Гидродинамические и тепловые аспекты кластерной модели структуры расплава часть 2. Два типа температурной зависимости силы сопротивления кластерных образований Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТР ОТЕХНИ КА И ЭНЕРГЕТИКА

УДК 532.516

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ АСПЕКТЫ КЛАСТЕРНОЙ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ РАСПЛАВА

ЧАСТЬ 2. ДВА ТИПА ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ КЛАСТЕРНЫХ ОБРАЗОВАНИЙ

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ, И. А. КОНЦЕВОЙ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь

Введение

Продолжим исследование [1] гидродинамической задачи Куэтта, классическая постановка которой расширяется нами по следующим направлениям: 1) учет релаксации вязких напряжений; 2) учет нелинейной внешней силы трения Рэлея, действующей в неизотермических условиях. Сила трения Гк = -£и служит моделью сопротивления, которое оказывают течению кластерные образования в расплаве полупроводников [2]. Цель второй части статьи - изучить неклассические профили скорости и температуры в вязкоупругом потоке, испытывающем воздействие силы сопротивления и объемного источника энергии; проанализировать тепловое состояние вязкого течения при конкуренции источника и стока импульса.

Свойства неизотермического течения

Точное аналитическое решение уравнений гидродинамики вязкоупругой жидкости Максвелла имеет вид [3], [4]:

и = и / и1 = 2в[вт(2 у)]/ 5, т = т / и1 = (1 -в2)/5, 5 = 1 + в2 + 2в ео8(2у); (1) С - С? /V = Д Д, Д = (1 -4Г)/(1 + 4Г)2, Г = (утш)2, Д = 41(1! - 2т), (2) ^/ ф = -2Ж = 2т(т1 -т), у = у / у1, у1 > 0, и1 > 0, V = v /(и1 у1);

Чи = ЧАУ2/(Ю = 4т(-3т1т + 2т2 +1), Т1 = (1 + в2)/(1 -в2), (3)

р = -ут12^ / ф, т12 = V(<Ш / ¿у)1 + (у^щ / ^у )2 ]" , О = Чи/ Д о,. =(и„Ч / Г^ а = ае + а,.

Здесь в - параметр решения; 5> 0 при в2 ^ 1. Изотермический режим (в = 1) был изучен в [1]. Если в2 < 1, то т> 0, течение происходит в «горячей» области, Т > Т0. Если в2 > 1, то т< 0, имеем «холодную» область, 0 < Т < Т0. Безразмерные величины отмечены чертой сверху. Смысл всех применяемых обозначений раскрыт в статье [1]. Напомним только, что и - скорость; Т - температура; С - коэффициент сопротивления; ди - объемная мощность внутренних источников энергии; т = (с1 / и1)(Т - Т0);

T0 - отсчетная температура; у - поперечная потоку координата; c1, уг, u1- положительные константы, имеющие размерности удельной теплоемкости, длины, скорости соответственно; ш - завихренность; у - время релаксации вязких напряжений;

X - коэффициент теплопроводности; v - кинематическая вязкость; г12 - вязкое касательное напряжение; p - давление; ае - производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой; - производство энтропии за счет внутренних необратимых процессов; m = 1 для вязкоупругой жидкости; m = 0 для ньютоновской жидкости. Корреляция «скорость-температура» характеризуется выражением (12) из [1]. Тепловой поток подсчитывается по формуле

q = -XdT/dy, q = qc1 y1/(Xu12) = -2йт. (4)

Решение (1) позволяет изучить течение Куэтта между параллельными плоскими непроницаемыми стенками; одна стенка неподвижна, а другая перемещается в своей плоскости с постоянной скоростью u2 = u(у2) > 0, 2у2 /у1 = л /2. Изучаем два интервала. Левый интервал: 2у е[0, л /2], левая граница неподвижна. Правый интервал: 2у е[л/2, л], правая граница неподвижна. Для обоих интервалов неподвижная стенка теплоизолирована, а температура подвижной стенки равна т(у = у2); расстояние между стенками есть у1л / 4. На обоих интервалах s < 0, профили скорости и температуры монотонные по координате у.

Тепловой режим на границах обладает следующими свойствами. Левый интервал: в «холодной» области на неподвижной стенке имеем объемный сток энергии, qu (у = 0) < 0, тепло подводится через подвижную стенку, q(у = у2) < 0 и qD (у = у2) > 0; в «горячей» области на неподвижной стенке имеем объемное выделение энергии, qD (у = 0) > 0, тепло отводится через подвижную стенку, q(у = у2) > 0

и qu (у = у 2) <

Правый интервал: в «холодной» области имеем объемное выделение энергии на обеих стенках, qD (2у = л /2) > 0, qD (2у = л) > 0, и тепло отводится через подвижную стенку, q(2у = л /2) < 0; в «горячей» области происходит объемный сток энергии на обеих стенках, и тепло подводится через подвижную стенку, q(2y = л /2) > 0.

При экспериментальном изучении изотермических турбулентных течений жидкости в плоском канале применяют так называемые индикаторные функции [5]:

ф1 = ydu / dy, ф2 = (у / u )(dU / dy).

Физический смысл индикаторов в том, что если ф1 = const, то профиль скорости логарифмический; если ф2 = const, то профиль скорости степенной. В изотермическом варианте для профиля скорости (1) индикаторная функция есть

ф3 = (du / dy) /(1 + u2) = 1.

При s2 -ф-1 из формулы (4) для теплового потока получаем индикатор

ф4 = q /(мг) = -2.

Температурное поле характеризуется следующими индикаторными функциями:

_Ст ^ у Ст Ф1 = У—, Ф2 = =—•

Су т Су

Расчеты показывают, что профили скорости и температуры (1), формирующиеся под воздействием нелинейной внешней силы трения, существенным образом отличаются во всех своих точках и от логарифмического и от степенного законов.

Некоторые результаты подробного численного анализа динамических и тепловых процессов в «горячей» и «холодной» областях представлены на рис. 1-3. Каждая группа расчетов состоит из двух частей: 1) построение профилей изучаемых величин в зависимости от безразмерной поперечной координаты у; 2) построение функциональных связей между параметрами течения, раскрывающих физическое содержание изучаемого явления. Основное внимание обращено на неизотермические свойства завихренности и на роль температурного фактора в формировании поля давления, вязкого напряжения, теплового потока, коэффициента внешнего сопротивления и производства энтропии. Безразмерный параметр и11 = м12 /(с1Т0) несет информацию о

соотношении между кинетической и тепловой энергиями в системе «жидкость - источник энергии».

В ходе вычислений размеры левого и правого интервалов уточняются на основе ограничения £ > 0. В «горячей» области различия между левым [0,1л:; 0,25л] (рис. 1) и правым [0,25л; 0,5л] интервалами имеют только количественный характер; для правого интервала графики расчетов не приводятся. В «холодной» области (рис. 2 и 3) наблюдаются существенные отличия в поведении всех гидродинамических и тепловых параметров для левого и правого интервалов. Это объясняется температурными свойствами £ = £(т). Таким образом, на рис. 1-3 показаны свойства трех различных течений Куэтта. Существенно, что в «холодной» области на правом интервале имеем ^-тип сопротивления: С£ /Ст > 0 (рис. 3).

В «горячей» области на левом интервале по мере роста температуры т, т. е. при удалении от равновесной температуры Т0, происходит переключение «£■ ^ I» типа сопротивления; это хорошо видно на графике функции £ = £ (т) в правом верхнем углу рис. 1. На левом интервале в «холодной» области (рис. 2), зависимость £(т) немонотонная, тоже имеет максимум: т = т*, С£ /Ст = 0, С2£ / Ст2 < 0, но направление переключения здесь другое. При удалении от равновесной температуры Т0, т. е. при возрастании |т|, происходит переключение «I ^ £» типа сопротивления. Физическое содержание двух названных типов сопротивления раскрыто в [1].

Что касается производства энтропии, то здесь мы отметим только качественные его свойства. «Горячая» область: для левого и правого интервалов дое / 5т < 0,

ое < 0; доi / дт > 0, о^ > 0. «Холодная» область: для левого интервала ое(т) - знакопеременная монотонная функция, дое / дт > 0; вместе с тем о^ > 0, причем о^ (т) -немонотонная функция, имеющая максимум при т = -2,5. Для правого интервала обе функции ое (т) и о (т) - положительные, монотонно убывающие.

Рис. 1. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. «Горячая» область, левый интервал: у е [0,1л; 0,25л].

Входные параметры: в = -0,9; у = 0,1; т = 1; V = 1; ми = 0,5

С 2"

1--

Ч

0

-2" -4"

Р

-0,6---0,8-

Х12

-0,2-0,4" "0,6

4 ю

С

\ 2 '

1 "

-3 -2,5 -2 - 1,5 I

1 1 - 3 - 2,5 \ - 2 - 1,5 I

-2 -

-4 -

-6 -

> ■ Р

4 ю " 3 - 2,5 - 2

1,5 I

-0,6 --0,8 --1

ю 4 -2 -

- 3 - 2,5 - 2 - 1,5 I

Рис. 2. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. «Холодная» область, левый интервал: у е [0,01тс; 0,085тс].

Входные параметры: е = -2; у = 0,1; т = 1; V = 1; ип = 0,5

Я 1 1 1 Я

0,55 - 0,5 - 0,45/- 0,4 © - 0,8 - 0,7 - 0,6 - 0,5 у 0,4 х

/ - 0,5 - У" 0,5-

1 _ 1 . / - 1

Рис. 3. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. «Холодная» область, правый интервал: у е [0,25л; 0,5л].

Входные параметры: е = -2,4; у = 0,2; т = 1; V = 1; и11 = 0,5 Конкуренция источника и стока импульса

В работе [3] показано, что решение (1) определяет течение вязкоупругой жидкости с объемным источником энергии (3) и с двумя конкурирующими источниками импульса:

=-й1г, = 2Д(1 + и2), Ё12 = 6Дт2й. (5)

Здесь £г - коэффициент сопротивления; Д- внешняя сила трения (сток импульса); ¥Х1 - источник импульса, конкурирующий с силой сопротивления. Оба эти источника мультипликативным образом зависят от Д = Д(Г) [см. (2)], где Г (у) определяет неоднородные и неравновесные свойства вихревого поля, имеющего линейный масштаб релаксации Ц =ум1; результирующая массовая сила ^ = Д + Д действует в продольном (вдоль оси ОХ) направлении. Условие £г > 0 выполнено при Г(у) < 1/4, а это приводит к неравенству у2т2ш"^ < 1/4, которое справедливо при подходящем выборе у.

В случае (5) наблюдается периодическое течение при у е (-да, да), в2 ^ 1. Результаты численного анализа представлены на рис. 4-6. Расчеты были проведены для «горячей» и «холодной» областей. Из-за периодичности течения получаем гистере-зисные (неоднозначные) связи теплового потока с завихренностью и температурой. Графики индикаторных функций Ф1(у), Ф2(у) говорят о принципиальных отличиях температуры Т(у) от степенного и логарифмического профилей. В «горячей» области имеем «£■ ^ I» режим переключения при сТ > 0 (рис. 4). В «холодной» области имеем «I ^ £» режим переключения при росте |т|. Эти варианты режимов переключения типов сопротивления аналогичны тем, что были получены для течений Куэтта (рис. 1, 2). На рис. 6 показаны нетривиальные свойства производства энтропии в зависимости от параметров и11 и в> 0. Напомним, что параметр и11 характеризует соотношение между кинетической и тепловой энергиями, а параметр в [см. (1)] определяет отклонение температуры жидкости от равновесного значения т = 0. Хорошо видно, что сильная чувствительность а к изменению в и и11 проявляется не только в количественном, но и в качественном отношениях.

Рис. 4. Конкуренция источника и стока импульса. Динамические и тепловые свойства течения в «горячей» области. Входные параметры: в = -0,1; у = 0,5; т = 1; V = 1; ии = 0,5; у е [-2л; 2л]

(окончание см. на с. 72)

р

0,2/ 0N ч 0,2 ©

^0,05 -

-0,1-

-0,05 -0,1 +

Ф1

Ф 2

2

2 у!л -2

-2 -1-

2 У / л

-2

Рис. 4. Окончание (начало см. на с. 71)

С г

2

1-1- -1-1-

-1

I-1-1-1

2 © -2 -1,5 -1 -0,5 х

Я 2+

-1

-2 -4-1-

-0,5 х -2 -

_4±

Рц +

10

-101

Я и 10--

I/ 2 у/л *

2 У / Л

Рис. 5. Конкуренция источника и стока импульса. Динамические и тепловые свойства течения в «холодной» области. Входные параметры: е = -3; у = 0,1; т = 1; V = 1; и11 = 0,1; у е [-2л; 2л]

1

Рис. 6. Конкуренция источника и стока импульса. Параметрические свойства производства энтропии в «холодной» (e > 1) и «горячей» (0 < e < 1) областях

Заключение

Изучены динамические и тепловые свойства трех новых сдвиговых течений типа течения Куэтта. Получены функциональные связи давления, касательного напряжения и теплового потока с завихренностью и с температурой. Построены индикаторные функции, иллюстрирующие неклассические свойства температурного профиля т = т(y). Обнаружены условия, при которых происходит переключение режимов сопротивления «g ^ l» и «l ^ g», обусловленное немонотонной зависимостью коэффициента сопротивления кластерных образований от температуры жидкости. Установлены свойства периодического по координате течения, которое есть результат конкурентного взаимодействия источника и стока импульса. Указаны закономерности поведения производства энтропии.

Литература

1. Шабловский, О. H. Гидродинамические и тепловые аспекты кластерной модели структуры расплава Часть l. Воздействие внешней силы сопротивления на завихренность вязкоупругого течения / О. H. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2016. - № 1. - С. 79-88.

2. Картавых, А. В. Кластерная модель структуры расплавов в погранслое и ее гидродинамическое описание при моделировании процессов кристаллизации полупроводников в космосе / А. В. Картавых [и др.] // Поверхность. Рентгеновские, син-хротронные и нейтронные исслед. - 2004. - № 6. - С. 91-98.

3. Шабловский, О. H. Вихрь скорости и производство энтропии в релаксирующем потоке вязкой жидкости с внутренними источниками / О. H. Шабловский // Изв. высш. учеб. заведений и энерг. об-ний СИГ. Энергетика. - 2011. - № 5. - С. 55-65.

4. Шабловский? О. H. ^линейные волновые уравнения и конкуренция источников энергии в двухкомпонентных системах / О. H. Шабловский // Фундамент. физ.-мат. проблемы и моделирование техн.-технол. систем. - 2010. - Вып. 1З. - С. 78-89.

5. Wosnik, M. A theory for turbulent pipe and channel flows / M. Wosnik, L. Castillo, W. K. George // J. Fluid Mech. - 2000. - Vol. 421. - P. 115-45.

Получено 05.04.2016 г.