CC BY
65
Р. Г. Галиуллин, М. Г. Кузнецов, О. В. Козулина,
А. Н. Николаев, Ю. Ф. Коротков
ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПУЛЬСИРУЮЩИХ ТЕЧЕНИЙ
Ключевые слова: резонансные колебания, поток газа, труба, давление, скорость.
Рассмотрены резонансные колебания пульсирующих течений газа в узкой трубе поршневого акустического нагнетателя. Предложена модель, основанная на допущениях, что потери энергии с открытого конца трубы существенно больше потерь на акустическое излучение и что имеет место сферическое втекание газа в трубу нагнетателя и струйное истечение его из трубы. Получено обобщающее уравнение для фаз всасывания газа в трубу и выброса его из трубы нагнетателя.
Keys words: resonance oscillations, stream of gas, pipe, pressure, velocity
Resonant fluctuations of pulsing currents of gas in a narrow pipe of a piston acoustic supercharger are considered. The model based on assumptions that power losss from the open end of a pipe of essentially more losses on acoustic radiation and that spherical flowing of gas in a pipe of a supercharger and its jet expiration from a pipe takes place is offered. The generalising equation for phases of suction of gas in a pipe and its exhaust from a pipe of a supercharger is received.
Основы резонансных колебаний
пульсирующих течений рассмотрены в [1].
На рис. 1 показан резонансный нагнетатель поршневого типа, в котором реализован пульсирующий отток газа. В таком нагнетателе
амплитуда 1д смещения поршня мала по сравнению с
длиной Ь трубы.
Рис. 1. Схема поршневого акустического
нагнетателя газа: 1 - рабочая камера; 2 - поршень;
3 - конусный переходник; 4 - труба; 5 - бокс
При перемещении поршня 2 вправо происходит выброс газа из трубы 4 в отверстие 6 бокса 5. Выброшенная из трубы 4 газовая струя обладает большой кинетической энергией и по выходе из отверстия 6 в боксе 5 способствует устремлению газа в это отверстие из пространства снаружи бокса и трубы.
В [2] показано, что гармонические колебания колеблющегося поршня совершаются со скоростью по закону:
up = Mp • ek
(І)
юІ0
где Mp =------ - параметр (здесь: Ш - циклическая
со
частота; і0 - амплитуда смещения поршня; с0 -скорость звука в невозмущенном газе); t - время.
Исторически первое граничное условие на открытом конце трубы поставлено Дэлсом [3], который предложил считать, что давление на открытом конце трубы равно атмосферному, т.е.
PE - ^ = 0 , (2)
где PE - давление на срезе трубы со стороны выброса газа; P0 - атмосферное давление.
Условие (2), использованное при анализе нелинейных колебаний в работе [1], приводит к физически неприемлемому результату -неограниченному росту амплитуды колебаний резонансных частот.
В итоге имеем:
(3)
где f - резонансная частота колебаний газа в трубе; L0 - длина трубы; П = 1, 2, 3, ...
Решение получается ограниченным, если учесть акустическое излучение с открытого конца трубы. В этом случае вводится понятие акустического импеданса, который можно записать в виде:
ZE = XE + iyE , (4)
где XE, у,; - активная и реактивная части импеданса.
Черта сверху указывает на безразмерную форму записи.
Активная часть импеданса Хе учитывает излучение энергии с открытого конца трубы, а реактивная часть уЕ приводит к уменьшению резонансной частоты так, как если бы длина трубы увеличилась на величину и тогда в (3) вместо
Ьд следует подставить L = L0 + ст.Д . Величину
называют поправкой Рэлея на открытый конец трубы.
Ограничимся рассмотрением колебаний в узких
трубках, для которых выполняется условие
roR
c0
< 1.
В этом случае количество акустической энергии, излучаемое открытым концом трубы, оказывается незначительным, что приводит к теоретической
амплитуде колебаний, т. е. должен существовать некий нелинейный механизм, ограничивающий амплитуду колебаний. Первая модель подобного механизма предложена в работе [4]. Эта модель основана на следующих допущениях:
а) потери энергии с открытого конца трубы существенно больше потерь на акустическое излучение;
б) имеет место сферическое втекание в сток, расположенный в выходном сечении трубы, и струйное истечение с открытого конца трубы.
Для труб с острой кромкой авторами работы [5] предложены следующие уравнения:
Ре -Ро = —Ро^Е (5)
- на фазе всасывания;
Pe - Po = 0
(6)
- на фазе выброса,
где Ue - колебания скорости на открытом конце трубы.
В дальнейшем нелинейное граничное условие рассматривалось в [5-7].
В отсутствии акустического излучения для граничного условия можно получить обобщающую формулу, имеющую вид:
Pe - Po = -0,5poUE (p-а-sign uE), где а, в - эмпирические константы.
В фазе всасывания, когда uE < 0 из (7) имеем (5), а в фазе выброса, когда uE > 0, из (7) имеем (6). Равенство в = а в фазе выброса экспериментально подтверждено в [8].
Уравнение (7) можно разложить в ряд Фурье, в котором связь между колебаниями давления и скорости на основной гармонике имеет вид:
P1E =P oVU1e|^
(В)
где Р1Е, и1Е - колебания давления и скорости на
открытом конце трубы для основной гармоники;
V - амплитуда колебаний скорости на открытом конце трубы.
В безразмерной форме (8) имеет вид:
Р1Е = тУи1Е, (9)
4а — V - и1Е
где т =-----, V = —, и1Е = - безразмерные
Зя Со Со
величины.
Нелинейные потери энергии с открытого конца трубы на основной гармонике можно определить по формуле [9]:
М = Э(Р1Е • Це) , (10)
где 8 - площадь сечения трубы.
Угловые скобки означают осреднение по
времени.
Полагая, что и1Е = V • СОБ(га1 + ф) и учитывая, что Р1Е определяется уравнением (8), уравнение (10) можно записать в следующем виде:
W = —p0V3S. Эл 0
(ІІ)
Уравнение (11) показывает, что потери энергии имеют положительный знак, т.е. эти потери с открытого конца трубы при колебаниях газа будут положительными. Аналогичный результат можно получить при использовании P1E из [9].
При подсчете энергии, расходуемой газовой струей в периоды всасывания и нагнетания газа в поршневом акустическом нагнетателе, необходимо иметь ввиду, что время всасывания Твс меньше времени выброса твы6р. Это объясняется тем, что всасывание газа в трубу происходит по полусфере радиусом R с площадью поверхности 2rcR2, где R -радиус трубы, а выброс газа из трубы - через сечение трубы площадью tcR2 .
Неравенство твс < твы6р возможно в том
случае, когда происходит некоторое постоянное приращение скорости газового потока трубы в сторону расположения бокса.
Если скорость газа на срезе трубы со стороны выброса газа изменяется по закону:
U = V - cos Wt, (12)
то на расстоянии х от среза трубы она изм(7е)няется по закону:
Ux = Vx (mo + cos rat), (13)
где Vx - амплитуда колебаний скорости газа на срезе трубы со стороны выброса газа;
m0 - постоянное приращение скорости.
Исходя из закона сохранения массы газа у среза трубы, приращение скорости Шо можно рассчитать по уравнению [10]:
(B + 2)m0 л + 2 (Б - 2)-
•[m0arcsin m0 + sin(arccos m0)J= 0, (14)
где B = 1 -
1-
константа, учитывающая
эффект вытеснения газового потока в трубе акустическим пограничным слоем.
/га _ d
Здесь: Н = к.— , к = — ; V - кинематическая
V V 2
вязкость;
отношение удельной
теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме.
Выводы
1. Предложена модель колебания газа в узких трубах.
2. Получена обобщающая формула колебания давлений на фазах всасывания и выброса газа в отсутствие акустического излучения.
3. Показано, что при входе постоянного потока газа в трубу активная часть импеданса возрастает, а при выходе этого потока из трубы - убывает.
1
Литература
1. Руденко, О.В. Теоретические основы нелинейной акустики / Руденко О.В., С.И.Солуян. - М.: Наука, 1975. -287 с.
2. Коротков, Ю.Ф. Резонансные колебания пульсирующих течений /Ю.Ф. Коротков, О.В. Козулина, М.Г. Кузнецов //Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т. 14, №3. -С.146-152.
3. Рэлей, Дж. Теория звука/ Дж. Рэлей т.2. - М.: Гостехиздат. 1955. - 457 с.
4. Van Wijngarden, L. On oscillation near and at resonance in open pipes /Van Wijngarden L.//I. Engn. Math. -1968. -Vol. 2. -№3. -P.225-240.
5. Галиуллин, Р.Г. Стоячие волны конечной амплитуды в
экспоненциальном канале /Р.Г. Галиуллин,
Л.В. Коркишко //Акустический журнал. 1985. т.31. №4. -С.520-522.
6. Галиуллин, Р.Г. Нелинейные резонансные колебания в трубе с открытым концом /Р.Г. Галиуллин,
Э.Р. Галиуллина, Е.И. Пермяков // Акустический журнал. -1996. -т.42. -№6. - С.736-772.
7. Keller, I. Resonant oscillation open tubes /Keller I. // Z. Angew. Math. Phis. -1977. -Vol. 28. -№2. -P.419-431.
8. Sturtevant, B. Subgarmonic nonlinear acoustic resonance in open tubes /B. Sturtevant., I.I. Keller //ZAMP. -1978. -V.28. -P.473-485.
9. Ландау, Л.Д. Гидродинамика /Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.// - М.: Наука, 1986. - 736 с.
10. Ермаков, Р.А. Нагнетатель газа, выполненный на базе
поршневого акустического резонатора /Р.А. Ермаков, Р. Г. Галиуллин, В.М. Ларионов, А. Н. Николаев
//Химическое и нефтегазовое машиностроение. - 2008. -Вып.7. - С.23-25.
© Р. Г. Галиуллин - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. технической физики и энергетики ПФУ; М. Г. Кузнецов - канд. техн. наук, доц. каф. оборудования пищевых производств КНИТУ, [email protected]; О. В. Козулина - канд. техн. наук, доц. той же кафедры; А. Н. Николаев - д-р техн. наук, проф. той же кафедры; Ю. Ф. Коротков - канд. техн. наук, доц. той же
кафедры.
