w,R)П Jb 1 1 s(C(R,R)flA)

Отсюда и из соотношения (17) получим

[ u(C)ds(C) > —Const. |w|Ps(C(— R) П A) ln (Cn A).

Jo(w,R)П A 1 1 s(C(R,R)fl A)

Вместе с оценкой (15) и равенством |u| = 2u+ — и получаем утверждение леммы 2.

Лемма 2 доказана.

Следствие леммы 2.

Пусть и — субгармоническая функция на плоскости, имеющая конечный порядок роста, то есть для некоторых $, р

u(z) < £|z|p, |z| > 1.

Тогда существует постоянная C такая, что для всех — G C, |—| > 1, и R G ^0, выполняются оценки

г 2п Iwle

|u(w + Re^)|d^ < C|w|plnЦ^, (22)

Jo R

[ |u(w + Z)|dm(Z) < C|w|pr2lnj—l—, (23)

J B(w,r) r

Для того чтобы убедиться в оценке (22), достатоточно в лемме 2 в качестве множества A взять всю плоскость. Оценка (23) следует из оценки (22).

Приступим к доказательству теоремы 1.

Будем считать, что функции м1,м2 имеют нормальный тип при порядке р, то есть и (г) < $|г|р, |г| > 1. Как известно, ассоциированные меры при этом удовлетворяют условию ^(0,*) < ^¿р, * > 1.

Зафиксируем произвольное отрицательное 7 Е К и любое положительное е > 0. Пусть А.,-, ] = 1, 2, — множество тех г, для которых не выполняется условие

щ(г,*) <|гП+'(, ( е (0; М). (24)

По лемме 1 каждое из этих множеств принадлежит классу С7, значит, А1 иА2 Е С7.

Далее будем рассматривать г Е А1 и А2 — точки в которых выполняются соотношения (24). Возьмем произвольное К Е (0; у).

1. Пусть К < к(|г|)|г|7-р-£. В силу условия (24) имеем

Гя ^(г,*) - ^2(г,*)

, -dt

lo t

< 2|z|p-7+£R < 2k(|z|). (25)

2. Пусть R > fc(|z|)|z|7-p-£. Возьмем произвольное число Y1 < 2y — 4р — 2е — 1. По предположению теоремы 1 существует множество A класса CY1 С CY, вне которого выполняется соотношение

|u1(z) — u2(z)| < Const. k(|z|), z G A.

Отсюда для любого z G C, |z| > 1, с учетом свойства K2, имеем

2-R / (u1(Z) — u2 (Z ))ds(Z)

2nR J O(z,R)\A

Применяя лемму 2 к множеству A и к каждой из функций u1, u2 для R G (0, у), получим оценку

< Const. k(|z|). (26)

|z|'

2nR

/ (u1(Z ) — u2 (C ))ds(Z )

'O(z,R) f| A

<

_ |z |ps(z,R)n 2n|z |e

< Const. | | 1 ; ln ' | ,, (27)

- 2nR s(z,R)’

здесь для краткости через s(z,R) обозначена длина пересечения C(z,R)P| A. Пусть B(zj, rj), j = 1, 2,..., — круги, покрывающие множество A, о существовании которых говорится в определении класса CY1, то есть, в частности,

rj < Const. R71+1, R > 1.

R/2<|zj |<Д

Так как Y1 — отрицательное число, то для досаточно больших j rj < ^. Если некоторый

круг B(zj, rj) пересекается с окружностью C(z, R), то |z — zj| < R + rj. Значит,

|zj| > |z| — R — rj >

Отсюда |zj| > у. С другой стороны, для таких j имеем

|zj | < |z| + R + rj < о |z | + 'j

значит, |zj| < 2|z|.

Длина пересечения круга B(zj, rj) с окружностью C(z, R) не превосходит nrj. Если сумму радиусов кругов B(zj, rj), пересекающихся с окружностью C(z,R), обозначить через E(z, R), то

s(z,R) < E(z,R) < п rj < Const. |z|Y1+1. (28)

Ifl <|zj|<2|z|

1

В частности, в силу отрицательности 71 + 1 можно считать, что для достаточно больших |г| длина з(г,Л) не превосходит 1. Учитывая, что в этом пункте мы предполагаем К > к(|г|)|г|7-р-£, соотношение (27) можем записать в виде (напомним, что к(*) > 1)

1

2nR

(u1(Z ) — u2 (С ))ds(Z )

<

'O(z,R) f| A

< Const. |z|2p-7+£(s(z, R) ln(2n|z|e) — s(z,R)ln s(z,R)). Считая, что s(z, R) < 1, получим

1

— \Js(z, R) ln s(z,R) < max (—^x ln x) = -e 4,

o<x<1 2

поэтому

1

2nR

(u1(Z ) — u2 (Z ))ds(Z )

' С(.г,Д)П А

Отсюда и из (28) вытекает соотношение 1

< Const. |z|2р 7+£\/s(z, R) ln(2n|z|e).

'0(.г,Я)П A

2nR

По выбору числа 71 имеем

71 + 1

(u1(Z ) — u2 (Z ))ds(Z )

< Const. |z|^+2p-7+£ln(2n|z|e).

+ 2р — y + e = 71 + 4P — 27 + 2£ < 0,

22

следовательно, для г Е А и К > &(|г|)|г|7-р-£ имеем 1

2nR

'O(.г,Я)П A

(u1 (Z ) — u2 (Z ))ds(Z )

< Const. < Const. k(|z|).

Это соотношение вместе с (26) влечет соотношение, верное для всех г Е А К Е (к(|г|)|г|7-р-£; ^)

и

или

2nR

1

2П

/о (z,R)

(u1(Z ) — u2 (Z ))ds(Z )

< Const. k(|z|)

-2п

(u1 — u2)(z + Re^)d^

< Const. k(|z|).

По формуле Привалова (см. [5], стр.65)

г2п

^ I (u1 — u2)(z + Re^)d<£ = (u1(z) — u2(z)) + I 2п J0 Jo

^1(z,t) — ^2(z,t) t

dt.

Отсюда и из последней оценки следует, что если г не принадлежит множеству А и К Е (&(|г|)|г|7-р-£; у1), то

гЯ

^1(z,t) — ^2(z,t)

dt

< Const. k(|z|).

Вместе с (25) получаем, что это соотношение верно для всех г Е А1 и А2 и А и К Е (0; у1). Так как множества А1, А2, А лежат в классе С7, то теорема 1 доказана.

1

o

o

3. Доказательство второй части основной теоремы

Теорема 2. Пусть — субгармонические функции на плоскости, имеющие конеч-

ный порядок роста, ^,^2 — ассоциированные по Риссу меры этих функций, и функция ^(¿) удовлетворяет условиям К1, К2. Тогда если для любого 7 существует некоторое исключительное множество А7 Е С7 такое, что выполняется оценка

i'R Mz,t)- Mz,t) dt

lo t

< fc(jzj), , Re (0, J|l) , (29)

то найдется гармоническая на всей плоскости функция Н(*) так, что для любого 7 существуют некоторое исключительное множество А! Е С7 и постоянная М^ такие, что выполняется соотношение

!М*) - «2(г) + Н(*)| < М4«+2(* + 2) Ц '*' (/‘ ) * + _+_ ]' *' +

+ Х(9)1*1” [' *'у+? + ^ 1*1в+1 у# + *(1)1п |*|) , (30)

где х(0) = 0 и х(?) = 1 при д > 0.

Предварительно докажем, что утверждение (30) теоремы 2 следует из более жесткого предположения:

для всех * Е С и всех Я Е (0; у) выполняется оценка

R

(z,t) - ^2(z,t)

, -dt

/о t

< k(jzj). (29')

Пусть a(x) — неотрицательная четная бесконечно дифференцируемая функция на вещественной оси, равная нулю вне интервала (-1; 1) и

г+ГО

2-к I a(x)xdx = 1.

0

Положим a(z) = a(jzj), z Е C. Тогда a(z) бесконечно дифференцируема на C и

/ a(z)dm(z) = 1,

Jc

здесь m(z) обозначает плоскую меру Лебега.

Лемма 3. Пусть u1,u2 — субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры ^1,^2 удовлетворяют условию 29'. Через и обозначим разность u1 — u2 и для произвольного 5 > 0, положим

5 М = / Ф + 5Z WC )<МС )•

Тогда для z Е C, jzj > 25, имеют место оценки

j5,(z) - u(z)j < k(jzj), (31)

|A5<s(z)j < aok(jzj)5-2, (32)

где a0 = max ja''(x)x + a'(x)j и A = + ddl)5' — оператор Лапласа.

Доказательство.

В интеграле в определении функции и перейдем к полярным координатам

г/ 1 г 2п \

и,(*) = 2п а(г) ( — м(* + «гег^ г^г

./0 V2п ./0 У

и применим формулу Привалова (см. [5], стр. 65) во внутреннем интеграле. Учитывая свойства функции а, получим

и,(*) = м(*) + 2п У га(г) ^У ^1( , ) - ^2( , ) ^г.

Если |*| > 2«, то при г< 1 «г < « < '2, значит из условия 29;, с учетом свойств функции

а, получим соотношение (31).

Дифференцируя под знаком интеграла (в обобщенном смысле), получим

Д., (*) = / ДЦ* + «С )а<С «С).

После замены переменных — = * + имеем

Дм,(*) = «-2 J Дм(—)а ^^ ^т(— = 2п«-2 У а ^^ ^(—), полагая теперь — = * + , получим

Дм,(*) = 2п«-^ У а ф.(*,-).

Дважды применим интегрирование по частям

'-Ч 1 “У 1

Ащ(г) = — 2п5 ^У -а'^^(г,і)^і =

2пГ2 Г( іа"(-) +- а'ГҐ ¿г ) Л.

т

По свойствам функции а можно считать, что і < 5 < у, поэтому

|Ащ<5 (г)|

-2

0

< 2па0к(|г|)5-2

Лемма 3 доказана.

<

Лемма 4. Пусть и^и2 — субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры ^1, ^2 удовлетворяют условию 29'. Через и обозначим разность и — и2 и пусть функция щй(г) определена как в лемме 3. Через (ад, С) обозначим функцию Грина круга В (г, 5), то есть

52 — (ад — г)(С — г)

См (м,() = 1п

«(— — *)

Тогда если |*| > 2«, то для всех ( Е В(*,«) имеет место оценка

-— [ См (^,( )|Ащй (ад)^т(ад)

2п ,/ В(г,й)

Доказательство.

Если ад,£ Е £(*,«), то |£| < |*| + « < 2|*|. По соотношению (32) леммы 3, с учетом свойства К2, имеем

Т- I (ш>,()|Ащй(ад)^ш(ад)

2п JВ(.г,<5)

<

< Ка0к(|г|)5

2

/В(г,й)

Сг,г(ад, С)|^т(ад)

(33)

Ассоциированная мера функции д(£) = |£ — *|2 равна 2П^т(£), а гармоническая мажоранта этой функции в круге В(*,«) равна тождественно «2. По формуле Грина

?(() = «2 — ~[ с*,г (ад,()^ш(ад),

п 3в(*,г)

следовательно,

2

тажСев(*,г)- / £*,г(—,()^ш(ад) = тажсев(*,г)(« — |С — *| ) = « .

п ./в(*,г)

Подставим эту оценку в соотношение (33) и получим утверждение леммы 4.

Лемма 5. Пусть м1,м2 — субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры ^1,^2 удовлетворяют условию 29'. Через ^ обозначим разность ^1 — ^2, а через ^*,г(ад,С) обозначим функцию Грина круга £(*,«). Если |*| > 2«, то для всех ( Е В(*,«) имеет место оценка

'я(-М)

См (ад, С )|ф.(ад)

< (2 + пао)Кк(|г|).

Доказательство.

Пусть функция (£) определена как в лемме 3 и

Дм (С) = щ (С) + / с

•/В(г,й)

Ащ (ад)

(ад, С)— -----------аш(ад)

2п

Тогда функция Н*,г(£) гармонична в круге В(*,«) и равна и, на границе этого круга. Поскольку

|м(С) — Н*,г(С)| < КС) — иг(С)| +

+|щ (С) — н^,г (С)| = |и(С) — щ (с)| +

Ащ (ад) , , .

См (ш, С)—~---------------йт(ад)

2п

/В(г,й)

то по леммам 3 и 4, с учетом свойства К2, получаем

|и(с) — Н*,{(0І < к(К|) + к(|г|) < (1 + Па0Ж*(М), с є В(г,5).

Если через Н(£) обозначим гармоническое продолжение функции и с окружности на круг В (г, 5), то из последнего неравенства получим, что на границе круга выполняется оценка

|Н (С) — Н^ (с )| < (1 + Па0 Н«(|; |), с є С (г, 5),

которая по принципу максимума для гармонических функций продолжается на весь круг. По формуле Грина для функции и в круге В(г, 5) имеем

'В(г,й)

Лемма 5 доказана.

&г,й (ш>,( )|ф.(ад)

= |и(С) — Н(С)| < |и(С) — Н^(С)| + |Н*,,(С) — Н(С)| <

< (2 + па0)Кк(|г|), ( є В(г,5).

Лемма 6. Пусть — субгармонические функции на плоскости и их ассоциирован-

ные меры ^1,^2 удовлетворяют условию 29'. Через ^ обозначим разность ^ — ^2. Если ^(С) е С'0оо(В(^,5)), где 6 < , то

^(С Ж(С)

< (2 + ™о)Кк(|^|^ |Др(()|<МС).

Доказательство.

По формуле Грина имеем

£.,г (ш,С )А^(^) ¿ш(ш).

2п

Следовательно,

/в(.,й)

^(с ж(с)

1

< — - 2п

'В(.,й)

в(.,й) \./в(.г,г)

/ С.,й (ад,( )Ф(С)

•/В(.,й)

С.,г(м,<)А<2П^) ^т(ад)^ ф«)

<

|А^(ад)|^ш(ад).

Отсюда и из леммы 5 получаем утверждение леммы 6.

Лемма 7. Пусть м1,м2 — субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры ^1 ,^2 удовлетворяют условию 29'. Положим ^ = ^1 — ^2, и = м1 — м2 и

м(() = J м(С + 1 С е с.

Тогда имеют место оценки

КС) — м(С)|< к(|С|), С е С,

|А«(С)|< Мк(|<|)|С|-2, С е С,

где М = 4Ка1(2 + па0) и а1 — некоторая постоянная, определяемая функцией а(х). Доказательство.

В интеграле, определяющем функцию «, перейдем к полярным координатам, полагая

г = гег^ и ( = ¿ег6>:

г*о /*2п

«(С)

00

1 [° ( 1 г2ж 1 \

м(( + -¿ге^+б)а(г)г^^г = 2п / — м(( + -¿ге^+б)^ а(г)г^г

2 Уо V2п Л 2 У

1

г>2п

2п J ^2~У ^(^ + 2)^^ а(г)г^г.

Во внутреннем интеграле воспользуемся формулой Привалова

Иг

м(С) = 2п уо ЫС) + уо

По свойствам функции а получим

КС) — м(С)| = 2п

МС,т)

^т ) а(г)г^г.

МС,т)

а(г)г^г.

По условию 29' получаем первое утверждение леммы 7.

Непосредственно дифференцируя (в обобщенном смысле) под знаком интеграла, получим

А«(С) = /(Ам) (С(1 + 2^ 1 + 2 а(г)^т(г).

ОО

ОО

ОО

0

0

Произведем замену переменных w = £ (1 + 2)

2

2 / ч

ад

С

а (2( ? —10 ^ (ш) к!2 ^т(^) = / в (^ )й^(ш)

А«(С) =2п

где

в(г) = |г|2а(2(г — 1)).

По свойствам функции а функция в (г) принадлежит СО°(В (1,1)), следовательно, в(^) е СО (В(С, у-)) и к последнему интегралу можно применить лемму 6. Получим

|А«(С)| < 4К(2 + паоЖК|)|С|-2 J |Ав(^)|^т(^) =

= 4К(2 + паоЖК|)|С|-2/ |(Ав)(^Ж|-^т(ад) =

= 4К(2 + паоЖК|)|С|-2 J|(Ав)(г)|^т(г) = 4Ка1(2 + паоЖК|)|С|-2

Лемма 7 доказана.

Лемма 8. Пусть функция к(Ь) удовлетворяет условиям К1, К2 и, кроме того,

-— 1п Ш)

= а

1п Ь

(см. свойство К2’). Положим д = [а] и пусть

г2 г«

(г) = (1 — г)ег+^+-+Т

— первичный множитель (см. [1], стр.16), а непрерывная функция а(ад) удовлетворяет оценке

|а(ад)| < Ак(|г|)(|г|2 + 1)-1, г е С. (34)

Тогда функция

м(г) = 1п |г — ад|а(ад)^т(ад) + 1п(—)а(ад)^т(ад),

•/ |ад | <1 J | ад | >1 ^

при |г| > 2 удовлетворяет оценке

|м(г)| < 2пА'4?+2(д+2) ^ коо(|г|)+^о"+™|)+х(д)к?(|г|) + ^+1^ +

+Апк(1) 1п |г|

Доказательство.

Положим а+ = шах(а, 0) и а- = шах(—а, 0), тогда а± > 0 и а = а+ — а-. Очевидно, каждая из функций а± (ад) удовлетворяет оценке (34). Следовательно, нам достаточно доказать лемму в предположении, что функция а(г) неотрицательна. В этом случае функция м(г) субгармонична на всей плоскости. Если |г| > 2 и |ад| < 1, то |г — ад| > 1 и 1п |г — ад| > 0, поэтому

0 < I 1п |г — ад|а(ад)^т(ад) < Апк(1)— [ 1п |г — ад|^т(ад) = Апк(1)1п |г|. (35)

./в(о,1) П ^В(о,1)

Нам остается оценить функцию

мо(г) = 1п (—)а(ад)^т(ад).

•/|ад|>1 ^

Воспользуемся леммой 4.4. из [3] (стр. 163), которую сформулируем применительно к рассматриваемому нами случаю и используя применяемые здесь обозначения.

< ОО.

Теорема B. Предположим, что ц — неотрицательная борелевская мера в C, и пусть e(t) — мера круга B(0,t), ц(0) = 0 и функция

N(r) = [ ^dt

.70 t

принадлежит классу сходимости порядка не выше q + 1, то есть

ГN(r)dr

J rq+2

Тогда интеграл

v(z) = f ln Gq (—)d^(w)

•/|w|>1 w

сходится абсолютно в окрестности ж и равномерно для |z| < R при любом фиксированном положительном R. Кроме того, если |z| > 1, то

v(z) < 4«+2(q + 2) (ф|. j" ^ + (q + 1)|-Г£ ^

Если через e(z) обозначим сужение меры a(z)dm(z) на внешность круга B(0,1), то e(t) = 0 при t < 1, а при t > 1

e(t) = f a(z)dm(z) = 2nA i dr < k(t)lnt, (36)

</'z'<i Jl r

в частности,

e(t) < k(t)ln+1, t > 0. (37)

Отсюда

fr k(t)ln+t + 2

N(r) < -dt < k(r)(ln+ r) , r > 0.

1t

По определению числа а для любого положительного е имеем

k(r) < Const. rCT+£, r > 1.

Значит, можно взять достаточно малое е > 0 так, что при больших r будет выполняться , I Const. rCT+e(ln+ r)2 < Const. rq+1-e, если а нецелое,

N (r) < ip 4. q+e/1 + П 4- (+1-e (38)

I Const. rq+e(ln r)2 < Const. rq+1 e, если а целое.

Тем самым, функция N(r) принадлежит классу сходимости порядка q +1 и, кроме того, N(r) = o(rq+1). Следовательно, условия теоремы В выполнены, и для |z| > 1 выполняется соотношение

Uo(z) < 4q+2(9 + 2) (ф|( + (q + 1)|z|q+1 £ N^ j . (39)

Оценим первое слагаемое в правой части соотношения (39) при q > 0. Интегрируя по

частям, учитывая, что N(1) = 0, получим

Гr *(+£ = - NM +1 (r dN(t)tq+1 < 1 fr ^.

Л tq+1 qrq q Л q Л tq+1

Отсюда и из оценки (36) имеем

[r N (t)dt < 2пА Гr / Г * fc(r )dr \ dt _ 2пА Гr / Г * fc(r )dr \ / 1

^ tq+1 _ q Л \Л т j tq+1 q Л \Л т / V qtq

2nA fr k(t)dt

<

q2 Л tq+1

Таким образом, при |г| > 1 и д > 0 выполняется оценка

ф|* / | ' ^. (40)

Оценим второе слагаемое в соотношении (39). Интегрируя по частям и учитывая оценку (36), получим

ГО N (¿)^ = N (г) 1 ГО < N (г)

X Ь9+2 (д + 1)г9+1 + д + 1 /, Ь9+2 < (д + 1)г9+1 +

, 2пА ГО ( Г < -(т )^т \ , (_ 1 \ = N (г) ,

д + иг \Л т ) V (д + 1)ь9+1/ (д + 1)г9+1

2пА I"г -(¿)^Ь 2пА I"О -(¿)^Ь

+ (д + 1)2г«+^1 Ь + (д + 1)2 / Ь9+2 .

Таким образом, имеет место оценка

(д + 1)|;Г [ “ Ní£)dt < 2пА / " '( [ ‘ МТ>Ё Ч ^+

¿и Ь9+2 Л \Л т / Ь

2пА Г|г| -(тЫт 2пА +1 /"О -(¿ЫЬ

+?гт I — + дгт|г| I, и+г■

Отсюда и из соотношений (35), (40) получаем, что при |г| > 2 выполняется оценка сверху

-И

-(тЫт\ 2пА -(тЫт

и(г) < 4у+2(д + 2) | 2пА / | / ) у + д+у ^ +

ф) < 4««(д + 2)(2п4^ -^)

+ 2пАх(д)|г|9^^ ^ + д2^|;Г+ пА-(1)1п |г|, (41)

где х(0) = 0 и х(д) = 1/д при д > 0. В обозначениях утверждения 4 это неравенство запишется в виде

и(г) < 49+2(д + 2^2пА-оо(|г|) + д+у-о(|г|) + 2пАХ(д)-д(|г|) + д++у-9(|г|)^ +

+пА-(1)1п |г|. (42)

Докажем нижние оценки для ио(г). Введем обозначение

-М = 49+2(д + 2^2пА-оо(|г|) + -,(|г|) + -,(|г|) + (|=|Л .

д + 1 д д + 1

Тогда по утверждению 4 функция -(Ь) при Ь > е2 обладает свойствами К1, К2 и

ио(г) < -(Ь), Ь > 2. (43)

Возьмем произвольное г е С, положим Т = 2|г| и воспользуемся представлением Грина

функции и в круге В = В(0,Т):

ио(г) = Н(г) — [ С(г,ад)ф.(ад), (44)

В

где

1 ^2п т2 — И2

Н«> = 2П I р*?—^

— гармоническая мажоранта функции ио в круге В и

(ад — Т2

С((, ад) = 1п

(™ — С )Т

— функция Грина круга В. По определению Т |Тег^ — г|2 > Т2/4 и Т2 — |(|2 < Т2. Следовательно,

Т2 — |г |2

| | <4,

|Тег^ — г |2 значит,

1 г2п т2 _ Ы2 . 4 г2ж

Н(г) > — \Те— —1|2 (ио— и+)(ТеЛ^ > 2п Уо (ио— и+)(ТеЛ^.

Поскольку и+ удовлетворяет неравенству

и+(ад) < -(ад),

то для некоторой константы К выполняется оценка

4 ['2п — —

Н(г) > — ио(Тег^)^ — 4-(2|г|) > — 4—(|г|), Ь > е2.

2п Jо

Таким образом, на основе представления (44) имеем

ио(г) > ——-(|г|) — [ С(г,ад)^(ад). (45)

В

Нам остается требуемым образом оценить сверху потенциал Грина

/ С(г, ад)^(ад) = / С(г, ад)а(ад)^т(ад)

ив ./в\в(о,1)

В силу условия на функцию а (ад) и неотрицательности функции Грина получим

/ С(г,ад)ф.(ад) < А / С(г,ад)-(|ад|)|ад|-2^т(ад).

ив ./в\в(о,1)

В определении функции —оо(Ь) функцию -(Ь) будем полагать равной 0 в отрезке [0; 1]. Тогда -оо(|(|) становится дважды дифференцируемой функцией, равной нулю в круге В(0,1), причем

А—оо(|С |) = —(К |)|С |-2.

Через Л,(£) обозначим гармоническую мажоранту функции —оо(|С|) в круге В, то есть Л,(£) = —оо(2|г|). По формуле Грина имеем

[ С(г,ад)—оо(|ад|)|ад|-2^т(ад) = 2п(Л,(г) — —оо(|г|)) < — оо(2|г|).

в\в(о,1)

Отсюда по утверждению 4 получаем

[ С(г,ад)—оо(|ад|)|ад|-2^т(ад) < (— + 2)— оо(|г|), |г| > е2.

в\в(о,1)

Отсюда и из соотношений (45), (42) следует утверждение леммы 8.

Лемма 8 доказана.

Докажем, что из условия (29') следует утверждение теоремы 2.

Пусть

и(г)= [ 1п |г — ад|^т(ад) + [ 1п (-)А«М. ¿т(ад).

*/|ад|<1 2п */|ад|>1 ^ 2п

По леммам 7 и 8 имеет место оценка

|ф)| < 2пА'4«+2(д + 2) (м|г|) + —^ + *(«)—„(|г|) + | +

д + 1 д + 1

+Ап—(1) 1п |г|, |г| > 1.

Функция

Н (г) = г>(г) — —(г)

гармонична на всей плоскости. Снова по утверждениям лемм 7 и 8 имеем

|и1(г) — и2(г) + Н(г)| < |и(г) — -(г)| + |г>(г)| <

< 2пА'49+2(д + 2) ^—оо(|г|) + + Х(д)— 9(|г|) + +

д + 1 д + 1

+Ап—(1) 1п |г|, |г| > 1.

Таким образом, мы доказали, что если выполнено условие (29'), то имеет место соотношение (30).

Пусть теперь выполняется только условие (29).

Лемма 9. Пусть ассоциированные меры ^1,^2 субгармонических функций и1,и2 удовлетворяют условию (29) и функции и^, з = 1, 2 определены как в лемме 7, то есть

—(С) = ^ и(С + 1 С е С.

Тогда вне множеств степенной малости выполняется соотношение

|и(г) — и(г )| = 0(—(И)),

где — = -1 — -2, и = и1 — и2. Кроме того, если функции и имеют конечный тип при порядке р, то

(г)| < М(а)|г|р-1, |г| > 1.

Доказательство леммы 9. Первое утверждение леммы доказывается так же, как и соответствующее утверждение в лемме 7. Оценим градиент. Заменой переменных

• ?—■

получим представление

Непосредственными вычислениями получим

«га^ “ (2 ( 7 — 1 М IЛ12

< М(а)|(Г, |г| > 1,

7" О) М2

где постоянная М(а) зависит только от функции а. Следовательно,

| gгadUj(()| < М(а)|(| 3 / |и^(ад)|^т(ад), з = 1, 2, |г| > 1.

^в(с, 121)

Интеграл от модуля функции и оценим по соотношению (23) вследствие леммы 2. Если |—](г)| < при |г| > 1, то

| gгad-j(С)| < М(а)сК|р-\ 3 = 1, 2, N > 2.

Лемма 9 доказана.

Лемма 10. Ассоциированные меры —1,—2 субгармонических функций — 1,—2 удовлетворяют условию (29')

Доказательство леммы 10.

Поскольку по лемме 9 для любого 7 вне некоторого множества А7 Е С7 выполняется оценка

|(Й1(г) + «2^)) - (м1(г) + «2(г)| = |(г/1 (^) - «2 (г)) - («1(2) - «2(г))| =

= |и(г) - и(г)| < М7к(г), то по доказанной теореме 1 получим, что вне некоторого множества для всех К Е (0; |г|/2) выполняется оценка

Гк (/^(г,¿) + /2(2,г)) - (М^,г) + /2 (г,г))

/о

t

-dt

< MYk(z).

то есть

rR fl(z,t) - f2(z,t)) dt_ fR fl(z,t) - f2(z,t)) dt

/о t Jo

t

< MYk(z).

По условию (29) на меры f^f2 вне некоторых множеств AY имеем

-R

fl(z,t) - f2 (z, t))

dt

<

-R

fl(z,t) - f 2(z,t))

|z |.

dt

+

+MY,k(z) < MYk(z), R E (0; —).

(46).

~ r-v-,, -- - V-’ 2

Из оценки градиента в лемме 9 для z', z таких, что |z'|, |z| > 1 и |z' — z| < 2|z|, имеем

К(z') — Uj(z)| < max | gradilj(w)||z — z'| < Const. |z|p-1|z — z'|. (47)

w€B(z,|z|/4

Возьмем произвольное число y < —p и пусть AY E C7 — множество, вне которого выполняется соотношение (46). По утверждению 2 для всех достаточно больших z найдется точка z' на расстоянии не более чем |z|7+1 от точки z, не попадающая в множество AY. По соотношению (47) имеем

|w(z) — w(z')| < Const. ,

и

1 г2п

— |w(z + Re^) — u(z' + Re^)|d^ < Const. .

2n Jo

Применим к мерtе Д = Д1 — Jl2 формулу Привалова в точках z, z' соответственно и получим для всех R E (0; |z|/2)

+ Const.

Поскольку точка z; E AY, то выполняется соотношение (46), следовательно,

Ґ f(z-t) dt < Г dt

о t о t

fR

f(z, t)

dt

/о t

Таким образом, для всех R E (0; |z|/2)

fR fl(z, t)

< MYk(|z|) + Const. .

о

t

dt < MY,k(|z|), z E C,

и лемма 10 доказана.

По доказанному найдется гармоническая функция Н(г) такая, что вне множества степенной малости

!ад + Н (г)| =

а по лемме 9 это же верно и для функции и.

Теорема 2 доказана.

о

о

В заключении автор выражает глубокую признательность профессору Юлмухаметову Р.С. за большую помощь и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Я. Распеределение корней целых функций. Гос. изд.-во тех.-теор. лит. М: 1956. 632с.

2. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica, 1985. T. 11. C.257-282.

3. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Изд.-во "Мир". М.: 1980. 304 с.

4. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966, 516 с.

5. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970, 591 с.

6. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.:Наука, 1971.

7. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика разности субгармонических функций // Математические заметки, 1987. Т. 41, № 3. С. 348-355.

8. Напалков В.В., Румянцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // ДАН, 2009. Т. 429, № 2, С. 155-158.

9. Напалков В.В., Румянцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 1, С. 97-109.

Алла Александровна Румянцева,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: AllaRum@mail .ru