Резонансные колебания пульсирующих течений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.12;628.543

Ю. Ф. Коротков, О. В. Козулина, М. Г. Кузнецов

РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЛЬСИРУЮЩИХ ТЕЧЕНИЙ

Ключевые слова: резонансные колебания, поток газа, труба, давление, скорость.

Рассмотрены резонансные колебания газа в трубе с одним открытым концом и колеблющимся поршнем в ее противоположном конце с учетом присутствия в трубе постоянного потока газа. Показано, что при входе постоянного потока в трубу, возрастает активная часть импеданса, а при выходе этого потока из трубы - убывает.

Keys words: resonance oscillations, stream of gas, pipe, pressure, velocity.

Gas resonance oscillations in a pipe with one open extremity and the fluctuating piston in its opposite extremity taking into account presence at a pipe of a constant stream of gas are viewed. It is shown that at an inlet of a constant stream in a pipe, the active part of an impedance increases, and at an exit of this stream from a pipe - decreases.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований резонаторов поршневого типа [1-8] дают основание полагать о широких возможностях их использования в технологических процессах, связанных с сжиганием жидких, твердых и газообразных топлив, распылением жидких и порошкообразных сред, приготовлением эмульсий, суспензий и растворов, очисткой загрязненных вод от твердых и жидких нерастворимых примесей, получением холода, воздухообменом, сверхтонким помолом твердых частиц и др.

Подавляющее большинство исследований, за исключением экспериментальных работ [7, 8], выполнены в отсутствии осредненного по времени течения газа в канале. Это сужает область применения резонансных колебаний. Действительно, при построении, например, теплообменника, основанного на резонансных колебаниях, теплоноситель необходимо непрерывно отводить, т. е. поток в трубе должен быть пульсирующим.

Пульсирующий отток можно реализовать в трубе, если на одном ее конце установлен поршень, совершающий периодические колебания. Там же расположено сверхзвуковое сопло, через которое подается постоянный поток. Пульсирующий поток образуется и в случае поршневого компрессора, когда к одному из клапанов последнего присоединена труба. Другой конец трубы сообщается с окружающей средой.

В настоящей работе ставится задача изучить резонансные колебания в подобных устройствах.

Пусть поршень совершает в трубе гармонические колебания со скоростью

где 10 - амплитуда смещения поршня; а> - циклическая частота; £ - время.

Одновременно там же подается постоянный поток, скорость которого равна и0.

Свободный от поршня конец трубы имеет гладкое окончание с радиусом закругления, равным приблизительно половине полутолщины стенок. Колебательная система характеризуется набором параметров [1]

где с0 - скорость звука в невозмущенном газе; V - амплитуда колебаний скорости на крытом

конце трубы; у - кинематический коэффициент вязкости; Я - радиус трубы; 1_ - длина трубы; ЗЬ - число Струхаля.

up = о /0 cos о t

(l)

Предполагается, что амплитуда смещения поршня l0 мала по сравнению с длиной трубы L, амплитуда смещения частиц среды на открытом конце также мала по сравнению с L, а толщина акустического пограничного слоя мала по сравнению с радиусом R трубы. Тогда имеем Мр<1. Пусть s<1, Н>1. Число Струхаля Sh также считается малым. Последнее означает, что нестационарные эффекты вблизи открытого конца трубы меньше нелинейных. Условие s<1 одновременно указывает на то, что мала внутритрубная нелинейность. Потребуем, чтобы Uo<V. Тогда условие Uo<Co выполняется автоматически, т.е. стационарный поток слабо влияет на скорость звука.

В этих условиях задачу можно решать методом возмущений и тогда решение представится в виде

u - su1 + s2(u0 + u2) +..., (2)

где индекс «1» соответствует первому приближению, индекс «2» - второму и т.д.

В принципе несложно получить решение U2, которое будет содержать стационарное движение, нарушающее профили и0. Можно, однако, показать [9], что стационарное

движение вклада в осредненную по сечению постоянную скорость не вносит. Таким образом, задача сводится к нахождению акустического (первого) приближения.

При высокочастотных колебаниях решение можно искать в виде [1]:

р1 -r1 cos(k1 x + a1 + i@1)exp i(at + щ1), (3)

u

= r1 sin (x + a1 + iR) exp i I a t + / - —\ (4)

15

2

где р1 = ру 2, и1 = иу - безразмерные величины; р0 - невозмущенная плотность;

/ Росо /с0

индекс «Б» означает осреднение по сечению; р1 - колебания давления; и1 - колебания скорости; Г и щ - модуль и аргумент безразмерной амплитуды колебаний; а1, Д -константы интегрирования; к1 - комплексное волновое число, определяемое уравнением вида

а сп

*1=-{1+R -R }; (5)

V2 ^ 4а J Н ’

С о— у-..........

R =-ТГ 1 + ^І77; (6)

С /

Здесь: х = /с ~ отношение удельных теплоемкостей; а - число Прандтля.

СV

Граничное условие на поршне в соответствии с (1) имеет вид:

ир = Мр вш 1, (7)

Модель граничного условия на открытом конце трубы основана на следующих положениях:

а) потери энергии с открытого конца трубы существенно больше потерь на акустическое излучение,

б) имеет место сферическое втекание в сток, расположенный в выходном сечении, и струйное истечение с открытого конца.

Аналитически это условие представится в виде [10]:

Ре -Ро =-0,5Рои1 ЯпиЕ) (8)

где рЕ - давление у открытого конца трубы; р0 - атмосферное давление; а и Р -эмпирические константы.

При гармонических колебаниях скорости на открытом конце трубы

uE = V cos (at + ф), (9)

где ф - фаза колебаний.

Тогда выражение (8) можно разложить в ряд Фурье [10"

Р 4а — + —

4 3ж

Ре - Ро =PoV2

Р 4а ( л

-----1-----cos(a t + ф)

A т- V /

-—■cos(a t + ф) +... (10)

Из (10) следует, что для основной гармоники выполняется равенство

Р\Е = РоУЩе ^^ , (11)

или, в безразмерной форме

Р\е = тУй\Е, (12)

где т=4аЪж; v=v

о

Параметр а, как следует из экспериментов [11], существенно зависит от геометрии открытого конца. Так, для трубы с фланцем, составляющим прямой угол с образующей трубы, параметр а зависит от длины трубы и изменяется в пределах от 1,11 до 1,33. В случае трубы, заканчивающейся небольшим закруглением, а =0,816, [10], т.е. может быть даже меньше единицы.

Соотношение (8) является универсальным, т.к. на UE не накладывается никаких

ограничений. Пусть uE = u1E + u0, где U1E определяется выражением (9), u0 - скорость

постоянного потока. Тогда можно записать, что при всасывании

Ре - Р0 =-°,5P (u1E +u0) 2 (р + а), (13)

причем (u1E + u0) < 0, а при выбросе

Ре - Р0 =-0,5р0 ( +u0) 2 (-а) . (14)

Экспериментами установлено [11], что при резонансных колебаниях (Р -а) = 0 . Тогда условие (13) при всасывании становится однопараметрическим, т.е.

Ре - Р0 =-аР0 (u1E + u0) 2 (15)

С учетом (13) получим

Ре - Р0 =-арУ2 cos2 (a t + ф)- 2аVu0cos (a t + ф) + u2 (16)

Моменты поворота течения определяются равенством

V cos (т + ф) + u0 = 0, (17)

где т = a t.

Решая (17), получим, что всасывание происходит при условии

ж , 3ж /10Ч

— + р<т + ф< —-р, (18)

где р = arcsin Yv

Разложим (16) в ряд Фурье, в котором сохраним только члены, пропорциональные cos (a t + ф). Они дадут вклад в колебания давления на открытом конце трубы. В итоге получим следующее уравнение:

Р\е =( mV - cM0V) cos (at + ф), (19)

где

,, u - V 4а а / _ . „ \

М0 = —, V = —, m = —, с = —(-2р + sin2p)

с с0 3ж ж

Рассмотрим случай рП 1, тогда 2р □ sin2p и

с к а. (20)

С учетом (9) уравнение (19) примет вид:

Ре =( mV - сМ 0) u1E (21)

Здесь произведение mVu1E совпадает с правой частью (12), справедливого для случая отсутствия постоянного потока, а произведение сМ0 - вклад, вносимый постоянным потоком,

в активную часть безразмерного импеданса.

Прямых измерений этого вклада для труб не проводилось, поэтому ограничимся сравнением с результатами опытов [8], где изучалось влияние постоянного потока на

активную часть импеданса при колебаниях в резонаторе Гальмгольца с горлышком,

образованным отверстием в пластине (случай трубки с фланцем под прямым углом). Постоянный поток был направлен внутрь резонатора, т.е. в выражении (21) знак перед коэффициентом «с» следует заменить на противоположный. В опытах [8] параметр «с» изменялся в пределах от 1 до 1,5. В случае трубы с фланцем, где измерялся этот параметр

[11], оказалось, что он изменяется в пределах от 1,11 до 1,33. В силу (20) параметр «с» должен

изменяться в тех же пределах, т.е. (21) согласуется с данными [8] удовлетворительно. Следует заметить, что в случае открытого конца трубы с небольшими округлениями с = 0,816 [10].

Подсчитаем параметры резонансных колебаний, для чего подставим второе из

выражений (4) в граничное условие (7) на поршне. После выделения действительной и мнимой частей получим следующие равенства:

Г sin а1сЪР1 = МР sin /,

Г cosаlshРl = МР cos /.

Отсюда следует, что

t \У

Г (sin2 ^chp + cos2 а^р) = МР, tg^ = tgа1cthР1. (22)

Видно, что величина Г1 максимальна, когда а1 = 0 . Тогда имеем:

rxshpx = МР, ц/х = 0 (23)

Колебания давления и скорости на открытом конце трубы имеют вид

Р\е = Г (cos uchw cos at + sin ushw sin a t), (24)

u1E = Г (cos ushw cos at + sin uchw sin a t),

где

v = к,

L ( + p1 ) + ai , w = p - Ko Lpl

Для

V

имеем:

IV = r1 Vsin2 vch2w + cos2 vsh2w Подставляя (24) в (21), получим

chw - (mV - сМ0) shw

cosv

= 0,

shw = (mV - сМ0) chw .

(25)

(26) (27)

Из(26)следует

cosv = 0

или

коЬ ( + р/) + «і =^2' Точный резонанс имеет место при условии

^0 Ь (1 + Д1) = Ц.

(28)

(29)

При V<1, Mo<1 и высокочастотных колебаниях имеем shv<1, тогда можно принять, что shv=w, chw=1, т.е. вместо (27) можно написать

А = к ьр[+( тИ - сМ0), (3 0)

тогда (23) и (25) примут вид

гА = Мр , И = Г

Для определения г при точном резонансе получим уравнение

даг12 +( к0ЬР’ - сМ0) г1 - МР = 0 .

(32)

Прямых исследований резонансных колебаний в системе, содержащей поршневой компрессор с присоединенной трубой, не проводилось. Однако, результаты можно качественно сравнить с данными работы [7], в которой постоянный поток подавался через отверстия вблизи колеблющегося поршня. Труба заканчивалась соплом.

На рис.1 сплошной линией 1 изображена зависимость параметра Г1 от числа М0 по

формуле (32) при с = 0,816, m = 0,346, МР = 0,006818, L = 3,6 м. Там же точками представлены данные [7] для случая трубы с соплом с ^а^= 0,1217, где А - площадь

выходного сечения сопла; А0 - площадь сечения трубы. Видно, что увеличение постоянной скорости в обоих случаях способствует росту параметра Г1 . Можно предположить, что если постоянный поток всасывается в трубу, то такой поток будет способствовать подавлению колебаний.

г

0,01

0,15

0,05

0,02 0,04 0,06 М0

Рис. 1 - Зависимость г1 = г1( М0). 1 - теория, 2 - эксперимент [7]

Вычислим г1 для системы, состоящей из поршневого компрессора и резонансной

трубы, присоединенной к цилиндру в месте расположения выпускного клапана. В этом случае весь поток создается поршнем при его движении из нижней мертвой точки до верхней. При обратном движении поршня, когда выпускной клапан закрыт, воздух в трубу не подается. Таким образом, получается полусинусоидальный импульс, спектральное разложение которого имеет вид [12]:

Так как колебания на частотах 2т и выше, не являются резонансными, то их можно не рассматривать. Тогда будем иметь:

где индекс р1 показывает соответствие колебательному движению.

Пусть l = 0,003 м, L = 3,6 м, с = 0,816, R = 0,014 м, тогда путем несложных

расчетов из (32) можно получить г = 0,1026.

В случае отсутствия клапанов и отсутствия постоянного потока МР2 = М и г = 0,1555, т.е. безразмерная амплитуда приблизительно в 1,5 раза больше, чем в первом случае.

1. Галиуллин Р.Г. Нелинейные колебания газа в трубах./ Р.Г. Галиуллин, А.А. Ткаченко. Казань.: изд. КГУ. 2007. - 115 с.

2. А.С. 1437650 СССР. Установка для сушки дисперсных материалов /Ю.Ф.Коротков, Р.Г.Галиуллин,

В.Н.Подымов, И.П.Ревва. Опубл. в 1988, Бюл. №42.

3. Патент 54370 РФ. Устройство для очистки воды /Е.Ю.Короткова, Р.Г.Галиуллин, Ю.Ф.Коротков, Н.А.Николаев. Опубл. в 2006, Бюл. №18.

4. Патент 58950 РФ. Выпарная установка с парогазоструйным насосом /Н.А.Николаев, Ю.Ф.Коротков, Р.Г.Галиуллин, В.М.Ларионов. Опубл. в 2006, Бюл. №34.

5. А.С. №1346855 СССР. Нагнетатель газа /Е.Ю.Короткова, Р.Г.Галиуллин, В.Н.Подымов, Ю.Ф.Коротков. Опубл. в 1987, Бюл. №39.

иР = — МР — +—оовт ґ +—соБ2т ґ +... . Р ж Р У 2 4 3 )

У

(33)

(34)

Литература

6. Ilgamov, M.A. Nonlinear oscillations of gas on a tube / M.A. Ilgamov, R.G Zaripov., R.G.Galiullin, V.B Repin //Apll. Mech. Rev. 1996. vol. 49 №3. p. 137-154.

7. .Зарипов, Р.Г. Исследование колебаний газа в трубе с соплом при наличии среднего потока /Р.Г.Зарипов //Изв. ВУЗов. Авиационная техника.- 1980.- №3. -C.50-54.

8. Jngard, U. Acoustic nonlinearity of an orifice /U.Jngard, H.Jsing //JASA.- 1967.- v42. №1. - P. 6-17.

9. Галиуллин, Р.Г. Теория термических автоколебаний./ Р.Г.Галиуллин, И.П.Ревва, Г.Г.Халимов Казань.: изд. КГУ. -1982. - 155 с.

10.Stuhltrager, E. Oscillations of a gas in an open-ended tube. near resonance / E. Stuhltrager, H. Thomann // ZAMP. - 1986. - v.37. - P 155-175.

11.Sturtevant, B. Subgarmonic nonlinear acoustic resonances in open tubes/ B.Sturtevant, J.J. Keller // ZAMP. -1978. - v.28. - P.473-485.

12. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. /Г.Корн, Т.Корн. - М.: Наука, 1968. - 720 с.

13.Максимов, В.А. Компрессорное и холодильное машиностроение на современном этапе /

B.А. Максимов, А.А. Мифтахов, И.Г. Хисамиеев // Вестник Казан. технол. ун-та.-1998. - №1. -

C.104-113.

© Ю. Ф. Коротков - канд. техн. наук, доц. каф. оборудования пищевых производств КГТУ, [email protected]; О. В. Козулина - канд. техн. наук, доц. той же кафедры; М. Г. Кузнецов - канд. техн. наук, доц. той же кафедры.