CC BY
16
УДК 550.388.2
Н. М. Кащенко, С. В. Мациевский, С. А. Ишанов
ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ НАЧАЛЬНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
НА ПРОЦЕССЫ РАЗВИТИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЭЛЕЯ - ТЕЙЛОРА В ЭКВАТОРИАЛЬНОМ F-СЛОЕ ИОНОСФЕРЫ
Приведены результаты численного моделирования неустойчивости Релея — Тэйлора для разных геометрических характеристик начальных неоднородностей для вечерних экваториальных условий на основе электродинамически согласованной математической модели экваториального F-слоя ионосферы. Показано, что увеличение только вертикальных размеров начальной неоднородности существенно ускоряет развитие рэлей-тейлоровского пузыря, тогда как увеличение только горизонтальных размеров начальной неоднородности несущественно замедляет это развитие.
Results of numerical simulation of the Rayleigh — Taylor instability for different geometrical characteristics of the initial irregularities for evening equatorial conditions based on electrodynamically coherent mathematical model of the equatorial ionosphere F-layer are given. It is shown that increase only in the vertical extent of initial irregularity significantly accelerates development a rayleigh-Taylor bubble whereas increase only in lateral dimensions of initial irregularity insignificantly slows down this development.
Введение
Целью работы является дальнейшее исследование процессов развития экваториальной неустойчивости Релея — Тэйлора из начальных неоднородностей с разными геометрическими характеристиками.
Ранее в работах авторов эта тема исследования неоднократно поднималась. Уже при расчетах на небольшой математической двумерной экспресс-модели экваториальной неустойчивости Релея — Тэйлора [1] был сделан вывод о том, что структура рэлей-тейлоровских пузырей зависит от начальных условий.
Интересные результаты были получены при трехмерном моделировании экваториальной неустойчивости Релея — Тэйлора [2], а именно:
1) независимость характерного времени развития неустойчивости Релея — Тэйлора от большого (более 1000 км) продольного (вдоль геомагнитных линий) размера начальной неоднородности;
2) линейная связь между логарифмами малого (менее 1000 км) продольного размера начальной неоднородности и времени развития неустойчивости Релея — Тэйлора.
Теоретически вопрос о возможном влиянии на динамику рэлей-тейлоровских пузырей конечной вытянутости их вдоль силовых линий геомагнитного поля был затронут в работе [3].
© Кащенко Н. М., Мациевский С. В., Ишанов С. А., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.
Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 16 — 21.
1. Возникновение неустойчивости Рэлея — Тейлора
Как известно, условия для развития неустойчивости Релея — Тэй-лора в ионосфере Земли возникают в вечернее время при наличии направленного вверх вертикального дрейфа разреженной ионосферной плазмы и могут быть описаны линейным инкрементом нарастания, имеющим вид [4]
У =
( +^ Ь N
V V. В
V от
дх
где vR — частота рекомбинации ионов. Наличие положительных значений параметра у приводит на линейной стадии к экспоненциальному росту обеднения с характерным временем у"1. При этом условия развития неустойчивости Релея — Тэйлора существенно улучшаются во время геомагнитных бурь.
17
2. Уравнения модели
В соответствии с [5] в математической модели развития неустойчивости Релея — Тэйлора использовано квазигидродинамическое приближение, содержащее уравнения непрерывности ионов, уравнения движения ионов и электронов в диффузионном приближении
йУ,
— = о, сИ
уравнения теплопроводности ионов и электронов, уравнения непрерывности электрического тока и три уравнения потенциальности электрического поля [10]:
^+Чпу;)=а, -ц, со
_ Пт + т(Е + V, х В) - V ппс (V, - V) - XV,(V, - V) +1 = 0, (2)
пт т и,
—п к 2 ,
^ + ЪУТ, 1 + Р,УУ, + уц, = С, - Р., (3)
ух Е = 0, (4)
V] = е пр, =0, (5)
где п , V,, Qj, Ьр т, е , р ,, v^n, v,, Т,, ц ,, С,, Р , — соответственно концентрация, дрейфовая скорость, скорости образования и потерь, масса, заряд, давление, частоты соударений с нейтралами, частоты столкновений
18
между заряженными частицами, температура, плотность теплового потока, скорость нагрева и скорость охлаждения частиц сорта у, к — постоянная Больцмана; у — плотность тока; Е — напряженность электрического поля.
Вследствие замагниченности ионосферной плазмы б-области процессы переноса вдоль магнитного поля Земли будут определяться столкновениями, а поперек поля — дрейфовым движением.
Из-за сильной анизотропии, обусловленной магнитным полем Земли, процессы диффузии и теплопроводности в области б и во внешней ионосфере происходят в основном вдоль силовых линий геомагнитного поля [6], а благодаря условию электростатики (5) электрическое поле потенциально:
Е = -уф ,
где Ф — потенциал электрического поля.
Плазма вдоль геомагнитного поля на высотах экваториальной области б является высокопроводящей средой, поэтому будем считать, что силовые линии геомагнитного поля эквипотенциальны, а магнитное поле постоянно по времени и дипольное [7]. Поэтому размерность уравнения для потенциала может быть понижена до двух интегрированием его вдоль силовых линий:
Ух (ст УхФ) = ух А,
где ст — тензор интегральных проводимостей. Для вычисления параметров нейтральных частиц использовалась глобальная термосферная модель мбК [8—9].
Уравнения вышеприведенной модели решались численно конеч-норазностными методами на квазиравномерных сетках, сгущающихся к центру области решения. Начальные значения задавались путем решения низкоширотной модели ионосферы до получения периодического решения.
В работе исследования проводятся в предположении достаточно развитых неоднородностей, что позволяет уравнения модели считать двумерными и записывать их в экваториальной плоскости [10]:
д-п+У± («V)-ц, 2 «к [^Г+(VУх )Т)+руЛ + у ^ = с, - р,
Ух(ст Ухи) = Ух А.
Здесь Ух — поперечная магнитному полю Земли часть оператора У, остальные обозначения те же, что и для системы дифференциальных уравнений (1 — 5).
3. Результаты численного моделирования
Численное моделирование проводилось в области, ограниченной снизу высотой 90 км, а сверху — 1700 км. По горизонтали протяженность области интегрирования составляет 400 км. Сетка выбрана так, что в центральной области шаги равны 2 км.
Условия расчетов соответствовали среднему уровню солнечной активности с F10.7 = 150 и уровню геомагнитной активности kp = 3.
Для потенциала граничные условия заданы через фоновое электрическое поле.
Для концентраций и температур на нижней границе заданы соответственно условия химического равновесия и равенства нейтральной температуре, вверху и на боковых границах задано условие равенства нулю потоков.
Восточная компонента фонового электрического поля задавалась мо-дельно, положительным значением (в представленных расчетах 1 мв/м).
Начальное возмущение задавалось модельно в виде эллипса с пониженной концентрацией, в центре эллипса в 3 раза.
На рисунке 1 приведены зависимости времени развития пузыря (a) и вертикальной скорости в центре развитого пузыря (б) от горизонтального размера начальной неоднородности. При этом вертикальный размер начальной неоднородности равен 10 км. Время развития пузыря определялось достижением его центром высоты 500 км.
19
а б
Рис. 1. Зависимости времени развития пузыря (а) и вертикальной скорости в центре развитого пузыря (б) от горизонтального размера начальной неоднородности (Ьу)
Результаты, представленные на рисунке 1, показывают, что:
1) время развития рэлей-тейлоровского пузыря незначительно и монотонно увеличивается;
2) скорость плазмы в центре развитого пузыря при увеличении горизонтального размера начальной неоднородности вначале быстро растет, достигая максимума при горизонтальном размере 25 км, а затем быстро падает.
На рисунке 2 приведены зависимости времени развития пузыря (а) и вертикальной скорости в центре развитого пузыря (б) от вертикального размера начальной неоднородности. При этом горизонтальный размер равен 10 км. Время развития пузыря определялось достижением его центром высоты 500 км.
б
20
Рис. 2. Зависимости времени развития пузыря (я) и вертикальной скорости в центре развитого пузыря (б) от вертикального размера начальной неоднородности (Ьг)
Результаты, представленные на рисунке 2, показывают, что в этом случае:
1) время развития достаточно сильно зависит от вертикального размера начальной неоднородности, монотонно убывая;
2) вертикальная скорость в центре развитого пузыря при увеличении вертикального размера начальной неоднородности достаточно быстро и монотонно возрастает.
Заключение
я
Относительно зависимости времени развития пузыря от размеров начальной неоднородности можно сделать следующие выводы:
1) вертикальный размер начальной неоднородности влияет на время развития пузыря гораздо сильнее, чем горизонтальный;
2) направления влияния размеров противоположны: увеличение горизонтального размера слабо увеличивает время развития пузыря, а увеличение вертикального размера — сильно уменьшает.
Другими словами, увеличение только вертикальных размеров начальной неоднородности существенно ускоряет развитие рэлей-тейло-ровского пузыря, тогда как увеличение только горизонтальных размеров начальной неоднородности несущественно замедляет это развитие.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 17-01-00265.
Список литературы
1. Мациевский С. В., Никитин М. А., Пец А. В. О нелинейной стадии развития неустойчивости Рэлея — Тейлора в экваториальной Б-области // Геомагнетизм и аэрономия. 1987. Т. 27, № 6. С. 921 — 924.
2. Кащенко Н. М., Мациевский С. В., Никитин М. А. Исследования нелинейной стадии развития неустойчивости Рэлея — Тейлора в экваториальной Б-об-ласти с учетом продольной диффузии и педерсеновской проводимости Е-об-ласти // Там же. 1989. Т. 29, № 4. С. 577—582.
3. Кащенко Н. М., Мациевский С. В., Никитин М. А. Динамика системы множественных рэлей-тейлоровских ионосферных пузырей // Там же. 1990. Т. 30, № 2. С. 281—286.
4. Ossakow S. L., Zalesak S. T., McDonald B. E., Chaturvedi P. K. Nonlinear equatorial spread-F: Dependence of altitude of the F-peak and bottomside background electron density gradient scale length // J. Geophys. Res. 1979. Vol. A84, № 1. P. 17 — 39.
5. Гершман Б. Н. Динамика ионосферной плазмы. М., 1974.
6. Рыбин В. В., Поляков В. М. Об амбиполярности движений ионосферной плазмы // Ионосферные исследования. 1983. № 33. С. 5—44.
7. Фаткуллин М. Н., Ситнов Ю. С. Диполярная система координат и ее некоторые особенности // Геомагнетизм и аэрономия. 1972. Т. 12, № 2. С. 333 — 335.
8. Hedin A. E., Salah J. E., Evans J. V. et al. A global thermospheric model based on mass spectrometer and incoherent scatter data MSIS 1. N2 density and temperature / / J. Geophys. Res. 1977. Vol. 82, N. A1. P. 2139-2147.
9. Hedin A. E., Reber C. A., Newton G. P. et al. A global thermospheric model based on mass spectrometer and incoherent scatter data MSIS 2. Composition / / Ibid. P. 2148-2156.
10. Кащенко Н. М., Мациевский С. В. Математическое моделирование неус-тойчивостей экваториального F-слоя ионосферы // Вестник Калининградского государственного университета. 2003. Вып. 3. С. 59 — 68.
Об авторах
Николай Михайлович Кащенко — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
Сергей Валентинович Мациевский — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
Сергей Александрович Ишанов — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the authors
Dr Nikolay Kashchenko, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
Dr Sergey Matsievsky, ass. prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
Prof. Sergey Ishanov, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
21
УДК 532.5
А. Я. Шпилевой, В. Н. Худенко, Н. В. Персичкина
ДИНАМИЧЕСКАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОСОБЫХ ТОЧЕК АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ГИДРОДИНАМИКЕ
Построены динамические визуализации математических моделей потенциальных установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости с использованием особых точек аналитических функций.
© Шпилевой А. Я., Худенко В. Н., Персичкина Н. В., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 21 — 30.
