Обобщенная константа Джексона в пространстве $l_2(r)$ с гиперболическим весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 5-18 = Математика

УДК 517.51

Обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2(Ш) с гиперболическим

весом *

В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов

Аннотация. Для произвольной последовательности действительных чисел М = с нулевой суммой и абсолютно сходящимся рядом в пространстве ¿2 (К, 3м) с гиперболическим весом ¿/л = 22р ^|2а+1(еЬ¿)2в+1, а > в > -1/2, а > -1/2, р = а + в +1, определяются величина наилучшего приближения Еа (/)2,м частичными интегралами преобразования Якоби, обобщенный модуль непрерывности шм(т, /)2,м и обобщенная константа Джексона Вм (&,т )2,м. Вычисление обобщенной константы Джексона сводится к двойственной экстремальной задаче для четных целых функций экспоненциального типа. Дается условие ее конечности, доказывается нижняя оценка Ом(&,т)2,м ^ 1/^А0, где

^о = Е 1м« I2.

Ключевые слова: гармонический анализ Данкля, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона.

1. Определение обобщенной константы Джексона

Работа посвящена исследованию точного неравенства Джексона с обобщенным модулем непрерывности в пространстве ¿2 (К) с гиперболическим весом

А(^) = 22р|БЬ^|2а+1(еЬ¿)2в+1, г € К, (1)

где а ^ в > -1/2, а > -1/2, р = а + в + 1.

Точное неравенство Джексона с первым модулем непрерывности в пространстве ¿2(К) с гиперболическим весом имеется в [1].

Отметим, что гиперболический вес ^Ь¿|2а+1, а = (3 - 3)/2, 3 = 2, 3,..., получается при сужении пространства ¿2(Н^-1) на гиперболоиде На-1 в М на подпространство зональных сферических функций [2, гл. X]. Точное

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

неравенство Джексона с первым модулем непрерывности в пространстве Ь2(ЯЛ-1) доказано в [3].

Точным неравенствам Джексона, в том числе и с обобщенным модулем непрерывности, в пространстве ¿2 (М^) со степенным весом Данкля посвящены работы [4-15]. Мы во многом следуем этим работам.

Пусть а ^ в ^ -1/2, а > -1/2, р = а + в + 1, t € М, Л € С, Г(г) - гамма-функция, ^(а, Ь, с; г) = 2Ь, с; г) — гипергеометрическая функция Гаусса,

р + ¿Л р — ¿Л

У

— функция Якоби (см. [16-18]).

Функция Якоби является собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля:

I (д(*) | Ы*)) + (р2 + Л2)Д(*)»л(*) = 0, Ы0) = 1, | »л(0) = 0.

По * она четная аналитическая на М, а по Л — четная целая функция экспоненциального типа > 0,

ы*)= ^в)(*) = ^; а + 1; — *)

»л(0) = 1, |»л(*)1 < 1, Л,* € М. (2)

Пусть = Д(*) ¿2(М, — пространство комплексных измеримых по Лебегу функций / (*) на М с конечной нормой

1/2

2

2,„ = (^ I/(*)|2 «)) < ТО

/К

¿2(М, ^ст) — пространство комплексных измеримых по Лебегу функций /(Л) на М с нормой

2

2" /«|/(Л)|2 1/2

.4 V

где

¿ст(Л) = в(Л)^Л, в(Л) = (2п)-1|с(Л)|-2,

с(Л)= 2р-*ЛГ(а + 1)Г(гЛ)

Г((р + ¿Л)/2)Г((р + ¿Л)/2 — в)

Гармонический анализ в пространстве ¿2(М, можно найти в работе Опдама [19] (см. также [20]). Он осуществлен с помощью дифференциально-разностного оператора Данкля-Чередника

Я/(*) = /'(*) + ((2а + 1) сШ * + (2в + 1) Л *) /(*) —2/(—*) — р/(-*).

Гипергеометрическая функция Опдама

1 д

СЛ<"= »-лМ - рпд й»лМ

является собственной функцией этого оператора:

£Сл(г) = ¿АСл(г).

По Л она целая функция экспоненциального типа |г| > 0 и по г аналитическая на К,

Сл(0) = 1, |Сл(г)| < 1, л,г € м.

Из формулы дифференцирования

3 ,>,0)(г) = (р2 + л2)вЬ г СЬ г («+1,^+1) (г)

зг (г) = 2(0+1 (г)

вытекает, что

сам = + (р +2|Л):+Ь1')СЬ г ЛГ'^м. (3)

Разложение функций из ¿2(К, 3м) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Фурье-Опдама-Чередника:

F(f)(A)= / f (i)GA(-i) 3m(î), (4)

-/к

F-1(g)(x) = 4 jRg(A)GA(x)(l - iA) 3a(A). (5)

/к

^-1(")(x) = i / g(A)GA(x)(l - ^ 4 JR V гА

Если f € L2(R, 3м) и обозначить /(ж) = f (—x), то

-1

F (f ), F (f € L2(R, 3a), F" 1(F (f )) € L2(R, 3^)

и f (ж) = F -1(F (f ))(x) в среднеквадратичном смысле. При этом справедливо равенство Парсеваля

f |f(x)|2 3м =4/ (|F (f )(А)|2 + |F(/)(A)|2) 3a(A). (6)

./к 4 ,/к+

Пусть для функции f € L2(R, 3м)

et (f, М)2,м = inf {||f - g||^ : g € l2(R,3m), supp F (g) С [-a, a]} (7)

— величина ее наилучшего приближения порядка a > 0. Из аналитичности GA(t) по t вытекает аналитичность на R приближающих функций.

Пусть M = {Ms}sez — ненулевая последовательность действительных чисел, для которой

Y,Ms = 0, ^ |Ms| < (8)

sez sez

Посредством свертки образуем новую четную последовательность

Vs = Yh Ml+sMl- (9)

le Z

Для нее

vo = ^ Ы2, ^Vs = 0, ^ |Vs| < то.

lez sez sez

Определим функцию

те

^м(A,i) = ^Vs^sA(i) = Vo + 2^Vs^sA(i) = Vo - 2пм(A,t), A,t € R. (10)

где

sez s=i

Используя интегральное представление Мелера функции Якоби [18]

C (*

^A(i) = д^у (ж, t) cos (Лж) dx,

(x,t) = 2а+2в+5/2 sh(2t)(ch t)e-a (ch (2t) - ch (2ж))а-1/2 x ch t — ch ж л , „ „ Г(а + 1)

(11)

xF(a + в,а - в;а + 1/2; 2Ж) ^ 0, Са =

Г(а + 1/2)'

получим

^м(A't) = X7I^/ Аа,в(x,t)^ Vs cos(Asx) dx. ( ) ~'0 sez

Так как

У^ vs cos (Asx)

sez

У^ ^ cos (Alx)

lez

+

sin (Л1ж)

lez

^ 0,

то ^м(Л,*) ^ 0. Для функции ^м(*, у) выполнены также свойства

^м (Л,*) € Сь(М х М), ^м (Л, 0)=0.

Здесь Сь(М х М) — пространство непрерывных ограниченных функций.

Перечисленные свойства ^м(*,у) позволяют для функции / € ¿2(М, определить обобщенный модуль непрерывности

^м(т, /, М)2,м = впр / ^м(Л,*)(|^(/)(Л)|2 + (УГ)(Л)|2) /

Нетрудно убедиться, что lim wm(т, f, R)2,« = 0.

т —>0+0 '

Обобщенная константа Джексона

dm (ст, т, М)2,м = sup

f E(/,: f ^ L2(R,d^)

i WM(т, f, JK.

есть наименьшая константа в неравенстве Джексона

(f, R)

(12)

(13)

2

2

2. Редукция к случаю четных функций

Лемма 1. Еслид € Ь2(М, вирр^(д) с [-а, а], то вирр^(д) с [-а, а].

Доказательство. Пусть д = д1 + гд2 = д1е + д1о + г(д2е + д2о), где индексы е, о обозначают четную и нечетную составляющие функции соответственно. Согласно (3), (4) для |А| > а

I (д!е + ¿д2е)^а'в)(*) «)-

-/к

-(С1 + ¿С2^ (дю + гд2о) вИ * еИ ^а+1,в+1) (*) = 0,

./к

где с1 = р/(2(а + 1)), с2 = А/(2(а + 1)). Рассматривая отдельно А > 0 и А < 0, для А > а получим систему

/ дю^Л*) - С1 / дю вИ* еИ¿^£а+1'в+1)(¿) ф(*)± ./к ./к

± *( д2о вИ * еИ (¿) ^(¿)=0,

./к

/ д2е^1а,в)(^) + С2 / д1о 8И*еИ0а+1,в+1)(^)

./к ./к

- Л д2о вь * еИ ^ 5а+1,в+1)(ж) ^(¿)=0.

к

Из нее вытекает, что для А > а

/ дю^'^*) «)= / д2е^а'в)(*) ф(*)= / д1о вИ*еИ*^(а+1'в+1)(*) ф(*) = ./к ./к ./к

= / д2о вИ * еИ ^ 5а+1,в+1)(*) ^(*)=0.

к

Так как

^ (д)(А) = [ (д1е + ¿д2в)^ ?'в)(*) «)+ -/к

+ (С1 + ¿С2^ (д1о + гд2о)вИ*еИ+1,в+1)(*)

к

то вирр^(д) с [-а, а]. Лемма доказана.

Лемма 1 имеется в [1]. Мы привели ее доказательство для полноты изложения.

Из леммы 1 и равенства Парсеваля (6) вытекает следующая лемма.

Лемма 2. Если / € ¿2(М, йу), то

1 гЖ

Е(/,М)2,„ = 4 (Ш/)(Л)|2 + |Е(/)(Л)|2) йст(Л).

Пусть ¿2(М+, йу) — подпространство ^(М, ¿у) четных функций с нормой

\ 1/2

I/(*)|2

/К+

Введем обозначения:

2=(11/(*)|2йу(*01/2 < то.

/(Л) = / /(*)»л(*) -у(*)

•УК+

— преобразование Якоби,

7-1д(*)=/ д(Л)»л(*) ¿ст(Л)

•Ув+

— обратное преобразование Якоби,

(/,М+)2,м = Ы {У/ — 9Ц2 : 9 € ¿2(М+,йу), впррС [0,ст]}

— величина наилучшего приближения порядка ст,

^м(т,/,М+)2,м = впр(/ ^м(Л,*)|/(Л)|2йст(Л)У (14)

о^т V 7к+ /

— обобщенный модуль непрерывности,

Вм(ст,т, = впр{ : / € ¿2(М+,йУ^ (15)

— обобщенная константа Джексона.

Пусть / € ¿2(М+,йу), 9 € ¿2(М+,йст). В силу (3), (4) функция Е(/)(Л) четная. Согласно (4)-(6) и лемме 2 справедливы следующие соотношения:

Е (/)(Л)=27/(Л), Е-1(д)(х)=27-1д(х), / (х) = 7-1(7/)(х),

Г Г ГЖ

/ I/(х)|2 йу(х)=/ |/(Л)|2 йст(Л), Е2 (/, М+)2,м = |7/(Л)|2 йст(Л). •УК+ Л+ .Уст

(16)

Лемма 3. Для всех ст, т > 0, произвольной последовательности М (8)

Вм(ст, т, М)2,м = Вм(ст, т, М+)2,м. Доказательство. Достаточно установить неравенство

Вм(ст, т, М)2,м < Вм(ст, т, М+)2,м. (17)

Пусть для произвольной функции / € ^(К, ^у)

д(Л) = ( ^(/)(Л)|2 + (/)(А)|2 у/2.

Если / = /1 + ¿/2, то согласно (3), (4) в обозначениях леммы 1

д2(Л) = (Х/1(^а,в)(*) *)) ^^ /2(^Ла,в)(*) ¿у(*)) +

+ (С? + с2) { (^ /1 (*) * Л ¿^+1'в+1) (*) ^у (*)) 2 + + ( [ /2(*) * еИ ¿у(*)'

поэтому д(Л) — четная функция. Так как из (6)

/ |д(Л)|2^(Л) = 1 / (/)(Л)|2 + (/)(А)|2) ^(Л) = 2||/^ < то,

Л+ 2 Л+

то д € ¿2(М+,^ст).

Рассмотрим четную функцию

Ь(*) = / д(Л)Ы*) ^(Л) € ¿2(к+,¿у).

./К+

Для нее согласно (14), (16), лемме 2 и (7), (12)

/■те

я2 (Ь, к+)2 = |д (Л) |2 ^(Л) =

^ а

1 Г~

= 2 X (/)(Л)|2 + ^(/)(Л)|2) ¿^(Л) = 2Еа(/,К)2^,

шМ(т,Ь,К+)2 = вир / ^м(Л,*)|д(Л)|2^(Л) = ^вир / ^м(Л,*)(|Я(/)(Л)|2 + (/Г)(Л)|2) ^(Л) = 2ш^(т,/,К)2,м,

2 0^т .7 к+ поэтому

Еа(Ь, М+)2 Е(/, М)2„

Шм(т,Ь, К+)2 шм(т,/, М)2,м" Отсюда следует неравенство (17). Лемма доказана.

3. Нижняя оценка обобщенной константы Джексона

Для оценки обобщенных констант Джексона (13), (15) снизу будем использовать лемму В.В. Арестова [21]. Сформулируем ее в удобном для нас виде.

к

Лемма 4. (В.В. Арестов). Пусть .задана система функций,

непрерывных на [0, т] и удовлетворяющих условиям:

(a) ^s(0)=0, №s(i)| < K (t € [0,т], s € N);

(b) для любого ö € (0,т] выполняется равенство

lim max (t) = v0. Тогда для любого e > 0 найдется функция

т Т

F(t) = £ Ps^s(t), Ps ^ 0, = 1,

s=1 s=1

такая, что

F(t) < vo + e, t € [0,т].

Согласно лемме 3 в дальнейшем будем работать с константой Джексона (14). Нам также понадобятся асимптотики весовой функции s(A) и функции Якоби из [22]. При |A| ^ то равномерно по t > 0

s(A) = (2р+аГ(а + 1))-2 А2а+1 (1 + O(|A|-1)) , (18)

^A(t) = (л((2(7Г(А1)/)21/2 (cos (At - а«) + et|ImA|O(|At|-1 + |A|-1)) . (19) (A(t)s(A))

Теорема 1. Если а, т > 0, M — произвольной последовательности (8), то 1

Dm (а, т, М+)2,м ^ —. (20)

vo

Доказательство. Согласно (14), (16)

D2 ( R ) ХТ |Jf (A)|2 da(A) ^

D2M(а,т, М+)2,м = sup -тг- ^

fsup /^M(A,t)|J/(A)|2da(A)

0<i<r

<j

где

1 OU

^ sup ^-O- : Ps ^ G,J> = 1} , (21)

sup E ^s(t)Ps s=0

0^i<rs=0

CT+S+1 CT+s+1

^s(i) = ni" / ^M(A, t) da(A), ns = J dff(A).

Ст+s ст+s

Согласно (2), (10) имеем

№(t)| ^^ |vil = K, ^s(i) = ^M(ys(t),t), ys(t) e (s,s + 1). lez

В силу (18), (19) равномерно по 0 < £ ^ t ^ т

b(t)|« ^0+72• (22)

Применяя (10), (22), получим равномерно по 0 < £ ^ t ^ т

те 1 те I I 1

ы(A,t)| < 2^N^A(t)| « ^0+72 Е ^ « A0+/2

,, s - , дан

s=1 s=1

поэтому из свойства Нт^те ys(t) = то и условия а > -1/2 (см. (1))

lim max ^ (t) = v0.

По лемме В.В. Арестова из (21) получаем оценку (20) для обобщенной константы Джексона dm(ст, т, М+)2;М. Теорема доказана.

4. Двойственная запись обобщенной константы Джексона

Пусть т > 0, S +[0, т] — множество неубывающих на отрезке [0, т] функций (мер) v(t), для которых v(т) — v(0) = 1,

K = {f (A) = jfT^A(t) dv(t): v € S +[0,т]|

(23)

— класс четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа не выше т, для / € Кт

Lr

те

Fm (Л,/) = — ^ v/ (sA)= Лпм (A,t) dv(t), (24)

s=1 Jo

Гм (ст, т )= inf sup Fm (A,/ )= inf sup / пм (A,t) dv (t). (25) f еКт a^ct ves+ [о,т] a^Wo

Теорема 2. Для всех ст, т > 0, произвольной последовательности M (8) DM (ст,т, R+)2,м = 1

V0 - 2 Г M (tf, т)

Существуют мера v* € s+[0,t] и функция f * € KT, для которых Гм (о-,т ) = sup / пм (A,t) dv *(t) = sup fm (A, f *).

X^a J0 X>a

Доказательство. Имеем

/a°° |Jf(A)|2dtf(A)

DM (а,т, M+)2,M = sup

/eL^K+.d^ su^ (Д, t)| Jf (Д)|2 da(A)

0<i<r,

Если

L+ = {f € Li(R+, da) : f (A) ^ 0, supp f С [а, то), J™ f (A) da(A) = lj ,

то

оо

DM2(a,T, М+)2,м = inf sup /^M(Л, t)f (Л) da(A). /eL+ o<t<r J

a

Множество функций

H = {g(t) = J™ ^M(A, t)f (A) da(A) : f € L+|

является выпуклым подмножеством в C[0, т] и величина DM2(a, т, М+)2,^ равна величине наилучшего приближения нуля в C [0, т ] выпуклым множеством H. По теореме двойственности [23] и в силу неотрицательности функций из H

гт гт

D-MW, М+)2,м = sup Inf/ g(t)dv (t) = inf / g(t)dv *(t) (26)

veS+[Q,T] J0 9&H J0

для некоторой меры V* € £+[0, т].

Покажем, что для любой меры V € £+[0,т]

аеяу Q

Действительно, для любой g € H

тт

inf / g(t)dv(t) = inf / ^m(A,t) dv(t). (27)

?6Я Уо a^^q

гт гт r<x>

/ g(t)dv(t)=/ / ^M(A,t)Z(Л) da(A)dv(t) = /0 7о Ja

тт

f (A) / ^m(A,t) dv(t)da(A) ^ inf / (A,t) dv(t). ./о У q

С другой стороны, если B(A,e) = {x € R+ : |A — x| ^ e}, то для A ^ а из непрерывности функции JJ" ^м(A,t) dv(t) по A

inf/ g(t)dv (t) < inf Х-1—- / / ^M (A, t) dv (t)da(A) <

./0 0<e<e(A) Jb(a;£) da(A) УВ(Л,е) У0

^ lim Х-1 / I ^M(A, t) dv(t)da(A) = / ^м(A,t) dv(t),

jB(X,e) da(A) УВ(Л,е) У0 Уо

поэтому

аеяу о

Равенство (27) доказано.

тт

inf / g(t)dv(t) < inf / ^m(A, t) dv(t).

Уо

где

Согласно (23) - (27)

М+)2,м = вир ш! / ^м(А, ^(¿) = V[о,т] Jо

= вир 1п1 ( ^о - 2 пм(А, ^(¿) ) =

ves+ [о,т] Л^ст V Jо )

= ^о - 2 т! вир / пм(А, ¿) ^(¿) = - 2Гм(о, т),

ves+ [о,т ] л^Уо

^м2(а,т, М+)2,м = / ^м(А, ¿) (¿)= (28)

Л^ст.У о

= ^о - 2вир / пм (А, ¿) ^ * (¿) = ^о - 2 вир Ям (А,/ *),

Л^ст Jо Л^ст

/*(А) = /

Jо

Теорема доказана.

5. Конечность обобщенной константы Джексона

Рассмотрим непрерывную функцию

вм (*) = £) £ € М.

«ех

Для нее определим величину

гм = шах{г ^ 0 : вм |[-г,г] = 0} •

Отметим, что для ненулевой последовательности М гм € [0, п) и для любого г € [0, п) найдется последовательность М, для которой гм = г. В частности, гм = 0, если у последовательности М конечное число ненулевых членов.

Теорема 3. Обобщенная константа Джексона ^м(о, т, М+)2;М (13) — конечна тогда и только тогда, когда

от > гм•

Доказательство. Интегральное представление (11) может быть записано в виде

¿с С1 а / Л

¿С /■!

Отсюда и из (9), (10)

(29)

Пусть ат ^ rM • Из (29) ^м (ö, t) = 0 при 0 ^ t ^ т. Пользуясь (28),

т, М+)2,м = 1пМ ^м (А, *) ¿V = 0, Дм (а, т, М+)2,м = То. о

Пусть ат > гм. Из (29) (А, т) > 0 при А ^ а. Так как Ишд^^,(А,т) = ^ (см. доказательство теоремы 1), то (А,т) ^ с > 0 при А ^ а. Тогда для любой функции / € ¿2(М+, ^у)

Это неравенство показывает, что dm(ö, т< то. Теорема доказана.

1. Вепринцев Р. А., Горбачев Д. В., Иванов В. И. Оптимальный аргумент в неравенстве Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2014. С. 24-28.

2. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991.

3. Горбачев Д. В., Пискорж М. С. Точное неравенство Джексона в L2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 1. С. 54-58.

4. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

5. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

6. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т.88. №1. С.148-151.

7. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.180-192.

получим

•т

Список литературы

8. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т.94. №3. С.338-348.

9. Иванов А.В., Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С.74-90.

10. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.114-123.

11. Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 109-118.

12. Горбачев Д.В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном L2-неравенстве Джексона - Стечкина // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 83-91.

13. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальный аргумент в обобщенном неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) с весом Данкля и обобщенная задача Логана // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып.1. С. 22-36.

14. Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып.1. С. 63-82.

15. Иванов В.И., Иванов А.В. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона -Стечкина в L2(Rd) с весом Данкля // Матем. заметки. 2014. Т.96. №5. С.674-686.

16. Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. V. 11. P. 245-262.

17. Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual // Ark. Mat. 1979. V. 17. P. 139-151.

18. Koornwinder T. A new proof of a Paley-Wiener type theorem for the Jacobi transform // Ark. Mat. 1975. V. 13. P. 145-159.

19. Opdam E. M. Harmonic analysis for certain representations of graded Hecke algebras // Acta. Math. 1995. V. 175. № 1. P. P. 75-121.

20. Anker J.-PH., Ayadi F., Sifi M. Opdam's hypergeometric functions: product formula and convolution structure in dimension 1 // Adv. Pure Appl. Math. 2012. V. 3. № 1. P. 11-44.

21. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

22. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям функций Якоби // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2014. С. 31-37.

23. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 с.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный институт.

Знаменская Дарья Вячеславовна, магистрант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный институт.

Смирнов Олег Игоревич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный институт.

Generalized Jackson constant in L2(R)-space with hyperbolic

weight

V.I. Ivanov, D.V. Znamenskay, O.I. Smirnov

Abstract. For the sequence of real numbers M = |ys}seZ with zero sum and absolutely convergent series in the space L2(R, dy) with hyperbolic weight dy = 22p|sht|2a+1(chi)2^+1, a ^ p ^ -1/2, a > -1/2, p = a + p + 1, the value of the best approximation E(f)2>M by partial integrals of Jacobi transform, generalized modulus of continuity (t, f )2>M and generalized Jackson constant

(o, t)2;M are defined. Calculation of the generalized Jackson constant is reduced to dual extreme problem for even entire functions of exponential type. The condition of its finiteness is given. The lower estimation (o, t)2>m ^ 1/\/Vo, where v0 = ^seZ |ys|2 is proved.

Keywords: Dunkl harmonic analysis, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant.

Ivanov Valerii ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Znamenskaya Darya, undergraduate, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Smirnov Oleg ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 21.09.2014