Теория топологической степени совпадения для некоторых классов многозначных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ СОВПАДЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© М. М. Басова

Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, I : йот I — — линейный фредгольмов опе-

ратор нулевого индекса такой, что 1т I С Е2 — замкнутое множество. Обозначим К(У) — совокупность всех непустых компактных подмножеств пространства У.

Определение!. Классом А(Х,У), где X, У — топологические пространства, называется совокупность полунепрерывных сверху мультиотображений С : X — К (У), удовлетворяющих условиям:

(1) С обладает однозначной е-аппроксимацией для любого е > 0;

(2) для любого е > 0 существует 5о > 0 такое, что для каждого 5 (0 < 5 < 5о) и любых

двух 5-аппроксимаций д$ ,д$ : X — У мультиотображения С найдется непрерывное отображение Н : X х [0,1] — У такое, что

(1) Н(х, 0) = д^, Н(х, 1) = д6 для всех х е X;

(и) Н(х, Л) является е-аппроксимацией мультиотображения С для каждого

Л е [0,1].

К данному классу отображений принадлежат, при некоторых естественных предположениях на X и У, мультиотображения с -значениями (напомним, что -множество есть пересечение убывающей последовательности компактных стягиваемых множеств). Это означает также, что мультиотображения с выпуклыми или стягиваемыми значениями также принадлежат данной совокупности.

Пусть и С Е\ — открытое ограниченное множество, Xl, X2,.., Xk-l — банаховы пространства.

Определение2. Классом A(U,Xl) называется совокупность полунепрерывных сверху мультиотображений С : и — К(XI) таких, что для любого конечномерного подпространства Еп С Е мультиотображение С\ц принадлежит классу A(Un,Xl), где йп = и П Еп- _

Определение 3. Классом A(Xi-l,Xi) назовем совокупность полунепрерывных сверху мультиотображений С : Xi-l — К(XI) таких, что любое сужение мультиотображения С\у на V — выпуклое компактное подмножество пространства Xi-l принадлежит классу A(V,Xi).

Определение 4. Классом Ас(и, Е) назовем совокупность мультиотображений

-- - р Рз Рк-1 Рк

Е = Ек о ... о Е1 : и — К(Е) вида Е : и = X0 ^ XI ^ X2 ^ ... ^ Xk-l ^ Xk = Е, где

Е1 е ^4(и, Xl), а Е,, е A(Xi-l, Xi) для г = 2,.., к.

Рассмотрим мультиотображение $ : и — К(Е\) вида

$(х) = р(х) + (ф о п + кр,д) о Е(х),

где p : Ei ^ Ei — линейный оператор проектирования такой, что Im p = Ker l, ф : Coker l ^ Ker l — линейный непрерывный изоморфизм, п : E% E2/Im l— канонический оператор проектирования, kp,q : E2 ^ Ei — обобщенный обратный к l оператор (см [1],[2]).

Множество неподвижных точек мультиотображения F совпадает со множеством решений включения l(x) G F (x).

Определение 5. Степенью совпадения deg(l, F, U ) пары (l, F ), где F = Fk о ... о Fi из класса Ac(U, E2) и не имеет неподвижных точек на dU П dom l, назовем топологическую степень deg(^, U) компактного мультиполя Ф = i — F, соответствующего мультиотображению F.

Описываются свойства введенной топологической характеристики и рассматриваются приложения к управляемой системе смешанного типа, описываемой дифференциальным включением с импульсными характеристиками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mawhin J.L. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems // CBMS Regional Conf.

Ser. in Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I. 1979. №40. 122 p.

2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных

отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.

3. Корнев С.В., Обуховский В.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений // Труды математического факультета, 2004. Вып. 8. C. 56-74.

Басова Марина Михайловна Воронежский государственный ун-т Россия, Воронеж e-mail:[email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С УПРАВЛЯЕМЫМ СТАРШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 1

© О. А. Беляева, В. И. Сумин

В математической теории оптимального управления важную роль играют достаточные условия сохранения глобальной разрешимости (СГР) начально-краевых задач при возмущении управления. Достаточно общая схема получения подобных условий была предложена в [1]. В докладе обсуждаются полученные методами [1] условия СГР задачи Коши для полулинейного одномерного волнового уравнения при возмущении зависящего от времени коэффициента при второй производной по пространственной переменной.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00495).