CC BY
65
УДК 550.388.2, 551.510.535
Ю.А. Суковатов
Теоретическое исследование неустойчивости
*
Кельвина-Гельмгольца во внешней ионосфере
Yu.A. Sukovatov
The Theoretical Study on the Kelvin-Helmholtz Instability in the Outer Ionosphere
В результате численных расчетов в работе показано, что инкремент неустойчивости Кельвина-Гельмгольца может быть на порядок больше инкрементов неустойчивости Рэлея-Тейлора и градиентнодрейфовой неустойчивости в условиях ионосферы. Ключевые слова.. внешняя ионосфера, неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, численные методы, ионосферные неоднородности.
Based on numerical calculations this paper shows that the growth rate of the Kelvin-Helmholtz instability is an order of magnitude larger, than the growth rates of the Rayleigh-Taylor instability and the gradient-drift instability in the ionosphere plasma.
Key words: outer ionosphere, Kelvin-Helmholtz
Instability, numerical methods, ionospheric irregularities.
Введение. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца возникает в течениях обычной жидкости со слоисто-неоднородной скоростью и в плазме в случае, когда скорость дрейфа обладает широм, т.е. меняется в направлении, поперечном к направлению дрейфа [1-4]. Более того, профиль дрейфовой скорости для возможности развития неустойчивости должен иметь точку перегиба. Система уравнений, которая описывает неустойчивость Кельвина-Гельмгольца в плазме, должна учитывать ионную инерцию. Эта неустойчивость считается одним из основных источников турбулентности нейтральной атмосферы. В ионосферной плазме также возможно развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. В этом разделе мы получим дифференциальное уравнение, которое описывает эту неустойчивость в условиях ионосферы. В отличие от неустойчивости Рэлея-Тейлора и градиентно-дрейфовой неустойчивости для неустойчивости Кельвина-Гельмгольца нельзя получить аналитическое выражение для инкремента. Возможно, однако, численными методами сосчитать инкременты неустойчивости Кельвина-Гельмгольца для заданных параметров ионосферы и волны. Инкремент неустойчивости Кельвина-Гельмгольца может быть больше инкрементов названных выше неустойчивостей.
Вывод уравнений для неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Мы вы бираем следующую геометрию: магнитное поле В направлено на север вдоль оси г. Фоновое электрическое поле направлено на запад вдоль оси х и зависит от координаты х.
Фоновая концентрация заряженных частиц Ж0(х) также зависит от координаты х. В этом случае скорость дрейфа плазмы направлена вниз по оси у и зависит от координаты х.
Уравнения движения электронов и ионов возьмем в следующем виде:
E + -[ц, х B] = 0;
(1)
тД + т, (ц■У)ц = вЁ + -[¿5,. хВ]-ту1пц. (2)
и',
Вычислим малый параметр ——, который вхо-
аы
дит в это уравнение. На низких широтах во внешней ионосфере может быть иа и 20 м/с. Характерный
размер неоднородности дрейфовой скорости примем 100 км [6]. Этот малый параметр оценивается как:
-1-^ и 10-6.
1
С учетом малости этого параметра из уравнения (2) получаем следующее выражение для фоновой скорости ионов:
0 = » (х) . (3)
Заметим, что в работе [4] приводится другое выражение для фоновой скорости ионов. Очевидно, в этом месте у них допущена ошибка. Рассмотрим теперь уравнения для возмущенных скоростей электронов и ионов. Считаем электрическое поле по-
Работа выполнена по проекту №2.1.1/653 «К нелинейной теории эволюции ионосферных неоднородностей» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)».
ФИЗИКА
тенциальным е = -Уф . Из (1) получим следующее выражение для скорости электронов:
ое =-[Уфхb] . (4)
Здесь ф = еф / B - нормированный потенциал. Уравнение для возмущенной скорости ионов имеет следующий вид:
— 5 +—( о'У) + — (,■-у)йю =
—Bi — Bi —Bi (5)
= -Уф + 5 х b J.
Все возмущенные величины ищем в виде:
ф ~ ф(х) exp + ikyy), для простоты считаем
kz = 0 (условие сильной вытянутости возмущений вдоль магнитного поля [1]).
Выражения для возмущенных скоростей ионов имеют следующий вид:
IS
Uix = ~Іку<Р---------------Р +---------ІкуР
®Bi ®B,
, is к
и = Р-------------ІкуР .
Разность уравнений непрерывности для ионов и электронов в линеаризованном виде имеет следующий вид:
Ы0Шу и + Мы и0 - ((¿5,.0 -Д0) • V) N +
+ (х -ивх )• N0 = 0.
Подставляя в это уравнение фоновые и возмущенные скорости ионов, получим следующее уравнение, описывающее неустойчивость Кельвина-Гельмгольца:
N0
ud + и',N0 / N„
Р-Кр-кук—тт—
ку — (Х)-а
женных частиц также будет нарастать со временем с таким же инкрементом неустойчивости:
p~ex?(ykgt), N ~exp(ykgt). (13)
Здесь мы выбрали зависимость всех возмущений от координаты х в виде exp(ikxx).
Численные расчеты инкремента неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. В этом разделе мы получим решение уравнения для неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (10).
Р- Kv- ky-------%)-----<Р = 0. (14)
ky»d ix)-®
При развитии неустойчивости частота а> приобретает мнимую часть: w = wr +ykg. Удобно разделить числитель и знаменатель дроби в третьем члене в (14) на компоненту волнового вектора ky:
Р- к1,-
(6)
(7)
(х)- сг - щ
р = 0 .
(15)
® г Ук%
где Сг = —*-; су = —— - действительная и мнимая
ку ку
части фазовой скорости.
После этого уравнение (3) можно записать в следующем виде:
Р и 2Р — — - Cr )_ —iCi
Р -куР--------------------Р---7
d d
Р
Р = 0, (16)
(8)
р"+ —0р'-к2р-к ^ ^0' "0 = 0. (9)
N. у у е
Здесь е = куц (х) - со . Если неоднородность фоновой концентрации заряженных частиц несущественна N0 = 0 , то уравнение (49) упростится:
где ё = (иа - сг )2 + с2 . Потенциал ф величина комплексная в нашем случае: р = рг + ір. После подстановки потенциала в уравнение (16) удобно преобразовать его к системе уравнений первого порядка.
РІ = Рз>
=Ра>
Рз =
кР + vd (Vd cr) Р1 - YKР2, (17)
d
d
Р = 0. (10)
Уравнения (9) и (10) представляют собой искомые уравнения, описывающие неустойчивость Кельвина-Гельмгольца.
Уравнение непрерывности для электронов в линеаризованном виде имеет следующий вид:
N+N0 аш- + (ц 0 • V) N+(ц = 0. (11)
С учетом определений фоновой (4) и возмущенной (20) скоростей электронов получим следующее уравнение:
(о + ¡кда (х)) = ¡к^0р. (12)
Если развивается неустойчивость Кельвина-Гельмгольца в ионосфере и согласно уравнениям (9) и (10) потенциал ф нарастает со временем, то по уравнению непрерывности (12) концентрация заря-
Р 7. 2Р , Vd (Vd - Cr ) _ , V'dCi P
P 4 - kyP2 Л j-----P 2 4 ~Г P.
d d
Для этой системы уравнений надо решить краевую задачу на собственные значения (cY и с,). Сформулируем краевые условия для системы уравнений (17). При больших значениях координаты х почти все коэффициенты в уравнении (16) стремятся
к нулю. Поэтому при X ^ ±С0 основное уравнение
(16) принимает следующий вид:
р- Кр = 0. (18)
Таким образом, можно сформулировать граничные условия:
X ^ -00 р = exp(kyx),
P2 = 0, (19)
Рз = ky exp(kyX),
P4 = 0.
А также:
X
Рі = ехр(-кух),
р2 = 0, (20)
Рз = -ку ехр(-кух),
%4 = °.
Граничные условия на левой стороне интервала х используются как начальные условия для системы уравнений (17). Дисперсионное уравнение для расчета собственных значений су и Сі формулируется на правом конце интервала х:
х —— +да
(21)
В работе использован следующий профиль ско рости иа (х) с точкой перегиба:
1апИ( х) +1
dd(х) =■
2
(22)
тов дисперсионного уравнения (21) применен метод секущих для комплексных переменных.
Результаты наших расчетов инкремента неустойчивости Кельвина-Гельмгольца приведены в таблице.
Инкремент неустойчивости Кельвина-Гельмгольца Ун (с-1) в зависимости от компоненты волнового вектора ку (м-1)
ky 0,01 0,05 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Ykg 0,005 0,02 0,04 0,07 0,1 0,1 0,08 0,07 0,06 0,03
Для расчетов комплексной фазовой скорости применялся метод стрельбы. Чтобы рассчитывать дифференциальные уравнения системы (17), мы использовали подпрограмму ^рй8 [6]. Для расче-
Мы видим из этой таблицы, что инкремент неустойчивости Кельвина-Гельмгольца может достигать значений 0,1 с-1, в то время как инкременты неустойчивостей Рэлея-Тейлора и градиентно-дрейфовой не бывают больше 10-2 с-1 в условиях ионосферы [1]. Таким образом, в результате численных расчетов в работе показано, что инкремент этой неустойчивости может быть на порядок больше инкрементов неустойчивости Рэлея-Тейлора и градиентно-дрейфовой неустойчивости в условиях ионосферы.
Библиографический список
1. Гершман Б.Н., Казимировский Э.С., Кокоуров В.Д., Чернобровкина Н.А. Явление F-рассеяния в ионосфере. -М., 1984.
2. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей Т. 2: Неустойчивости неоднородностей плазмы. - М., 1971.
3. Michalke A. On the Inviscid Instability of the Hyperbolic-Tangent Velocity Profile // J. Fliud Mech. - 1964. -V. 19.
4. Satyanarayana P., Guzdar P.N., Huba J.D., Ossakow S.L. Rayleigh-Taylor Instability in the Presence of a Stratified Shear Layer // Geophys. Res. - 1984. - V.89, NA5.
5. Фаткулин М.И., Зеленова Т.И., Козлов В.К., Легенька А. Д., Соболева Т.Н. Эмпирические модели среднеширотной ионосферы. - М., 1981.
6. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. - М., 1990.
