О показателе сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 511

О ПОКАЗАТЕЛЕ СХОДИМОСТИ ОСОБОГО

ИНТЕГРАЛА МНОГОМЕРНОЙ ПРОБЛЕМЫ ТЕРРИ

И. Ш. Джаббаров (г. Гянджа)

Аннотация

В настоящей статье доказаны новые оценки снизу и сверху для показателя сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри. Для широкого класса многочленов вопрос о сходимости полностью решается для натуральных показателей.

Ключевые слова: Проблема Терри, особый интеграл, показатель сходимости, система диофантовых уравнений, определитель Грама, поверхностные интегралы.

THE EXPONENT OF CONVERGENCE OF A SPECIAL INTEGRAL IN MULTIDIMENSIONAL PROBLEMS TERRY

Ilgar Shikar oglu Jabbarov (Ganja)

Abstract

In the present article new lower and upper bounds for the convergence exponent of the special integral of Tarry’s problem are proven. The question on convergence is solved for a wide class of polynomials.

Keywords: Tarry’s problem, special integral, convergence exponent, system of diophantine equations, Gram determinant, surface integrals.

1. Введение

Пусть многочлен Г (х) определен равенством

N

Г(х) = ^2 аз 1з(х); х = (Х1,Х2, ...,Хг) (1)

з=1

где тз (Х) = х^3х%3 ■ ■ ■ хГ3 одночлены степени к (]) = к1з + ■ ■ ■ + кгз является многочленом без свободных членов, т. е. кз + к2з + ■ ■ ■ + кгз > 0,к^ ^ 0, при всех

] = 1,...,Ы. Как был определен выше, под особым интегралом многомерной проблемы Терри понимается интеграл

вк

Г*С© Г ОО

' — оо о — оо

л

• •• ^ (х)^

'о Л)

2к

йа\йа% • • •

Число 7 называется показателем сходимости особого интеграла (2), если он сходится при 2к > 7 и расходится при 2к < 7. Интеграл (2) впервые возник в вопросе об асимптотической формуле для числа решений одной системы дио-фантовых уравнений ([3]). Краткую историю вопроса можно найти в [1-14].

Рассмотрим следующую систему диофантовых уравнений:

к

• • • X-

(—1)3 X^ • • • х з = 0, 0 ^ ^ Щ,..., 0 ^ и ^ пг

3 = 1

где неизвестные Х13, ....,ХГ,3 меняются в пределах

1 ^ Х13 ^ Р1,..., 1 ^ х3 ^ Рг а = 1, 2,..., 2К).

В работе [10] получена асимптотическая формула для числа решений 3 рассматриваемой системы диофантовых уравнений в следующем виде:

\Пт )2К (рп\ рПг )— 0.5т

3 = вкар?1 ...Рп)2К {Р?1...Р?Т) + 0 ({Р?1 ...Р?г )2К {Р?1 ...Р?г )-0-5тр-1/6^

при этом предполагается, что К > 2пт, т = {п1 + 1) • • • {пг + 1), где п = тах{п1, ...,пг), а натуральные параметры Р1,...,РГ подчинены условиям Р1 ^ ^ Рг.

Положим

П1

(-1 Гр

РА{х1, ...,хг) = ^ ^ а{Ь]_, ...,ЬГ)х1 ...х1

11=0 1Т=0

где а{0,..., 0) = 0, А = {а{^1 ,...,и)) € Ят-1- точка пространства коэффициентов рассмат-риваемого многочлена Р. В работах [6, 7] было получена первая оценка сверху для показателя сходимости многомерной проблемы. На основе этого результата лежит оценки кратных тригонометрических интегралов, полученных авторами. Этот результат во введенных выше обозначениях выглядит следующим образом: 7 ^ п{т _ 1).

В [11, 14] был осуществлен подход к этой проблеме, с точки зрения теории преобразований Фурье (это подсказывается видом интеграла вк). Чтобы получить преобразование Фурье приходится произвести не взаимно-однозначную замену переменных. Как было установлено (см. [11, 13]), в таком случае возникают поверхностные интегралы, при этом якобиан замены переменных здесь заменяется на определитель Грама. Так, рассматриваемый вопрос сводится к оценкам мер определенного вида многомерных областей и поверхностей. Таким

1

ОО

путем в работах [11, 14] установлены новые оценки сверху и снизу для показателя сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри.

Впервые оценки объемов для многомерных областей определенного вида получены для многочленов (см. [5]) и был применен к тригонометрическим интегралам. В общем случае эта оценка неулучшаема. В основе этого метода лежит утверждение (лемма 1, гл. I, [10]): Пусть при 0 < х < 1 вещественная функция f (х) имеет производную п-го порядка (п > 1), причем при некотором А > 0 выполняется неравенство

А ^ \f (п)(х)\ , 0 < х < 1.

Тогда для меры множества Е = {х|0 < х < 1, |^(х)| ^ В} имеет место оценка

/1(Е) ^ (2п _ 2)(ВА-1)1/(п-1).

В настоящей работе применяется метод обобщающий эту лемму на многомерный случай так, чтобы последовательным переходом к более высоким частным производным свести рассматриваемый вопрос к исследованию самосопряженных линейных отображений с дискретным спектром. Эти отображения задаются в касательных пространствах функциональными матрицами, составленными из всевозможных частных производных одного и того же порядка данного многочлена. Важно, что в определенном шагу произведение такой матрицы на свою транспонированную оказывается диагональной матрицей. При достаточно общих предположениях над многочленами от нескольких переменных, такой метод позволяет итерационным образом свести также и оценки тригонометрических интегралов к изучению дискретных спектров. Здесь выясняется роль старшей формы многочлена, и вклад всех коэффициентов этой формы иг рает важную роль в приложениях (см. [12, 13]).

В работе [14] для натуральных к вопрос о сходимости и расходимости особого интеграла полностью решен для многочленов вида Ра(х1, ...,хг) в случае двух переменных. Особый интеграл оказывается сходящимся при 4к ^

2 + (п + т)(п + 1)(т + 1)/2, и расходящимся, в противном случае. В настоящей работе мы даем обобщение этого результата на произвольные многочлены из достаточно широкого класса.

Хочется выразить искреннюю благодарность проф. Чубарикову В. Н. за ценные замечания.

2. Вспомогательные результаты.

Определение 1. Многочлен Р(х), определенный выше назовем многочленом полным относительно совокупности V переменных х1, ...,ху, если он вместе с каждым одночленом вида х1^...х^Тх^1 ...х^ содержит и всевозможные

одночлены вида х^...х^х^+і ...хкгг, где

0 ^ к[ ^ к\,0 ^ к'и ^ к„, 0 ^ к[ + ... + к'и < к[ + ... + к„, 1 ^

^ к\ + ... + к'и + ки+і + ... + кг.

Определение 2. Следующую систему уравнений назовем системой, связанной с полиномом Р(х):

71(х 1) + ... + 7і (хк) — 7і(хк+1) — ... — 7і (х2к) = °>

...... (3)

7м(хі) + ... + 7м(хк) - 7м(хк+і) - ... - 7м(х2к) = °.

Лемма 1. Пусть многочлен Р(х) определен равенством (1). Тогда, спра-

ведлива формула

Ок = (2^)

N

в>8

где поверхностный интеграл берется по поверхности П, определяемой системой уравнений (3)в 2кг-,мерно,м единичном кубе, а С0- определитель Грама градиентов, функций, стоящих на левых частях системы (3), т. е. С0 = det(A0 • А0) и

/ дуі(хі) дхіі

Ао

V

д^М (хі) дхіі

д7і(хі)

дхіг

д~(м (Хі) дхіг

д7і(х2й) дх?и,і

д~'Щ (х2к) дх2кі

д7і(х2к) \

дх2к,г

дім (х2к )

дх2к,г

Доказательство. К интегралу

= ••• ••• ••• е2жг^М=іа (^ (хі)+^+^(хк ^^в,Хі ••• (іхк

оооо применим следствие к лемме 1, [13], принимая за функции Із многочлены

Із = 7з (хі) + • • • + 7з (хк)

Заметим, что определитель Грама градиентов введенных функций является многочленом, у которого не все коэффициенты равны нулю. Тогда, равенство С = 0 может выполняться только на подмногообразии меньшей размерности в единичном 2к-мерном кубе, и, поэтому, имеет меру нуль. Применяя вне этого многообразия, формально, лемму 1, [13], мы получаем следующее равенство:

е^Г^іа(Ъ(хі)+-+7і(хк))^хі • • • (1хк

і

і

і

о

о

о

о

(! —)

\]п(п) л/С/

е ^=х -1 -1 аи\ ■ ■ ■ апм;

/0 Jo \</П(м)

здесь П(и)-поверхность, определяемая системой уравнений = из; 1 ^ ^

Ж. Тогда, рассматривая интеграл на правой части последнего равенства как преобразование Фурье, по равенству Парсеваля будем иметь:

вк = (2п)м С■■■ Г([ -^=) ащ■■■ аиМ)

П(«)

причем равенство понимается в том смысле, что если сходится одна из двух его частей, то сходится и другая часть и соответствующие значения равны.

Вопрос обоснования полученных равенств проводится так же, как в доказательстве леммы 1, [13]. Рассмотрим отображение / : [0,1]гк ^ [0, k]N, где / = (/з) вектор - функция, компоненты которой совпадают с многочленами, определяющими П(и). Равенство С = 0 определяет множество критических точек Ш отображения / (см. [29, стр. 477]). По теореме Сарда (см. [29, стр. 477]) множество / (Ш) имеет лебегову меру нуль. Поскольку / гладкое отображение, то множество / (Ш), так же, как и множество Ш, замкнуто. Поэтому, / (Ш) имеет жорданову меру нуль (см. [21, стр. 38]). В каждой точке и Є / (Ш) поверхностный интеграл по П(и) не существует в обычном смысле, т. к. на поверхности подынтегральная функция С-і определена не везде. Поэтому, рассмотрим открытое множество [0,к^\/ (Ш), прообраз которой представляет собой открытую область, где С > 0. В силу непрерывности, подмножество этого множества, определенное некоторым неравенством С ^ Пі > 0 является замкнутым, как разность замкнутого множества / ([0,1]гк) = [0,к^ и открытого множества, определенного неравенством С < пі. Замкнутые множества и = / ({ х Є [0,1]гк|С ^ п} исчерпывают множество [0,к^\/ (Ш), а их прообразы /-і (иі)-область С > 0. Рассмотрим некоторую убывающую последовательность положительных чисел (пі) (пі ^ 0) и в каждой замкнутой области С ^ Пі > 0 применим следствие к лемме 1:

/ ••• ••• ••• е2пгЕ;=іа(ъ (хі)+'"+~'И (хк))Дхі ••• Дхк =

'о и о л о ио,а^пі

кк

( [ е2т ЕМ=іи Диі ••• Лиґ

\^П(и),иєи1 V С)

/0 J0 \’^П(и),и^и1

Поскольку, левая часть, при щ ^ 0, стремится к значению соответствующего интеграла без условий О ^ щ > 0, то доказанные выше равенства имеют место в несобственном смысле. Дальнейшие рассуждения протекают так как в [13].

Лемма 2. При условиях леммы 1 имеет место формула

вк = 2N Г(1 + Ы/2)^/2 \ •• І ^ Даі •••

1—ж V^П(а) )

о

о

где а = (а1; ■■■, аN), П (а) - часть поверхности, определяемой в 2гк- мерном единичном кубе системой уравнений (3) и неравенством

2к г

ЕЕ

з=і г=і

дР (хз)

дх

гз

С 1,

где Г- гамма - функция Эйлера; эта формула понимается в том смысле, что если сходится одна из двух частей, то сходится и другая.

Доказательство. Из известного соотношения кн.[26, стр.131,задача 35] следует, что если в качестве матрицы взять матрицу Ао • Ао :

(•УС)

-і Г(Ж/2 + 1)

п

N/2

Даі • •• Да

N,

Л\\ьАа\\^1

где А0 означает матрицу Якоби системы функций . Подставим это выражение, пользуясь неотрицательностью подынтегральных функций, в формулу леммы 1. Тогда получим:

вк = (2п)

N

Дв

2NпN/2Г(N/2 + 1) Дв

йаі • • •dаN.

П

Переставим порядки интегрирований на правой части. где поверхностный интеграл берется по той части поверхности П, на которой выполнено неравенство

2к г

^, Ао • *Аоа) =

з=і г=і

Тогда получим требуемое соотношение:

дР (хз)

дх

гз

С 1.

вк = 21У Г(1 + Ы/2)п

N/2

і (І Дв)

^—ж \ЛП(а) /

Даі • • • Да

N,

Лемма 3. Многочлен Р(ж) будет полным относительно совокупностиV переменных х1,-.,х,0 тогда и только тогда, когда система (3) вместе с каждым решением (х1 ,...,Х2к) системы имеет также и решение вида (ж1, ■■■, х'2к),

Х = Хз + а,] = 1, ■■■, 2к,

где а = (a1,■■■,a^■0,■■■, 0) - произвольный вектор с произвольными действительными а1, ■■■,аи.

Доказательство. Возьмем произвольное уравнение системы (3):

2

П

2

оо

30

7з (хі) + ... + 7з (хк) - 7з (хк+і) - ... - 7з (х2к) = 0

где (х) = х^1...х^. Имеем:

(хт + о) = (хт1 + al)fcJl • • • (xmv + о1)к^ Хгщ^+^\ ' ' ' хк]’Г

£( кс) "'( кс)

к31 \ \ кЗГ \ к]1-11 ок]т-1г х1і 1Г к]^+1 хк]Г

\ 11 )"'( ] ) 01 ■" 01 хт1 •" х х ■'••• х

І1 ,...,1г

Если теперь^(ж) - многочлен полный относительно совокупности переменных х1, ...,хь, то полагая £т = 1 при т ^ к и £т = —1 при т > к получим:

2к

у ет7з(хт + о) = 0,

т=1

при любых указанных 11, ...,1у, если Х1,..., Х2к - решение системы (3).

Теперь предположим, что система (3) вместе с каждым решением (Х1,..., Х2к) обладает также решением

х'т — хт + о,

т

где о = (о1,...,ог1, 0,..., 0) с произвольными действительными о1,...,о,и. Тогда, сумма

\ ( кз1 ^ ( к!€ \ ак]1 11 лк]ъ 1и \ £ х11 х^ Хкз,‘ю+1 Хкзг

/ J 1 / I ... \ 1 а ...и,у /,£тХт1 ...Хт,ъ Хт„+1 .~Хтг

11 „../Л 1 ' V * ' т=1

как полином от а1,...,а^, тождественно равна нулю. Это может выполняться лишь тогда, когда

2к

\ р х11 х^ хкЗ’у+1 хкЗг = 0 / ^ с'т^ті"'^т^ ту+і'"^тг ’

т=1

при любых і, 0 ^ ]1 ^ к^1,..., 0 ^ ^ к^, 0 ^ ]1 + ■ ■ ■ + ^ < к^1 + ■ ■ ■ + kjV. Лемма

3 доказана.

Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 3, а С0 = О0 (х) определен леммой 1. Тог- да для любого вектора о = (о1,...,ои .0,..., 0) имеет место равенство

С(хо) — С(хо + а).

Доказательство. Из равенства для (Хт + а), дифференцированием по перемен-ным Хгз получаем, что строки матрицы А(Х0 + а) являются линейными комбинациями строк матрицы А(Х0). Тогда миноры матриц А(Х0) и А(Х0 + а) совпадают. Однако, С0 представляется в виде суммы квадратов всех миноров максимального порядка. Утверждение леммы 4 следует из этого замечания.

3. Оценка снизу для показателя сходимости.

Теорема 1. При кг < N 9к расходится (к- натуральное).

Доказательство. Возведя тригонометрический интеграл в степень получаем:

/ р 1 р 1 \ к р к р к

і ... І е2жіР(х)ах) = ...і в2жі^=іа (ъ (Хі)+"+;(Хк ))^х1...^хг.

\,/о ио ) ио ио

Как было показано выше единичный куб [0,1]кгможно разбить на конечное число подобластей в внутренности которых система

из = Із(х1) + ... + Із(хк), І = 1, ...,кг

имеет однозначную разрешимость (и следовательно, О = 0) относительно переменных хі. В предыдущем интеграле, взятом по одному из таких областей произведем замену переменных по этим формулам:

/г 1 г 1 \ к г к р к

( ... / е2жіР(й)ах) = ... / е2жі{аіиі+-+акгикг)аи1..Яикгх

о о о о

х 1 е2пі(акг+і(ікг+і(Хі )+...+7кг+1 (хк)+...+ап (-ум (xl)+...+YN (%к)))

уО

При і > кг мы сохраним эти же обозначения для чисел из, но уже они не будут независимыми переменными, а будут функциями от и1,...,икг. По равенству Парсеваля

1

е2жіР (х)йх

о

2к р к р к і

в,а.1..Ла.кг = .. ——= х

1 к Л Л л/а

х ^е2т(акг+1Пкг+1+...+амим)|2 ^...^ = Г . [ ^Ц...^ ,

ио ио V О

причем все кратные интегралы сходятся или нет одновременно.

Последний интеграл не может равняться нулю, поскольку л/~О < и даль-

нейшее интегрирование по акг+1, ...,а^ в переделах от —то до даст расходящийся интеграл:

([к Гк Лщ.Ликг\, ,

[у ... J ——а— I аакт+1...аак,

оо

независимо от того, сходится или нет внутренний интеграл (подынтегральная функция от переменных акг+1,..., не зависит). Следовательно, вк расходится.

Теорема 1 доказана.

СО

СО

о

СО

СО

Теорема 2. Пусть Р(ж) является многочленом полным относительно совокупности V переменных и не может быть представленным в виде суммы двух многочленов от меньшего числа переменных без общих компонент•,, при этом, кг ^ N. Тогда, 9к расходится для натуральных к таких, что

2кг ^ Е к(з) + »■

3 = 1

Доказательство. Пусть Р-множество тех точек х единичного куба, для которых

Обозначим через П(а) часть поверхности П(а) из леммы 2, лежащую в декартовом произведении Е2к. Тогда на П;(й) условие

Здесь уже П;(й) определяется лишь системой (3) в Е2к.

Пусть Р ^ 1 натуральное число. Рассмотрим разбиение единичного куба на мелкие кубы, с вершинами в точках и = (и1, ...,иг) = (и1/Р, ...,иг/Р), имеющими максимальные компоненты, при этом, 1 ^ и1,...,иг ^ Р. Разложим многочлен Р(ж) по формуле Тейлора в точке и = (иі, ...,иг):

где 83 ^ 0. Определим в пространстве переменных а1,....,ам область пи = пи (Р), служащая прообразом области переменных вы, определяемую

N

(4)

2к г

можно опустить, т.к. для любого ж Є Е2кимеем:

По этому

9 к > 2N -

N -N/2

dal...daN.

П

П

Р(ж) = ... в(5 )(ж1 — иО-...(жг — иг)5г.

й1=0 вг=0

Тогда,

условиями: пусть для всех (кроме старших) коэффициентов в(в) имеют место неравенства

|в(в)| ^ -0 Ар*1+... + *г-1, (6)

при некоторыхР > 0 и с > 0. Для старшего же коэффициента а0 выполняется неравенство

2-1сР*1+-+*г-1 <а0 ^ сР*1+-+*г-1. (7)

Тогда при и3 — Р-1 ^ Х3 ^ из = 1,г будем иметь

г 2 г / \ 2

<£(И-Т,™• Р‘1+-+"-1 • р-<‘1+-+--1м <

з=1 3 3=1 V «1 «г /

^ ^ (пг+1с)2 ^ гс2п2г+2.

3=1

Полагая с = п-1-г(2кг)-1/2 можно заметить, что при условиях (7) такие точки Х принадлежат Е, т. к. в этом случае (4) выполняется. Далее, пусть а0 - один из "старших" коэффициентов, а0 = а(8 = а(/1; ...,ЬГ) (другое обозначение а] ) многочлена Р(Х):

П П

Р(Х) = ^ ..^5^ а(^1, ...,^г)х1 ...х12. (8)

Ь1=0 1Г=0

Из равенств

а(Ь1 — 1, Ь2, ...,ЬГ) = —и1в ^1, ...,Ьг) — в (/1 — 1, ^2, ..., ^2) , а/(^1 — Ь2, ...,Ьг) = —и1в (/1, ...,Ьг) — в /(^1 — 1, ^2, ..., ^2) , получаемых сравнением коэффициентов из (5) и (8) следует

а(^1 — 1, Ь2, ...,ЬГ) — а (Ь1 — 1, Ь2, ...,ЬГ) — (и1 — и1 )в(/1, ...,ЬГ) + К,

где

|К| ^ 2швх(|в(*1 — 1, ...,и)| , 1в/(/1 — 1,)|).

Пусть и и1 и1 будут дробями вида

^1 / "1 , /

и1 = р , и1 = р , ”1 = ^1

1 ^ Щ ^ Р, 1 ^ ^1 ^ Р, и1,и'1,Р- натуральные. Если при 8 = 8

с

в(8)| ^ ЮР31+'"+ЗГ-1’

то будем иметь

а(/1 — 1, Ь2, ...,Ьг) — а' (/1 — 1, Ь2, ...,Ьг) = 1 — в(/1> ...,Ьг) +

А

+Щ . _ . р^1+...+^г—2

5

где Щ < 1, в(/1, ...,/г) = а(/1, ...,ЬГ) = а0 > |Р^+'''+и—1. Поскольку V — ^ 1,

то из этого следует

а(^1 — 1, Ь2, ...,Ьг) = а/(/1 — 1, /2,...,/г). (9)

Очевидно, что то же самое верно, так же и для любого и3, ] = 1,...,г, т.е. в сделанных выше предположениях разложения (5), в разных точках и и и соответствует различным а.

Если целые числа Р и Р/ таковы, что 1 ^ Р/ ^ 0.5Р то любые две области пи(Р) и пи(Р/)также не имеют общих точек. Это следует из того, что области изменения координаты апт = впт, т. е. промежутки

0.5с (Р/)п+т—1 < апт ^ с (Р/)п+т—1 , с (Р/)п+т—1 ^

^ 0.5с (Р/)п+т—1 < апт ^ с (Р/)п+т—1

не имеют общих точек. Пользуясь этим оценим 0к снизу.

Пусть т =1, 2, 3,... , Рт = 2т. Имеем:

9к ^ 2Nп^2Г(1 + N/2) Е/ (І d.^J da1...daN;

т=0^П- V•/П'(а) /

здесь область -т определяется условиями (6)-(7) над старшими коэффициентами . При каждом т через Пт (а) обозначим часть -т, для которой

0 ^ ж3у+1і ..., жіт ^ Рт ; І 1, ..., 2к.

Промежутки изменения остальных переменных, т. е. переменных х^, ...,Хуи разобьем на Рт равных частей точками

Щ = Р^, VI = 1, ..., Рт, I = 1, ...^.

Рт

Полагая, при I > V vl = 1 представим Р(ж) в виде (5) с иі = vl/Рт. Пт(а)

разобьется на части Пт^(й), V = ( V1,...,vr), определяемые условиями V— < ж зі ^ р- ,1 = 1,..., V; І = 1,..., 2к. При каждом а, мы лишь уменьшим поверхностный интеграл, заменяя его суммой интегралов по этим кускам. При этом -т разобьется на части -т,й, V = (v1, v2) в соответствии с таким разбиением

здесь пт^ для каждого V = (и1, и2) состоит из всех а, для которых выполнены условия (7) и (8). Тогда,

0к ^ 2мпм/2Г(1 + Ы/2)х

Ж Рт

хЕЕ

т=0 ^1 = 1

Как показано выше, при условиях (6) и (7) имеет место (9) т. е. области интегрирования по а для различных пар (т, V)не пересекаются. Сравнивая коэффициенты в (5) и (8) замечаем, что

£... £ (—) ... ( * ) х

в1=11 8Г = ЬТ \ ' \ '

Хв (в1,...,8г )и\1—Ь1 ...и3/ —и ,

0 ^ ь1,...,ьг,ь1 +... + и ^ -=т^мк(з). (11)

Упорядочим наборы (Ь1, ...,ЬГ) таким образам: если Ь1 +... + Ьг < Ь1 +... + /г, то набор (Ь1, ...,ЬГ) предшествует набору (Ь^, ...,Ь'Г); если Ь1 + ... +ЬГ = Ь1 + ...+/., то сравниваем первые, вторые и т.д. компоненты, и когда Ь1 = Ь^, ...,Ь3—1 = 1,Ь3 < Ь/3,

то будем считать, что набор (Ь1, ...,ЬГ) предшествует набору (Ь1, ...,/г). При таком упорядочении соотношения (11) могут быть записаны в следующей матричной форме

а = ив,

где а — вектор с компонентамиа(Ь1,..., Ьг) (если одночлен х1...х. отсутствует в многочлене Р(х), то считаем а(Ь1,...,Ьг) = 0), а в — вектор с компонентами в(81,...,8.), взятыми в только что введенном порядке по убыванию. Из (11) видно, что каждое уравнение на правой части содержит все "старшие"наборы индексов (81,...,8.) начиная с (Ь1,...,ЬГ), причем коэффициент при в(Ь1,...,Ьг) равен 1. Это означает что и - треугольная матрица с нулевыми элементами выше главной диагонали, а диагональные элементы равны 1:

1 0 ... 0

и = и21 1 ... 0

иМ 1 иМ2.. 1

Теперь исключим, последовательно, переменные в(*1,.»Л) из уравнений (11), каждый раз, когда а(11,...,Ьг) = 0 и подставим найденное выражение во все последующие уравнения. В итоге система (11) приобретет вид (в прежних обозначениях предполагается что аN, ...,а1 расположены по убыванию):

р-

(п—,и‘)

ІП'-,ї(а)

ds)dаl...dаN.

:ю)

(

ам — вМ

аМ—1 = Ь21вМ + вМ —1 (12)

а1 = ЬЫИ вМ + ... + в1.

Матрица системы (12) треугольна и имеет определитель равный 1. Возвращаясь к (10), на правой части под интегралом, с переменными интегрирования а1,...,ам, произведем замену переменных по формулам (12). Якобиан замены равен 1. Из сказанного выше следует, что объем области равен объему образа, т. е. выражению

0.5сРк(м)—1 Д (с/10)Рк(з)—1 = 5(с/10)мРЕ^к(з)—м. (13)

1^3 <м

Получим:

Рт Рт п ГГ

9к ^ 2мпм/2Г(1 + N/2) ... ... ( / ^8)^в1...^вМ,

т=0 ^ = 1 ^ = 1 Лп'т,й) ^ -/Пт,й(а)

где п'т 9 образ пт,1) при этом преобразовании. Так как точки, лежащие на Птр(а), принадлежат Е2к и удовлетворяют (11), то на Пт^(а) переменные связаны лишь условиями (3), и неравенствами:

0 ^ xjv+1, ...,х3г ^ Рт

~рг~ < хл ^ Р=г,1 = 1,...,у; 3 = ^..^ 2к.

Рт Рт

По лемме 5 и условию теоремы 2 всякому решению системы (3) соответствует семейство решений

х'3 = хз + а(и), 8 = 1,..., 2к,

где а(и)- произвольный вектор вида

р1 — 1 ^ — 1

( 1/1 — 1 — 1 \

(-^,...,--р-, °,..., °), \ 1 т 1 т /

т.е. в поверхностном интеграле по П—^(а) можно произвести параллельный перенос на вектор а(V). Тогда мы получим кусок поверхности П(га), где переменные связаны лишь условиями (3) и неравенствами

Поэтому

0 ^ хп,...,хуг ^ Р-1, 3 = 1,..., 2к

О Рт Рт л ГГ

9к ^ 2мпм/2Г(1 + N/2) ... ... ( 18)1в1 ...1вм. (14)

т=0 ^ = 1 ^ = 1^(п'т,й) ^ ^Щт)

Применяя лемму 1, в интеграле по П(т) произведем замену переменных

х3 = Р— ■ Уз, 3 = 1,..., 2к.

Матрица Q в этом преобразовании - диагональная, с диагональными элементами равными Р—1, т. е. Q = Р—1 ■ 3, где 3- единичная матрица порядка 2кг. Обозначая через ПО поверхность, определяемую системой (3) и условиями Уз £ П0,3 = 1,..., 2к, где П0-единичный куб, получим согласно лемме 2, [13]:

/ (18 = Р—2кГ+М (18

о П(т) о По

так как, в обозначениях леммы 2, [13]

а = det(БQ ■ tQ ■ 1Б) = Р—2М ае^Б ■ *Б) = Р—2М ■ в. Через к обозначим интеграл

к = 18.

П0

Он зависит лишь от системы (3). Теперь из (14) следует

ОО р

9к > к2мпм/2Г(1 + N/2) У" Р—2кг+м+М 1вм х ...

т=0 |Р^)-1

О

Х 1в1 > к ■ К У (2т)—2кг+^?=1 k(j)+v ;

Лз1|< 10 рк(1)-1 т=0

К = 2мпм/2Г(1 + N/2) ^nr+1V2k^j м—^3=1 к(3).

Ряд по т будет расходящимся при 2кг ^ ^м=1 к(3)+V, если только к > 0. По условию теоремы кг > N и, поэтому, система (3), с однородными многочленами определяет в П0 некоторое алгебраическое многообразие размерности 2кг — N, т. к. для любых х1,...,хк система (3) имеет решение с хк+3- = хк, 3 = 1,...,к. Поэтому, к > 0. Теорема 2 доказана.

4. Оценка сверху для показателя сходимости.

Теорема 3. Пусть многочлен Р(х) не представляется в виде суммы двух многочленов от меньшего числа переменных без общих компонент•,, его старшая форма содержит все г независимые переменные, при этом 2кг ^ 2Ы + г. Тогда 9к сходится, если

N

2кг > Е к(3) + г.

3=1

Доказательство. По лемме 1,

= (2^ / *

Jп V

где поверхностный интеграл берется по поверхности П, определяемой системой уравнений

71 (Х1) + ... + 71 х) - 71(Хк+1) - ... - 71(Х2й) = 0,

73(Х1) + ... + (хк) - (хк+1) - ... - (х2к) = 0, (15)

YN(х1) + ... + YN(хк) - YN(хк+1) - ... - YN(х2к) = 0,

в 4кг-мерном единичном кубе, а О0- определитель Грама градиентов, функций, стоящих на левых частях системы (3), п.2, т. е. О0 = аеі(А0 • А0) и

/ дуі(хі) дхіі

А

V

дум (хі) дхіі

д7і(хі)

дхіг

дуы (хі)

дхі г

_ дііхкі дхок.л

дчы (х2к)

дхокі

д7і(х2к) \

дх2к,г

дуы (х2к)

дх2к,г /

Заметим, также, что интеграл на правой части понимается в несобственном смысле, рассмотренном выше. Уравнение а0 = 0 определяет на П подмногообразие П0 меньшей размерности. Оно является замкнутым подмножеством в

П = [0,1]2кг. Тогда оно имеет нулевую жорданову меру, если это подмножество имеет нулевую меру Лебега (см. [21, стр. 33]). То, что это подмногообразие имеет меру нуль, в смысле Лебега, следует из проведенных ниже оценок (см. замечание в конце пункта 12)).

1)Пусть О = тахО0(х). Пусть полином Р(ж) имеет степень 1. Тогда (см.[17,

й€П

задача 13.30]) из следующего неравенства видно, что О ограничено:

О0 = • А0) ^ (2гк12)и.

Определим подобласти Пр = {X Е П|2-2рО ^ О0^ 22-2рО},р = 1, 2,.... Пусть, далее, Пр -часть поверхности П, лежащая в Пр. Возьмем произвольную замкнутую область, лежащую в области, где О > 0. В этой области, в силу непрерывности, О0 достигает своей нижней грани и, поэтому, такая область лежит в объединении конечного числа областей Пр. Тогда, подобласть в П, определяемая неравенством О > 0 исчерпывается облас тями Пр. Поэтому, сходимость в к следует из сходимости ряда£1Р, где 1Р = /Пр :^=.

2) Оценим поверхностные интегралы 1Р. Произведем в поверхностном интеграле 1Р замену переменных по формулам:

хз = (2к)апз ,Ц] = (2к)аУз,] = 1,..., 2к,к = \[О • 2-р,

N

N

а 1 = X! ^ _ 1 = X! к(3) _ Ж

3=1 3=1

Матрица Якоби Q этого преобразования - диагональная матрица порядка 2кг, определитель которой равен (2К)2кга. Так как, по лемме 2, [13], О'0 = ёе^А^ • tQtA0), то имеем

Г йв 'п„ ^

где Пр- прообраз поверхности Пр, при произведенной замене переменных, йа-элемент площади на Пр. Из вида матрицы Q следует, что А^ = (2к)а А0 и поэтому

СО = det(AoQ • tQtAo) = (2к)Ша аеі(Ао • %).

Каждая строка матрицы А0 = А0(Х) содержит одночлены одинаковой степени и поэтому, после подстановки Хо = (2к)ам3 получим:

А0

( (2к)а(к(1)-1) ппик(1)и-1

(*№0) 1) пди^ц,-1

(2к)

V (2к)а(к(Ю-1)

П^ 1 ик^ )ип1

(2к)а(к(1)-1) п1гик(1)и!г ^

(2к)а(к(0)-1) (2к)«(k(N )-1)

пог ик(0')и1/г

:іб)

nNrUk(N)UNlr

0 1 ••• и г .Каждая

при этом, для краткости мы применили обозначение Пк(3) = ид1 строка имеет общий множитель. Вынося этот множитель за знак определителя и учитывая равенство ^"= 1 (к(^) — 1) = ^”= 1 к(]) — N = а- 1, получаем:

ае1(А0 • %) = (2к)2 О”,

причем О0 имеет такой же вид, что и О0, но только переменные интегрирования Пгз, меняются в пределах 0 < Пгз < (2к)-а. Тогда,

I, = (2К)2к-а-а*-< ч/О0 < 1. (17)

•'пр VО0 2

В дальнейшем мы обозначаем матрицу (16), после сокращения всех элементов строк на общие множители (2к)а(к(3)-1), снова через А0 = А0(п).

3) Фиксируем р, а следовательно, и к. Обозначим через П(к) часть куба [0, (2к)-а]2кт, где выполняется неравенство 0.5 < \/О0 < 1. Чтобы оценить поверхностный интеграл на правой части (5), мы будем разбить, предварительно, поверхностный интеграл на части так, чтобы величину интеграла можно было бы оценить используя подходящую проекцию, сопоставимую, по величине, с куском соответствующей части поверхности. Эти части определяются максимальными минорами матрицы Якоби А0 системы (проектирование осуществляется на подпространство тех переменных, по которым проводится дифференцирование в столбцах, входящих в максимальный минор). Разобьем П (к) на не более, чем Ь = С к подобластей (как выше) П(и\ V =1, ...,Ь, пересекающихся разве лишь частями своих границ, в каждой из которых один из миноров матрицы А0 = А0(п), имеет, по модулю, максимальные значения среди всех миноров. В каждой подобласти вида П(и\ одновременно, и выполняется неравенство 0.5 < \/О0 < 1, и V-й минор всюду принимает, по модулю, максимальные значения. Следующее утверждение следует из леммы 4, [13].

Каждая подобласть -замкнутое множество и может быть представлено в виде объединения конечного числа односвязных замкнутых областей, как множество решений в [0, (2к)-а]2кг системы полиномиальных неравенств.

Из сказанных вытекает, что каждая подобласть представляется в виде объединения = ис<То П^,е), где П^,е)- односвязные подобласти (Т0 не зависит отр). Тогда, выделяя среди всех подобластей ту, которая содержит максимальный кусок п (V) поверхности П,, можем писать

I, < Т (2к)4ка-аМ-1 / < 2Т (2к)4ка-аМ-1 [ дл. (18)

•/Пр,0.25<Сд<1 "у О0

4) Рассмотрим произвольно выбранную подобласть П^,е). В ней система, по теореме о неявной функции, допускает, в произвольной окрестности данного решения, однозначную разрешимость по одним и тем же переменным, эти решения во всей рассматриваемой подобласти могут быть многолистными. Оценим количество листов разрешимости.

Система (17) допускает однозначную разрешимость, скажем, относительно переменных Пгз, в количестве N, в окрестности некоторого решения П0. Оставшиеся переменные, которых мы обозначаем как ^1, ...,^2кг-и, являются свободными, и пусть 3(п0)- область их изменения. Обозначим ш (V) объединение всех областей 3(П0), отвечающих всевозможным точкам П0 Е п (V). Отображение ф : п (V) ^ ш (V) такое, что ф(П0) = £0, £0 = (^0, ...,£°кг-м) определяет, согласно лемме 1 из [30, с. 538], некоторое f-листное накрытие. Тогда, для системы (3) в П(V, с) имеем f - листную разрешимость. Так как, система (15) является полиномиальной, то, рассматривая результанты, с помощью последовательного исключения неизвестных из системы (15), получаем, что f не превосходит некоторого постоянного Т > 0, зависящего лишь от д,гN и к. Следовательно, область П^, с) можно разбить на не более, чем Т подобластей Д^,^ = 1,...,f, f < Т, в каждой из которых система (15) допускает однолистную разрешимость.

5) Обозначим п1 такую часть п1 С п (V), что лежит в области Д1. По лемме 3, система (3), вместе с каждым решением П = (п1,...,п2к), имеет, также и множество решений вида п1 = (п\, ...,п'2к), с п1 = п + а, а = (а1,а2, ...,аУ 0,..., 0,

Т — У

...,а1,а2, ...,аУ 0,..., 0) а1, ...,аУ Е И.. При п Е п1, точка п1, с произвольными дейТ — У

ствительными а1, ...,аУ Е И, может лежать на п1 если |а1| ,..., 1аУ| < (2к)-а (при больших, по абсолютной величине, значений этих параметров, п уже не принадлежит кубу [0, (2к)-а]2кт и, заведомо, не лежит на п). Далее, согласно лемме

6, ч. I, О(п) = О(п+а) при п Е п1. Множество всех векторов а, с а1, ...,аУ Е И образует ^-мерное подпространство, в И2кт, которого обозначаем, как V. В П(V, с), а значит, и в Д1 , один из миноров матрицы Якоби, принимает, по модулю, максимальные значения. Пусть таким минором будет, например, минор, у которого столбцы получены дифференцированием по первым N переменным п3. Тогда, поверхность п1 имеет параметрическое представление:

п1 = п1 (^1,^2, ...,^2кт-И) ,

пМ = пМ (Cl,C2, ...,^2кт-М) .

Определим на п1 отношение эквивалентности, считая п = п', тогда и только тогда, когда п — п' Е V. Каждый класс эквивалентности однозначно определяется одним своим произвольным элементом и состоит из всех векторов, получающихся из этого элемента путем всевозможных сдвигов на векторы из V. Объединение всех классов эквивалентности совпадает с множеством решений (по свойству отношения эквивалентности). Очевидно, что каждый класс представляет собой линейное подмногообразие вида п + V, где п произвольное решение системы (3). Удобно, также, это отношение рассмотреть сначала во

всем И,2кг-М. Тогда, все многообразие решений системы (3) можно представить как П + V, где Пх- решение (его можно отождествить с фактор множеством), проходящее через фиксированную точку и0. Действительно, пусть и- произвольное решение системы (3). Определим числа а1 = £2кг-м-^+1—С°к^^^+1,... , аь = £2кг-М — £20кг-М. Вектор и — а = и0, являясь решением системы, принадлежит п[. Следовательно, и £ а + Пх, причем поверхность П1 можно однозначно определить, если фиксировать заранее взятые последовательные V переменных (например, переменные £2кт-И^+1,. . . , £,2кт-И).

Интересующие нас решения получаются из всего многообразия решений взятием кусков, принадлежащих п1. Если, теперь, мы возьмем подмногообразие П С П1, с фиксированными значениями £2кт-ы^+1 = £2°кг-М-Г€+1, £2кт-ы = £°кг-м, размерности 2кг — N — V, с максимальным 2кг — N — v-мерным объемом, то П1 покроется многообразием, получаемом из подмногообразия П1 при помощи всевозможных параллельных переносов на векторы а £ V, с |а1| \аъ\ ^

(2к)-а. Поэтому, площадь бесконечно малого элемента поверхности п1 можно представить в виде Да-Дуа, где Да = ДаДЬ, а Дуа означает площадь проекции бесконечно малого элемента поверхности П1 (площадь, которую обозначаем как Да) на подпространство, ортогональное к подпространству V. Следовательно, Ду а ^ Да и поэтому, согласно (18), имеем

1Р ^ 2гТ0(2К)2кга-аМ-1 ! 6а ^ 2гТТо (2Н)2кга-аМ-1 х

^ п(и)

х [ 6а1 ■■■ 6аь [ 6а ^ 2ЬТТ0 (2Ь)2кта-аМ--}а-1 [ ^а, (19)

Л\о,1\,...,\аъ \^(2Ь)-а 0^1 0^1

причем, постоянные на правой части не зависят от р.

Следует заметить, что многообразие решений системы, связанной с данным многочленом может содержать сдвиги в определенных направлениях и в случае неполных многочленов. Например, для многочлена Р(х,у) = ах2 + /Зху + 7у2 соответствующая система вместе с каждым решением вида (х0,у1,... ,х2к, у2к) имеет также и решения видаХ + ау0,у0,... ,х^к + ау^к,у^к), с произвольным действительным а. Поэтому, сказанные относятся и для таких многочленов. Мы ниже будем брать наихудший случай V = г.

6) Оценим последний поверхностный интеграл в (17). По условию теоремы 2кг ^ 2N + г. Поэтому, существует такое натуральное число I, что N1 ^ 2кг — N — г. Из элементов матрицы А0 = А0 (и) составим новую блочную матрицу Д0 следующим образом. Пусть I — наибольшее натуральное число такое, что N1 ^ 2кг — N — г. Образуем I — 1 подматрицу порядка N из попарно различных столбцов матрицы А0 и расположим эти подматрицы, как блоки, на диагонали матрицы Д0; возьмем 1-й блок образованный, также из столбцов матрицы А0, последовательно, не входящих в число предыдущих блоков и имеющий размер N х (в — (I — 1)N), где 5 = 2кг — N — г.

Далее, к полученной матрице снизу добавим матрицу вида

( Б' Б'' ) ,

где Б' -нулевая матрица размера (в — N) х N, а Б'' - матрица порядка в — Ш

где В1 и В2- блоки, составленные из столбцов матрицы А0. При этом важно, чтобы все независимые переменные присутствовали в элементах матрицы Б0 (поскольку она образована столбцами А0, то все независимые переменные войдут в мономы наивысших степеней, входящих в Б0). Заметим, что блок Б'' играет вспомогательную роль, дополняя матрицу Б0 до квадратной матрицы порядка в, что также важно для оценки интеграла (все элементы матрицы Б обратятся в нуль при повторном дифференцировании).

Поскольку, миноры матрицы В1 являются, также и минорами матрицы А0, то

висимых переменных £1,£2,...,£2кг-и-г, получаем ^е!Б0| ^ 1. Поэтому, заменяя условие интегрирования в (17) на ^е! Б0| ^ 1, мы лишь увеличим поверхностный интеграл. Оценим теперь поверхностный интеграл на правой части (17) при таких условиях. С этой целью, заменим его кратным интегралом по области независимых переменных. Эта область получается проектированием П на подпространство независимых переменных £1,£2, ■■■,£2кг-м-г (переменные £2кг-м-г+1, ..., £2кг-м фиксированы). Тогда, переходя в поверхностном интеграле к независимым переменным, получим следующее неравенство, используя соотношение для элемента площади:

7) Далее, будем использовать схему работы [12]. Для объема области т, сначала заметим, что верна тривиальная оценка ^ (т) ^ (2к)-яа. Так как, определитель матрицы Б0 является многочленом, то множество, где выполняется

вида

/ (2к)%-ш+1 ••• 0 \

Б'' = . .

V 0 • • • (2к)% У

Таким образом, Б0 имеет блочный вид

Имеем:

аеі Бо = аеі Ві • (2к)а(з—ш)£—ш+1 • • • £*.

det В1 • ЬВ11 ^ | det А0 • А0

Из условия 0'0 = |det А0 ■ *А0|^2 ^ 1, учитывая границы изменения неза-

r,|det -Оо |^ 1

d£l • • • (1£2кт-М—г •

(20)

равенство det Б0 = 0, имеет жорданову меру нуль. Поэтому, интеграл на правой части (20) не превосходит (мы оценим более общий интеграл, заменяя условие ^е! Б0| ^ 1 на ^е! Б0| ^ Н):

г,

/ 6£1 ■■■ й£3 Еу,

</т,\ёе1 До\^Я у=1

где

Е3 = / 6£1 ■■■ 6£з.

о 2—зН^\ёе1 Э0\^21—Н

Пусть р1 = р1 (£'), ...,Ра = Р3(£'), где £' = (£1, ...,£5), являются сингулярными числами матрицы Б0, р1 ^ ^ рз. Тогда, из неравенства

2~3Н ^ р1 ■■■ р3 ^ рзр-выводим

Рз ^ 2-3р1-3Н.

Полагая Б0 = (63), по неравенству Шура [26, стр. 167], имеем:

р2 ^ р2 + ■ ■ ■ + р2 ^ ^ 623.

1,3

Учитывая вид матриц А0 и Б0, мы можем писать

N

р1 ^ в +2к(2К)-2ау к(]).

3 = 1

Следовательно,

(1-в)/2

Рз > 2-3Н Оценим теперь Еу, ] = 1, 2, ....Имеем

N

2

в + 2к (2К) 2ау к2 (3)

3=1

(21)

21 3Н Л-НДоК21—Н |det Б0|

^ с0 / Л£' / 6а, (22)

и2-з Н ^\ёе1 Д0\^21— Н ./||Д0а:||^1

где с0 = п-з/2Г (1 + в/2). Далее, из неравенства

1 ^ |Б0а|2 = (*Б0 ■ Б0а, а) ^ Р2 ||а||2 ^ Р2 |а*|2 ; ||а||2 = ^ |а*|2

г=1

для всех г, согласно (7), следует оценка

1/2

—1

в

^ 2іН—1А; А

N

в + 2к (2к)—2“£ к2 0)

. = 1

(в—1)/2

для переменных интегрирования во внутреннем интеграле в (22). Введем в рассмотрение шар:

К = {а\ ||а|| ^ 2іН—1

(22) можно переписать в виде

21—Н

da — Со

da

dё■

(23)

^т ^С,|^ос|^1 Оос^к */ :€т,|^оа||^1

Из шара К удалим все полосы Кт (т = 1,..., в), определяемые условиями

| ^ С-1в-123(1-з)Н3-1А1-3(2й)ва,

^ 23Н-1А, г = т,

(24)

(25)

где С1 > 0 будет определяться ниже. Обозначим К0 = ит=1 Кт и оценим меру К0:

Ц (К0) ^ с0^1 1. (26)

На правой части (23), разбивая кратный интеграл на два интеграла и определяя первый из них условием а £ К0, а второй - условием а £ К\К0, оценим первый интеграл тривиально, используя найденную оценку:

с0 dа d£' ^ с0С— 1.

JaЄKо ІРєт,||Роа||^1

(27)

8) Во внутреннем интеграле на крайней правой части(23), при каждом фиксированном а £ К\К0, произведем замену переменных по формулам

п = Б0(£)а

(свободными переменными являются компоненты вектора £'). Формально, матрица Якоби замены переменных равна обратной к матрице

3

Щи-П) = ( дРо д(£1,...,£в)

д?х

а

дРо

д^а

а

причем д(*Б0)/д£з обозначает матрицу, полученную путем дифференцирования всех элементов матрицы Б0(£') по £3.Имеем:

/ dа d£'= dа

Іа&К\Ко </ірЄт,||Роа||^1 ^а&К\Ко ./;/ет,||;|^1

\.І\ — 1 dfj.

При каждом _ обозначим т (_) подмножество в К\К0, все точки которого подчинены неравенству || ^ 1. Изменяя порядки интегрирований в

последнем интеграле получаем, неравенство:

/ йа ^ й_ I \3\-1 йа,

о а£К\Ко </ ^,€г,уДо<3(У<1 •'НП1К1 ''т(г))

распространяя интеграл на все указанные _. Рассмотрим матрицу

} = д(п,...,г1,) = ( „а, _ _ ^ _

дV ^ зг-

как матрицу линейного преобразования, ставящего каждому вектору __ Е Яя в соответствие вектор ^ Що_ • • • ^ /_. Очевидно, оно линейно и по _.

Следовательно, имеем билинейное отображение Ф : (<_,/_) ^ <//_. При каждом фиксированном _, оно определяет линейное отображение, матрица которого, как матрица с полиномиальными элементами, неособая всюду в т (п), с исключением разве лишь точек подмногообразия жордановой меры нуль.

Введем матрицу Д1 (также А1), получающуюся расположением элемен-тов столбцов матрицы Д0 (соответственно А0), последовательно, в строку, с последующим взятием транспонированной матрицы Якоби полученной системы функций (эта матрица имеет размер 5 х в2). Для каждой пары (<_,/_) € Я23 выполняется равенство Ф (а,/_) = Р1 (а ® /_), при этом, если 1а = (а1, ..^а.,) , и г/3 = (в1,...,в3) , то символ ь(а ® /_) будет обозначать прямое произведение (а1в1, •••, а1 в3,..., а3(31,..., а3ва) (также называемое кронекеровским (см. [20, стр. 235 или 17, стр.80])). Из сказанных выше, получаем:

/ йг] \3\-1 йа = с0 йг] йа й (28)

•/У?7У<1 -Мп) •'1П1К1 "МП) 3 ||<1

Проведем рассуждения из главы II. Рассмотрим кратный внутренний интеграл по а и /_:

/ йай/З. (29)

^т (т7),||.а1(б(®/3)||<1

Применяя указанные рассуждения, мы находим:

йа =

Jт(п) ./|В1(а®/3) | ^1

= йп йа / й_ ^ с0в • 5-1р3, (30)

•Л1П1К1 ^т(п) •'[[■^1 (а®/3) ||^1

где рз = 1 + 1с^ (вС123'3Н-3Л3 (2Л,)-3“). Далее, область т может быть разбита на не более чем в! (число подстановок степени в) подобластей, в точках которых максимальный минор матрицы Т занимает все возможные "позиции". Тогда,

согласно найденной оценке (30), получаем следующую границу для интеграла по К\К0 на правой части (23):

(z S-1

/ dal diч С0 s • s!H У>*21-->| S-

J a£K\Ko J ^ег^ДоаН^

гдер3 = 1 + log (sG12jsH-sXs (2h)-sa). Полагая X = sG1H-s\s(2h)-sa займемся оценкой суммы:

ГО s

pJ21-j = 2 £ [1 + sj log 2 + log X]‘ 2-j.

j=1 j=1

Для оценки этой суммы заметим, что если 1 + log X > 2s2 функция

exp{s log(1 + sj log 2 + log X) — 0.5j log 2}

монотонно убывает по j. При 1 +log X ^ 2s2 эта функция имеет максимальное значение ^ 2ss2s. Поэтому,

J][1 + sj log 2 +logX]s 2-j/22-j/2 ^ 2(1 + s2 + log X)s. j>o

Итак,

[ d£1 ••• d£4k-N-2 ^ 2s+3s3sc2HS-1ps; р =1 + s2 + logX. (31)

Jr,|det Dol^H

Ясно, что при определении матрицы D0 мы можем взять столбцы матрицы А0, среди прочих, содержащие те элементы, градиенты которых образуют столбцы максимального, в упомянутом выше смысле, минора матрицы A1(i;/). Тогда,

«2 ^ (CSkrN)-1 G1i); G1(a) = det(A1(a) • %£)), (32)

при этом предполагается, что G1(£/) > 0. Дифференцирование проводится по компонентам вектора £/, которые определяются из системы рассматриваемых уравнений и, поэтому, строки матрицы A1(£/) являются линейными комбинациями строк матрицы A1 (и) (см. представление в начале п. 9). Матрица A1(u) получается дифференцированием по компонентам и и, поэтому, матрицы A1(£/) и A1(u) имеют разные размерности: A1(£/) имеет размерность s х s2, а A1(u) -размерность 2kr х s2. При дифференцировании по £/, возникают сложные выражения, куда входят частные производные зависимых переменных по независимым переменным £/. Поэтому, мы заменим полученные оценки (31-32) оценкой, куда входят подматрицы матрицы A1(u), получение которых не осложнены трудностями, указанными выше (т. е. дифференцирование ведется только по независимым переменным вектора и).

9) Матрицу А1 (<_') можно представить в виде О (и) • А1(и), где А1(и)-матрица, введенная выше, а О(и)-матрица вида леммы 1, [13]:

Я(й)

( 1 0 0 1

0 ф11

0 Ф21

V

00

1 фв1

ф1,2кт—в ^ ф2,2кт—в

фв^кт-в у

(Е |Ф)

где Е3- единичная матрица порядкав, а Ф- матрица размера в х (2кг — в). Поэтому, произвольный минор, например, первый минор М1 матрицы А1(£5) можно представить в виде блочного определителя

<*1 =

В(и) ■ Л\(и) Ф

0

Е2кг—в

причем, матрица А\(и) — прямоугольная матрица, составленная из первых в столбцов матрицы А1(и), Ф состоит из последних 2кг — в строк матрицы Л\(и). Выполняя элементарные преобразования над строками последнего определителя, приведем $1 к виду

[А?(и>] —Ф

Ф Е2кг-в

*1 =

(33)

где матрица [А1(и)] составлена из первых в строк матрицыА1(и) так, что две блоки перпервого столбца определителя *1 образуют матрицу Л\(и): Л\(и) =

[А\фи)^ ^. Разобьем область т на две части: в первой выполняется условие

С1(£;) ^ С1, а в оставшейся части области т имеем С1(£;) ^ С1. Обозначая через /і1 и іі2 площади соответствующих частей поверхности для (20) получаем:

йа ^ Z(^1 + Ц2),

(34)

где Z не зависит от р. Для оценки /л1 воспользуемся соотношениями (23) и (30-32). Имеем:

^ ММТТо (0%+ ^‘/2 (Оікгм)1/2

(35)

где М- некоторая постоянная, не зависящая от р.

10) Оценку величины 112 можно следующим образом свести к подобной оценке (23), уже полученной выше. Сначала выделяем область, где выполнено условие вида п ^ М1(_5) ^ 2п (соответствующую площадь обозначаем как ц2), где М1 = М1(£5) минор, содержащий элементы, градиенты которых составляют максимальный минор матрицы А2((_5). Далее,

I ТЛа

' п'1,п^\М1 |^2п *1

Со

йа

' п'1,п^ІМіІ^2п

при этом интеграл на правой части берется по части произведения П1 х К2кт, где выполняются наложенные условия на переменные. При каждом и Є П1, все функции, зависящие от и продолжаются, как постоянные путем параллельного переноса на векторы из К2кт "перпендикулярно"к поверхности П1 (другими словами П1 х К2кт получается параллельным переносом поверхности п1). Поменяв порядки интегрирований, получаем:

(2п) 141) ^ 2с0 йи йа,

•/|ріг;|К1 </^п1(г^),п^|М1|^2п

(36)

причем П1(у)- проекция поверхности на п[, отвечающая V после перемены порядка интегрирования. Произведем во внутреннем поверхностном интеграле замену переменных по формулам: в = О1//, применяя лемму 2, [13]. Получим, в обозначениях этой леммы:

/

/п1(г)),п^|М1|^2п

[ |det Q| V:

їм V:

(37)

причем, ш(А)- прообраз поверхности при указанном отображении,

С' = det(JQ ■ '$3);

далее, Q- матрица Якоби замены, которая равна обратной к матрице = "’^Ак), а 3 = А0, 0.5 ^ л/С ^ 1. Как известно, строки матрицы А0 образуют подпространство М, ортогональное к подпространству М , натянутому на строки матрицы О (и). Поэтому, Я4к = М ф М' и, следовательно, элемент объема можно представить в виде йїї = йуйи . Каждый вектор її Є К2кт единственным образом записывается в виде суммы векторов у и и из подпространств М и М', при этом №(у + и)|| ^ |^у|| + |^и||. Пусть у1,...,уі базис, состоящий из строк матрицы А0, и 1,..., ит- базис, состоящий из строк матрицы О = О (и). Произво-

Ао О 1

дя замену переменных по формулам т = Шх, где Ш |det Q-1| = с0 йїї = с0

, получаем

1ЦЯЛ0 й||<1/2

1

у/С

йи

уд(л0й+д^)|<1

Г

удд^у<1/2 VО ■1О

Следовательно,

|det Q

1|

2-2к Г(1 + 2к)

(2п)2кГ (1 + //2) Г (1 + 2к - I/2) уОЮуТСу/С'

1

1

Подставляя в (23) находим:

[ йа ^ С і ^ВЩв ■ Сйа'.

./п1(г)),п^|М1|^2п 3ш(п)

Рассмотрим ограничение биективного отображения в = О1и на подмногообразие решений системы. Матрица QО в каждой точке X Є П1, служащей решением системы является матрицей Якоби обратного преобразования, т. е. ее обратная совпадает с матрицей Якоби замены в = О1и взятой по независимым переменным £ . Заметим, что элементы матрицы Ф, по модулю, не превосходят 1 и, что л/О ■'О ^ (4к — з)3,л/С ^ 1. Тогда, обозначая О0 некоторую постоянную, не зависящую от р и п, можно вернутся к (11), и далее, при помощи рассуждений п.8) из (22) приходим к соотношению типа уже полученного выше в (17), с заменой *1 на 62 и Н на п:

^ ^ 4с0п / йи йа.

.7|р1г/||<1 </^п1(г>),п^|М1|^2п

Заменяя п = С1 на п/2, п/4,... а затем, суммируя, находим:

1^2 ^ Т1С1С- 1р1,

где Т1- положительная постоянная, зависящая только от N и к. Заметим, что р1- выражение аналогичное р. Полагая С1 = Н1/2С2/2, находим оценку:

£йа ^ ZT2 ■ Н 1/2с2/2р" + Z^/2^

где Т2- положительная постоянная, зависящая только от N и к, р' = тах(р, р1). Продолжая, таким образом, через несколько шагов мы установим неравенство

йа << G-//(d-1)р^ (38)

где й-степень многочлена Р(х, у), р = тах(р, р1,..., ра-2), а постоянная, скрываемая знаком <<, зависит только от й и к. Заметим, что величины Н,С1,..., Са-1 определяются равенствами

д

н = 1, с1 = н 1/2а1/2, а2 = н 1/3с3/3,..., сл_1 = н -1/{л-1)С—)/{'1-1)'

12) Теперь оценим 0^-1 снизу. Матрица О^-1 составлена из частных производных порядка й одночленов 71(и), ■■■,^м(и) по переменным вектора и. Пусть, например, 71 (и) один из одночленов степени й = к11 + • • • + кг1. Тогда, среди всех частных производных порядка й этого одночлена хотя бы одна отлична от нуля и равна к11! • • • кг 1! ^ 1. Так как старшая форма содержит все независимые

переменные, то В каждой строке матрицы Dd-1 имеется хотя бы одно ненулевое число. При этом в каждом столбце может содержаться самое большее одно ненулевое число. Поэтому матрица Dd-1 ■ tDd-1 имеет диагональный вид. Тогда,

Gd-i = det [D ■ (Dd-i ■ tDd-i)tD] ^ 1.

Согласно (38), учитывая очевидное соотношение р << log h-1, имеем:

Jda << (log h-1)s.

Из (17), (18) теперь следует

Ip << (2h)2kra-Na-i (logh-1)s.

Так как h = yfG ■ 2 p ^ (4k(n + m))N ■ 2 p, то

ряд

CO

\ л t \ л c\—p(2kra—Na—ra—l) s

Ip << 2 p

2—p(2kra—Na—ra—l) ps

p=l p=l

а вместе с ним и особый интеграл сходятся.

Заметим, что при любом положительном Н, имеет место неравенство [йа << Н1/(л-1)с-2)/(<-1) К-1)3,

аналогичное (17). Поэтому, подмножество на поверхности П, определенное выше условием С0 = 0, имеет нулевую меру Лебега, что мы использовали выше. Доказательство теоремы 3 завершено.

s

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

2. Виноградов И. М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 168. С. 4—30.

3. Hua Loo Keng. On the number of solutions of Tarry‘s problem // Acta Sci. Sinica. 1952. Vol. 1, № 1. P. 1—76.

4. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Математические заметки. 1976. Т. 20, № 1. С. 61—68.

5. Чубариков В. Н. О кратном тригонометрическом интеграле // Доклады АН СССР. 1976. Т. 227, № 6. С. 1308—1310.

6. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тригонометрические интегралы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1979. Т. 43, № 5. С. 971—1003.

7. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри // Доклады АН СССР. Сер. Мат. 1979. Т. 248, № 2. С. 268—272.

8. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 151. С. 1—128.

9. Чубариков В. Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова и его обобщений // Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157. С. 214—232.

10. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.

11. Джаббаров И.Ш. Об одном тождестве гармонического анализа и его приложениях // Доклады АН СССР. 1990. Т. 314, № 5. С. 1052—1054.

12. Джаббаров И.Ш. Об оценках тригонометрических интегралов // Тр. РАН. 1994. Т. 207. С. 82—92.

13. Джаббаров И. Ш. Об оценках тригонометрических интегралов // Чебышев-ский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1(33). С. 85—108.

14. Джаббаров И. Ш. О показателе сходимости особого интеграла двумерной проблемы Терри // Ученые записки Орловского гос.ун-та. 2012. № 6(50).

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1954.

16. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970.

17. Воеводин В. В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука, 1984.

18. Шилов Г. Е Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М.: Наука, 1972.

19. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.

20. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

21. Никольский С. М. Курс математического анализа. 4-е изд. Т. 1. М.: Наука,

1990.

22. Никольский С. М. Курс математического анализа. 4-е изд. Т. 2. М.: Наука,

1991.

23. Архипов Г. И. Садовничий В. А. Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 695 с.

24. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.

25. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1979.

26. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

27. Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. М.: ГИИЛ, 1948.

28. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.

29. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. 2-е изд. М.: Наука, 1968.

Гянджинский государственный университет, Гянджа, Азербайджан Поступило 10.05.2013