Конкуренция источника и стока импульса в потоке вязкой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516

КОНКУРЕНЦИЯ ИСТОЧНИКА И СТОКА ИМПУЛЬСА В ПОТОКЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ, И. А. КОНЦЕВОЙ, А. А. ХОРТ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь

Ключевые слова: сила трения Релея, завихренность, нелинейный коэффициент сопротивления, источник импульса, сток импульса, объемный источник энергии.

Введение

Изучение воздействия массовых сил на течение несжимаемой жидкости - актуальная задача гидродинамики. Прикладные аспекты этой проблемы связаны с природными и технологическими процессами, в которых пространственно-периодическая неоднородность гидродинамических и тепловых полей приводит к интенсификации переноса импульса и энергии. Весьма распространенный является ситуация, когда в потоке жидкости наблюдается взаимодействие двух конкурирующих друг с другом массовых сил, а результатом конкуренции является формирование периодических структур. В данной работе мы рассматриваем эту задачу с учетом следующих физических явлений: нелинейные свойства силы сопротивления, неизотермичность течения, вязкоупругость жидкости. Плоское двумерное стационарное течение несжимаемой сплошной среды определяется уравнениями [1]:

du. dp drik „ puk —L = —— + —k + pFt,

dx,k

dx, dx,

_du

dx,,

= 0;

(1)

Pcp uk

dT dq, , л dT

— = —— + ф + qu, q< = -A—;

dx, dx, dx,

(2)

Ф = тп

du1 dx.

• + x2

du2 dx2

'du2 du, ^

dx1 dx

2 J

v = д / p, i, к = 1, 2; p, cp, A, д - const.

Реологическое уравнение состояния вязкоупругой жидкости Максвелла [2] возьмем в следующей форме записи:

1, +г

uk

dx,

■ + m(4 © к« ©,k 4)

= 2Де,,;

(3)

2e.,. =

du. du,

2©« =

du,. du,

u dx,. dx ' u dx,. dx,

J . J .

где x1 = x, x2 = y - декартовы прямоугольные координаты; и(ц,и2)- вектор скорости; р - плотность; p - давление; F(F1,F2) - вектор массовой силы; T - температура; q(q1, q2) - вектор удельного теплового потока; cp - удельная теплоемкость; X -коэффициент теплопроводности; qu - объемная мощность внутренних источников энергии; х1}- - компоненты девиатора тензора напряжений; etj - компоненты тензора скоростей деформации; д - коэффициент динамической вязкости; у - время релаксации вязких напряжений; Ф - диссипативная функция. Дважды повторяющийся индекс к означает суммирование. Дифференциальный оператор в (3) при m = 1 есть конвективная производная Яуманна, при m = 0 - обычная субстанциональная производная. При у = 0 формула (3) описывает свойства вязкой ньютоновской жидкости.

Производство энтропии подсчитываем по формулам [1], [3]:

0 = 0e + 01, 0e = qu / T, о = q7(XT2)

где о e - производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой; о 1 - производство энтропии за счет внутренних необратимых процессов.

Объемный источник энергии qv(и2, T) моделирует воздействие внутренних источников тепла и теплообмен жидкости с внешней средой. Для представленной здесь задачи вид функции источника детерминирован структурой применяемого аналитического решения. Для диссипативной функции Ф принимаем оценку Ф << |qu|, т. е. рассматриваем процессы, для которых можно пренебречь выделением тепла за счет вязкой диссипации энергии.

Сила трения Рэлея F = FR = -Си дает возможность моделировать широкий круг термогидродинамических явлений, представляющих практический интерес: периодические течения в тонких слоях жидкости [4], вихревые структуры в задачах промышленной экологии и прикладной геофизики [5]. Кроме того, такой подход позволяет учитывать наличие кластерных образований в полупроводниковых расплавах [6]. В работах [5], [6] применялся линейный вариант силы трения: С = const. В рамках

приближения С ~ U в [4] построены гидродинамические системы, описывающие

каскадный процесс преобразования энергии в турбулентном потоке.

Далее полагаем, что коэффициент сопротивления зависит от температуры T ,

монотонно растет при увеличении |и| и является четной функцией скорости:

С = С(и2, t), ас/а(и2) > о.

Здесь мы рассматриваем случай, когда в потоке жидкости присутствует источник импульса, конкурирующий с внешней силой трения Рэлея. Данная работа продолжает исследования [7]-[10] и имеет следующие цели: 1) проанализировать закономерности формирования периодических полей скорости и температуры в условиях конкурентного взаимодействия источника и стока импульса; 2) сравнить друг с другом свойства течений вязкоупругой и ньютоновской жидкостей.

Периодическое течение. Будем изучать течение вида

ц = и = u(yX U2 = a p = p(y\ T = T(y). (4)

Вихрь скорости w = (1/2) rot и имеет одну нетривиальную составляющую юг -ю = (-1/2)(du/dy), направленную перпендикулярно плоскости (x,y). Обозначим т = (c1 / u1 )(T - T0), T0 - const, где T0 - отсчетное значение температуры; c1 -произвольная положительная постоянная, имеющая размерность удельной теплоемкости, Дж/(кг • град); y1, u1- положительные константы, имеющие размерности длины и скорости, соответственно; линейный масштаб релаксации равен L1 = yu1. Безразмерные величины будем отмечать чертой сверху. Для коэффициента сопротивления и для объемного источника энергии возьмем следующие физически содержательные зависимости:

С - Су 2 / v = DD; (5)

D1 = (1 - 4Г) /(1 + 4Г)2, Г = (утю )2; (6)

D2 = 2(1 - 3Т2 + u2); (7)

qu - q^Ayf /(Xu?) = 2т(т2 - 3u2 -1); (8)

у = yu1 / y1, Ю = ray1 / u1, du / dy = -2Ю.

Функция Г(y) характеризует неравновесные свойства вихревого поля. В классе движений (4)-(8) уравнения (1)-(3) имеют, согласно [8], точное решение:

u -u/u1 = 2s[sin(2y)]/5, т-т/u1 = (1 -s2)/5; (9)

5 = 1 + s2 + 2s cos(2y), y = y /y1, y1 > 0, u1 > 0.

du /dy = -2Ю = 2т(т1 - т), v = v /(u1 y1);

p = -ут12du / dy, т12 = v(du / ^)[1 + (ydu / dy)2 ; qD = 4т(-3т1т + 2т2 +1), т1 = (1 + s 2)/(1 -s2);

°e = qu / T , О =(u11q / T)2, °=°e .

Тепловой поток подсчитывается по формуле

q = -XdT/dy, q - qc1 y1 /(Xu2) = -2ux .

Температурное поле характеризуется следующими индикаторными функциями:

_dx ^ y dT Ф1 = y—, Ф2 —. dy т dy

Ясно, что 5 > 0 при s2 -ф-1; s - параметр решения. Если s2 < 1, то т> 0, течение происходит в горячей области, T > T0. Если s2 > 1, то т< 0, имеем холодную область, 0 < T < T0.

Решение (9) определяет течение вязкоупругой жидкости с объемным источником энергии (8) и с двумя конкурирующими источниками импульса:

F11 = -U Сг, сr = 2 А(1 + u2), F12 = 6Д т 2U, (10)

где Cr - коэффициент сопротивления; Fn- внешняя сила трения (сток импульса); F12 - источник импульса, конкурирующий с силой сопротивления. Оба эти источника мультипликативным образом зависят от D1 = D,(r), (см. (6)), результирующая массовая сила F1 = F11 + F12 действует в продольном (вдоль оси OX) направлении. Условие Сr - 0 выполнено при Г(y) < 1/4, а это приводит к неравенству у2m2 ©L < 1/4, которое справедливо при подходящем выборе у. В случае (10) наблюдается периодическое течение при y е (-да, да), 82 * 1.

Результаты расчетов. На рис. 1 представлены зависимости физических параметров течения от безразмерной координаты y / л. На каждом периоде колебаний наблюдается перемена знака скорости и теплового потока. Немонотонное поведение завихренности © соответствует немонотонному поведению коэффициента сопротивления Сr. Например, при y/ле (0, 1) минимальное значение |©| . достигается

при (С r )min . Графики зависимостей индикаторных функций Ф1 и Ф2 демонстрируют отличие температурного профиля от степенного ( Ф1 = const) и логарифмического (Ф2 = const) вариантов. Результирующая массовая сила F11 + F12 является знакопеременной и немонотонной: на каждом периоде колебаний эта сила имеет один максимум и один минимум. Вместе с тем источник энергии qu при y/ле (0, 1) имеет

два минимума и один максимум. Сравнение свойств вязкоупругого и ньютоновского течений дано на рис. 2 (горячая область) и рис. 3 (холодная область). Видим, что различия между горячей и холодной областями при у - 0 имеют количественный характер, а в качественном отношении эти процессы одинаковые. В каждый из температурных областей качественные различия между течениями (у > 0) и (у = 0) обусловлены, прежде всего, релаксацией вязких напряжений в жидкости Максвелла: на рис. 2 и 3 зависимость т12 от т обладает отчетливо выраженной немонотонностью, и при этом наблюдаются два экстремума: максимум и минимум.

Это обстоятельство оказывает значительное влияние на поведение источника импульса F12 как функции температуры т . Отметим еще, что в данном случае течение ньютоновской жидкости - изобарическое. Влияние конечного времени релаксации у > 0 на поведение давления и производства энтропии показано на рис. 4. Здесь

следует отметить, что модуль |ое| (воздействие энергообмена с внешней средой) в количественном отношении значительно превосходит о, (влияние внутренних необратимых процессов).

Вихрь скорости © = т(т - т1) нелинейно зависит от температуры жидкости и существенно влияет на сток и источник импульса посредством Dx: Сr = 2D1(2t1 т-т2) , D1 > 0, dD1 /dr< 0, Г = у2m2(т1 т-т2)2.

и

-1 -2

С,

4 2 у

У / л

6 "

2 ■

-2-1 0 1 2 у / л

ю 2

-2

У / л

4

-2

-5 -10

1

2 у / л

^11 + ^12 20

1

пег

-40-1-

2 У / Л

| 40-20- •

-ГТ1

-20-1-

Шпл

2 у / Л

Ф

-2 \-1

1

20"

-20-1-

1

Ц 2 у / л

Ф

2 у / л

-10

Рис. 7. Конкуренция источника и стока импульса. Зависимость безразмерных параметров течения от безразмерной координаты. Горячая область. Входные параметры: е = -0,5; у = 0,12; т = 1; V = 1; и11 = 0,5; у е [-2л; 2л]

5

Рис. 2. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. Левый столбец - вязкоупругая жидкость, у = 0,12. Правый столбец - ньютоновская

жидкость, у = 0. Горячая область. Входные параметры: е = -0,5; m = 1; V = 1; u11 = 0,5;

у е [-2л; 2л]

Рис. 3. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. Левый столбец - вязкоупругая жидкость, у = 0,12. Правый столбец - ньютоновская жидкость, у = 0. Холодная область. Входные параметры: е = -1,7; m = 1; V = 1;

= 0,5; у е [-2л; 2л]

20"

10- ■

лтшпл

-10

У / л

2 У / л

Рис. 4. Давление, завихренность и производство энтропии в неизотермическом потоке вязкоупругой жидкости. Горячая область. Входные параметры:

е = -0,5; у = 0,12; m = 1; V = 1; u11 = 0,5; у е [-2л; 2л]

Обсудим вихревые и энтропийные свойства линий неподвижности течения й = 0, 2у/у1 = лп0, где п0 = 0, ± 1, ± 2, ..., любое целое число. Параметр е > 0 характеризует |Ш| на линиях неподвижности: Ш = -2е < 0 при четном п0 (далее для

краткости - линия ш- ), Ш = 2е > 0 при нечетном п0 (далее - линия ш+ ). На этих линиях йш / йу = 0, поэтому знакопеременная функция Ш(у) имеет точку перегиба (й2 Ш / йу2 = 0), расположенную между двумя соседними линиями неподвижности. Точки перегиба профиля температуры т(у) также находятся между теплоизолированными (^ = 0) линиями й = 0. Точка экстремума йш / йх = 0) существует при х = х* = х1 / 2 . Следовательно, максимум (Ш2)тах достигается на той изотерме х = х*, на которой уравновешиваются сток и источник импульса, + ¥12 = 0. Линия равновесия импульсов существует в холодной области при 2 < е < 3, в горячей области при 0,3 < е < 0,6. Линиям неподвижности ш- и ш+ соответствуют температуры

е

То = (1 -б)/(1 + в) и Тд = (1 + в)/(1 -в), которые будем рассматривать как аргументы производства энтропии а = ае, а = 0.

Холодная область: на линиях ш- происходит сток энергии < 0, и отсутствует экстремум функции а(т0). На линиях ш+ имеем > 0, и существует ат1п при 1 < в < (2 + л/3); справа от порогового значения в = 2 + >/3 существует атах при (2 + л/3) < в < (5 + 2>/б) ; дальнейший рост в = Ш/2 приводит к исчезновению экстремума функции а(Тд).

Горячая область: на линиях ш+ происходит сток энергии, < 0, и существует ат1п при (5 - 276) < в < (2 - л/3); справа от порогового значения в = 2 - у[3 существует атах при (2 - >/3) < в < 1. На линиях ш- при всех в е (0, 1) имеем ат1п и > 0 . Значит, в горячей области при (5 - 2л/6) < в < (2 - -\/3) на всех линиях неподвижности имеем ат1п; по мере роста в получаем для (2 — л/3) < в < 1 перемежаемость типов экстремума ат1п и атах на линиях неподвижности с разными знаками Ш. В холодной области нет перемежаемости типов экстремума. Общее свойство для холодной и горячей областей: на линиях ш+ в соответствующих интервалах в при возрастании в происходит смена типа экстремума ат1п на атах.

Теперь рассмотрим линии нулевой завихренности ш = 0:

2у/у = 2лп0 ±агссов[-2в/(1 + в2)], т = т1, (й2)тах = 4в2/(1 -в2)2.

Ясно, что г /= 0, /$Т= 0 именно на линиях ш = 0. Следовательно, знак производной г / меняется при переходе через линию ш = 0.

Заключение

В результате приведенных исследований изучен класс неизотермических плоских течений вязкой несжимаемой жидкости при конкурентном взаимодействии двух массовых сил. Внешняя сила трения (сток импульса) и источник импульса, нелинейно зависящий от температуры, генерируют пространственно-периодическое движение. Подробно рассмотрены две реологические модели жидкости: вязкая ньютоновская и вязкоупругая жидкость Максвелла. Обнаружены нетривиальные свойства этого течения, проявляющиеся на линиях неподвижности и линиях нулевой завихренности, а также представлены результаты численных расчетов, позволившие выполнить сравнение свойств вязкоупругого и ньютоновского течений. Изучены качественные и количественные свойства скорости, температуры, давления, вязких напряжений, вихря скорости и производства энтропии, определена роль релаксации вязких напряжений в формировании поля давления.

Литература

1. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1973. - Т. 1. -536 с.

2. Астарита, Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Марруччи. - М. : Мир, 1978. - 309 с.

3. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - М. - Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2006. - 528 с.

4. Гледзер, Е. Б. Системы гидродинамического типа и их применение / Е. Б. Гледзер, Ф. В. Должанский, А. М. Обухов. - М. : Наука, 1981. - 368 с.

5. Должанский, Ф. В. О механических прообразах фундаментальных гидродинамических инвариантов и медленных многообразий / Ф. В. Должанский // Успехи физ. наук. - 2005. - Т. 175, № 12. - С. 1257-1288.

6. Кластерная модель структуры расплавов в погранслое и ее гидродинамическое описание при моделировании процессов кристаллизации полупроводников в космосе / А. В. Картавых [и др.] // Поверхность. Рентген., синхротрон. и нейтрон. ис-след. - 2004. - № 6. - С. 91-98.

7. Шабловский, О. Н. Тригонометрический профиль скорости сдвигового течения вязкой жидкости / О. Н. Шабловский // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 5, № 32 (249). - С. 77-82.

8. Шабловский, О. Н. Вихрь скорости и производство энтропии в релаксирующем потоке вязкой жидкости с внутренними источниками / О. Н. Шабловский // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энергет. об-ний СНГ. - 2011. - № 5. -С. 55-65.

9. Шабловский, О. Н. Инвариантная завихренность и тепловое состояние ползущего течения жидкости сквозь проницаемую мембрану / О. Н. Шабловский // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2014. - Т. 6, № 1. - С. 59-66.

10. Шабловский, О. Н. Гидродинамические и тепловые аспекты кластерной модели структуры расплава. Часть 2. Два типа температурной зависимости силы сопротивления кластерных образований / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2016. - № 2. - С. 65-73.

Получено 28.05.2019 г.