Топологическая степень многозначных возмущений плотно определенных операторов монотонного типа и некоторые ее приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ МНОГОЗНАЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ МОНОТОННОГО ТИПА И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 5)

Е.С. Барановский 6)

Воронежский государственный университет,

Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе вводится понятие топологической степени многозначных возмущений плотно определенных отображений типа (S+). Изучаются основные свойства данной топологической характеристики. Построенная степень применяется при исследовании задачи управления с обратной связью для одного класса нелинейных уравнений эллиптического типа.

Ключевые слова: топологическая степень, монотонные отображения, плотно определенные отображения типа (5+), многозначные отображения, асферичные множества, управление с обратной связью, нелинейные эллиптические уравнения.

Введение

Как известно, при изучении многих задач оптимального управления, задач теории дифференциальных уравнений и включений, вариационных неравенств естественно возникают уравнения с многозначными операторами (см., например, [1]). Удобным средством исследования таких уравнений является использование топологических характеристик типа степени многозначных возмущений различных классов однозначных операторов. В [2, 3] была построена теория степени многозначных возмущений (5+)-отображений.7) На основе этой теории удалось изучить ряд задач управления с обратной связью в системах, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных [3]-[5].

В предлагаемой статье понятие степени распространяется на более широкий, чем отмеченный выше, класс многозначных отображений, а именно класс многозначных возмущений плотно определенных (5+)е-отображений. Необходимость такого расширения обусловлена тем, что в приложениях возникают ситуации, когда вместо операторов, заданных на всем пространстве, приходится рассматривать операторы, определенные лишь на всюду плотном множестве. Так происходит, например, при изучении краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений с «сильно растущими» коэффициентами (см. [6, 7]).

5Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ.

6Барановский Евгений Сергеевич - кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник НИИ математики Воронежского государственного университета.

7Напомним, что отображения класса (5+) представляют собой разновидность операторов монотонного типа и естественно возникают при изучении нелинейных краевых задач [12].

Отметим, что теория степени плотно определенных отображений типа (5+) была предложена А. Картсатосом и И.В. Скрыпником [6]. Приложения этой теории и некоторые ее обобщения рассматриваются в [7, 8].

В данной работе предложена конструкция топологической степени отображений вида А — О, где А - однозначный плотно определенный оператор, удовлетворяющий условию (Б+)е , О = ф о Е, ф - однозначный оператор, Е - компактное многозначное отображение с асферичными образами. Степень определяется по следующей схеме. Сначала отображение А — О аппроксимируется конечномерными проекциями Ак — О к, к = 1, 2 ... , и определяется степень многозначных отображений Ак — О к. Затем устанавливается стабилизация полученных степеней при к ^ ж и предельное значение объявляется степенью исходного отображения. Введенная таким образом характеристика обладает всеми стандартными свойствами топологической степени. В работе рассматривается свойство гомотопической инвариантности степени, а также доказывается аналог «основной теоремы» теории степени. В заключение статьи построенная степень применяется при исследовании задачи управления с обратной связью для одного класса нелинейных уравнений эллиптического типа.

1. Предварительные сведения из теории многозначных отображений

Пусть X, X - метрические пространства. Для М С X, £ > 0 обозначим 0£(М) = {х € X : р(х, М) < £}, где р(х, М) - расстояние от х до множества М.

Пусть Е: X ^ X - многозначное отображение (мультиотображение).

Определение 1. Непрерывное отображение а£: X ^ X, £ > 0, называется £-аппрок-симацией Е, если для каждого х € X существует х' € 0£(х) такое, что а£(х) € 0£(Е(х')).

Совокупность всех £-аппроксимаций Е обозначим символом а(Е,£).

Лемма 1 (см. [9]). Пусть X, X', X -метрические пространства, /: X ^ X', ф: X ^ X' - непрерывные отображения. Пусть Е: X ^ X - полунепрерывное сверху многозначное отображение такое, что для любого х € X множество Е(х) компактно. Пусть К -компактное подмножество X такое, что

/(х) € ф о Е(х), х € К.

Тогда, если £ > 0 достаточно мало и а£ € а(Е, £), то

/(х) = ф о а£ (х), х € К.

Приведем теперь определение используемого в дальнейшем класса многозначных отображений. Но сначала напомним некоторые понятия и факты.

Определение 2 (см. [10]). Непустое компактное подмножество М метрического пространства X называется асферичным, если для любого £ > 0 найдется 8, 0 < 8 < £, такое, что для каждого п = 0,1,... любое непрерывное отображение д: Бп ^ 0&(М)

может быть продолжено до непрерывного отображения д: Вп+1 ^ 0£(М), где Бп,

Вп+1 - единичные сфера и шар в М+Ч

Определение 3 (см. [1]). Мультиотображение Е : X ^ X называется полунепрерывным сверху в точке х0 € X, если для любого открытого множества V С X такого, что Е(х0) С V, найдется ихо - окрестность точки х0 такая, что Е(ихо) С V. Мультиотображение Е называется полунепрерывным сверху, если оно полунепрерывно сверху в каждой точке х € X.

Определение 4 (см. [10]). Многозначное отображение Е: X ^ X называется 3-мультиотображением (Е € 3(X, X)), если оно полунепрерывно сверху и для любого х € X множество Е(х) является асферичным.

Чтобы отметить насколько широк класс 3-мультиотображений, напомним [10], что примерами асферичных множеств в линейном нормированном пространстве служат компактные выпуклые или стягиваемые множества, К& - множества.

Следующее аппроксимационное свойство 3-мультиотображений, восходящее к работам А.Д. Мышкиса, доказано в [11].

Лемма 2. Пусть X - локально стягиваемый конечномерный компакт, Е € 3(X, X). Тогда

г) мультиотображение Е аппроксимируемо, то есть для любого £ > 0 найдется а£ € а(Е, £);

гг) для любого £ > 0 найдется 80 > 0 такое, что для каждого 8 (0 < 8 < 80) и для любых двух 8-аппроксимаций € а(Е, 8) найдется непрерывное отображение

а: X х [0,1] ^ X такое, что

а(-, 0) = и&, а(-, 1) = и'&

и а(-, X) € а(Е, £) для каждого X € [0,1].

Пусть X, X', X - метрические пространства. Символом С3(X, X' ) будем обозначать совокупность всех мультиотображений О: X ^ X' вида О = ф о Е, где Е € 3(X, X), ф: X ^ X' - непрерывное однозначное отображение.

2. Степень многозначных возмущений (Б+)е-отображений

Пусть X - вещественное сепарабельное рефлексивное банахово пространство, X* -его сопряженное. Обозначим сильную и слабую сходимости соответственно через ^ и ^. Для элементов х € X и q € X* через {д,х) обозначим действие функционала д на элементе х.

Зафиксируем {ут}О=1 - полную систему элементов в пространстве X. Предположим, что при каждом к элементы у1,... ,Ьк линейно независимы. Обозначим через Ек

СО

линейную оболочку элементов у1,... ,Ук. Символом Е обозначим У Ек.

к=1

Рассмотрим А : О (А) ^ X* - однозначный оператор с областью определения О (А) С X. Предположим, что О(А) Э Е.

Определение 5 (см. [7]). Будем говорить, что оператор А удовлетворяет условию (5+)е, если для любого к € X* и любой последовательности {и^} С Е такой, что ^ и0 и

Иш (А(щ),щ) < (к,щ), Иш {А(и^),у) = (к, у)

j—j — О

для любого V € Е, справедливо щ ^ и0, и0 € О (А), А(и0) = к.

Условие (Б+)е - обобщение хорошо известного условия монотонности (5+). В работах [6, 7] была построена теория степени (Б+)е-отображений.

Наша цель - введение понятия топологической степени для многозначных возмущений (Б+)е-отображений, т.е. отображений вида А — О, где А - оператор, удовлетворяющий условию (Б+)е, О - многозначное отображение.

Предположим, что:

1) оператор А удовлетворяет условию (Б+ )е;

2) для любого V € Е и к € N функция ау,к : Ек ^ М, ау,к(и) = (А(и),у), непрерывна. Для многозначного отображения О : О (О) ^ X * с областью определения О (О), О (А) С

О (О) С X, предположим выполненными следующие условия:

3) О = ф о Е принадлежит классу С3(Б(О)^*);

4) для любого ограниченного множества М С X множество Е(Б(О) П М) относительно компактно.

Пусть и - открытое ограниченное подмножество X. Символами и, ди обозначим соответственно замыкание и границу множества и.

Предположим, что:

5) для любого к множество и П Ек локально стягиваемо;

6) включение

А(и) € О (и), и € О (А)

не имеет решений, принадлежащих ди.

При выполнении условий 1) - 6) мы определим Deg(A — О, и, 0) - степень многозначного отображения А — О множества и относительно точки 0 € X*. Для того чтобы привести конструкцию степени, нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения.

к

Введем конечномерный проектор Пк : X * ^ Ек, Пк (к) = ^ (к,Уг)Уг.

i=1

Обозначим Ак = Пк о А, Ок = Пк о О, фк = Пк о ф.

Лемма 3. Пусть М - замкнутое ограниченное подмножество X. Пусть включение

А(и) € О (и), и € О (А)

не имеет решений, принадлежащих М. Тогда существует к0 такое, что при к > к0 включение

Ак(и) € Ок(u), и € Ек

не имеет решений, принадлежащих М.

□ Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Предположим, что существует последовательность Uj € Ек. П М такая, что Ак. (uj) € Ок (uj)

и kj ^ ж при ] ^ ж. В этом случае найдется последовательность gj € О(uj), для которой справедливо:

(А(и) — gj,у^ = 0, г = 1,...,к. (1)

Поскольку последовательность {uj} ограничена, можно считать, что Uj ^ и0 € X. Кроме того, в силу условия 4) можно полагать, что gj ^ д0 € X*.

Из (1) следует, что

(а(щ ),щ ) = д ,из).

Поэтому

Аналогично

Иш (А(щ),щ) = (до,ио).

З — О

Иш (А(щ),у) = (до,у)

З—о

для любого V € Е. Отсюда с учетом замкнутости множества М и условия 1) получаем: из ^ и0, и0 € О (А) П М и А(и0) = д0.

Так как О(А) С О(О), то и0 € О(О). Поскольку из ^ и0, дз ^ д0, дз € О(из) и мультиотображение О полунепрерывно сверху, имеем д0 € О(и0). Следовательно, А(и0) € О(и0) и и0 € О(А) П М, что противоречит условиям леммы. Лемма доказана. I Пусть к > к0. Определим степень многозначного отображения Ак — О к : и П Ек ^ Ек по формуле:

Deg(Ak — О к, и П Ек, 0) = deg(Ak — фк о а£к ,и П Ек, 0), (2)

где символ deg обозначает степень однозначного конечномерного отображения, £к -достаточно малое положительное число, а£к - £к-аппроксимация мультиотображения Е\ипЕк (существование аппроксимации следует из леммы 2).

Покажем, что данное определение корректно. Во-первых, заметим, что при достаточно малом £к степень в правой части (2) определена, поскольку

Ак (и) — фк о а£к (и) = 0, и € ди П Ек.

Последнее соотношение следует из условия 6), лемм 1,3.

Далее, покажем, что степень в правой части (2) не зависит от выбора £к-аппроксимации, т. е.

deg(Ak — фк о а£к, и П Ек, 0) = deg(Ak — фк о а£к ,и П Ек, 0) (3)

для любых а£к ,а£к € а(Е\у^Ек ,£к) при достаточно малом £к.

Из лемм 1-3 и условия 6) следует, что аппроксимации а£к, а£ можно соединить непрерывной деформацией а : и П Ек х [0,1] ^ X такой, что а(■, 0) = а£к а(■, 1) = а£к и

Ак(и) — фк о а(и, Ь) = 0, и € ди П Ек, Ь € [0,1].

Отсюда в силу свойства гомотопической инвариантности степени конечномерных отображений и следует равенство (3).

Справедливо следующее утверждение о стабилизации степени (2) при к ^ то.

Лемма 4. Существует к1 такое, что при к > к1 величина Deg(Ak — Gk,U П Ek, 0) не зависит от к.

□ Для доказательства леммы достаточно установить, что

Deg(Ak+1 — Gk+1, U П Ek+1, 0) = Deg(Ak — Gk, U П Ek, 0) (4)

при «больших» к.

Будем считать, что в (2) величины £k, к = 1, 2,..., выбраны так, что последовательность {ek} монотонно убывает и £k ^ 0 при к ^ то.

Пусть hj, j = 1, 2..., - элементы пространства X *, удовлетворяющие условию

(hj,Vi) = 8ij, i е {1,. .. ,j}, где 8ij - символ Кронекера.

Рассмотрим отображение Rk+1 : U П Ek+1 ^ Ek+1,

Rk+1(u') Ak (u) $k 0 &£к+1 ('U') + (hk + 1 , u)vk + 1 .

Покажем, что при достаточно больших к

t(Ak+1(u) — фk+1 ◦ &£к+1 (u)) + (1 — t)Rk+1(u) = 0, (u,t) е d(U П Ek+1) х [0,1]. (5)

Предположим противное. Тогда без ограничения общности можно утверждать, что существуют последовательности tm е [0,1], um е д(U П Em), um ^ u0, такие, что

tm(Am(um) фm 0 &£m (um)) + (1 tm)Rm(um) — °.

Последнее равенство эквивалентно следующим соотношениям

(A(um) — ф ◦ &£m (um),Vi) = 0, i = 1, . . . ,m — 1, (6)

tm(A(um) ф 0 &£m (um), vm) + (1 tm) (hm,> um) 0. (7)

В силу условия 4) можно считать, что &£m (um) ^ q0 е Z при m ^ то. Поэтому для любого v е E

lim (A(um),v) = lim (ф о &£т (um),v) = (ф(qo),v). (8)

m^tt m^tt

Оценим теперь величину Иш (А(пт),пт).

т^<х>

Поскольку ит £ Ет, то ит можно представить в виде

m

um = Yi Cvi, б" е R.

i=1

С учетом равенств (6), (7) получим

mm (A(um),um) = Y1 CT(A(um),vi) = ^ (Ф 0 &£m (um),vi)

i=1 i=1

- С

1 - и

{~^т,пт) {ф ° & £т (пт),пт) С

1 - и

{^т,ит)- (9)

Поскольку

то из (9) следует Поэтому

(Ьт.Пт) = (Нт,^,Съ) = Е Ы^т-У,) = С

г=1 г=1

т,ь = ст,

{А( пт). пт ) < {ф ° &£т (и т).пт)

Иш {А(пт),Пт) < {ф(до),щ).

(10)

Так как оператор А удовлетворяет условию (Б+)е, то из (8), (10) следует, что пт ^ п0, п0 Е В (А) П ди и А(п0) = ф(оа).

Из пт ^ п0, &£т (пт) ^ Я0, £т ^ 0 и полунепрерывности сверху многозначного отображения Е следует, что я0 Е Е(п0). Поэтому

А(по) = ф(яо) Е ф ◦ Е(по) = С (по),

что противоречит условию 6). Таким образом, справедливость соотношения (5) доказана.

В силу свойства гомотопической инвариантности степени конечномерных из (5) следует, что

deg(Ak+l - фк+\ ◦ &£+, и П Еи+\, 0) = deg(Rk+l, и П Ек+Х, 0).

Кроме того, используя лемму Лере-Шаудера (см. например, [12]), получим, что

deg(Afc - фи ◦ &£к+1, и П Ек, 0) = deg(Rfc+l ,и П Ек+1, 0).

Поэтому

deg(Ak+l - фк+1 ◦ & £к+1, и П Ек+1,0) = deg(Ak - фк ◦ &£к+1 ,и П Ек, 0).

(11)

В силу независимости степени (2) от выбора £к-аппроксимации величина, стоящая в правой части (11), может быть использована для вычисления Deg(Ak - С к, и П Ек, 0). Кроме того, очевидно, что степень из левой части (11) определяет Deg(Ak+l - Ск+1, и П Ек+1, 0). Таким образом приходим к требуемому равенству (4). В Теперь мы можем дать основное определение.

Определение 6. Пусть выполнены условия 1)-6). Степенью многозначного отображения А - С множества и относительно точки 0 Е X* назовем число

Deg(A - С, и, 0) = Иш Deg(Ak - Ск, и П Ек, 0).

к^<х>

т

т

Для введенной таким образом характеристики выполнены все стандартные свойства топологической степени. Отметим свойство гомотопической инвариантности степени.

Рассмотрим А : О (А) ^ X * - отображение с областью определения О(А) С X х [0,1]. Обозначим Б(А(-, Л)) = {п Е X : (п, X) Е Б(А)}. Предположим, что Е С Б(А(-, Л)) для любого Л Е [0,1]. Предположим также, что для любого V Е Е и к Е N функция

ау,к : Ек х [0,1] ^ К, ау,к(п, Л) = {А(п, Л),ю)

непрерывна.

Определение 7. Будем говорить, что оператор А удовлетворяет условию (Б+)е, если для любого к Е X* и любых последовательностей {п^} С Е, {Лj} С [0,1] таких, что щ ^ п0, Лj ^ Л0 и

Иш {А(п, Лj),п) < {к,п0), Иш {А(п,Лj),ю) = {к,ю)

j^lЖ j^<Ж

для любого V Е Е, справедливо п ^ п0, п0 Е Б(А(■, Л0)), А(п0, Л0) = к.

Рассмотрим отображения А г : О( Аг) П и ^ X *, Сг : О (С г) П и ^ X *, Сг = фг о Е г, Е С Б(Аг) С Б(Сг), г = 0,1.

Определение 8. Будем говорить, что многозначные отображения А0 - С0 и А1 - С1 гомотопны, если выполнены следующие условия:

г) существует отображение А, удовлетворяющее условию (Б+)е и равенствам

А(■, 0) = Aо, А(■, 1) = А1;

гг) существует мультиотображение Е : О(Е) ^ X, О(Е) С X х [0,1], О(Е) 3 О(А), Е Е 7 О( Е), X), такое, что

Е(■, 0) = Ео, Е(■, 1) = Е1

и для любого ограниченного М С X х [0,1] множество Е В(Е) П М) относительно компактно в пространстве X;

Ш) существует непрерывное отображение Е : X х [0,1] ^ X* такое, что

ф(^0) = фо, ф(^ 1) =

гю) включение

А(п,Л) Е С(п,Л), (п,Л) Е В(А),

где С(п, Л) = Е(Е(п, Л), Л), не имеет решений, принадлежащих ди х [0,1].

Используя свойство гомотопической инвариантности степени конечномерных отображений, нетрудно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Если многозначные отображения А0 - С0 и А1 - С1 гомотопны, то

Deg(Ао - Со, u, 0) = Deg(А1 - Сl,и, 0).

Приведем теперь аналог «основной теоремы» теории степени.

Теорема 2. Если Deg(A - С, и, 0) = 0, то включение

А(п) Е С(п), п Е и П О(А)

имеет по крайней мере одно решение.

□ Предположим противное. Тогда, согласно лемме 3, при достаточно больших к включение

Ак (п) Е Ск (п), п Е Ек, не имеет решений, принадлежащих множеству и. В этом случае в силу леммы 1

А к (п) - фк о &£к (п) = 0, п Е и П Е к.

Здесь &£к - £к-аппроксимация Е\ц^Ек с достаточно малым £к.

Из определения 6 и свойств степени конечномерных отображений следует, что

Deg(A - С, и, 0) = deg( А к - фк о &£к, и П Ек, 0) = 0.

Полученное противоречие и доказывает теорему. В

3. Пример

Проиллюстрируем, как может быть использована построенная теория степени при изучении задач управления с обратной связью.

Рассмотрим следующую задачу:

г=1

ю(х) = 0, х Е 60*. (13)

Здесь П С К™ - область с достаточно гладкой границей д0, р, аг, f - известные функции. Искомыми являются функция состояния ю(х) и управление п(х). Предполагается, что

п Е и(ю), (14)

где и - многозначное отображение, определяющее в системе управление с обратной связью.

Опишем условия, при которых рассматривается задача (12) - (14). Пусть функция р обладает свойством:

р) Функция р : К ^ К непрерывна и удовлетворяет оценке

0 < р(Ь) < J р(в) 3,в +1| , ^ Е К

с константами а > 0, 0 < г < .

^ ‘ — п—2

Отметим, что данное условие «роста» не является ограничительным. Этому условию удовлетворяет даже функция р(Ь) = в* с экспоненциальным ростом.

Предположим, что для функций аг : П х К х К™ ^ К, г = 1,...,п выполнены следующие условия:

а!) при фиксированных п £ К, С £ К™ функция аг(^,п,С) является измеримой; а2) при почти всех х £ П функция аг(х, ■, ■) является непрерывной; а3) существуют положительные константы р, р!, и!, и2 и сфункция д0(х) такие, что

П

^(аг(х,П,С) - аг(х,П,С! )Щг - О > ЫС - С\Р,

г=!

\аг(х,п,С^ < V2 (\пГ + \С\)Р 1 + до(х)

при любых х £ П, п £ К, С, С £ К™, причем д0 £ Ь_р_(П), р! < , 2 < р < п.

Предположим также, что

Г) функция f : П х К х К ^ К непрерывна и удовлетворяет оценке

\! (х,У!,У2)\ < С (\У!\а + \у2 \в) + g!(x),

где д! £ Ь — (П), С> 0, а = , в = , 1 < Р2 < —, д> 1;

и) многозначное отображение и : ЬР2 (П) ^ Ьд(П) полунепрерывно сверху и для любого V £ ЬР2 (П) множество и (у) асферично.

Задачу (12)—(14) будем рассматривать в слабой постановке. Символом Ш0’р(П) обозначим подпространство соболевского пространства Ж!,Р(П), получающееся замыканием множества всех бесконечно дифференцируемых функций с носителями П по норме Ж !р(П).

Определение 9. Обобщенным решением задачи (12) - (14) назовем пару функций (у, и) £ Ш$’Р(П) х Ья(П), для которой выполнено включение (14) и равенство

£ [{рЧу) дх + а‘(х'у’дх дхЛх = / ■1:(х’у-и)'1'‘1х

г=! п

для любого ф £ Ж^'Р(П).

Чтобы сформулировать теорему о разрешимости задачи (12)—(14), введем вспомогательное однопараметрическое семейство задач:

^ д ( 2Х ду ( ду ду )

Ьах^1р + ^(х-1''дх1'"'-дхЗ+

г=!

+(1 - Л)

ду

дх

Р~2 дь }

— } = Л^х,у,и),Л £ [0,1], (15)

у(х) = 0, х £ дП. (16)

и £ и (у). (17)

Обозначим М = {у £ Ж!’Р(П) : существуют и £ Ьд(П),Л0 £ [0,1] такие, что пара (у,и) является обобщенным решением задачи (15)—(17) с Л = Л0}.

Теорема 3. Пусть выполнены условия р), а!)-а3), £), и). Предположим, что множество М ограничено. Тогда задача (12)-(14) имеет по крайней мере одно обобщенное решение.

□ Для доказательства теоремы воспользуемся теорией степени, построеннной во втором параграфе. Сначала дадим операторную трактовку рассматриваемой задачи.

Обозначим через СО(П) множество всех бесконечно дифференцируемых функций с носителем П. Зафиксируем {ут}О=! С СО(П) - полную систему элементов в пространстве Ш$’Р(П). Предположим, что при каждом к элементы у!,... ,ук линейно независимы.

СО

Обозначим через Ек линейную оболочку элементов у!,... ,ук. Обозначим Е = и Ек.

к=!

Ввведем оператор

А : Б (А) С Ж!,Р(П) х [0,1] ^ №0 ,Р(П)]*,

!,Р/

™ Г д

{А(у,Л),ф) = ^ |р2Х(у) 7^-^ + Лаг(х,у,

г=! ^ хг

ду

дхл

ду

дх™

)+

+(1 - Л)

ду

дх

Р-2

—} дфйх { йх, дхг дхг

где ф £ Ж!Р(П), Б (А) = {(у, Л) £ Ж!Р(П) х [0,1] : р2Х(у) дХ £ Ь (П)}.

д Хг р— 1

Согласно [6], оператор А удовлетворяет условию (S+)E.

Рассмотрим многозначное отображение

S : Ж!Р(П) х [0,1] ^ Ьр2(П) х Ья(П), S(у, Л) = {г(у)} х и(г(у)),

где г : Ж0’Р(П) ^ ЬР2(П) - оператор вложения. В силу теорем вложения соболевских пространств (см, например, [13]) оператор г определен корректно и является компактным. Поэтому для любого ограниченного множества Q С Ш(!’Р(П) х [0,1] множество XI^) является относительно компактным в ЬР2(П) х Ьч(П). Кроме того, из условия и) следует, что х £ ,1 (Ж0!’Р(П) х [0,1],ЬР2 (П) х Ья(П)).

Определим отображение

ф : Ьр2(П) х Ьд(П) х [0,1] ^ №’Р(П)]*,

(ф(у,и,Л),ф) = Л I f (х,у,и)ф(х) йх, ф £ Ж!’Р(П).

Из теоремы М.А. Красносельского о непрерывности оператора суперпозиции (см., например, [12, предложение 1.1, с. 9]) и условия Г) следует, что оператор X является непрерывным.

Обозначим

О^,\) = Е(ЕV Є Є [0,1].

Для доказательства теоремы достаточно показать, что включение

А^, 1) є О^, 1)

имеет по крайней мере одно решение V Є Ш^^^).

Из условий теоремы следует, что существует шар В = {V Є Ш^^1р(^) : |^|| < Я} такой, что М С В.

В силу установленных свойств выше свойств операторов А, Е, Е отображения A(•, 0) — (](•, 0), А.(•, 1) — О(, 1) гомотопны в смысле определения 8 (при и = В). В этом случае, согласно теореме 1,

Deg(A"(•, 1) — О(, 1), В, 0) = Deg(A(•, 0) — О(, 0), В, 0). (18)

Поскольку А(•, 0) — О(^, 0) = А(•, 0), то вычисление степени (18) сводится вычислению степени Deg(A(•, 0), В, 0).

Заметим, что 0(Е(•, 0)) = ШІ’р(&) и

(./1(V, 0)^) > 0, V Є дВ.

Отсюда в силу свойств степени (5+)-отображений [12] получаем, что

Deg(A(•, 0), В, 0) = 1

и, следовательно,

Deg(A(•, 1) — О(, 1), В, 0) = 1.

Таким образом, разрешимость включения Е^, 1) Є О^, 1) следует из теоремы 2. ■

Заключение

В работе построена новая топологическая характеристика - степень отображений вида A — О, где A - однозначный плотно определенный оператор, удовлетворяющий условию (3+)е, О = ф о Е, ф - однозначный оператор, Е - компактное многозначное отображение с асферичными образами. Изучены основные свойства данной характеристики. С помощью построенной степени доказана разрешимость задачи управления с обратной связью для одного класса нелинейных уравнений эллиптического типа.

Литература

1. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. 2-е, доп. изд. / Москва: Ли-боком, 2011. - 224 с.

2. Zvyagin V.G., Baranovskii E.S. Topological degree of condensing multi-valued perturbations of the (S)+-class maps and its applications // Journal of Mathematical Sciences. - 2010. -170;3. - P. 405-422.

3. Барановский Е.С. Исследование задач оптимизации. Методы теории степени многозначных отображений монотонного типа / Saarbriicken: LAP, 2011. - 112 c.

4. Барановский Е.С. Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений // Известия вузов. Математика. - 2009. -12. - С.74-79.

5. Барановский Е.С. Теоремы о структуре множества решений одного класса операторных включений и их приложения // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2010. - 1. -C.71-80.

6. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. Topological degree theories for densely mappings involving operators of type (S)+ // Adv. Differential Equations. - 1999. - 4;3. - P.413-456.

7. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. The index of a critical point for nonlinear elliptic operators with strong coefficient growth // J. Math. Soc. Japan. - 2000. - 52;1. - P.109-137.

8. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. A new topological degree theory for densely defined quasibounded (S+)-perturbations of multivalued maximal monotone operators in reflexive Banach spaces // Abstract and Applied Analysis. - 2005. - 2. - P.121-158.

9. Obukhovskii V., Zecca P., Zvyagin V. An oriented index for nonlinear Fredholm inclusions with nonconvex-valued perturbations // Abstract and Applied Analysis. - 2006. - P.1-21.

10. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 399 p.

11. Gorniewicz L., Granas A., Kryszewski W. On the homotopy method in the fixed point index theory for multi-mappings of compact absolute neighborhood retracts // J. Math. Anal. Appl. - 1991. - 161;2. - P.457-473.

12. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач / М.: Наука, 1990. - 448 c.

13. Adams R.A., Fournier J.J.F. Sobolev spases. 2 ed./ Elsevier, Oxford, 2003. - 305 p.

TOPOLOGICAL DEGREE FOR MULTIVALUED PERTURBATIONS OF DENSELY DEFINED OPERATORS OF MONOTONE TYPE AND ITS APPLICATIONS

E.S. Baranovskii

Voronezh State University,

Universitetskaya sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Introduction of the topological degree of multivalued perturbations of densely defined operators of type (S+) is proposed. Basic properties of this topological characteristic are studied. The constructed concept is applied to feedback control problem for nonlinear elliptic equation.

Key words: topological degree, monotone type mappings, densely defined operators of the class (S+), multivalued maps, aspheric sets, feedback control, nonlinear elliptic problems.