О задаче Коши для полулинейного волнового уравнения с управляемым старшим коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

где p : E\ ^ E\ — линейный оператор проектирования такой, что Im p = Ker l, ф : Coker l ^ Ker l — линейный непрерывный изоморфизм, п : E2 ^ E2/Im l— канонический оператор проектирования, kp,q : E2 ^ E\ — обобщенный обратный к l оператор (см [1],[2]).

Множество неподвижных точек мультиотображения F совпадает со множеством решений включения l(x) Е F (x).

Определение 5. Степенью совпадения deg(l, F, U) пары (l, F), где F = Fk о ... о F\ из класса Ac(U, E2) и не имеет неподвижных точек на dU П dom l, назовем топологическую степень deg(Ф, U) компактного мультиполя Ф = i — F, соответствующего мультиотображению F.

Описываются свойства введенной топологической характеристики и рассматриваются приложения к управляемой системе смешанного типа, описываемой дифференциальным включением с импульсными характеристиками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mawhin J.L. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems // CBMS Regional Conf.

Ser. in Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I. 1979. №40. 122 p.

2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных

отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.

3. Корнев С.В., Обуховский В.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений // Труды математического факультета, 2004. Вып. 8. C. 56-74.

Басова Марина Михайловна Воронежский государственный ун-т Россия, Воронеж e-mail:[email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С УПРАВЛЯЕМЫМ СТАРШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 1

© О. А. Беляева, В. И. Сумин

В математической теории оптимального управления важную роль играют достаточные условия сохранения глобальной разрешимости (СГР) начально-краевых задач при возмущении управления. Достаточно общая схема получения подобных условий была предложена в [1]. В докладе обсуждаются полученные методами [1] условия СГР задачи Коши для полулинейного одномерного волнового уравнения при возмущении зависящего от времени коэффициента при второй производной по пространственной переменной.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00495).

Пусть П = {t = {ti,t2} Е R2 : cti ^ t2 ^ Т2 — cti, 0 ^ ti ^ Ti} , фиксированы с, с, с., Ti, T2 Е R+, 0 < с ^ с. Рассмотрим задачу

Сс [ж] = x"ltl — (с (ti))2 x"2t2 = g(t, x(t)), t Е П, (1)

x (0,t2) =0, x'tl (0,t2) =0 при t2 Е [0,T2] , (2)

где g(t, l): П x R ^ R задана, с(-) : [0, Ti] ^ R - управление, g(t, l) и g[(t, l) удовлетворяют условиям Каратеодори и ограничены на любом ограниченном множестве. Допустимы с из класса D абсолютно непрерывных функций таких, что с ^ с (ti) ^ с,\с' (ti)| ^ С при ti Е [0, Ti] . Пусть Г — «нижнее основание» {t Е 9П : ti =0} множества П. Для любых

x Е W2i (П), с Е D, п Е W2i (П), z Е (П) положим

Решением (1), (2), отвечающим управлению с, назовем функцию х Е (П) , для которой при любом п Е (П), равном нулю на 9П\Г, имеем 3 [х,с,п,д(^,х)\ = 0. Каждому с Е В может отвечать не более одного такого, глобального, решения. Пусть О — множество тех с Е В, каждому из которых отвечает глобальное решение. Обозначим через Ас[г\ решение из Ш1 (П) задачи Коши с условием (2) для уравнения Ис [х\ = z(t), £ Е П при с Е В, z Е Ь^(П). Для каждого с Е В отображение Ас[-\ : Ьте (П) ^ Ьте (П) — линейный ограниченный оператор. Заменой х (£) = Ас^\(£), £ Е П задача Коши (1),(2) приводится к эквивалентному уравнению

z (£) = д(£, АсИ(£)), £ Е П (3)

над пространством (П). Уравнение (3) принадлежит классу вольтерровых функциональных уравнений, изученных в [1].

Пусть теперь со — некоторый элемент О и ему отвечает глобальное решение хо задачи (1), (2). Из общей теоремы о достаточных условиях СГР вольтерровых функциональных уравнений при возмущении управления, доказанной в [1] (гл. 1, §2, п. 4), получаем следующий результат [2].

Теорема 1. Существуют 5 > 0 и К > 0 такие, что если управление с Е В удовлетворяет неравенству г(с, со) < 5, где г(с, со) = \\Ас — Ас0 Уь^(п)^ь^(п) , то это управление принадлежит О вместе с управлением со, и для отвечающего ему глобального решения х справедлива оценка \\х — хо(п) ^ К г (с, со).

Применение теоремы 1 в конкретных ситуациях требует оценки поведения величины г(с, со) при том или ином изменении разности (с — со). Конструктивные оценки величины г(с, со), приводящие к простым конкретным признакам СГР задачи (1), (2) при возмущении управления, позволяют получить представление оператора Ас в виде

ck c

k=Q

Ac[z](t) = £ Jkk [Gc [z]](t), z Є L^n), t Є П, (4)

где Gc [■] — оператор, определенный на элементах пространства L^ (П) формулой

Gc [z] (t) = 2-1 у )d£,z Є Lx(n),t Є П,

Ac(t)

tl tl

Ac (t) = l £ = {£i, 6} Є R2 : t2 - J c (n) dn ^ £2 ^ t2 + J c (n) dn, О ^ 6 ^ ti l ,t Є П,

«l «і

4ІІ

Зс [•] — оператор, определенный на элементах пространства Ш1 (П) формулой Зс [и] ф = 2-1 ^ (с(11)) ^ (^ ^’и Є (П)’ 1 Є П'

Ас(і)

Для любой функции г Є (П) ряд (4) сходится по норме пространства Ш1 (П).

Представление (4) позволяет доказать, например, такие утверждения. Снабдим пространство абсолютно непрерывных на отрезке [0,7\] функций с(^) с ограниченной производной, которому принадлежит множество допустимых управлений О, нормой

НСНас,го = ІІсІІС[0,Ті] + ІІ^ІІЬ^оДі] •

Теорема 2. Существует М > 0 такое, что если с Є О удовлетворяет неравенству г(с, со) < 5 теоремы 1, то г(с, с0) ^ М ||с — со||асте •

Следствие. Существует N > 0 такое, что если величина ||с — Со||асте достаточно мала, то управление с принадлежит классу О вместе с управлением со, и для отвечающего ему глобального решения х справедлива оценка Цх — Жо|І£^(п) ^ N ||с — со||асте •

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

2. Беляева О.А., Степанова О.А., Сумин Б.И. О задаче Коши для полулинейного гиперболического уравнения второго порядка с управляемым старшим коэффициентом // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 3(32).

Беляева Ольга Алексеевна Сумин Владимир Иосифович

Нижегородский государственный ун-т Нижегородский государственный ун-т

Россия, Нижний Новгород Россия, Нижний Новгород

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 7 мая 2007 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ЗАДАЧАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ 1

© А.О. Блинов

В задачах моделирования и оптимизации часто встречаются ситуации, когда модель объекта имеет сложное аналитическое описание или не имеет его вовсе (отдельные характеристики заданы с помощью таблиц или массивов данных). В этом случае для изучения и анализа свойств объекта пользуются различными методами аппроксимации.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №05-01-00260).