Колебательная устойчивость плоского слоя жидкости со свободной деформируемой поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Н.И. Лобов, А.Е. Самойлова

Пермский государственный университет,

614990, Пермь, Букирева, 15

Исследуется линейная неустойчивость равновесия плоского горизонтального слоя неоднородно нагретой жидкости относительно колебательных возмущений. Нижняя граница слоя твердая и теплопроводная. Верхняя граница - свободная, деформируемая, теплоотдача на ней описывается законом Био. Предполагается экспоненциальная зависимость плотности от температуры и линейная для поверхностного натяжения. Учет эффектов плавучести производится за рамками приближения Буссинеска. Для решения краевой задачи используется метод построения фундаментальной системы решений. Построены нейтральные кривые и карты устойчивости. Обнаружено существование колебательной неустойчивости при положительных и нулевых числах Марангони для отрицательных значений параметра Буссинеска. Исследовано влияние числа Прандтля, тяжести, поверхностного натяжения на колебательную моду неустойчивости (в том числе и в невесомости при нулевых значениях числа Маран-гони). Получены характерные дисперсионные соотношения.

Ключевые слова: неустойчивость Марангони, плавучесть, деформируемая поверхность, невесомость.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования неустойчивости Релея - Бенара - Марангони имеют давнюю историю. В работе [1] рассматривается устойчивость относительно монотонных ячеистых возмущений. Задача решается

© Лобов Н.И., Самойлова А.Е., 2009

в рамках приближения Буссинеска, свободная поверхность предполагается не деформируемой. Учет деформаций свободной поверхности был выполнен в работе [2], а затем в [3]. Колебательная неустойчивость была обнаружена в [4], где показано (в рамках приближения Буссинеска), что она существует при отрицательных числах Марангони. Подробный обзор исследований неустойчивости Ма-рангони приведен в [5].

Как известно, корректное описание эффектов плавучести при деформируемой свободной поверхности возможно лишь ценой отказа от приближения Буссинеска. При этом учет переменности плотности должен быть выполнен везде, а не только в слагаемом с подъемной силой. Ясно, что количественные характеристики неустойчивости могут оказаться очень чувствительными к виду уравнения состояния. В [6] предложена модель учета влияния плавучести на неустойчивость Релея - Бенара - Марангони. В работе использована линейная и экспоненциальная зависимость плотности от температуры.

Задача об устойчивости плоского слоя жидкости со свободной деформируемой поверхностью рассматривалась ранее (см. [6-10]). В рамках упомянутой модели рассмотрена монотонная длинноволновая и ячеистая неустойчивость Бенара - Марангони - Релея. Исследования выполнены в предположении отсутствия теплоотдачи от свободной границы. Определены количественные параметры неустойчивости. Обнаружено подавление релеевской моды неустойчивости при уменьшении числа Г алилея. Показано, что использование приближения Буссинеска в условиях пониженной гравитации приводит к неверным результатам. В случае числа Прандтля равного единице получены границы устойчивости относительно колебательных возмущений (число Био равно нулю).

В предлагаемой работе исследуется линейная устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя жидкости со свободной деформируемой верхней границей и твердой нижней границей относительно колебательных возмущений в широком диапазоне изменения параметров жидкости и внешних условий.

1. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕЛЕЯ -БЕНАРА - МАРАНГОНИ

Постановка задачи и методы решения

Рассматривается поведение неоднородно нагретой (градиент температуры вертикален) жидкости в горизонтальном слое толщи-

ны Н в постоянном поле тяжести. Нижняя граница слоя твердая и идеально теплопроводная, ее температура Т1. Верхняя граница является свободной, деформируемой, теплоотдача описывается законом Био. Кроме того, на верхней границе выполняются условия баланса нормальных и касательных напряжений, а также кинематическое условие.

Уравнения конвекции для изотермически несжимаемой жидкости имеют вид:

Р

—+(уУ)V дл к !

рс

Р

= -Ур + 7)Ду +1 ^У&уу + рg,

(1.1)

—+(уУ)Т дг к !

= кДТ , (1.2)

^р + Шу (р\) = 0. (1.3)

о/

Все обозначения здесь обычные. Уравнения (1.1) □ (1.3) должны быть дополнены уравнением состояния р = р(Т), которое запишем в экспоненциальной форме:

р = Роехр{ -уЭТЬ (1.4)

где Ь = -(dрdT)/р - коэффициент объемного расширения.

В отличие от приближения Буссинеска переменность плотности (т.е. «плавучесть») учитывается не только в подъёмной силе.

Задача (1.1) □ (1.4) допускает решение, отвечающее состоянию механического равновесия, при котором жидкость покоится, V = 0 , свободная поверхность является плоской и горизонтальной, £ = 0 (возможная форма поверхности описывается выражением

£ + Ь ), распределение давления определяется из уравнения гидростатики, а распределение температуры в слое описывается линейной функцией вертикальной координаты г :

Т = Т + гТт2^Т- , (1.5)

(1.6)

В (1.5) Т2 - температура верхней границы слоя, определяемая температурой нижней границы и законом теплоотдачи с верхней границы.

Сформулируем задачу для малых возмущений механического равновесия. Линеаризованные уравнения для плоских возмущений, зависящих от координат и времени по закону е1+,кх, имеют вид:

Здесь V = (у, 0, w), А, р суть возмущения скорости, температуры и давления, у - орт оси г . Эти уравнения дополняются граничными условиями:

г = 0: V = 0, А = 0,

Уравнения (1.7) □ (1.9) и условия (1.10) записаны в безразмерном виде. Выбраны следующие единицы измерения: длины □ к,

РХу = -Ур + Ду +1 У&уу + Яар$у, Рг 3

(1.7)

Л$-w = Д$, &у у = еД$.

(19)

(1.8)

г = 1: = w ,

(1.10)

---+ ік w = —ікМа($-£).

температуры □ 0 = Т -Т2, скорости □ х/И , времени □ И2/Х, плотности □ р0 (плотность на верхней границе в состоянии механического равновесия), давления □ ТХ/ И2, коэффициента теплового расширения □ /30 = Ь(Т2).

Задача (1.7) □ (1.10) содержит параметры подобия: число Пран-дтля Рг , число Релея Ка , число Галилея Оа, число Марангони Ма , капиллярный параметр Сг , параметр Буссинеска е, определяющиеся следующими соотношениями:

Здесь Ь - коэффициент теплоотдачи, а - коэффициент поверхностного натяжения, ат =— (да/дТ)/а. Число Релея теперь уже не является независимым параметром, Ка = еОа .

В данной задаче анализируется неустойчивость по отношению к возмущениям с произвольной длиной волны. В этом случае задача не может быть решена аналитически и требует численных расчетов. Для решения краевой задачи использовался метод построения фундаментальной системы решений с ортогонализацией по Грамма -Шмидту. При интегрировании уравнений применялся метод Рун-ге - Кутты - Меерсона. Основные результаты получены при Ы = 0 .

Как показано в [4], колебательная неустойчивость существует при отрицательных числах Ма , что при нормальном эффекте Ма-рангони соответствует нагреву сверху. При этом если плотность среды с ростом температуры увеличивается (аномальное тепловое расширение), то параметр Буссинеска е > 0 .

На рис. 1 изображены нейтральные кривые колебательной неустойчивости при значениях Оа и Сг , соответствующих миллиметровому слою воды в условиях земной гравитации. В случае очень малых чисел Прандтля (например, Рг = 10—4, кривая 1) область неустойчивости на плоскости k, Ma фактически состоит из двух от-

ааТ 0И

Ma = —-----------

ТХ

; Сг = ТХ ; е = Ь00; Ві

аИ

ЬИ

Положительный параметр Буссинеска

дельных частей. Слияние фрагментов нейтральной кривой, если оно и существует, возможно лишь при очень больших |Ма|. На границе

левой части области неустойчивости существует один максимум, определяющий порог неустойчивости относительно длинноволновых возмущений; на границе коротковолновой части - два максимума и один минимум.

Рис. 1. Нейтральные кривые: е = 0.1, Оа = 7 104, Сг = 2 10 6; Рг = 10 4, 10-3 , 5 ■ 10-3 , 10-2, 0.1 и 1 (кривые 1-6)

Рис. 2. Экстремальное значение числа Марангони (кривая 1) и частота критических возмущений (кривая 2) в зависимости от Рг ; Оа = 7 104, Сг = 2 ■ 10-6

Возмущения с к ~ 0.1 являются наиболее опасными. При увеличении числа Прандтля две области неустойчивости сливаются (кри-

вая 2), теперь на верхней границе реализуются три максимума и два минимума. С дальнейшим ростом Рг первые минимум и максимум сближаются и исчезают (кривые 3, 4), а коротковолновый максимум опускается на данной плоскости и исчезает. Опасными остаются длинноволновые возмущения.

Итоговая карта устойчивости приведена на рис. 2. Кривая 1 описывает изменение критического числа Марангони, кривая 2 - частоту критических возмущений в зависимости от числа Прандтля. С уменьшением Рг наблюдается существенная стабилизация равновесия, характерная частота критических возмущений монотонно убывает. При очень малых Рг влияние вязкости по сравнению с теплопроводностью ослабевает, критическое число Марангони и частота возмущений практически не меняются.

Рассмотрим зависимость количественных характеристик колебательной неустойчивости в состоянии невесомости (Оа = 0) от числа Прандтля. Эволюция нейтральных кривых при изменении числа Прандтля в пределах от 10-4 до 1 показана на рис. 3 (кривые 1-6).

Рис. 3. Нейтральные кривые: е = 0.1, Оа = 0, Сг = 2 10 6; Рг = 10 4, 10-3 , 5 10-3 , 10-2, 0.1 и 1 (кривые 1-6)

При очень малых Рг нейтральная кривая состоит из двух частей, слияние которых, возможно, существует при больших |Ма|. На

границе левой части области неустойчивости существует один максимум, определяющий порог неустойчивости относительно наиболее опасных длинноволновых возмущений. На правой границе -три максимума и два минимума, причем в этой части области неустойчивости наиболее опасными являются возмущения с к ~ 0.5 .

При больших числах Прандтля (например, кривая 2) две области неустойчивости сливаются, второй максимум и минимум, сближаясь, исчезают, на единой нейтральной кривой теперь имеется три максимума и два минимума. С увеличением Рг первые и последние минимумы и максимумы быстро опускаются вниз на плоскости к, Ма , затем первый и второй максимумы сливаются (кривые 3-6). Наиболее опасными становятся возмущения, у которых к ~ 0.1.

Конкуренция максимумов, соответствующих более длинным и более коротким возмущениям, приводит к тому, что итоговая карта устойчивости фактически состоит из двух частей (рис. 4, а, сплошная кривая). По той же причине и зависимость критического волнового числа от числа Прандтля имеет причудливый вид (рис. 4, а, штриховая кривая). Как видно, с уменьшением Рг наблюдается существенная дестабилизация равновесия.

б

Рис. 4. Карта устойчивости и экстремальные значения волнового числа - а; дисперсионная кривая - б (штриховая кривая соответствует капиллярным волнам) при Рг = 10-4; Оа = 0 и Сг = 2 ■ 10-6

а

Верхняя часть приведенной на рис. 4, б дисперсионной кривой ( Рг = 10-4 ) соответствует капиллярным волнам.

Отрицательный параметр Буссинеска

Рассматривается случай нормального эффекта Марангони (подогрев сверху). Для сред, плотность которых падает с ростом температуры, это соответствует отрицательным значениям параметра Буссинеска.

10 3, 10 2, 0.1, 1 и 5 (кривые 1-6)

На рис. 5 показана эволюция нейтральных кривых для значений параметров, соответствующих миллиметровому слою в условиях на поверхности Земли (Оа = 7 • 104, Сг = 2 • 10-6) в широком диапазоне значений числа Прандтля. При самых малых значениях Рг (кривая 1) на верхней границе нейтральной кривой существует один максимум, определяющий неустойчивость относительно коротковолновых возмущений. С ростом Рг этот максимум смещается вниз на плоскости к, Ма , а в области длинноволновых возмущений появляется новый максимум (кривые 2, 3). С дальнейшим увеличением числа Прандтля опасными становятся длинноволновые возмущения (кривые 406).

Таким образом, граница устойчивости (рис. 6, сплошная кривая) состоит из двух частей: кривая 1 описывает поведение коротковолнового максимума, кривая 2 - длинноволнового.

Рассмотрим случай невесомости. На рис. 7 изображена эволюция нейтральных кривых в широком диапазоне значений числа Прандт-ля. Хорошо видна интересная особенность нормального теплового расширения: при малых Рг нейтральная кривая пересекает ось к . В случае малых значений числа Прандтля нейтральная кривая разбивается на два фрагмента, которые могут пересекаться при очень больших (по модулю) значениях числа Марангони. На границе правого фрагмента нейтральной кривой наблюдается один максимум, на границе левого - два максимума и один минимум, при этом коротковолновые возмущения, определяемые последним максимумом, являются наиболее опасными. С ростом числа Прандтля коротковолновый максимум опускается, фрагменты нейтральной кри-

вой сливаются, минимум поднимается (кривые 1 -3). При дальнейшем увеличении Рг происходит смена характера колебательной неустойчивости: она становится длинноволновой, при этом в области с малыми к максимумы сливаются (кривые 4-7).

12

к„

8

4

0

Рис. 6. Экстремальные значения числа Марангони (сплошные кривые) и волнового числа (штриховые) в зависимости от Рг ; е = -0.1, Оа = 7 • 104, Сг = 2 10-6

Рис. 7. Нейтральные кривые колебательной неустойчивости: е = -0.1,

Оа = 0, Сг = 2 • 10-6; Рг = 10-5 , 10-4, 10-3 , 5 10-3, 0.01, 0.1 и 1 (1-7)

Конкуренция длинно- и коротковолновых возмущений приводит к тому, что изображенные на рис. 8, б граница устойчивости (сплошные кривые) и зависимость критических волновых чисел (штриховые) от числа Прандтля имеют сложный вид.

б

Рис. 8. Дисперсионная кривая (Рг = 10 5 ), штриховая - капиллярные волны (а); карта устойчивости и экстремальные волновые числа (б); е = -0.1, Оа = 0, Сг = 2 10-6

к

т

0

а

Представляется интересным случай существования колебательной неустойчивости при положительных значениях числа Маранго-ни. В работе [10] отмечена невозможность исследования влияния плавучести на деформационную моду колебательной неустойчивости в рамках приближения Буссинеска и построена карта устойчивости для числа Марангони в зависимости от числа Релея. Полученная в [10] зависимость критического числа Марангони от числа Релея показывает, что Ма увеличивается с увеличением е. Переход значений числа Марангони в положительную полуплоскость говорит о том, что при малых Рг угловой коэффициент кривой Ма(е) меняет знак.

На рис. 9 изображены кривые зависимости экстремального числа Марангони от параметра Буссинеска для разных чисел Прандтля. Действительно, при Рг ~ 0.1 -1 кривая меняет наклон, поэтому и становятся возможными значения Ма > 0 при отрицательных е .

2. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО СЛОЯ ПРИ НУЛЕВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЧИСЛА МАРАНГОНИ В НЕВЕСОМОСТИ

Помимо существования решений при Ма > 0 отдельный интерес представляет, в частности, существование решений при Ма = 0 . Возникает вопрос о механизме неустойчивости. В данной ситуации

рассматривается случай невесомости, конвекция Марангони и реле-евская неустойчивость отсутствуют. Единственный параметр, который при этом можно изменять - это параметр Буссинеска.

Рг = 10-3 Рг = 10-2

Рг = 01 рг = 1

Рис.9. Экстремальные значения числа Марангони в зависимости от параметра Буссинеска (разные среды; Оа = 0 , Сг = 2 • 10-6)

Исследуем влияние различных факторов на эту неустойчивость. На рис. 10, а изображена эволюция нейтральных кривых е(к) колебательной неустойчивости в невесомости. Область неустойчиво -сти расположена внутри замкнутых кривых. Из рисунка понятно, что существует критическое значение параметра Буссинеска. Ему соответствуют наиболее опасные возмущения (максимумы нейтральных кривых). Кроме того, нейтральные кривые имеют замкнутый вид. Область неустойчивости сужается и смещается вправо по оси волновых чисел при уменьшении параметра капиллярности.

При этом область значений параметра Буссинеска, характерных для неустойчивости, становится шире.

б

а

Рис. 10. Нейтральные кривые колебательной неустойчивости (а) для Ог = 2 10-6, 10-5 , 10-4, 10-3 (кривые 1Ш4); дисперсионная кривая (б, Сг = 2 ■ 10-6); Ма = 0 , Оа = 0, Б1 = 0 , Рг = 6 ■ 10-2

а б

Рис. 11. Карта устойчивости (а, Рг = 6 ■ 10-2 ), зависимость параметра Бус-синеска от числа Био (б, Ог = 2 ■ 10-6 , Рг = 10-4, к = 2.69 ); Ма = 0 , Оа = 0

В целом наблюдается существенная стабилизация равновесия с увеличением деформируемости свободной поверхности (рис. 11, а). Характерный вид дисперсионных кривых представлен на рис. 10, б.

б

Рис. 12. Экстремальные значения параметра Буссинеска в зависимости от числа Галилея (а, Рг = 0.005 ) и числа Прандтля (б, Оа = 0 ); Ма = 0, Е1 = 0, С г = 2 10-6

а

Как упоминалось выше, все результаты получены для Б1 = 0 , которое соответствует наиболее яркому проявлению термокапиллярного механизма (из-за отсутствия теплоотдачи со свободной поверхности). Тем не менее, обсуждаемые выше эффекты существуют и при ненулевом значении числа Био. Это иллюстрирует рис. 11, б, на котором показано, как зависит параметр Буссинеска от изменения условий теплоотдачи на верхней границе (Оа = 0, Ма = 0 , Сг = 2-10-6, Рг = 10-4, к = 2.69).

Рассмотрено влияние и других факторов. Обнаружено, что при увеличении числа Прандтля критические значения параметра Буссинеска (по абсолютной величине) возрастают (рис. 12, а). Аналогичное стабилизирующее влияние оказывает сила тяжести (рис. 12, б).

Заключение. Изучена устойчивость Релея - Бенара - Марангони в горизонтальном слое жидкости с деформируемой свободной поверхностью относительно колебательных возмущений. Зависимость плотности от температуры учитывается везде, а не только в слагаемом с подъемной силой. Обнаружено существование неустойчивости при положительных и нулевых числах Марангони. Обнаружена смена наклона кривой Ма(е) при малых значениях числа Прандтля. Исследовано влияние числа Прандтля, силы тяжести, поверхностного натяжения на колебательную моду неустойчивости плоского

слоя жидкости в случае невесомости при нулевых значениях числа Марангони. Показано, что вышеперечисленные факторы оказывают стабилизирующее действие на данную моду неустойчивости.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Научнообразовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (грант № 07-11 н-019с).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Nield D.A. Surface tension and buoyancy effects in cellular convection // J. Fluid Mech. 1964. V. 19. P. 341-352.

2. Scriven L.E., Sterling C. V. On cellular convection driven by surface-tension gradients: Effects of mean surface tension and surface viscosity // J. Fluid Mech. 1964. V. 19. P. 321-332.

3. Davis S.H., Homsy G.M. Energy stability theory for free-surface problems: Buoyancy-thermocapillary layers // J. Fluid Mech. 1980. V. 98. Pt 3. P. 527-553.

4. Takashima M. Surface-tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface. II. Overstability // J. Phys. Soc. Jаp. 1981. V. 50. 2751-2756.

5. Birikh R. V., Briskman V.A., Velarde M.G., Legros J.-C. Liquid Interfacial Systems: Oscillations and Instability. Surfactant science series. V. 113. New York - Basel, 2003. 367 p.

6. Lyubimov D. V., Lyubimova T.P., Alexander J.I.D., Lobov N.I. On the Boussinesq approximation for fluid systems with deformable interfaces // Adv. Space Res. 1998. V. 22. N 8. P. 1159-1168.

7. Lyubimov D.V., Lobov N.I., Lyubimova T.P., et al. Thermal buoyancy convection in systems with deformable interfaces // 21st Intern. Congress of Theoretical and Applied Mechanics, August 15-21,

2004, Warsaw, Poland. Abstracts Book and CD-ROM Proceedings. IPPT RAN. Warszawa, 2004. P. 84.

8. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Устойчивость Марангони - Бенара в слое жидкости с деформируемой свободной границей // Итоги работы НОЦ. 2004 г. Пермь: Перм. гос. ун-т,

2005. С. 41-43.

9. Lobov N.I., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Onset of Thermal convection of non-Boussinesq fluid in low gravity conditions // ELGRA

News, Bulletin of the European Low Gravity Research Association. September 2005. Greece. V. 24. P. 211.

10. Лобов Н.И. Устойчивость равновесия и течений неоднородных сред в слоях и каналах. Автореферат докторской диссертации. Пермь: Пермский ун-т, 2005. 27 с.

OSCILLATORY INSTABILITY OF FLAT LIQUID LAYER WITH A DEFORMABLE FREE SURFACE

N.I. Lobov, A.E. Samoilova

Abstract. We study the linear equilibrium instability with respect to oscillatory disturbances of an inhomogeneous heated horizontal flat liquid layer. The bottom boundary is assumed to be solid and thermoconductive. The upper boundary is free and deformable and the heat transfer obeys the Biot law. Density dependence on temperature is taken to be exponential, surface tension dependence on temperature is taken to be linear. We take into account buoyancy effect beyond Boussinesq approximation. The boundary problem is solved by fundamental system of solutions building method. Maps of stability and neutral curves are obtained. The oscillatory instability is detected for positive and zero Marangoni numbers in case of negative Boussinesq parameter. Influence of Prandtl number, gravity and surface tension on oscillatory instability of liquid layer for zero Marangoni number in case of zero-gravity is studied. Characteristic dispersion relations are obtained.

Key words: Marangoni instability, buoyancy, deformable surface, zero-gravity.