CC BY
71ТЕРМОКАПИЛЛЯРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЖИДКОСТИ, ПОГЛОЩАЮЩЕЙ ВНЕШНЕЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
В.И. Якушин
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Исследуется термокапиллярная устойчивость равновесия плоского слоя жидкости с внутренним тепловыделением, ограниченного свободной и твердой поверхностями, в условиях невесомости. Тепловыделение в слое обусловлено поглощением внешнего излучения, которое происходит в соответствии с законом Бугера - Ламберта. Свободная граница предполагается недеформируемой с ньютоновским условием теплоотдачи. Для твердой поверхности рассмотрено два случая тепловых граничных условий: а) граница теплоизолированная; б) поверхность изотермическая с температурой, равной температуре окружающей среды. Линеаризованная система уравнений для плоских нормальных возмущений скорости и температуры решалась численно методом Рунге - Кутты. Построены нейтральные кривые, зависимости критических значений числа Марангони Ма от числа Био Ы и параметра, характеризующего поглощение внешнего излучения жидкостью (оптической толщины). Для слоя с изотермической твердой поверхностью пороговое значение числа Марангони с ростом Ы изменяется немонотонно: для Ы < 3 оно быстро убывает, а затем с увеличением Ы сравнительно медленно возрастает. Обнаружен новый тип термокапиллярной неустойчивости. Рассматриваемая система в случае Ы < 1 оказывается неустойчивой и для отрицательных значений Ма. Такая неустойчивость может возникнуть в слое жидкости с внутренним тепловыделением и аномальной зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры, или же в нормальной жидкости с внутренним поглощением тепла.
© Якушин В.И., 2007
Ключевые слова: плоский слой, внутреннее тепловыделение, закон Бугера, невесомость, термокапиллярная неустойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
Термокапиллярная неустойчивость механического равновесия в слоях жидкости в невесомости рассматривалась во многих работах [1]. Значительно меньше исследований случаев возникновения конвекции Марангони в жидкостях с внутренним тепловыделением, например [2, 3]. Обычно в работах по линейной теории устойчивости равновесное распределение температуры находится для свободной изотермической поверхности, а условие теплоотдачи используется только для возмущений. Это может вызвать существенные трудности при сравнении линейной теории с результатами нелинейного анализа. Как показано в работе автора [4], использование реалистических тепловых граничных условий обусловливает зависимость неоднородного равновесного градиента температуры от числа Био, что может приводить к неустойчивости и при отрицательных значениях числа Марангони.
Значительная неоднородность температурного градиента в слое жидкости может возникнуть при поглощении внешнего излучения. Целью настоящей работы является исследование возникновения термокапиллярной конвекции в жидкости при прохождении через неё внешнего излучения для реалистических тепловых граничных условий на свободной поверхности.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим возникновение конвекции Марангони в жидкости, поглощающей внешнее излучение, в условиях невесомости. Жидкость заполняет плоский бесконечный слой, ограниченный твердой поверхностью г = 0 и свободной границей г = И . Система уравнений, описывающая термокапиллярную конвекцию, включает уравнения переноса импульса, теплопроводности и непрерывности. Поглощение внешнего излучения, проникающего в жидкость через свободную поверхность, приводит к появлению в уравнении теплопроводности добавочного члена Q / рср, где Q - удельная мощность тепловыделения, р - плотность жидкости, ср - удельная теплоемкость. В соответствии с законом Бугера - Ламберта
Q = Qo(l - е-ЫИ-г)),
где а - коэффициент поглощения излучения.
Уравнения, описывающие конвекцию в приближении Обербека
- Буссинеска, имеют вид:
—+—(и У)и = -Ур + Аи,
3/ Рг
+ иУТ = АТ + Г1 - е“Ы(1-1>)
Э/
= 0.
В системе (1.1) для переменных задачи использованы обычные обозначения. В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, температуры и давления выбраны величины И,И2/V,%/И,дИ2 и ру%/И2, где V - кинематическая вязкость жидкости, % - температуропроводность, ад = Q0 И2 /(%рср). Уравнения содержат два безразмерных параметра: число Прандтля Рг = V / % и
оптическую толщину N = аИ .
Перейдем к обсуждению граничных условий. Свободная поверхность предполагается недеформируемой с коэффициентом поверхностного натяжения, линейно зависящим от температуры:
о(Т) = о0 - уТ , где у - температурный коэффициент. На ней выполняется ньютоновский закон теплоотдачи -к(ЭТ / Э7) = Р(Т - Г0); здесь к и Р - коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи соответственно, Т0 - температура окружающей среды, принятая за начало отсчета. В выбранных единицах измерения переменных задачи условия теплоотдачи и равенства вязких и термокапиллярных сил на свободной поверхности имеют вид:
ЭТ Эих ЭТ Эи у ЭТ
— = -Ы/Т , —- = -Ма— , —- = -Ма— , иг = 0.
Эг Эг Эх Эг Эу
Параметры Ма = удИ3 /пр% и Ы = РИ / к - числа Марангони и Био.
На твердой границе выполняются условия прилипания; она может быть теплоизолированной или изотермической:
гЬТ
и = 0; а) — = 0; б) Т = 0.
Эг
Сформулированная краевая задача имеет стационарное решение, соответствующее механическому равновесию:
u 0 = 0, To = N_ eN (z-1) -1 z2 + С, z + C2.
Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий. Для теплоизолированной твердой границы
e 1
С =---------С = —
Cl N ’ 4 N2
1 - — - Ne-N 2
Bi
1 -1+£_
NN
Для изотермической поверхности
С, =
Bi
N -1
N (1 + Bi) 1 + Bi
2(1 - e-N) - N2
2 N2
C2 =-
N2
Заметим, что для изотермической границы коэффициент Сх, определяющий градиент температуры, зависит от числа Био, тогда как для теплоизолированной поверхности такой зависимости нет.
Исследуем устойчивость этих равновесных распределений относительно малых нормальных возмущений скорости и температуры, пропорциональных exp[-1/ + i(kjX + k2y)], где 1 - декремент
возмущений. После стандартной процедуры линеаризации исходной системы (1.1) по малым возмущениям и исключения давления получим систему обыкновенных однородных дифференциальных уравнений для амплитуд возмущений z - компоненты скорости w (z) и температуры 0( z) :
-l( w'"-k2 w) = w"" -2k2 w" + k4 w
(1.2)
-lPr0 + wT' = -k20 + 0", k2 = kf + k22
Ввиду того, что на границах слоя поддерживаются равновесные значения и и Т , для амплитуд возмущений выполняются условия:
e
г = 0: w = w/ = 0,0 = 0,
(1.3)
г = 1: w = 0, w” = —к20Ма, 0' = —310 .
Определение порога возникновения конвекции Марангони сводится к нахождению декрементов 1(Рг, 31,Ма, к), являющихся
собственными значениями краевой задачи (1.2), (1.3). Её решение проводилось методом Рунге - Кутты. Рассматривались преимущественно нейтральные монотонные возмущения с 1 = 0 .
2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Примеры кривых нейтральной устойчивости представлены на рис. 1 для теплоизолированной твердой границы (а) и изотермической поверхности (б). Из графиков следует, что критические значения числа Марангони для первого случая граничных условий с ростом числа Био возрастают монотонно. Для изотермической поверхности зависимость Ма(31) носит немонотонный характер. Возмущения, приводящие к неустойчивости, имеют большие значения волновых чисел и отвечают большим значениям числа Марангони.
Зависимости Ма(31) представлены на рис. 2 для случаев теплоизолированной (а) и изотермической твердой поверхности (б). В первом случае минимальное значение критического числа Маран-гони соответствует 31 = 0 и к = 0. В случае 31 > 1 эта зависимость линейна для всех рассмотренных значений параметра N, причем коэффициент пропорциональности уменьшается с увеличением N . При N >> 1 тепловыделение близко к однородному [2, 5].
Для изотермической поверхности зависимость Ма(31) носит немонотонный характер: с ростом теплоотдачи критические значения числа Марангони вначале быстро убывают и только для 31 > 4 начинают линейно расти. Для 31 ® 0 критическое Ма ® ¥, т.е. система стремится к абсолютной устойчивости. Отметим, что кривые, соответствующие сильно поглощающим внешнее излучение жидкостям (значения оптической толщины N = 10 и N = 5), практически совпадают.
Для этого вида тепловых граничных условий немонотонно с ростом числа Био изменяются и значения волновых чисел критических возмущений. Результаты расчетов показывают, что возмущения, приводящие к неустойчивости, имеют большие значения к ,
чем в случае теплоизолированной границы. При увеличении числа Био различие в значениях пространственных масштабов критических возмущений для обоих типов граничных условий уменьшается, а для Ы > 5 существенного изменения к * не происходит.
б
Рис. 1. Нейтральные кривые в случае теплоизолированной твердой границы (а) для N = 1 и изотермической поверхности (б) для N = 10: кривые 1-5 соответствуют Ы = 0, 2, 4, 8, 10 (а) и Ы = 4, 2, 8, 10, 1 (б)
а
Рис. 2. Зависимость критического значения числа Марангони от числа Био для теплоизолированной твердой границы (а) и изотермической поверхности (б). Кривые 1-4 соответствуют значениям оптической толщины N =10, 1, 0.4, 0.2 (а) и N = 10, 5, 1, 0.8 (б)
С увеличением поглощения жидкостью внешнего излучения (с ростом N) минимальное значение числа Марангони убывает, а значения Ві и к немного возрастают.
Для изотермической твердой границы и малых значений числа Био Ві < 1 рассматриваемая система неустойчива и для отрицательных значений числа Марангони. Такого рода неустойчивость, впервые обнаруженная в [5], может наблюдаться в слое жидкости с внутренним тепловыделением и аномальной зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры, или же в
нормальной жидкости с внутренним поглощением тепла. Примеры нейтральных кривых для этого вида термокапиллярной неустойчивости представлены на рис. 3, а. Сравнение с рис. 1, б показывает, что такого рода неустойчивость возникает при меньших значениях как числа Марангони (по модулю), так и волнового числа. Нулевому значению Ві соответствуют критические возмущения с к ф 0 . Зависимости модуля критического числа Марангони от числа Био для нескольких значений оптической толщины изображены на рис. 3, б.
б
Рис. 3. Нейтральные кривые (а) и зависимость Ма (Бг) термокапиллярной неустойчивости при отрицательных значениях числа Марангони (б); (а) -кривые 1-3 соответствуют значениям Бг =0, 0.5, 0.8 для N = 10, (б) - кривые 1-4 построены для N = 1, 2, 5, 10
а
Как следует из графиков, слой жидкости с аномальными термокапиллярными свойствами наименее устойчив для Бг = 0 ; с ростом Бг критические значения числа Марангони быстро увеличиваются, так что для Бг > 1 система стремится к абсолютной устойчивости по отношению к возмущениям рассматриваемого вида.
Заключение. Рассмотрена термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с неоднородными внутренними источниками тепла, порождаемыми поглощением жидкостью внешнего излучения. Существенной особенностью постановки задачи устойчивости является использование условия теплоотдачи на свободной поверхности не только для определения возмущений скорости и температуры, но и для установления стационарного температурного градиента.
Как правило, в работах по линейной теории устойчивости равновесное распределение температуры находится для изотермической поверхности, а условие теплоотдачи используется только для
возмущений. Такая постановка задачи справедлива в случае постоянного градиента температуры, как, например, в работе [6], когда его зависимость от числа Био может быть учтена переопределением числа Марангони.
Если в жидкости имеются внутренние источники тепла, то равновесный температурный градиент неоднороден и для случая изотермической твердой границы зависит от числа Био. Критическое число Марангони не увеличивается с ростом теплоотдачи, а вначале быстро убывает и только для Bi > 3 начинает линейно расти. Для малых значений числа Био, Bi < 1, рассматриваемая система неустойчива и для отрицательных чисел Марангони. Наличие второго типа неустойчивости обусловлено тем, что в слое жидкости с внутренним тепловыделением существуют области с положительным равновесным градиентом температуры и с отрицательным. В результате флюктуаций на поверхности жидкости может оказаться "тепловое пятно" как с более высокой, так и с меньшей температурой, чем температура поверхности. Дальнейшее развитие начального возмущения будет определяться характером зависимости поверхностного натяжения жидкости от температуры. Неустойчивость для отрицательных значений числа Марангони может возникнуть в слое жидкости с внутренним тепловыделением и аномальной зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры, или же в нормальной жидкости с внутренним поглощением тепла.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Colinet P., Legros J.C., Velarde M.G. Nonlinear dynamics surface-tension-driven instabilities. WILEY-VCH Verlag. Berlin, 2001. 512 p.
2. Андреев В.К., Родионов А.А., Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоском слоях под действием внутренних источников тепла // ПМТФ. 1989. № 2. С. 101-108.
3. Ryabitskii E.A. Thermocapillary instability of liquid layer with internal heat generation // Microgravity Science Technology. 1994. Vol. VII. № 1. P. 20-23.
4. Lam T.T., Bayazitoglu Y. Effect of internal heat generation end variable viscosity on Marangony convection // Numerical Heat Transfer. 1987. Vol. 11. P. 165-182.
5. Брискман В.А., Якушин В.И. Термокапиллярная неустойчивость в слое с внутренними источниками тепла // Термо- и концентрационно-капиллярные эффекты в сложных системах: Сб. науч. трудов / Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С. 34-43.
6. Pearson J.R. Of convective cells induced by surface tension // Fluid Mech. 1958. Vol. 4. P. 489-500.
THERMOCAPILLARY INSTABILITY OF THE LIQUID ABSORBING EXTERNAL RADIATION
V.I. Yakushin
Abstract. Thermocapillary instability in a plane liquid layer heated by internal heat generation and bounded a free and solid surface is investigated in microgravity conditions. The heat generation is caused by absorption of external radiation which occurs according to Bouguer - Lambert’s law. The free surface is assumed to be not deformable and meet the Newtonian condition of heat transfer. Two types of the thermal boundary conditions are considered on a solid surface: a) the boundary is thermally insulated; b) the temperature of a solid boundary is constant. An essential singularity of a viewed problem is the dependence of equilibrium distribution of temperature on number Biot. The Runge - Kutta method is used to compute the neutral curve and curves of the critical Marangoni numbers as a function of the Biot number and parameter describing absorption of external radiation. For the second type of boundary conditions and for Biot number Bi < 1 the explored system appears instability and for negative Marangoni numbers. Such instability can arise in a layer with internal heat generation and abnormal dependence of coefficient surface tension on temperature, or in a normal fluid with internal heat absorption.
Key words: plane layer, internal heat release, Bouguer law, weightlessness, thermocapillary instability.
