CC BY
36
Механика
УДК 532.516
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ П РОФИЛЬ СКОРОСТИ СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
О.Н. Шабловский1
Дано новое точное аналитическое решение стационарных уравнений гидродинамики вязкой жидкости с учетом нелинейной внешней силы сопротивления течению. Основные элементы исследования: процессы релаксации в сдвиговом потоке; завихренность при малых и больших градиентах скорости; диф ф узионная скорость движения вихря.
Ключевые слова: сила трения, течение Куэтта, диффузия вихря, индикаторная функция, релаксация напряжений.
Введение
Плоское двумерное стационарное течение сплошной среды определяется уравнениями [1]:
pvk —i- = --dp + —Tk + pp., —^ = 0; i, k = 1,2; p = const. (1)
dxk -xi -xk -xk
Реологическое уравнение состояния вязкоупругой жидкости Максвелла [2] возьмем в следующей форме записи:
-Т
Vk —Т + m(Tikmkj -Ю*Тк])
-v dv j dv dv j
= 2y.eij, 2eij = -vi- + -± , 2юи =-!---. (2)
* - - -x} -xt - -x} - xt
Здесь xi = x, x2 = j - декартовы прямоугольные координаты; v (Vi, V2) - вектор скорости; p -
плотность; p - давление; F (Fi, F2) - вектор массовой силы; Т- - компоненты девиатора тензора
напряжений; e- компоненты тензора скоростей деформации; ц- коэффициент динамической вязкости; у - время релаксации вязких напряжений. Дважды повторяющийся индекс k означает суммирование. Дифференциальный оператор в (2) при m = 1 есть конвективная производная Яу-манна, при m = 0 - обычная субстанциональная производная. При у = 0 формула (2) описывает
свойства вязкой ньютоновской жидкости. Релаксационная модель Максвелла (2) имеет своим «метагидродинамическим» аналогом уравнение Хинце-Лойцянского в релаксационной теории турбулентных сдвиговых течений [3, 4].
Внешняя сила трения Рэлея F = FR, FiR = -£vi, где Z > 0- коэффициент сопротивления, позволяет моделировать периодические течения в тонких слоях жидкости, изучать крупномасштабные океанические процессы [5-8]. Еще одной областью применения модели FR = - Z v являются задачи кластерообразования в расплавах в условиях микрогравитации [9]; при таком подходе гидродинамическое описание расплава в окрестности фронта кристаллизации учитывает присутствие частиц твердой фазы, оказывающих сопротивление потоку. В работах [6-9] применялся линейный вариант силы трения: Z = const. В рамках приближения Z ~ Ivl в [5, гл. 4] построены
многоярусные гидродинамические системы, описывающие процесс преобразования энергии в
развитом турбулентном потоке. Далее полагаем Z = Z (v2) и рассматриваем течения, для которых коэффициент сопротивления - монотонно возрастающая функция модуля скорости, -Z/д (v2) > 0. Будем изучать движение вида
V = u = u(y), V2 = 0, p = p(j), (3)
применяя следующий математический результат. Автономная динамическая система с одной степенью свободы
d2т/d£,2 = Q(t) , Q(t) = 2T(k2 + т2) (4)
1 Шабловский Олег Никифорович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра технической механики, машинострои-
тельный факультет, Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого.
имеет точное решение [10]:
т = k[sin(2k#)]/[1 + cos(2k#)], (5)
где k - произвольная постоянная; функция т(£) - ограниченная на конечном интервале ^g[0,^2] с [0,n/(2k)). Покажем, что это решение допускает интересную гидродинамическую интерпретацию.
Цель работы: дать аналитическое описание стационарных вихревых процессов в сдвиговом потоке вязкой жидкости при воздействии нелинейной внешней силы трения.
Жидкость Максвелла. В классе решений (3) рассмотрим изотермическое течение жидкости с релаксирующими вязкими напряжениями (у> 0, m = 1). Из уравнений (1), (2) находим:
Т11 = YmT12du / dy , Т11 + Т22 = 0 , p — р0 = Т22 , (6)
т12 = ^(du / dy)/[1 + (fmdu / dy)2], т12 =т21, (7)
du/dy = 2щ2 = —2o, dT12/dy = pZu , где p0 = const - равновесное (отсчетное) значение давления. Вихрь скорости ю = (1/2) rot v имеет одну ненулевую составляющую coz =ю = —(du / dy) / 2 , направленную перпендикулярно плоскости (x, y). Здесь и в дальнейшей записи сохраняем m = 1. Это дает возможность подчеркнуть роль производной Яуманна, для которой реологическое уравнение состояния удовлетворяет принципу объективности поведения материала [2]; в случае m = 0 этот принцип не выполняется. Воспользуемся решением (4), (5) и возьмем т = u , % = y /(y1u1), k = u1, d2u / dy2 = Q /(y1u1)2,
Q = 2u(u12 + u2) = (y1u1)2Zu/V. Отсюда вычисляем скорость движения жидкости и коэффициент сопротивления:
_ u sin(2 y) _ y
u =- = ------Чт~, y = — , ye [0,y2]; (8)
u1 1 + cos(2 y) y1
Z=ZyVv = 2(1+; (9)
[1 +y m (du / dy) ]
Y = Yu1/ y1; со = coy1 / u1, du / dy = —1ю, v = ц / p.
З десь y1, u1 - положительные константы, имеющие размерности длины и скорости соответственно; линейный масштаб релаксации равен L = ; безразмерные величины отмечены чертой
_ _________1
сверху. Ясно, что du / dy = 1 + u , поэтому коэффициент внешнего сопротивления (9) есть четная функция скорости. Форма записи
Z = 4о(4Г — 1) /(4Г +1)1, Г = (fmo)2 демонстрирует то обстоятельство, что сила внешнего трения проявляет себя на фоне релакси-рующей завихренности; переменный параметр Г( y) характеризует неравновесные свойства вихревого поля. Решение (8) представляет течение Куэтта:
y = 0, u = 0 ; y = y2, u = u(y2), где y2 - расстояние между параллельными плоскими непроницаемыми стенками; одна стенка неподвижна, а другая перемещается в своей плоскости с конечной скоростью u2 = u(y2) > 0 .
Условия Z>0 , dZ / d (u2) >0 приводят к неравенству (ymdu / dy)2 < 1 / 3, которое дает такие ограничения:
0 <fm < 1/(2V3), (10)
1 + cos(2y2/ y1) > 2Y^V3 . (11)
Неравенство (11) исключает из структуры решения координату 2y =п. Далее оценки (10), (11) будут уточнены для отдельных интервалов значений ui. Давление жидкости вычисляется по формуле:
_ _____ 1
p0 — p _ V/m(du / dy) - и ч
= Р1 = -1 i , V = Ц/(PUly1).
pu1 1 + y m ( du / dy)
Перепад давления р0 - р положителен во всей области решения; константу р0 выбираем так, чтобы обеспечить условие р(у) > 0. Зависимость давления от времени релаксации монотонно убывающая: др /ду < 0 . Функциональная связь завихренности и давления имеет вид:
_2 ___ ___ __ ___ __
4ю = р1 /[ уш(у - ушр1)],
где выполнено условие 0 < р1 < [V/(ут)]. В релаксирующем потоке (у> 0) завихренность обусловлена отклонением давления от равновесного значения: если р = р0 , то ю = 0. По мере удаления от неподвижной стенки модуль завихренности растет й(ю )/ йу > 0, а давление падает:
р(у = 0) > р(у = у2); следовательно, д(ю2)/др < 0.
Проанализируем физическое содержание данного решения. На неподвижной и подвижной границах безразмерный градиент скорости равен:
_ __________________ 2 2
у = 0, йи / йу = 1; у = у2, йи / йу = и > 1, и = 1 + (и2 / щ).
Значит, параметр и характеризует градиент скорости, обусловленный величиной и2 скорости
2 2 2
подвижной стенки. Другими словами, величина и = ю (у = у^/ю (у = 0) определяет степень неоднородности завихренности потока. Некоторые градиентные свойства завихренности двумерного течения вязкой релаксирующей жидкости изучены в [11]. Примем обозначения:
С1 =С(у = 0), С2 = С(у = у2), д2 = у2т2и2, и* = 1/и , где ео8(2у2/у1) = 2и* -1. Расчеты показывают: условие ^2 > С1 будет выполнено, если при 0 < д2 < 1 выполнено неравенство (1 - д2) /(1 + д2)2 > и*. Отсюда следует оценка параметра д2 :
0 < д2 < [-1 -2и* + (1 + 8и*)1/2]/(2и*) < 1. (12)
Учитывая (10) получаем, что должно быть д2и* < 1/12 ; тогда, применяя (12), находим два интервала, которым может принадлежать и *. Область «больших» градиентов скорости:
0 < и* < а*, а* = (3-7б)/6, (13)
в этом случае и > 10 . Область «малых» градиентов скорости:
а** < и* < 1, а** = (3 + -\/б)/6, (14)
в этом случае и находится в правой конечной окрестности единицы, причем и1 есть верхняя гра-
2 2 __________
ница значений скорости течения; и(у) < и1, 0 < и2 < и1 , ео$(2у) > 0, у е [0, у2],
(2а** -1) < ео8(2у2 / у1) < 1. Для «малых» градиентов на обеих стенках (неподвижной и подвижной) поведение завихренности определяется неравенством д(ю2)/ ди > 0, у = 0, у = у^
В области «больших» градиентов (13) верхняя граница скоростей равна и2 : и2 > и1 , уе [0,у2], 2у2/у1 =п-д1, 0<д1 <п/2, и = 2/(1 -ео8д1). Из (11) следует
(2/3)1/2 < ео8д( < (1 - 2ут\[3). Значит, исходная оценка (10) принимает вид
у2т2 < [1 - (2/3)1/2]2 /12 .
Расчеты показали, что в интервале (13) на неподвижной стенке д(ю2)/ди < 0, у = 0. В этом заключается существенное различие в поведении при у = 0 функции ю2(и) в областях с «малыми» и «большими» градиентами. На подвижной стенке для обеих областей д(ю2)/ ди > 0. В области «больших» градиентов производная д(ю2)/ ди является знакопеременной: при у = 0 она отрицательная, при у = у2 - положительная.
Схема расчета констант, входящих в данное решение, состоит в следующем. адаем скорость и2 и время релаксации у; параметр и* берем из интервала (13) либо (14); подсчитываем кон-
1/2 2 2222 станту и1 = и2 /(и -1) ; выбираем д из интервала (12) и вычисляем у т =д / и ; находим
у1 = уи1/у, 2у2/ у1 = агеео8(2и* -1). Профили скорости и давления монотонные, перегибов не имеют: йи / йу > 0, й2и / йу2 > 0, йр /йу < 0, й2р/ йу2 < 0; выпуклость функции т12(у) обращена
1 1
вверх, d Т12)/dy < 0. Поведение разности первых нормальных напряжений Т11 — т22 коррелирует со свойствами давления, подчиняясь формуле Т11 — т22 = 2(p0 — р).
Построенное решение можно применить на более широком отрезке ye [0,Уз], Уз > yi, полагая, что Z(u2) является немонотонной функцией. Нетрудно видеть, что Z = 0 при du / dy = 1/(Ym). Именно при этом значении градиента скорости касательное напряжение Тц
имеет максимум. Этот максимум достигается при y = y3 :
_1 ______1 ___
cos(2 y3 / y1) = (1 — u3 ) /(1 + u3 ), u3 = u3 / u1,
1 + u32 = 1/(ym) = U /8 > U , u3 = u( y = y3).
Верхняя граница скоростей равна u ; в области «больших» градиентов u > ui; в области «малых» градиентов u3 > u^ Функция Z(u2) немонотонная при u e [0, uj]; в левой окрестности значения u = u3 коэффициент сопротивления резко уменьшается до нуля.
Следуя аналогии между вязкоупругими и турбулентными сдвиговыми течениями [3, 4], вве-
1/1
дем в рассмотрение принятую в теории турбулентности динамическую скорость uT = Т12 / p) .
Решение (7) дает
uT = ydu / dy < 1
w1 1 + (ymdu / dy )2
где w1 = V / у - квадрат скорости распространения волны сдвига. Таким образом, динамическая скорость «дозвуковая» во всей области решения. При экспериментальном изучении турбулентных течений жидкости в плоском канале применяют так называемые индикаторные функции [12]:
(р1 = ydu / dy , (р2 = (у / u )(du / dy).
Физический смысл индикаторов в том, что если (рх = const, то профиль скорости логарифмический; если Pi = const, то профиль скорости степенной. Для тригонометрического профиля (8) индикаторная функция есть
р3 = (du /dy )/(1 + u2) = 1.
Результаты вычислений говорят о том, что в данном классе решений отсутствуют конечные отрезки значений координаты у , на которых P1 либо Pi постоянны. Это значит, что профиль скорости (8), формирующийся под воздействием нелинейной внешней силы трения, существенным образом отличается во всех своих точках и от логарифмического и от степенного законов.
Ньютоновская жидкость. В ньютоновском изобарическом варианте (у = 0, р = р0 = const) свойства движения (8) не являются формальным следствием результатов, полученных при у> 0 .
Дело в том, что при у = 0 изменяется структура формулы (9): теперь Z = 2(1 + u 2), и автоматически выполнены требования Z> 0, dZ/d(u2) > 0. Расчет констант, входящих в формулы решения, выполняем по следующей схеме.
Коэффициент сопротивления конечен и изменяется в интервале Ze [Z1, Z2], где Z1 = Z(u = 0) > 0, Z2 =Z(u = u2) = UZ1. Из физических соображений полагаем, что Z1 и Z2 различаются не слишком сильно: Z2 — Z1 = (U — 1)Z1, 1 < U < 2. Это означает, что данное решение описывает течение, для которого знаменатель дроби в (8) не только положителен, но и не меньше единицы. Коэффициенты Z1, Z2 могут зависеть от кинематической вязкости V и от других параметров, определяющих силу трения. Коэффициент сопротивления имеет вид
' Z — 0 u1 Z1
Следовательно, в нашем распоряжении четыре исходные константы V , Z1, Z2, ui, которые позволяют вычислить остальные параметры решения:
Z = Z1
1+
2
u1
yi = 2v/Z1, ui = ui/(U — 1), 0<2y2/y1 = arccos[(2 — U)/U]<n/2.
В решении (8) параметры u1, y1, y2 несут (посредством Z1, Z2) информацию о внешнем сопро-
тивлении и вязкостных свойствах системы «жидкость - граничные стенки».
В статье [13] показано, что для двумерных течений несжимаемой ньютоновской жидкости выполнено равенство
vA v = 2 vd х w , (15)
где A - оператор Лапласа, vd - диффузионная скорость движения вихря, vd = V(rot w х w)/ w2. Для течения (8) свойство (15) выполнено, а диффузионная скорость параллельна оси у и ее алгебраическая величина равна
vd =—2vu/(y1u1) = — u[2VdZ/d(u2)]1/2 <0. (16)
Значит, вектор vd направлен от подвижной стенки к неподвижной. Очевидно, что для течения
чистого сдвига (u ~ у , р = const, a>z = const, Z = 0) имеем vd = —(v / a>z )(da>z / dy) = 0 . Таким об-
разом, диффузионная скорость (16) генерируется внешним сопротивлением течению.
Заключение. Отличительная черта рассмотренных процессов - наличие нелинейной внешней силы трения. Дано аналитическое описание течения Куэтта с тригонометрическим профилем скорости (8). Обсуждены реологические модели Максвелла и Ньютона. Для жидкости с релакси-рующими вязкими напряжениями коэффициент сопротивления проявляет себя на фоне неравновесной завихренности, для которой линейный масштаб релаксации равен L = ущ. Взаимное влияние неоднородности и неравновесности вихревого поля - причина нетривиального поведения производной д(ю2)/dU на подвижной и неподвижной стенках, см. (13), (14). Представленный пример движения ньютоновской жидкости принципиально отличается от обычного течения чистого сдвига существованием ненулевой скорости диффузии вихря, направленной от подвижной стенки к неподвижной.
Литература
1. Седов, Л.И. Механика сплошной среды: в 2 т. / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1973. - Т. 1. -536 с.
2. Астарита, Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Марруччи. - М.: Мир, 1978. - 309 с.
3. Лойцянский, Л.Г. Наследственные явления в турбулентных движениях/ Л.Г. Лойцян-ский // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1982. - № 2. - С. 5-19.
4. Корнилов, В.И. Пространственные пристенные турбулентные течения в угловых конфигурациях / В.И. Корнилов. - Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000. -399 с.
5. Гледзер, Е.Б. Системы гидродинамического типа и их применение / Е.Б. Гледзер, Ф.В. Должанский, А.М. Обухов. - М.: Наука, 1981. - 368 с.
6. Обухов, А.М. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование/ А.М. Обухов // Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38, Вып. 4. - С. 101-111.
7. Должанский, Ф.В. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений / Ф.В. Должанский, В.А. Крымов, Д.Ю. Манин // Успехи физических наук. - 1990. - Т. 160.
- Вып. 7. - С. 1-47.
8. Должанский, Ф.В. О механических прообразах фундаментальных гидродинамических инвариантов и медленных многообразий/ Ф.В. Должанский // Успехи физических наук. - 2005. -Т. 175, № 12. - С. 1257-1288.
9. Кластерная модель структуры расплавов в погранслое и ее гидродинамическое описание при моделировании процессов кристаллизации полупроводников в космосе / А.В. Картавых, М.Г. Мильвидский, В.П. Гинкин и др. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2004. - № 6. - С. 91-98.
10. Шабловский, О.Н. Нелинейные волновые уравнения и конкуренция источников энергии в двухкомпонентных системах / О.Н. Шабловский // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: сб. науч. тр. - М.: Янус-К., 2010. -Вып. 13. - С. 78-89.
11. Шабловский, О.Н. Динамика вихрей и теплоперенос в потоке вязкой жидкости / О.Н. Шабловский. - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2001. - 142 с.
12. Wosnik, M. A theory for turbulent pipe and channel flows / M. Wosnik, L. Castillo, W.K. George // J. Fluid Mech. - 2000. - V. 421. - P. 115-145.
13. Дынникова, Г.Я. Движение вихрей в двумерных течениях вязкой жидкости / Г.Я. Дын-никова // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2003. - № 5. - С. 11-19.
Поступила в редакцию 10 февраля 2011 г.
TRIGONOMETRICAL PROFILE OF THE VELOCITY OF THE SHEAR FLOW OF THE VISCOUS FLUID
O.N. Shablovsky1
A new exact analytical solution for stationary hydrodynamics equations are given with account of external resistance force. Basic elements of the research: relaxation properties in the shear flow; vortic-ity at small and large velocity gradients; diffusive rate of movement of vortex.
Keywords: resistance force, Couette flow, vorticity diffusion, indicator function, stress relaxation.
References
1. Sedov L.I. Mehanika sploshnoj sredy (Continuum mechanics). Moscow, Nauka, 1973. Vol. 1. p. 536. (in Russ.).
2. Astarita G., Marrucci G. Osnovy gidromehaniki nen'jutonovskih zhidkostej (Principles of non-Newtonian fluid mechanics). Moscow, Mir, 1978. 309 p. (in Russ.) [Astarita G., Marrucci G. Principles of non-Newtonian fluid mechanics. McGhaw-Hill, 1974.].
3. Lojcjanskij L.G. Izv. AN SSSR. Mehanika zhidkosti i gaza. 1982. no. 2. pp. 5-19. (in Russ.).
4. Kornilov V.I. Prostranstvennye pristennye turbulentnye techenija v uglovyh konfi-guracijah (Spatial wall turbulence flow in a corner configurations). Novosibirsk: Nauka. Sibirskaja izdatel'skaja firma RAN, 2000. 399 p. (in Russ.).
5. Gledzer E.B., Dolzhanskij F.V., Obukhov A.M. Sistemy gidrodinamicheskogo tipa i ih prime-nenie (Systems of hydrodynamic type and their application). Moscow, Nauka, 1981. p. 368. (in Russ.).
6. Obukhov A.M. Russian Mathematical Surveys. 1983. Vol. 38, no. 4, pp. 113-126. [Obukhov A.M. Techenie Kolmogorova i ego laboratornoe modelirovanie (Kolmogorov flow and laboratory simulation of it). Uspehi Matematicheskih Nauk. 1983. Vol. 38, no. 4. pp. 101-111. (in Russ.)].
7. Dolzhanskii F.V., Krymov V.A., Manin D.Yu. Stability and vortex structures of quasi-two-dimensional shear flows. Sov. Phys. Usp. 1990. Vol. 33, no. 7. pp. 495-520. DOI: 10.1070/PU1990v033n07ABEH002605. [Dolzhanskij F.V., Krymov V.A., Manin D.Ju. Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 1990. Vol. 160, no. 7. pp. 1-47. DOI: 10.3367/UFNr.0160.199007a.0001 (in Russ.)].
8. Dolzhanskii F.V. On the mechanical prototypes of fundamental hydrodynamic invariants and slow manifolds. Phys. Usp. Vol. 48. pp.1205-1234. [Dolzhanskij F.V. Uspehi fizicheskih nauk. 2005. Vol. 175, no. 12. pp. 1257-1288. DOI: 10.3367/UFNr.0175.200512a.1257 (in Russ.)].
9. Kartavyh A.V., Mil'vidskij M.G., Ginkin V.P., Zabud'ko M.A., Naumenko O.M. Poverhnost'. Rentgenovskie, sinhrotronnye i nejtronnye issledovanija. 2004. no. 6. pp. 91-98.
10. Shablovskij O.N. Nelinejnye volnovye uravnenija i konkurencija istochnikov jenergii v dvuhkomponentnyh sistemah (Nonlinear wave equations and sources of energy competition in two-component systems) Fundamental'nye fiziko-matematicheskie problemy i modelirovanie tehniko-tehnologicheskih sistem: sb. nauch. tr. (The fundamental physical and mathematical problems and modeling of technical and technological systems: Proceedings). Moscow, Janus-K., 2010. no. 13. pp. 78-89.
11. Shablovskij O.N. Dinamika vihrej i teploperenos v potoke vjazkoj zhidkosti (Vortex dynamics and heat transfer in a viscous fluid). Gomel': GGTU im. P.O. Sukhogo, 2001. 142 p.
12. Wosnik M., Castillo L., George W.K. A theory for turbulent pipe and channel flows. J. Fluid Mech. 2000. Vol. 421. pp. 115-145.
13. Dynnikova G.Ja. Izv. RAN. Mehanika zhidkosti i gaza. 2003. no. 5. pp. 11-19.
1 Shablovsky Oleg Nikiphorovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Technical Mechanics Departament, Machine Building Faculty, Gomel Sate_Technical^niversity._e-mail:_shablovskyon@yandexj:[email protected]^^^^^^^^^^^^^^^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^^_
