CC BY
10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Юрко В. Л. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Мат. заметки. 1991. Т. 50, вып. 5. С. 134 - 146.
2. БутеринС.А. Обратная задача для одномерного возмущения оператора свёртки. Саратов, 2003. 84 с. Деп. в ВИНИТИ 01.10.03, № 1754-В2003.
3. Хромов А. П. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов // Теория функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. Ч. I. С. 90 - 96.
4. ЮркоВ. А. Обратная задача для интегральных операторов // Мат. заметки. 1985. Т. 37, вып. 5. С. 690-701.
УДК 511.3
А. С. Быкова
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОТМЕЧЕННОЙ ТОЧКИ ДЛЯ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
При построении гомотопических групп лт(Х,х0) толерантных пространств существенную роль играет базисная точка д:0. Постараемся, насколько это возможно, освободиться от необходимости выбирать эти точки. Построение гомотопических групп толерантных пространств описано в работе [1].
Пусть (Х,х0) - толерантное пространство, х0 и х, - две точки этого пространства. Толерантным путём, соединяющим точки х0 ид:,, называется толерантное отображение сор : (Х,т) такое, что выполняются свойства:
1)шр(0) = х0,
2)и>р(1) = х,.
Рассмотрим толерантный сфероид а„ в точке х0: аи:(/<"\г<">)->(Л\т), а„(Э/Г) = *о-
Построим отображение со» класса [а„] сфероидов в точке х0 в класс со • ([а „ ]) сфероидов в точке х]. Для этого возьмём двойное замедление сфероида а„ (оно будет принадлежать классу [а„]), поставим ему в соответствие сфероид $4р+2п в точке х1, описанный ниже, тогда
[Р4р + 2»]= ».([««])■ (П
Определим Р4„+2„ формулой
Г'к1-2р')
2 п
Ъ
, еслиV/ = \,т 2р<к:<2р + 2п,
где а,
5—1 если \/0</ < 2р тахк1 =2р + 2п+1 и ттк>2р-1(2) \2Р)
или тт£, =2р-1 и т&хк( <2р + 2п +1,
двоиное замедление а„,
/ г \ > С , _
кЛ ( 1 к )
—ч = а„ —
11 1 п 2 Г™
/1 = \,т у
2„ ГаР]~
- двоиное замедление пути со _.
Кгр) ■ \pizy
Нетрудно проверить, что отображение Р4/,+2„, определенное формулой (2), является толерантным сфероидом в точке х] и, более того, оно является толерантным отображением относительно двойной толерантности.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Отображение со», заданное формулой (1), корректно определено на классах толерантных сфероидов.
Доказательство. Сначала показывается, что если р'4
4р+2Ы
соот-
ветствует а у „ при описанном выше построении (1), то имеет место толерантная гомотопия ~ Р4Р+2Ы,АР+2п- Затем рассматриваем аИ| и а'„2 - гомотопические толерантные сфероиды, Р4р+2п1 и Р'4р+2„2 - сфероиды, соответствующие им при описанном выше построении (1). В силу сказанного выше, без ущерба для общности можно считать, что и, = п2. Покажем, что Р4„+2л ~ - Для доказательства строим гомотопию:
Г , ч Л
к,-2р\ Г
к,
2п + 4р I. г
г '1 = 1, т
2 п
,если V/ = \,т 2р < к1 < 2р + 2п,
<=1, т ' )
5 (/),если гпах&,- = 2р + 2п +1 и гшп£, >2р-1 или
гшп Л:, = 2/7 — / и тах к1 < 2р + 2п + I,
где С : х ¡г ~> 1{"п ~ гомотопия толерантных отображений га„ и а'„.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если пути сор| и со'р1 толерантно гомотопны, то со» = ш', . Если же хч ~ толерантный путь из точки х{ в точку х2, то имеет место соотношение: (ш^, *Хд), ~ 0}* с X* •
Доказательство. Сначала показывается, что продление пути не изменяет отображение (О*. Это позволяет предположить, что пути (йр| и
СО'р имеют одинаковую длину р и что существует толерантное отображение О : I р х 1г —» / осуществляющее гомотопию СОр ~ (й'р . Тогда равенство классов сй*([а„]) = со1([а„]) доказывается построением толерантной гомотопии для их представителей:
4 р + 2п ) ;— г
^ /1=1,т
а.
G
■2 р
2 п
1=1, т
L I
рг
, если Vi = 1, т 2p<kj <2р + 2п, , если шах к, = 2р + 2п + I и min kt > 2р -1 или max kj <2р+ 2п + I и min А:,- = 2р -1.
Вторая часть предложения доказывается непосредственной проверкой.
ТЕОРЕМА 1. (О* :пт(Х,х0)= пт(Х,х]) - изоморфизм гомотопических групп для всех т> 1 при условии, что Х- линейно связно.
Доказательство. Для доказательства гомоморфности рассмотрим р4р+2„ и $4р+2п ~~ представители классов со*([а„]) и <*>*([у„]) соответственно, а РЦр+4„ - представитель класса со»([сх„])* со»([у,,]). Гомотопию между отображениями рАр+2п * р4р+2л и Рвр+4п представим в виде композиции гомотопий ^з- В ВИДУ громоздкости формул приведём
выражение для основной из них:
( к:
I
>4р+2п
V
I
2п + 4р\2п + Ар )
8о + 4и ). т— 2р
' /1 = 1,m 1 ,
, если к] = 1,2п + 4р,
Vj = 2,ш к, = 0,2я + 4р,
4 р+2п
кх+1-(2п + 4 р) 2п + 4р
2п + 4р).=-
если
кх =4р + 2п + /(mod 2),8р + 4л - /, Vi = 2,m к, = 0,2« + 4/),
х,, если А", = 4п + &р - /,8р + 4п, \/i~2.m А, = 0,2 л + 4р, я,, в остальных случаях.
Для доказательства изоморфности 03» рассмотрим путь, со/р', обратный к <лр. Покажем, что СО» и со» 1 - два взаимообратных гомоморфизма. С этой целью рассмотрим произведение (£)р * 0) р]. Так как это произведение гомотопно вырожденной петле в точке х0, то гомоморфизм (со^ * (üp представляет собой тождественный автоморфизм группы
кт(Х,х0). По предложению 2 имеем со» °ю»' = (со^, *со/71 )„ — тождественный автоморфизм. Аналогичные рассуждения применимы к композиции со»1 о со*, что и доказывает изоморфность со».
СЛЕДСТВИЕ 1. Для любого т > 1 фундаментальная группа Я|(jY,jCq) действует на гомотопические группы пт(Х,х0) как группа автоморфизмов.
СЛЕДСТВИИ 2. Фундаментальная группа ti1(A',x0) действует на себя сопряжением.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 15 -35.
УДК 511.3
А. М. Водолазов, Е. В. Сецинская
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ, ДОПУ СКАЮЩИХ АППРОКСИМАЦИЮ ПОЛИНОМАМИ ДИРИХЛЕ
Рассмотрим ряд Дирихле
s = (1)
п=\П
где lim d\an\ = 1. Одним из основных объектов в аналитической теории чи-
П—>00
сел являются ¿¡(s) - дзета-функция Римана и L(s) - ¿-функция Дирихле. В работе [1] Н. Г. Чудаковым и Ю. В. Линником была поставлена задача о нахождении аналитических свойств ряда Дирихле (1), при которых он является ¿-функцией Дирихле. В работах [2, 3] были получены аналитические условия на ряды Дирихле вида (I) с конечнозначными, вполне мультипликативными коэффициентами, при которых они определяют ¿-функцию Дирихле.
