Высшие гомотопические группы толерантных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ

Высшие гомотопические группы толерантных пространств

Толерантные пространства [1) — это пары вида (Х,т), где X — множество, а т 6 X х X — отношение толерантности на нем, то есть рефлексивное и симметричное бинарное отношение. Отношение толерантности представляет собой наиболее общую математическую модель понятия схожести.

В теорию толерантных пространств удается перенести значительную часть ал-гебро - топологической техники [2], если рассмотреть толерантное пространство как псевдогеометрический объект, отличающийся от обычных топологических структур отсутствием предельного перехода. Для толерантных пространств построена теория фундаментальных групп [2] и [3], и с помощью этой теории развита теория толерантных накрытий [4]. Целью настоящей статьи является определение высших гомотопических групп толерантного пространства и доказательство теоремы о точной гомотопической последовательности пары для толерантных пространств.

Определим толерантное отображение / : (X, т) —> (К, 1?) толерантных пространств [Х,т) и (К, 19) как отображение / : X —> К, сохраняющее толерантность, то есть для ххтх2 имеем {{х^д {(хг) ■ Толерантные пространства и толерантные отображения образуют категорию Т, в которой имеются прямые произведения.

Для толерантных пространств строится теория толерантной гомотопии по классической схеме. Роль единичного отрезка в этой теории играют толерантные пространства (/„,(•„), где /„ = = 0, п} —■ множество точек деления единичного отрезка на п частей, а толерантность 1п задается условием

-<.„- < 1.

Определение 1. Два толерантных отображения /о, /1 : (Х,т) зовем толерантно гомотопными относительно подмножества А С X /о ~ Д(ге/ А), если существует натуральное число п и толерантное Р : X х /„ -» К, такое, что выполняются свойства:

2)(УхбХ) Р(*,1) = /1(*);

3) (V ж £ Л) (V /с = М) Е(х, =/о(г).

Определенное отношение ~ является абстрактным отношением эквивалентности и согласовано с операцией композицией толерантных отображений. Это позволяет определить категорию толерантных гомотопических типов [Т].

-> (У,1?) на-

и обозначим отображение

Пусть т — натуральное число. Рассмотрим т-ю декартову степень толерантного отрезка ^х /„, х Обозначим это толерантное пространство {1п"\ 4Г'>) и назовем тп-мерным толерантным кубом. Через обозначим толерантное подпространство

д/*»> = | ^ _ 6 /<га)|(Э г = 17ТЙ) А* 6 {0, п}| ,

которое будем называть границей т-мерного толерантного куба.

Определение 2. т-мерным толерантным сфероидом толерантного пространства (X, т) в точке х0 е X назовем толерантное отображение

где п € К, такое, что ап(д1= хо-

Если имеется толерантный сфероид ап : IпП) —► X и натуральное число N ^ п, то определим еще один толерантный сфероид ал/,„ : —> X

(V * = АЛ*) а„„ ((^ { * ((*>«*) ' г = ^^ < *

Сфероид будем называть продолжением сфероида а„.

Определение 3. Два ш-мерных толерантных сфероида аП1, а'П1 пространства {X, т) в точке хо будем называть толерантно гомотопными и обозначать аП1 ~ а^, если для некоторого натурального N ^ тах{гг1,П2} будем иметь алг.щ ~ <*лгпа(ге' ^лГ')-

Предложение 1. Отношение ^ является отношением эквивалентности.

Класс толерантно гомотопных сфероидов с представителем а„ обозначим стандартно — [а„].

Определим на множестве т-мериых сфероидов пространства (X, г) в точке Хо £ X операцию, сопоставляющую двум сфероидам а„, : —> X и /3„г : /Й'1 —► X новый сфероид аП1 * /?„, : 1щ1„, -> X

("»1 * Ац)

(V г = 1, т)(У ^ = 0,«! +п2)

А. , (V г = 1,т)

в остальных случаях. Определим очень важную для дальнейшего конструкцию двойного замедления

толерантного сфероида.

Определение 4. Двойным замедлением толерантного сфероида ап : -> X овем новый толерантный сфероид й„ : -> X, определяемый для Л, = 0,2п; г =

т ГЬОПЛЛ иттпй

ЧШЧшц

назовем = 1, m формулой

где — обозначение целой части числа

В следующем предложении собраны важнейшие свойства двойного замедления. Предложение 2.

1. Если а„ : in"') —> (Х,т) — толерантный сфероид, то

— толерантное отображение, то есть двойное замедление ä„ сохраняет двойную толерантность 4„ ° 4™ ■

2. Двойное замедление обладает свойством гомоморфности относительно операции *, то есть

Ощ * ßfi2 — «п, * ßm-

3. Если а„ : 1l"1' X — толерантный сфероид, то о„ ~ а„.

Доказательство

Для доказательства свойства 1 достаточно убедится в том, что отображение d„ : ihn: <-2n ° 12n) —> (In, ¿n)> ОПреДвЛЯвМОв формулой

(V fe = 0T2ñ)

(i) ~ n

является толерантным. Это является следствием очевидного равенства [(к + 2)/2] = = [fe/2! +1.

Свойство 2 доказывается прямой проверкой.

Для доказательства свойства 3 надо построить толерантную гомотопию F : а„ ~ a2n,n(rel dl!¡„). Искомое толерантное отображение F : х I„ X можно задать следующей формулой:

f ( íí] = / <*»((«№. 0)fei5í). (v *e {M^i});

\ lo, (3 fe¡ € {2n — /,2n}).

В этой формуле

Доказательство завершено.

Обозначим теперь через тгт(Х, хо) множество классов толерантно гомотопных то-мерных сфероидов пространства (X, т) в точке хо £ X. Определим на множестве пт(Х, Хо) операцию * формулой

К*,] * [Аи] = [«„, * 0П2]. (1)

Корректность этого определения следует из следующего предложения;

Предложение 3. Если т-мерные толерантные сфероиды а„,, се'П1, /?Р1, /З'р2 таковы, что аП1 с* а'пз и /3Р1 ~ /З'р2, то аП1 * /3Р1 а'П1 * Р'рг

Доказательство

Сначала доказывается толерантная гомотопность

(V Л^ > щ) (V ДГ2 > п2) * а'„1>пг ~ аП1 * а'П1. (2)

Это доказывается в два этапа. Сначала выписывается очевидная гомотопность

(V N2 ^ п2) а„, * - «п, * ап2' затем доказывается менее очевидная часть

(V АГ1 ^ щ) »я, * °4а - ат * ап,-Для этого показываем эквивалентную гомотопию (см. предложение 2) (V М > щ) (а)2ни2т * (а'пз) — * а'П2.

Для доказательства последнего строится соответствующая толерантная гомотопия р ■ 1т+2пг X ^ЛГ,-2П1 У X по формуле

( К \ _

2 п2

(V к, е {07пГ});

(V к, е {2Л^1 - I, 2(м + п2) - /});

в остальных случаях.

Свойство 2 позволяет доказывать предложение 3-для случая, когда щ = п2 = Р1 = = р2 = п и а„ - а'п(ге1 Э4т)), /?„ ~ Р'п(ге1 д4т)). Пусть

^ : /<т> в : I<т) х 1, -> X

— толерантные отображения, осуществляющие выписанные выше гомотопии. При этом можно считать в = t, не теряя общности. Строим новое отображение Р * й : х /я —> X по формуле

(V<S<H<W);

(V ^ е {п, 2гг}); Хо, в остальных случаях.

Легко проверить, что это дает нам толерантную гомотопию

* в : ап * А, ~ < * Р'п(ге1 81^).

Предложение доказано.

Ассоциативность операции (1) следует из ассоциативности операции * на толерантных сфероидах, которая доказывается прямой проверкой. А именно, имеет место следующее равенство:

(<*„, * О * = ап, * [а'П7 *<,). Рассмотрим теперь тождественные сфероиды (е10)п : —У X, такие, что

(ех„)„(4т)) = хс

Легко видеть, что для любой

пары натуральных чисел 711,712 имеем (£хо)л1 — (^ю)пз-Поэтому в дальнейшем будем использовать обозначения еха и [£10], имея в виду какое-либо (£*„)„.

Предложение 4. Для любого класса [а„] е тгт(Х,Хо) имеем

Ы * [е10] = К1 = [£«.] * Ы- (3)

Доказательство

Первое равенство в формуле (3) очевидное, а для доказательства второго надо показать, что (е10)р * ап — »п- Согласно предложению 2 вместо этого можно проверить эквивалентное условие (ехо)р * 5„ ~ 5„. Для его проверки строим толерантное гомотопирующее отображение ^ : 4(р+п) Ьр X по формуле

кг \

2(Р + П)Л=1^'2Р

ёх„ = хо, (V к, е {0,2р - ¿});

йп ({ЧР)^) • (V М € {2р — (, 2(р + п) — /});

х0, в остальных случаях.

(т)

Легко проверить, что ^ : е10 * ап ~ (а)2р+2п,2п(ге/ дЦ™12п).

Предложение доказано.

Покажем далее коммутативность операции * в пт(Х, х0) при т ^ 2.

Предложение 5. Пусть ап,Рр — т-мерные толерантные сфероиды и т ^ 2. Тогда

Ы * Ш = Ш * [а-]-

Доказательство

Из определения 3 следует, что для любого сфероида а„ и для любого N > п имеем [а„] = [алг.п]- Отсюда, согласно предложению 3, без ущерба для общности можно предполагать п — р. Это предположение делается с единственной целью упрощения записей.

Так как [а„] ♦ [/?п] = [а„ * /?„], то будем рассматривать сфероид ап* : X.

Построим толерантную гомотопию, с помощью которой у сфероидов ап и /3„ в ап*0п на кубе меняются местами области определения по первой координате Эта толерантная гомотопия ^ : х 1п1 -> X задается формулой вида

((&)4=т>р . =0,2п, (V » = 2, т) к{ = 0,п\

Я1 {(t)i=т^ • ¡?) . = 572П, (V < = 27т) А* = МН; хо, в остальных случаях.

Толерантное отображение : (/2п х = 0, п}) х 1п2

определяется следующим образом:

(4)

X в формуле (4)

С1

I4) 1 = п ) ¿=Т75Т' "2 /

10,

=

Л1 = О,?;

«п - *1=« + п + 1-(/-пд),9 + п + 1;

х0, = 9 + и + 1,2п.

Здесь ч представляет собой целое число 0 ^ д ^ п - 1 такое, что гомотопирующий параметр / попадает в интервал <7 • п ^ ! $ (</ + 1)п.

Толерантное отображение Нх : (12п х = 07п}) х -)Хв формуле (4)

имеет вид

Я,

(ЬЛ 1

Х0, к\ — 0, 71 Q lj

A. fbdMl+i, (Ь=2 )<=г_) , fc^n-g-l.n-q-l + p-^; A. (^W) . h = n-g + q-ng),2n-g;

io, k\ =2n — q, 2n.

Здесь параметр g имеет тот же смысл, что и выше.

Далее, для вновь получившегося сфероида JF\ | = п2) = (•, 1) строим новую толерантную гомотопию Ft, аналогичную Fi, но при этом роль координаты ki переходит к координате к^. Повторяя эти построения т раз, получим

((^W) - (V ki = n72n);

Л ((WtoTSi)' (vfc< = M);

xqi в остальных случаях.

Таким образом, Р = 1) — /3„ * ап. Отсюда по транзитивности толерантной гомо-топии получаем ап * /?„ ~ /Зп * ап(ге1 что и завершает доказательство.

Как следствие из приведенных выше рассуждений, можно получить еще один способ определения операции в жт(Х,хо), где т ^ 1, но более удобный в ряде случаев.

Предложение 6. Операция * на классах в лт(Х,Хо), где 1, может быть определена следующей формулой:

К] * Ш = [7^1,

где у^п ~ толерантный сфероид следующего вида:

(5)

Ъи

2")i=VnJ

(£ W) . *i = 2п, (V i = 2, m) ki = 0, n;

zo,

в остальных случаях.

При этом координата к\ может быть заменена на любую другую, то есть для любого фиксированного j = 1,т имеем

КМЛ.] = [7&

где у?,

"-{(ifW). (V fc; = 0, n);

k

в остальных случаях.

Доказательство этого предложения при ш > 2 проводится с помощью толерантных гомотопий, подобных тем, что использовались в доказательстве предложения 5. Для ш = 1 формулы (1) и (5) совпадают.

Пусть теперь ап : Й"1' -»Х - произвольный толерантный сфероид пространства (Х,т) в точке хо- Определим сфероид а"1 : -4 X формулой

.....т)-

Предложение 7. В обозначениях, приведенных выше, имеет место формула К] * [о"1] = [а„ * а"1] = [£Г10].

Доказательство

Нам надо показать, что ап* ап1 ~ еха или, что эквивалентно 5„ * а"1 ~ е1о. Согласно предложению вместо а„ и а"1 можно взять сфероид -у^ вида

74>

(V ь = 0,2п);

- _

«П1 (^г2, - *1 = (V г = 27^) ^ = 0^2п;

го,

в остальных случаях.

г(т)

Выполним толерантную гомотопию : х /'¿п —► А' этого сфероида по формуле

р!

Хо,

2 п

Ат = о7г, (V г = 27т) = 072п; Й! = /72гг, (V »' = 27т) кг = 072п;

(V » = 2,т) ^ = 0,2п;__ Л1 = 4п - г, 4п, (V » = 27т) = 0,2п;

в остальных случаях.

хо, Хо,

(1)

В результате получим Р :

ехо(ге1 д№)

Предложение доказано.

Собирая вместе полученные результаты, сформулируем теорему.

Теорема 8. Множество пт(Х, Хо) классов толерантно гомотопных т-мерных сфероидов пространства (Х,т) в точке Хо вместе с операцией *, определяемой формулами (1) и (5), является группой. При т ^ 2 эти группы жт(Х,хо) будут коммутативными. Группа ж\(Х,хо) совпадает с фундаментальной группой тг(Х,х0) толерантного пространства (X, т).

Описанную в теореме 8 группу пт(Х,хо) будем называть ш-мерной гомотопической группой толерантного пространства (X, г) в точке х0-

Пусть теперь / : ((Х,т),х0) —> ((У, д), у0) - толерантное отображение пунктированных толерантных пространств, то есть /(хо) = Уо, и пусть ап : —> X - произвольный толерантный сфероид пространства (X, т) в точке хо■ Тогда /оа„ - сфероид пространства (У, в точке уо- И если ап ~ 0Р - толерантно гомотопные сфероиды, то из свойств толерантной гомотопии следует, что / о ап ~ / о 0р. Это позволяет корректно определить индуцированное отображение /„„ : жт{Х, х0) -+ —> тгт(У,2/0), задав его формулой

/я„(К]) = [/о«п]. (6)

Очевидным образом проверяется гомоморфность отображения /„т, т.е.

1«ЛЫ * №1) = [/ о К * /?„)] = [(/ о сь) * (/ о 0р)\ = /„„([о»]) * /,„([&]).

Рассмотрим теперь два толерантных отображения пунктированных толерантных пространств /о,/! : ((Л\т),х0) -> ((У, в), уо), которые толерантно гомотопны, т.е. /0 ~ /¡(ге/ {хо})- Тогда формула (6) и свойства толерантной гомотопии дают совпадение индуцированных гомоморфизмов /о„т = ¡\пт : 7Гт(Х, Хц) Тт(У, Уо) Для всех т ^ 1.

Для толерантных отображений

/ : ЦХ,т),хо) -V ((У, <»),#,), 9 ■ ((У,в),у0) ((2, *),*„) с помощью формулы (6) без труда получаем, что

= о/»т.

Столь же просто проверить, что [1х)*ш =

Подведем итог всего предыдущего.

Теорема 9. Для каждого натурального т £ N имеется ковариантный функтор 7Гт из категории гомотопических типов толерантных пространств с отмеченной точкой в категорию групп, сопоставляющий каждому пространству ((X, г), Хо) его т-мерную гомотопическую группу пт(Х, Хо), а каждому классу толерантно гомотопных отображений [/] — индуцированный гомоморфизм .

Чтобы выписать точную гомотопическую последовательность пары в категории толерантных пространств, нам необходимо определить относительные гомотопические группы толерантных пространств.

Пусть /„ — ш-мерный толерантный куб (т ^ 2). Обозначим

через /п ^ его

начальную (га — 1)-мерную грань:

=Ш)„

И-Ч = И* е /<»>

/ст = 0

Все оставшиеся грани обозначим через J^m 1\ так, что

9/(т) _ Ит-1) и Кт-!) дНт-1) = Ит-1) п 7(т-1)_

Определение 5. Пусть (Х,т) — толерантное пространство и А С X.....подмножество, которое будем наделять структурой толерантного пространства с толерантностью тП(Л х Л); пусть зафиксирована точка х0 € А. Относительным толерантным сфероидом пространства (Х,т) относительно подпространства А С X в точке х0 € А назовем толерантное отображение ап : —> X, где та ^ 2 такое, что

С Л, сп(4т~1)) = «о-

Из определения следует, что относительный сфероид становится абсолютным сфероидом (в смысле определения 2), если А = {хо}-

Для относительных толерантных сфероидов так же, как и для абсолютных, опре-

А

деляется продление а с помощью него отношение толерантной гомотопности ~

С той лишь разницей, что толерантное отображение Р : х 7, —* X, осуществляющее гомотопию Р : ~ /^.р, при каждом фиксированном значении параметра РК4Г1 *{;}) представляет собой относительный толерантный сфероид пространства (X, г) относительно А С X в точке х0 6 А.

Для относительных толерантных сфероидов ап и ()р, не выходя за пределы классов гомотопности, можно перейти к и где N = тах{п,р}, а затем, опять же не выходя за пределы класса гомотопности, определить п * /Зц,р = как это делалось в предложении 6. Положим по определению ап * ¡Зг =

Если ап - относительный толерантный сфероид, то а„ будет таковым же. При этом свойства в предложении 2 сохраняются и в относительном случае.

Обозначим через пт(Х, А, Хо) множество классов гомотопности толерантных сфероидов. Здесь т ^ 2. Как и выше на множестве 7ГГ„(Х, Л, хо) корректно определяется операция * по формуле

Ы * Ш - К * А>] = Ь4Я]> N = тах{п,р},

превращающая тхт(Х, А, Хо) в группу. При этом, для т ^ 3 эти группы будут коммутативными. Нейтральным элементом в группе тст(Х, А,хо) будет класс [£10) постоянного сфероида £хо : /1"'' —► {хо}. Заметим, что если толерантный сфероид Оп '■ /п™' —> X таков, что С Л, то [ап] = [с10]. Это доказывается с помощью

толерантной гомотопии Р : Ц™^ х /2п —> X такой, что

Г ((ЬЛ ± \ = ¡х°< к™ = 2п-1'2п' _____ Л^2"Л=Т^'2"7 *»-0,2 п-1.

Легко видеть, что Р : а„ ~ ехо. Отсюда, в частности, получаем:

Предложение 10. Группы 1Гт(Х,Х,Хо) = {[е10]} — тривиальны.

Определенные выше группы 1гт(Х, Л,х0) при т > 2 будем называть тп-мерными относительными гомотопическими группами толерантного пространства (X, г) относительно подпространства А с X о точке хц С Л. Как было сказано выше, для ш ^ 3

эти группы коммутативны.

При работе с относительными гомотопическими группами следует рассматривать толерантные отображения / : (X, т) —> (У, вида

/ : (Х,А,х0) -У (У,В,у0),

т.е. такие, что /(А) С В, /(х0) = Уо- При этом получается следующая теорема:

Теорема 11. Для натуральных чисел т > 2 имеется ковариантный функтор 7гт на категории гомотопических типов троек (Х,А,х0), состоящих из толерантного пространства (Х,т), подпространства А С X и выделенной точки х0 е А, сопоставляющий каждой тройке (Х,А,хо) относительную гомотопическую группу пт(Х, А, Хо), а каждому классу [/] гомотопных отображений таких троек — индуцированный гомоморфизм /Жт.

Абсолютные и относительные гомотопические группы толерантного пространства тесно связаны друг с другом. Во-первых, как уже отмечалось, абсолютные гомотопические группы являются относительными: ят(Х, Хо) — ят(Х,{хо},Хо). Для любой тройки (Х,А,хо) имеется очевидное толерантное вложение троек, тождественное на X,

3 ■ (Х,{х0},х0) -> (Х,Л,хо). Индуцированные им гомоморфизмы для простоты будем обозначать звездочкой:

(V ш > 2) ]. : 7гт(Х,х0) = пт(Х, {х0},х0) -> кт(Х,А,х0).

Имеется также толерантное вложение пунктированных толерантных пространств г : (Л,Хо) —► (Х,хо), индуцирующее гомоморфизмы:

(Ут> 1) г. : 7гт(Л,х0) жт(Х,х0).

Наконец, каждый относительный толерантный сфероид

определяет абсолютный сфероид

При этом нетрудно убедиться в том, что

Это позволяет корректно определить отображение

(V 771 ^ 2) д : 7Гт(Х, Л,х0) -у 7Гт(Л,Х0)

формулой

д(Ы) = Ы4т-1)1-

Легко проверяется гомоморфность д.

Все описанные выше гомоморфизмы можно объединить в одну бесконечную последовательность

----> ъп(А,хо) ът(Х,х0) 4 1гт{Х,А,х0) А 7гт_1(Л,10) ^ • ■ •

••• А жг(Х, А,х0) Лтг^Дхо) А 7Г1(Х,®о). (7)

Теорема 12. Последовательность (7) точна.

Доказательство

Наиболее трудными частями в доказательстве являются доказательство включений

Кег д С 1т ], и Кег ], С 1т г

Докажем сначала включение Кег д С 1т Пусть [а„] е ттт(Х,А,ха) и [а„] 6 Кег д. Это значит, что имеет место толерантная гомотопность ап|/п ~ е10 абсолютных сфероидов в А. Следовательно, существует толерантное отображение F : 4т~1) * А, такое, что

^га^к/М-ехоМа/^-1').

Поскольку N и я можно произвольно увеличивать, не нарушая толерантной го-мотопии, то без ущерба для общности можно считать N — в = п. Итак, пусть : х 1п —► А — толерантное отображение, осуществляющее толерантную

гомотопию ап|/пт-1' ~ еХа(ге1

Для следующего шага в доказательстве нам будет нужно, чтобы толерантный сфероид а„ был двойным замедлением. Это всегда можно предполагать, так как ап ~ ап. Рассмотрим толерантный куб

/(т+1) = 7(т) х 1п

и определим сначала частичное толерантное отображение вп : /<т+1) X. На грани с условием кт+\ = 0 положим (?„ > = ап ((^¡-гй) • гРани

/1т х 1п с условием кт = 0 определим Оп\кт-о = Рп. На гранях •/п"1-1' х 1п зададим = Хц. Определенное таким образом частичное отображение определяет толерантное отображение на подпространстве

Дп = (/<"'> х {0}) и (Э7<™> х /„) С /<"•> х1п =

Заметим, что условие двойной замедленности сфероида а„ нужно, чтобы обеспечить толерантность на "угловых ребрах" подпространства Яп при переходе от ап к

Пусть теперь в. е N — произвольное (сколь угодно большое) натуральное число. Обозначим для краткости 2л ■ п = М и рассмотрим ¿-кратное двойное замедление

отображения С„, которое будем обозначать См :

1(м+1) X. Точнее Ом определено на Им С При этом на х {0} отображение С^ будет совпадать с

¿-кратным двойным замедлением относительного сфероида ап и будет обозначаться аПонятно, что а^ — относительный сфероид и ~ а„. Отображение О^ на 4Г11 х 1м представляет собой толерантную гомотопию

^М '■ ам\1м ' —

абсолютных сфероидов подпространства Л С Л". А на х отображение С^

по-прежнему постоянное х 1м) — хо-

Конечные множества Им С являются дискретными подмножествами мет-

рического топологического пространства /'т+1> = х [0,1]. Построенное выше отображение вм таково, что, в силу толерантности и свойств двойного замедления, все точки множества Лм, попадающие в параллелепипед со сторонами длины, не превосходящей отображаются с помощью в толерантные между собой точки прострвнства (Х,т).

Рассмотрим какую-либо непрерывную топологическую ретракцию

где Я = {(«4),=ТТШ € /(т+1'|(Э г = 1,т+1) I, е {0,1}, 4т+1 ф 1}. Можно взять, например, ретракцию схематически изображенную на рис.1.

Рис. 1

Поскольку /(т+1> — компактное метрическое пространство, то непрерывное отображение <р должно быть равномерно непрерывным. Поэтому для произвольного е > О найдется 5 > 0 такое, что для < = (<Д=1,т+1, ¿' = (¿¡^¡Лдй+Т € 7'т+1' имеем

(Уг = 1,т + 1) -< <5 => (VI = 1,т + 1) |<д(<) - ¥><(01 < е.

Возьмем е = и для соответствующего 6 подберем достаточно большое натуральное число ё так, чтобы

Для толерантного пространства (/д7+1\ 1аГ+1') условие (8) означает, что

'к м

(т+1)

6М

1=1.т+1

(Ух = 1,т + 1)

,т+1

к{ ^ к, м м

< <5.

(9)

С помощью непрерывного отображения ц> построим отображение фм : ¡\ определив его формулой

(т+1) М

4>м

м •

1=1,т+1

где квадратные скобки означают целую часть числа. При этом легко видеть, что построенное отображение <рм отображает весь толерантный куб на Лм, а само

Км отображается тождественно <Рм\Им = 1 км

С помощью формул (9) и (10) можно получить:

ГМ (т+1) < к) \

(V 7 = 1,т + 1)

>=1,т+1

(Уг = 1,т + 1)

М

2п

7 = 1,т+1 1 +

—) 2^-2 у

Поскольку натуральное в, может быть сколь угодно большим, то можно считать, что <1 2, и поэтому — (1 + ¿ззг) < Отсюда следует, что композиция йм о {ри определяет толерантное отображение

Ям = См о <рм : -» (X, г).

По построению имеем 0) = а^ - относительный сфероид пространства

(Х,т) относительно А С X в точке х0 € А; 1) = /Зм - абсолютный сфе-

роид пространства (X, т) в точке х0 € X, так как

м 4г1) = 1) = 1) = ^(/^г11) = х<>;

и, наконец, Ям : с*^ ~ рм. Таким образом, имеем цепочку равенств в группе *т{Х,А,хо) :

К1 = №] = [/?п]=л([/?п]), что и доказывает включение Кег д С 1т ],.

Докажем теперь включение КегС /тг,. Пусть [а„] £ ттт(Х,ха) и [а„] € Кег],, то есть как относительный толерантный сфероид ап удовлетворяет следующему условию:

К! = МЮ) = [£10] 6 Кт(Х, А, 10).

Это значит, что существует толерантное отображение Г : х I, —> X, которое

д

осуществляет толерантную гомотопию Р : а„ ^ е10. Без ущерба для общности можно считать, что в = п. Согласно нашему предположению, отображение /3„ = F|^^¿mх х/п А является абсолютным толерантным т-мерным сфероидом пространства А. Покажем, что в группе -кт(Х, Хо) имеет место равенство [а„] = [/?„] = г,([Д,]). Для ЭТОГО надо построить толерантную ГОМОТОПИЮ абсолютных сферОИДОВ а„ ~ /3„.

Это будет достигнуто, если установим толерантную гомотопность продлений а^п п 02п,п- ДЛЯ ЭТОГО ПОСТРОИВ его следующей формулой

:„,„. Для этого построим толерантное отображение С? : х /2„ -> X, определив

в

«П > (V г = 1, ш - 1) к{ ^ п, кт^п-1-,

Рп , (Vг = 1,ш — 1) ^ ^ п, £т</-п;

п- I, кт^ I — п, кт ^ I + гI, кт ^ Зп - I; 10, (V г = 1, т — 1) Ь ^ п, кт ^ I + п, кт > Зп — Хо, (Зг = 1, т — 1) /с; > п,

которую иллюстрирует рис.2

I

2п

/ \

£ у' \ ,/ \ Е

\ / \ \

/ \ / \ / \ / \

\ /' / \

\ \ / \ч

а \ у \ Р

\ /

-*- I

Рис. 2

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что (3|(! = 0) = Огп.п, = 1) = — Агп.т ^(Э/зп', Ьп) — тсесть (3 : а2п,п — /^п.п- Все это означает, что в группе лт(Х,х0) имеем равенство [ап] = ¿,([/3]). Таким образом, доказано включение Кег С 1т г,.

Доказательство теоремы 12 завершено.

Пусть теперь имеем толерантное отображение троек

/ ■.(Х,А,хо)-+(У,В,уо),

тогда одновременно с ним имеется пара толерантных отображений

/ : (Х,х0) (К, Уо) и / : (Л,х0) (В,у0).

Это позволяет объединить точные толерантные гомотопические последовательности для пар (X, А) и (У, В), полученные в предыдущей теореме, в одной коммутативной

диаграмме:

... —^ 5rm+,(X,A,i0)

••• 1Гm+l(K,B,l/o)

Замечание. Техника, использованная при доказательстве теоремы 12, позволяет доказать стандартную теорему об изменении отмеченной точки Xq .

Библиографический список

1. Zeeman Е.С. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

2. Небалуев СИ. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств // Математика и ее приложения Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

3. Небалуев С.И. Процедура двойного замедления толерантного пути // Математика, механика и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998.

4. Небалуев СЛ. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докладов V Междунар. конф. Тула 19-24 мая 2003г. Тула: Изд-во ТГПУ, 2003.

-4 7гт(Л,10) —тгт(Х,х0) тгт(Х,А,х0) ...

Ч '

Ят(£,Уо) —^ Km{Y, у0) -^-v ТГm(Y,B,y0) —...

УДК 513.6

С И. НЕБАЛУЕВ

Накрывающие преобразования толерантных пространств

Толерантные пространства [1] являются математической моделью понятия схожести. В толерантных пространствах нет предельных переходов, а значит нет бесконечно малых, поэтому с их помощью можно определять геометрически подобные структуры на "дискретных" и конечных множествах.

Толерантным пространством называется пара (X, г), состоящая из множества X и отношения толерантности т С X -х X, представляющего собой рефлексивное и симметричное бинарное отношение. Отображения толерантных пространств, сохраняющие толерантность, будем называть толерантными отображениями.