CC BY
13
Для доказательства изоморфности 03» рассмотрим путь, со/р', обратный к <лр. Покажем, что СО» и со» 1 - два взаимообратных гомоморфизма. С этой целью рассмотрим произведение (£)р * 0) р]. Так как это произведение гомотопно вырожденной петле в точке х0, то гомоморфизм (со^ * (üp представляет собой тождественный автоморфизм группы
кт(Х,х0). По предложению 2 имеем со» °ю»' = (со^, *со/71 )„ — тождественный автоморфизм. Аналогичные рассуждения применимы к композиции со»1 о со*, что и доказывает изоморфность со».
СЛЕДСТВИЕ 1. Для любого т > 1 фундаментальная группа Я|(X,Xq) действует на гомотопические группы пт(Х,х0) как группа автоморфизмов.
СЛЕДСТВИИ 2. Фундаментальная группа ti1(A',x0) действует на себя сопряжением.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 15 -35.
УДК 511.3
А. М. Водолазов, Е. В. Сецинская
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ, ДОПУ СКАЮЩИХ АППРОКСИМАЦИЮ ПОЛИНОМАМИ ДИРИХЛЕ
Рассмотрим ряд Дирихле
s = (1)
п=\П
где lim d\an\ = 1. Одним из основных объектов в аналитической теории чи-
П—>00
сел являются ¿¡(s) - дзета-функция Римана и L(s) - ¿-функция Дирихле. В работе [1] Н. Г. Чудаковым и Ю. В. Линником была поставлена задача о нахождении аналитических свойств ряда Дирихле (1), при которых он является ¿-функцией Дирихле. В работах [2, 3] были получены аналитические условия на ряды Дирихле вида (I) с конечнозначными, вполне мультипликативными коэффициентами, при которых они определяют ¿-функцию Дирихле.
Так, в работе [2] эти условия выражались в возможности аналитического продолжения ряда Дирихле целым образом на комплексную плоскость с определённым условием роста модуля функции вдоль мнимой оси. В работе [3] ¿-функции Дирихле характеризовались возможностью их аппроксимации с определённой сходимостью в области сходимости полиномами Дирихле.
Естественное желание получить аналитическую характеристику ¿-функций Дирихле числовых полей привело авторов к задаче изучения аналитических свойств полиномов Дирихле вида (1) в случае неконечно-значных коэффициентов, которые допускаю! в области сходимости аппроксимацию с определённой скоростью полиномами Дирихле.
Исследуются и другие теоретико-числовые задачи, которые приводят к описанию рядов Дирихле вида (!) в случае неконечнозначных коэффициентов, допускающих аналитическое продолжение целым образом на комплексную плоскость с определённым порядком роста модуля функции. Так, например, эта задача встает в известной работе В. Г. Спринджука [4]. В этом направлении авторами доказана ТЕОРЕМА 1. Следующие условия эквивалентны: ]. /($) продолжима на комплексную плоскость, как целая функция, удовлетворяющая следующему ограничению на порядок роста в целых отрицательных точках:
|/{-п)<сеп]пп+Ап, А> 0; (2)
2. Для любого Т > Т0 > 0 существует последовательность полиномов Дирихле
к „(«) п=1 п
которая равномерно сходится к /(/) в полосе {ст>1,|/|<7"| со скоростью
/
О
-т
, где р> 1 и константа в О зависит от Г, как е2 ,
В основе доказательства теоремы 1 лежит метод редукции к степенным рядам, разработанный В. Н. Кузнецовым. Так, рассуждения, основанные на методе редукции к степенным рядам, аналогичные тем, которые применялись в работе [2], позволяют показать, что условие 1 теоремы 1 эквивалентно условию регулярности степенного ряда
g(z)=tanz" (3)
п=1
в окрестности точки г = 1.
Далее, применение известного аппроксимационного критерия регулярности функции, заданной на замкнутом интервале, в граничных точках
этого интервала и изучение свойств прямого и обратного преобразования Меллина позволяют показать, что регулярность степенного ряда (3) в точке z = 1 эквивалентна условию 2 теоремы 1.
Результаты теоремы 1 имеют важное следствие, которое является существенным для задач, рассматривающихся в работе [5]. ТЕОРЕМА 2. Пусть
п=\П
— ¿-функция для алгебраического расширения К z>k, и пусть она имеет представление в виде произведения классических ¿-функций. Тогда степенной ряд
п=1
аналитически продолжим за единичную окружность.
В основе доказательства теоремы 2 лежит, во-первых, тот факт, что оценка (3) является точной для классических ¿-функций Дирихле. Следовательно, точка z = 1 не может быть регулярной для степенного ряда g(z). Далее, при условиях теоремы 2 показывается, что для степенного ряда
п=1
где 1 < ф < 2л, точка z = 1 также не является регулярной.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чудаков Н. Г., Линник Ю. В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // ДАН СССР. 1950. Т. 74, № 2. С. 193 - 196.
2. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36, № 6. С. 805 - 813.
3. Водолазов А. А/., Кузнецов В. Н. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 3 - 11.
4. Спринджук В. Г. Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана // Acta Arithmetica. 1975. Т. XXVII. С. 317 - 332,
5. Кузнецов В. Н., Сорокина Е. В. К вопросу о целостности композита ¿-функций числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 32-44.
