Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕРМОКАПИЛЛЯРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ С КОНЦЕНТРАЦИОННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

В.И. Якушин

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Исследуется термокапиллярная неустойчивость плоского слоя бинарной жидкой смеси, одна из компонент которой обуславливает внутреннее тепловыделение. Наличие таких источников тепла приводит к появлению в уравнении теплопроводности дополнительного слагаемого, пропорционального концентрации. Поверхностное натяжение считается зависящим только от температуры. Свободная поверхность предполагалась недеформируемой с ньютоновским условием теплоотдачи. На твердой поверхности рассматривались два случая тепловых граничных условий: а) граница теплоизолирована; б) температура границы постоянна. Построены нейтральные кривые, зависимости критических чисел Марангони Ма от числа Био Ма (Ві) для чисел Льюиса Ье в интервале от 0.05 до 10 и структуры возникающих конвективных движений с использованием метода Рунге - Кут-ты для интегрирования амплитудных уравнений. Обнаружено сильное понижение пороговых значений числа Маранго-ни с уменьшением числа Льюиса, а для значений Ье = 0 и Ві = 0 система становится абсолютно неустойчивой. Найдено, что для второго типа граничных условий при Ье ~ 0.1 зависимость Ма (Ві) не монотонна: наименьшее пороговое значение для числа Марангони достигается для Ві Ф 0 и резко возрастает для значений Ві, близких к нулю.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования термокапиллярных явлений в невесомости в средах с внутренним тепловыделением представляет интерес для ре© Якушин В.И., 2003

шения научных и инженерных проблем. Физический механизм тепловыделения может быть различен: джоулева диссипация, экзотермические химические реакции, поглощение внешнего излучения и другие.

До сих пор термокапиллярная неустойчивость жидкости с внутренним тепловыделением рассматривалась в предположении, что источники тепла распределены равномерно [1, 2]. Однако во многих практически интересных случаях (радиоактивная смесь, протекание химических реакций, селективное светопоглощение) тепловыделение неоднородно, а сама среда многокомпонентная. Интенсивность тепловыделения Q в этих случаях можно полагать пропорциональной концентрации С активной компоненты (концентрационные источники тепла): Q = Q0C. Такая зависимость соответствует, например, экзотермической реакции первого порядка, когда скорость реакции слабо зависит от температуры. Изменение интенсивности тепловыделения в среде может происходить тогда гораздо медленнее, чем установление полей температуры и концентрации.

Внутренние источники с мощностью, зависящей от концентрации, возникают также при распространении излучения в среде с примесью, обладающей большим светопоглощением. В этом случае поглощенная примесью энергия может переходить во внутренние степени свободы, в результате чего происходит быстрый локальный разогрев среды вблизи примеси. Условия возникновения естественной конвекции в таких системах заметно отличаются от таковых для обычной неизотермической бинарной смеси [3, 4]. Следует ожидать, что и картина термокапиллярной неустойчивости таких сред будет также обладать рядом особенностей.

Отличия в условиях возникновения термокапиллярной конвекции могут быть вызваны характером распределения в жидкой среде температурных градиентов, возможностью диффузионного и конвективного перераспределения внутренних источников тепла.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуем термокапиллярную устойчивость несжимаемой двухкомпонентной смеси с концентрационными источниками тепла в условиях невесомости. Смесь заполняет бесконечный плоский слой, ограниченный твердой границей 2 = 0 и свободной поверхностью

2 = с1. На твердой границе задана постоянная концентрация тепловыделяющей компоненты С = С(0), на свободной поверхности С = 0.

Система уравнений, описывающая термокапиллярную конвенцию смеси, включает уравнения переноса импульса, теплопроводности, диффузии и непрерывности. Наличие концентрационных источников тепла приводит к появлению в уравнении теплопроводности добавочного члена

^^C, (1.1)

Pcp

линейно зависящего от концентрации активной компоненты. В выражении (1.1) Q0 - удельная мощность тепловыделения, р - плотность смеси, cp - удельная теплоемкость.

С учетом (1.1) уравнения конвекции Марангони в отсутствие термодиффузии и диффузионной теплопроводности примут вид:

Эу 1

----1---( УУ )у = -Vp + Ау,

Эt Pr' У У

P— + УУТ = АГ + C, (1.2)

г Эt эc

Pr------+ Le~1yVC = AC, ё^ У = 0.

^ Эt

В системе (1.2) использованы обычные обозначения ^ - безразмерная концентрация тепловыделяющей компоненты). В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, температуры, концентрации и давления выбраны величины ё , ё2 / V, %/ ё2, qё2, C<'0) и рУХ/ ё2, где V - кинематическая вязкость смеси, а х -ее температуропроводность; q = Q0C(0> /рср. Уравнения содержат два параметра подобия Рг = У/Х и Р^ = п / Б - тепловое и диффузионное числа Прандтля (Р^ называют также числом Шмидта), а также их отношение Рг/Р^ = Б/Le , называемое числом Льюиса.

Перейдем к обсуждению граничных условий. Свободная поверхность предполагается недеформируемой с коэффициентом поверхностного натяжения, линейно зависящим от температуры, а = 00 -]Г , на ней выполняется ньютоновский закон теплоотдачи:

-к^Т = а(т - Та).

дг

Здесь у- температурный коэффициент поверхностного натяжения, к - коэффициент теплопроводности жидкости, а а - коэффициент теплоотдачи поверхности; Т0 - температура окружающей среды, которую удобно принять за начало отчета температуры.

В выбранных единицах измерения условия теплоотдачи и равенства вязких и термокапиллярных сил на свободной поверхности примут вид:

г = 1: — = - ВТ,

Эг

Эу х ЭТ

—- = -Ма—, дг Эх

ЭУу■ = -Мау = 0.

(1.3)

дг ду

Здесь Ві = ай/к- число Био, а Ма = щй3/ру% - модифицированное число Марангони.

На твердой границе для скорости выполняется условие прилипания V = 0 . Для температуры рассматривались два граничных условия: а) граница теплоизолирована; б) температура границы постоянна. Таким образом, на твердой поверхности слоя будем иметь

1 = 0: У = 0, = 0, (1.4а)

дг

У = 0,Т = 0. (1.46)

Сформулированная краевая задача имеет стационарное решение, соответствующее механическому равновесию:

^ = 0 с0 = 1 - z, т0 = 6 Г г3 - Ъг2 + —ВВв~~ |, (1.5а)

У0 = 0, C0 = 1 - г, Т0 = 1 |^3 - Зг2 + ^В^г^ . (1.5Й)

Исследуем устойчивость равновесных распределений (1.5а, 1.56) относительно малых нормальных возмущений скорости, темпера-

туры и концентрации, пропорциональных ехр [-11 + 1(кхх + к2у)], где 1 = 1 +1 - декремент возмущения. После стандартной процедуры линеаризации исходной системы (1.2) по малым возмущениям и исключения давления получим систему обыкновенных однородных дифференциальных уравнений:

Ж'-к2^)=(^1¥ -2к2м>"+к4wJ

-Л(^"-к 2^)=(^1¥ - 2к2м>"+к4^) -АРг3 = $'-к 2$)+)- ™Т0

-1РГ ) = )'-к 2))-Ье ~1wCl

2~"'+)-wT0' (1.6)

В системе (1.6) через w(г0,3(г) и )(г) обозначены соответствующие амплитуды возмущений проекции скорости Vг, температуры и концентрации.

Ввиду того, что на границах слоя поддерживаются равновесные значения распределений V, Т, и C, для амплитуд возмущений w ,

3 и ) выполняются условия:

г = 0: w = = 0, ) = 0, а) $ = 0, Ь) 3 = 0;

(1.7)

г = 1: w = 0, = -к2$Ма, ) = 0, $ = -В13.

Определение порога возникновения термокапиллярной конвекции сводится к нахождению декрементов 1, являющихся собст-

венными значениями краевой задачи (1.6, 1.7). Ее решение проводилось численно методом пошагового интегрирования Рунге - Кут-ты. Рассматривались только нейтральные монотонные возмущения с 1= 0 .

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В СЛОЕ С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОЙ ТВЕРДОЙ ГРАНИЦЕЙ

Перейдем к обсуждению результатов. Рассмотрим в начале случай теплоизолированной твердой границы, то есть устойчивость распределений V, Т0 и C0, представленных в выражении (1.5 а).

Как следует из постановки задачи, за возникновение конвекции в системе отвечает тепловой (пирсоновский) механизм. Диффузия внутренних источников тепла может либо усилить, либо ослабить действие этого механизма. На рис. 1 а, б представлены графики

нейтральных кривых для значений Ьв = 0.05 и Ьв = 2. Как видно из графиков, уменьшение диффузии внутренних источников (Ьв ~ 0.1) ведет к значительному понижению критических чисел Марангони для всех значений числа Био. При Ьв ® 0 для Ві = 0 критическое число Марангони Ма* ® 0 и система становится абсолютно неустойчивой по отношению к возмущениям с к = 0 .

Рис. 1а. Нейтральные кривые для Рис. 16. Нейтральные кривые для числа Льюиса Ьв = 0.05 числа Льюиса Ьв = 2

К физической интерпретации этого результата нужно относиться с известной осторожностью, так как в условиях отсутствия теплоотдачи на обеих границах в слое с внутренним тепловыделением температура слоя будет также стремиться к бесконечности, тогда как градиент температуры будет оставаться конечным.

На рис. 2 представлены зависимости критических чисел Марангони от числа Био для некоторых характерных значений числа Льюиса. Из графиков следует, что для Ві > 1 критические числа Марангони линейно увеличиваются с ростом Ві. Зависимости Ма (Ві) заметно отличаются друг от друга только для чисел Льюиса Ьв < 5. Для Ьв = 5 и Ьв = 10 эти графики практически совпадают.

Зависимости волновых чисел критических возмущений от числа Био для некоторых значений Ьв представлены на рис. 3. Все кривые начинаются в начале координат, затем при увеличении Ві до Ві » 0.1 быстро достигают значения к = 1. В дальнейшем при Ві < 2 рост замедляется и для Ві > 5 практически прекращается. Так, например, при изменении Ві от 5 до 10 для Ьв = 0.05 значения к увеличиваются от 1.74 до 1.85.

Рис. 2. Зависимость критических Рис. 3. Зависимость критических чисел Марангони от числа Био для волновых чисел от числа Био для различных значений числа Льюиса различных значений числа Льюиса

Наряду с вычислением критических чисел Марангони при определении условий возникновения конвекции представляет интерес также нахождение формы соответствующих возмущений.

При малой надкритичности структура конвективного движения должна быть близка к возмущениям, приводящим к кризису равновесия. Для их определения необходимо кроме собственных значений отыскать собственные функции w, $и г краевой задачи (1.6, 1.7). Эти функции строились в виде линейной комбинации четырех частных решений с коэффициентами, определенными из однородной системы алгебраических уравнений при условии равенства нулю ее определителя. Один из четырех коэффициентов произволен и задает нормировку возмущения. В случае монотонной неустойчивости (1 = 1) собственные функции являются вещественными.

Структуры критических возмущений представлены на рис. 4. На них изображены изолинии тока, температуры и концентрации для волнового числа к = 2; фрагменты а, Ь, с соответствуют значению Ы = 0, а с1, е, / - Ы = 5. Для их определения были найдены собственные функции краевой задачи (1.6, 1.7). Для удобства построения карты изолиний температуры и концентрации сдвинуты на 1/4 длины волны возмущений по сравнению с линиями тока движения жидкости. Возмущения нормированы таким образом, чтобы их максимальные значения были равны единице.

Рис. 4. Структуры возмущений изолиний тока, температуры и концентрации для волнового числа к = 2. Фигуры а, Ь, с соответствуют значению Ы = 0, а 3, е,/- Ы = 5

Ь

е

с

Сравнение рисунков показывает, что существенные отличия в структуре имеют лишь возмущения температуры. Карты изолиний возмущения для других значений числа Льюиса качественно не отличаются от изолиний, представленных на рис. 4.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В СЛОЕ С ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ТВЕРДОЙ ГРАНИЦЕЙ

Рассмотрим устойчивость равновесных распределений (1.5 Ь). В этом случае число Био входит не только в граничные условия, но и через равновесный градиент температуры в уравнения для возму-

щений. Это обстоятельство должно значительно усилить зависимость значений критических параметров от числа Био. Примеры нейтральных кривых показаны на рис. 5 для Ьв = 0.5. Отметим сразу факт пересечения нейтральных кривых. Порог устойчивости системы для Ві = 2 и Ві = 5 лежит ниже, чем для теплоизолированной свободной границы (Ві = 0).

Зависимость критических значений числа Марангони от числа Био показана на рис. 6. Отметим, прежде всего, качественное различие кривых Ма (Ві) для малых и больших значений числа Льюиса. Для Ьв < 0.5 значения Ма линейно увеличиваются с ростом Ві, как и в случае теплоизолированной твердой границы.

Рис. 5. Нейтральные кривые в случае изотермической твердой границы для числа Льюиса Ьв = 0.5

Рис. 6. Зависимость критических значений числа Марангони от числа Био для случая изотермической твердой границы

Ма

к

0

2

4

При Вг ® 0 и Ьв ® 0 пороговое число Марангони также стремится к нулю, то есть система становится абсолютно неустойчивой. Физический механизм явления состоит, по-видимому, в том, что наличие источников тепла на теплоизолированной поверхности в отсутствие их диффузии может возбудить конвекцию Марангони при сколь угодно малой интенсивности тепловыделения.

Для значений Ьв > 0.5 кривые зависимостей Ма (Вг) ведут себя немонотонно. Как уже отмечалось, причиной этого является обстоятельство, что в данной задаче Вг определяет не только условия для возмущений температуры на свободной поверхности, но и величину равновесного градиента температуры. Таким образом, су-

ществуют оптимальные условия теплоотдачи на свободной поверхности, для которых порог возникновения конвекции является наименьшим. Линейная зависимость Ма (Ы) наступает только для

Ы > 5.

к

Рис. 7. Зависимость критических значений волнового числа от числа Био для случая изотермической твердой границы

Кривые зависимостей волновых чисел от числа Био к (Ві) также существенно отличаются для малых значений Ье < 0.5 и для Ье > 0.5. Они изображены на рис. 7.

Для Ье < 0.5 значения критических чисел монотонно увеличиваются с ростом Ві, причем для Ві < 2 достаточно быстро, а затем медленно. Критическое значение к для Ві = 0 уже отлично от нуля и для малых значений Ье ® 0 равно 1.59.

Для Ье > 0.5 с ростом Ві значения к вначале резко убывают, а затем для Ві > 2 медленно увеличиваются. С ростом Ье (усиление диффузии внутренних источников) волновое число критических возмущений также возрастает.

Отметим, что для фиксированного числа Льюиса минимальные значения Ма и к достигаются при различных значениях числа Био.

На рис. 8, в отличие от рис. 4, карты изолиний, тока, изотерм и изолиний концентрации построены для существенно различных значений числа Льюиса Ье = 0.5 (фрагменты а, Ь и с соответствуют

значениям Ы = 0.8; к = 1.84 и Ма = 826.1) и Ье = 10 (й, в, /соответствуют Ы = 2.5; к = 2.86 и Ма = 2387). Как и в случае изотермической границы, наибольшее отличие имеют возмущения температуры: для Ье = 10 они даже имеют нулевую изотерму.

Рис. 8. Структура критических возмущений для случая изотермической твердой границы для значений числа Льюиса Ье = 0.5 (фрагменты а, Ь и с соответствуют значениям Ві = 0.8; к = 1.84 и Ма = 826.1) и Ье = 10 (фрагменты сі, е, / соответствуют Ві = 2.5; к = 2.86 и Ма = 2387)

Как и следует из физической природы конвекция Марангони, центры конвективных ячеек находятся в верхней части слоя, для больших Ье = 10 они располагаются еще более близко к свободной границе.

Заключение. В работе рассмотрена термокопиллярная неустойчивость бинарной жидкой смеси, одна из компонент которой обусловливает внутреннее тепловыделение, в условиях невесомости. Несмотря на несомненный теоретический и практический интерес, исследование конвекции Марангони в такой постановке, по-видимому, не производилось. Проведенное численное исследование показало сильную зависимость критических условий возникновения конвекции от отношения коэффициентов диффузии тепловыделяющей компоненты и температуропроводности смеси, определяемого как число Льюиса. Для Le ® 0 в отсутствие теплоотдачи на свободной границе в обоих исследованных случаях теплоизолированной (а) и изотермической (b) твердой границы система стремится к абсолютной неустойчивости для возмущения с волновым числом k = 0 (а) и с k = 1.59 (b). При значениях Le > 0.5 для изотермической твердой границы критическое число Марангони не возрастает с увеличением теплоотдачи, а вначале быстро убывает, и лишь затем для Bi > 2 начинает линейно расти.

Аналогичную зависимость от числа Био имеют и критические значения волновых чисел.

В заключение, в порядке обсуждения, заметим, что в большинстве работ по термокапиллярной неустойчивости, начиная с J. Pearson [5], равновесное распределение температуры определяется для изотермической свободной поверхности, а условие теплоотдачи используют только для возмущений. Такая постановка может быть оправдана в случае постоянного равновесного градиента температуры, как в работе [5], но вызывает сомнение в случае присутствия в слое жидкости внутренних источников тепла, когда стационарное распределение температуры и его градиент зависят от числа Био. Подобная постановка задачи требует дополнительных физических аргументов, которые, как правило, отсутствуют, и вызывает трудности при сравнении результатов линейной теории с решением задачи в нелинейной постановке.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 00-01-00614).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Андреев В.К., Родионов А А., Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоском слоях под действием внутренних источников тепла // ПМТФ. 1989. № 3. С. 101-107.

2. Lam T.T., Bayazitoglu Y. Effect of internal heat generation and variable viscosity on Marangoni convection // Numerical Heat transfer. 1987. V. 11. P. 165-182.

3. Колесников A.K., Якушин В.И. О конвективной неустойчивости смеси с концентрационными источниками тепла // ИФЖ. 1979. Т. XXXVI. № 4. С. 708-714.

4. Колесников A.K., Якушин В.И. О возникновении конвекции в смеси с концентрационными источниками тепла // Изв. АН СССР. МЖГ.1980. № 6. C. 21-27.

5. Pearson J.R. On convective cells induced by surface tension // J. Fluid. Mech. 1958. № 4. P. 489-500.

THERMOCAPILLARY INSTABILITY OF A PLANE LIQUID LAYER WITH A CONCENTRATED HEAT SOURCES.

V.I. Yakushin

Abstract. This paper deals with studying thermocapillary instability in a plane layer of binary liquid mixture in which generation of internal heat is caused by one of the mixture components.

The existence of such heat sources accounts for the fact that the equation of heat conductivity involves source term a proportional to the concentration. The surface tension is taken to be dependent only on temperature. The free surface is assumed to be nondeformable and meet the Newtonian conditions of heat transfer. Two types of the thermal boundary conditions are considered on a solid surface: a) the boundary is thermally insulated; b) the boundary temperature is constant. The Runge - Kutta method is used to compute the neutral curve and to construct structures of arising convective flows and curves of the critical Marangoni numbers Ma as a function of the Bio number Ma (Bi) for the Luise values Le ranging from 0.05 to 10. The threshold values of the Marangoni number are found to reduce drastically with decrease of the Luise number and for Le = 0 and Bi = 0 the system becomes absolutely unstable. The analysis shows that for the second type of the boundary conditions at Le ~ 0.1 the dependence Ma (Bi) is nonmonotonic: the least threshold value of the Marangoni number is obtained at Bi Ф 0 and increases sharply at Bi < 1 and Bi ® 0.