ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЭВОЛЮЦИИ ДИСПЕРСНОГО СОСТАВА ЧАСТИЦ В АППАРАТАХ ПЕРИОДИЧЕСКОГО И НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.099.2

О.М. Флисюк, Ю.В.Саргаева

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЭВОЛЮЦИИ ДИСПЕРСНОГО СОСТАВА ЧАСТИЦ В АППАРАТАХ ПЕРИОДИЧЕСКОГО И НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Представлен теоретический анализ процессов эволюции дисперсного состава частиц твердой фазы в аппаратах периодического и непрерывного действия. Найдено условие, при выполнении которого в кинетическом уравнении, описывающем изменение дисперсного состава частиц следует использовать диффузионный член. Приведены примеры, имеющие практический интерес.

Во многих процессах химической технологии происходит изменение дисперсного состава твердой фазы, например: при растворении, кристаллизации, гранулировании и т.д.

При математическом моделировании таких стохастических процессов часто используется уравнение типа Фоккера-Планка [1,2], которое для проточного аппарата идеального смешения, в случае непрерывного роста частиц, имеет вид:

д ^ ^ д . 1 д2 .. — F(x, t) + dXu(x, t)F(x, t) = ^ х b(x, t)F(x, t) +

. F,(x,t) - F(x,t)

(1)

3

— F (x, t) + — u( x, t) F (x, t) = 31 3 x

F0( x, t) - F (x, t)

(2)

Для того, чтобы решить вопрос - в каком случае следует учитывать диффузионный член, рассмотрим рост крупных частиц за счет мелких частиц монофракции. Для проведения такого анализа рассмотрим процесс в дискретном представлении. В этом случае система уравнений, описывающая процесс, будет иметь следующий вид:

dn 1 ^ 1

— +— n + giNi = — По dt ti fi Ti

dN1 1 „ »г 1 лг

—¡T + — N1 + g nN =— N01 dt t 2 t 2

dN2 1 ,r ,r 1 ,r ,r

2 + — N2 + g 2 nN2 = — N02 + g 1HN1

(3)

dt

t

2

t

2

где F (х, ^ - плотность распределения частиц по массам х, выходящих из аппарата, а х, /) - поступающих в аппарат, Т2 - среднее временя пребывания

частиц, и(хсредняя объемная скорость роста частиц, а 0,5Ь(х- коэффициент диффузии в пространстве х, характеризующий скорость изменения дисперсии приращения величины х вследствие флуктуации скорости роста. Наряду с этим уравнением, для описания непрерывного роста частиц (истирания, растворения) также часто используется уравнение без диффузионного члена в форме уравнения неразрывности:

dN±i + — N+1 + 1«N+1 = — Nо+1 + ng N , i > 1 dt t 2 t 2

где n- число частиц мелкой фракции массой X в единице объема аппарата; Xp -масса первичной (минимальной) частицы; g i - вероятность столкновения и

коагуляции частицы крупной фракции массой (ko+i)Xp с частицей мелкой фракции X за единицу времени, в единице объема аппарата; Ni - число частиц крупной фракции в единице объема аппарата, массой (ko+i)Xp , причем (ko+i)Xp - начальная масса крупной частицы,

k0 > 1; t! и t 2 - среднее время пребывания частиц

мелкой и крупной фракции в аппарате; n0 и No, - число частиц мелкой и крупной фракции в единице объема входного потока. Данная система примечательна тем, что для установившегося процесса допускает точное аналитическое решение, при произвольной зависимости функции g i - от i, согласно [ 3] оно имеет вид:

k k t2ng .

' , k= 1,2,3,-- (4)

Nk =

1 k k

—X N0jП 7

T 2ng kj= 1 i j 1

+ T 2ng i

где П- знак произведения. Выясним условия, при которых можно пренебречь диффузионным членом. Для этого представим выражение (4) в виде:

Fk

1

k

Z N

12u(k)j= 1

0 j exP

Z ln(1-

)

t 2U(i)

(5)

Пусть т2Пу, > 1

T2u > X

p

Тогда,

, что равносильно неравенству учитывая, что при X < 1,

T

2

t

2

x

p

2 3

x2 x

ln(1 + x) = x--+--из выражения (5) по-

2 3

лучим:

1 к

Fk = -ТГТЕ Nо j exP

12u(k) j= 1

к

-I

x.

i = j '2

T 2u(i)

(6)

Положим, что dx = x и переходя от суммирова

и

ния к интегрированию, получим: 1 "

F ( x) =

T 2 U (x)

Fo(Z )exP(-

dh

T 2U (h )

M (7)

Z * 2

1 f ( x) + jL [u ( x) F ( x)] = 1 Fo( x)

д x

(8),

при x > x0

F ( x, t ) =

N0

exP[-

(x - xo - Л )2

где

V2Tff " 2ff

t _

A = | u(t )dt , ff = ^xpA (t)

(10),

N = | F(x,t)dx = | 2 dZ L V2PJa

L2 2 ,

No

N(x) = | xFdx = |e 2 df + (x0 + A )^ 2 d[ ] (12)

'V2' A A

Из выражений (11) и (12) следует, что закон сохранения числа частиц крупной фракции и закон сохранения вещества в аппарате выполняются только при условии, что

д(0 ff (t)

> 3

(13)

С другой стороны, этот же результат следует из решения уравнения (1) без диффузионного члена:

В рассматриваемом случае это неравенство преобразуется к виду:

A (t) > 9 xp

(14)

Таким образом, при выполнении условия:

T2u > xp следует от дискретного спектра перейти к

непрерывному и не учитывать диффузионный член. Этот вывод важен для инженерной практики, так как позволяет значительно упростить математическое описание того, или иного технологического процесса, сопровождающегося изменением дисперсного состава частиц.

Однако, в тех случаях, когда условие t2U > Xp

не выполняется, то возникает необходимость в использовании уравнения содержащего диффузионный член и решение такой задачи существенно усложняется.

Рассмотрим аппарат периодического действия идеального смешения.

В этом случае уравнение (1) преобразуется к виду:

д д 1 д 2 - F(x, t) +— u(x, t)F(x, t) = - — ¿(x, t)F(x, t) (9) д t д x 2 д x

Положим для простоты, что

Fo(x) = F(x,0) = Nod (x - xo),

где d (x) - дельта-функция Дирака, тогда решение уравнения (9), при и = u(t ) и Ь = xpu (t ) имеет вид:

си

Пусть Aœ = j u(t)dt > 9xp , тогда существует

время t = t1 такое, что

u(t)dt = 9x (t - наименьший корень этого

уравнения), поэтому уравнение (9) корректно описывает данный процесс только при t1 < t < ю . С другой

стороны, решение системы уравнений (3) при 12 = м

, g = const, N(t)|t = 0 = N0, N(0) = 0 при i > 2 будет таким

v

n

N(t) = N0 —-e"v , v = -^(1 - e1not)

(i - 1)!

N0

(15)

Из выражений (15) следует, что

i N..i = N0

i = 1

xp(i) = xpv = A (t) xp({i2) - W2) = xpv = xpA = ff 2 ° D

NX

№

1

Опираясь на полученное выражение (10) можно вычислить следующие величины:

(1 + — + +....)

^ 12v 288v2 '

, i > 2

0

2

2

i-1

где р) = ^1 (i - l)kN-, k=1,2

N i = 1

Очевидно, что все эти формулы с вышеуказанной точностью следуют из системы (9) при А (1) > 9хр

Покажем, что при I > 9 выражение (15) преобразуется к формуле (10). Действительно, из выражения (15) при I > 9, с учетом формулы Стирлинга [4 ], имеем:

N° 1 n

N = -f— exp[i - n + (i - -)ln-], л/2яу 2 i

откуда при i > 2 следует, что

массой x (x У m) с частицей мелкой фракции массой s (s < m) в единице объема аппарата, за промежуток времени At ; m - масса граничного зерна.

Мы рассмотрели примеры, когда начальное распределение частиц крупной фракции - монодисперсное. Если же функция Fo(x) имеет отличную от нуля дисперсию, то решение уравнения (1) при u = u(t),

b = xP(1 + s 2)"(t), s 2 = (Xp - Xp2)/Xp2 и t > ti

, согласно обобщенному принципу суперпозиции будет таким:

F (x, t) = |F0(s)G( x, t; s, t0)ds

N

№ n

exp[i - n + i ln—]

42k

n

Далее, так

1 n wi n - L n - i 1 n - L 2 ln- = ln(1 + —)» —— - (—)2 i i i 2 i

то при i близких к n

Ni

N0

л/2

exP[-

pn

(i -n )2 2n

как

(16)

Если теперь ввести обозначения

X = x0 + xn (t), x = x0 + ixp,

Ni = Fixp = F(x,t)xp и

I

nxp = | udt = A (t), u = xpgn(t), n(t) =

n0e

Где

G (x, t; s.0)

1

V2Ks

x e (m, ¥ ), t e (t1,» )

r (x - s -A (t ))2] exp[---],

2s

учесть, что

0 2 = хрА ), то из соотношения (16) получим формулу (10).

Мы рассмотрели процесс укрупнения частиц за счет мелкой монофракции. Если же рост крупных частиц происходит за счет полидисперсной мелкой фракции, величины и (х, 1), Ь( х, 1) согласно [5 ] вычисляются по формулам:

гп

u(x, t) = | sk(x, s) f (s, t)ds

Справедливость этого утверждения проверяется непосредственным дифференцированием.

Литература

1. Фролов, В.Ф. Гранулирование во взвешенном слое. / В. Ф. Фролов, О. М. Флисюк. - СПб. : Химия, 2007. - 280с.

2. Моделирование процессов эволюции дисперсного состава частиц в аппаратах со взвешенным слоем периодического и непрерывного действия / О. М. Флисюк, В. Ф. Фролов // ТОХТ. -2007. - Т.41, №3. С. 334-337.

3. Стохастические методы моделирования процессов роста, истирания и дробления частиц в аппаратах непрерывного и периодического действия. / Н. В. Пеньков, О. М. Флисюк, В. А. Быков // ЖПХ. - 1985. - Т.56, №5. - С. 1156-1158.

4. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - Москва : Наука, 1986. - 544с.

5. К вопросу математического моделирования роста крупных частиц за счет мелкой фракции в проточном аппарате диффузионного типа / Н. В. Пеньков, О. М. Флисюк // ЖПХ. - 1985. - Т.58, №11. - С. 2604-2607.

и = 0

]

jN t

т

Ь(х, 1) = 2 k (х, f

0

где k (х, э)А 1 - вероятность столкновения и коагуляции условно меченой частицы крупной фракции