МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГРАНУЛИРОВАНИЯ ИЗ РАСТВОРОВ В ФОНТАНИРУЮЩЕМ СЛОЕ Текст научной статьи по специальности «Химические науки»

УДК 66.099.2

О.М. Флисюк1, М.В. Прохоров2, О.В. Муратов3, О.Н.Круковский4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГРАНУЛИРОВАНИЯ ИЗ РАСТВОРОВ В ФОНТАНИРУЮЩЕМ СЛОЕ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 190013, Санкт-Петербург, Московский пр. д. 26

Статья посвящена теоретическому анализу процесса гранулирования растворов в фонтанирующем слое. Рассмотрены две кинетические модели роста гранул и получены выражения для расчета плотности функции распределения гранул по их массам. Показана адекватность предложенной математической модели на примере гранулирования из растворов сульфата аммония.

Ключевые слова: фонтанирующий слой, гранулирование, внешний рецикл, функция распределения, скорость роста гранул, сульфат аммония

Гранулирование из растворов в общем случае рассматривается как сложный процесс, представляющий собой совокупность одновременно протекающих процессов непрерывного роста, агломерации, дробления и истирания частиц. Обобщенное уравнение, описывающее такой процесс при гранулировании в перемещающемся псевдоожиженном слое, имеет вид [1]:

дг Я 1 Я

— + {Цу(7 - БУ)г + — (и---— Ь)г = I + -I-

д? дт 2 дт (1)

где ^ - плотность функции распределения числа частиц по их массам; ^ - оператор Гамильтона; г = {х1, г = 1,3}, х1 - пространственные координаты; т - координата, связанная с массой частицы; й - эффективный коэффициент диффузии (коэффициент перемешивания частиц); 0,5Ь - коэффициент квазидиффузии в пространстве масс частиц т, учитывающий стохастическую неравномерность изменения массы частицы;

V = , г = 1,3}, - компоненты вектора скорости движения частиц слоя массой т; и - суммарная массовая скорость непрерывного роста частиц, t- время, 1+ и I - суммарные источники и стоки частиц массой хза счет агломерации и дробления.

1

• ^^С^,г, т - в,в)Е(г ,т - )Е(т,)<Ъ +

I+

2;

(2)

+ Jg(t, r, s; s - m, m)F(r, s,t)ds

m

k(t ,r ,m, s)F(r, s,t )ds +

да

i -=[J.

1 m

- jg(t ,r,m;m - s, s)ds

2 n

]F(r,s,t) (3)

и 5 в системе, г = (х;, г = 1,3}, х- пространственные координаты, g(?, г, т; т - я,s) - плотность вероятности дробления

частицы массой х на два осколка т-5 и 5 за единицу времени.

Если в процессе гранулирования агломерация мелких частиц отсутствует, и увеличение массы гранул происходит только за счет их непрерывного роста, то выражения (2) и (3) упрощаются:

I+ = Jg(t,r,s;s - m,m)F(r,s,t)ds

x

1 m

I" = — F(r, s, t)|g(t, r, m; m - s, s)ds

(4)

(5)

0 +

Здесь к(?, г, т, - ядро интегрального преобразования, характеризующее вероятность агломерации двух частиц массой т

Кроме того, проведенный теоретический анализ в работе [2, 3] показал, что при выполнении соотношения ти >> тр, здесь тр - масса частицы минимального размера, а т - среднее время пребывания гранул в аппарате, диффузионным членом в пространстве т, учитывающим стохастическую неравномерность изменения массы частицы, можно пренебречь.

В качестве источника центров гранулообразования могут быть мелкие частицы, подаваемые в аппарат в виде внешнего рецикла или мелкие частицы, образующиеся в аппарате в результате сушки мелких капель раствора или дробления более крупных частиц. Механизм дробления также может быть различным - за счет, возникающих в частице термических напряжений [4], или за счет столкновений крупных гранул друг с другом, или со стенкой аппарата.

Экспериментальные исследования процесса гранулирования из раствора сульфата аммония в аппарате с псевдоожи-женным слоем показали, что в процессе гранулирования дробление гранул внутри аппарата не происходит. Поэтому для проведения устойчивого процесса необходим внешний рецикл, т.е. подача в слой мелких частиц, являющихся центрами гранулооб-разования. Кроме того, экспериментально установлено, что при гранулировании сульфата аммония в псевдоожиженном слое агломерация гранул также не происходит.

В этом случае уравнение (1) существенно упрощается и для стационарного процесса в проточном аппарате идеального смешения имеет вид [4] :

1 Флисюк Олег Михайлович д-р техн. наук, профессор, зав. каф. процессов и аппаратов, e-mail: [email protected]

2 Прохоров Михаил Владимирович аспирант каф. процессов и аппаратов, e-mail: [email protected]

Муратов Олег Вадимович канд. техн. наук, доцент каф. процессов и аппаратов, e-mail: [email protected]

3

4 Круковский Олег Николаевич канд. техн. наук, доцент каф. процессов и аппаратов, e-mail: [email protected] Дата поступления - 26 октября 2011 года

(1 + Л )т

К0 (т)-^^- + и(ш)Р(ш) —— (и(т)р(т)т) = 0 (6) т йт '

<р(ч)

Здесь Еа(т) - плотность функции распределения частиц во входном потоке (рецикле); т - среднее время пребывания гранул в аппарате; А = ¿х/ Б0 где ¿0 - расход рецикла, ¿. - расход гранулируемого материала (раствора), х - концентрация (массовая) твердой фазы в подаваемом растворе, и(т) - скорость роста гранул. Под скоростью роста гранул в данном случае будем понимать приращение массы гранулы в единицу времени,

, . 1 дт

отнесенное к массе гранулы, т.е. и(т) =--.

т дт

Получим решение уравнения (1) для произвольной скорости роста гранул. Перейдем к безразмерным переменным. Обозначим то среднюю массу частиц внешнего рецикла, у = т/та, уф) = цфто)т, фф) = тоРфто), фо(у) = тоРо(уто). В новых обозначениях уравнение (1) примет вид:

Т^тФо (а)-Ф(а) + v(A)Ф(A)-"Г"(у(а)Ф(А)А) = 0 (7) 1 + А й-А

Решение уравнения (7) при начальном условии ф(0)=0 имеет вид:

Ф(м) =

1

ЩМ)

м(1 + лм м)

ехр

1

- » м Км)

йм'

(8)

В случае, если скорость роста гранул

1 дт 1

и(т) = —— = К , т.е. не зависит от размера частиц, то

т дт ут

формула (8) принимает вид:

9(р) = гМЁ. '

1 + Л •

(9)

где

п-

т * К

,, здесь К - коэффициент пропорциональности,

зависящий от физико-химических свойств раствора и условий проведения процесса, определяемый экспериментальным путем. Физический смысл г| состоит в том, что он представляет собой обратную величину относительного прироста гранул за время пребывания в аппарате.

В случае если плотность функции распределения внешнего рецикла будет иметь вид дельта-функции ф0(у) = 5(1-1-1), то согласно [5] выражение для ф(у) примет вид:

Ф( V) =

п •

,3п

(1+1)

-зп Ум

(10)

Для процесса гранулирования, в котором скорость роста гранул пропорциональна радиусу частиц, имеем: и(т) = А, у(ц) = Ат.

Константа скорости А зависит от подачи раствора в аппарат, массы гранул и т.п. Для определения зависимости А от параметров процесса, проинтегрируем уравнение (7) на интервале от р = 0 до р = о. В результате получим:

А=А/(1+А)г (11)

После подстановки полученных выражений в (8) имеем:

9(«) = Т-^/Г ]? 0 (- ')«,1М '

- 0 (12) В качестве примера получим плотность распределения гранул при монодисперсном внешнем рецикле. В этом случае плотность функции распределения будет иметь вид дельта-функции ф0(у) = 5(у-1) и тогда выражение для ф(у) примет вид:

V = —¿рт

Ац (13)

Зависимость ф(у), определяемая уравнением (13), при разных Л представлена на рисунке 1.

0,2

Рисунок 1. Плотность распределения массгранул на выходе из аппарата при различных значениях А. 1- А = 1; 2-А = 2; 3-А = 3; 4-А = 5

Для оценки адекватности предложенной математической модели гранулирования растворов сульфата аммония, реальному процессу были проведены экспериментальные исследования на установке с фонтанирующим слоем при различных режимах. В качестве внешнего рецикла была использована монофракция мелких частиц, дисперсный состав которой можно описать с некоторым приближением дельта-функцией Дирака. Точки, построенные по результатам эксперимента и расчетные кривые - по моделям для двух кинетических гипотез роста

гранул - при и(т) = — = К—^ и и(т)=А представлены на

т дт Цт

рисунке 2. Сравнительный анализ этих результатов показал, что кривая распределения, построенная при гипотезе о пропорциональности скорости роста размеру гранул лучше описывает результаты эксперимента. Следовательно, эта гипотеза может быть принята в качестве рабочей при гранулировании раствора сульфата аммония в аппарате с фонтанирующим слоем. фМ

\2

Рисунок 2. Плотность функции распределения масс гранул на выходе из аппа-1 дт 1

рата 1 - при и(т) =--= К , А = 4,46и п = 0,67;

т дт ут

2 - при и(т) = А и А = 4,46. Точки - экспериментальные значения

Таким образом, в работе предложена математическая модель процесса гранулирования из растворов и получены выражения для расчета плотности функции распределения гранул по размерам для двух наиболее распространенных на практике гипотез роста частиц.

Литература

1. Фролов В.Ф., Флисюк О.М. Гранулирование во взвешенном слое. Спб., Химиздат, 2007. 278 с.

2. Флисюк О.М., Фролов В.Ф. Моделирование процессов эволюции дисперсного состава частиц в аппаратах со взвешенным слоем периодического и непрерывного действия. // Теорет. основы хим. технологии. 2007, Т. 41. №3. С. 334-337.

3. Флисюк О.М., Саргаева Ю.В. Теоретический анализ процессов эволюции дисперсного состава частиц в аппаратах периодического и непрерывного действия. // Известия СПбГТИ(ТУ). 2007. №2(28). С. 75-77.

4. Тодес О.М., Каганович Ю.Я., Налимов С.П. [и др.] Обезвоживание растворов в кипящем слое. М.: Металлургия, 1973. 287 с.

5. Муратов О.В., Флисюк О.М., Фролов В.Ф., Бех-Иванов А.Д. Моделирование процесса гранулирования из раствора во взвешенном слое с внешним рециклом. // Теорет. основы хим. технологии. 2010. Т. 44. №4. С. 431-434.

е