CC BY
3111 И 11■ ■ ■ пшодского государственного университета
Г ( ни М«*н мнтика” Выпуск 2, 1995
V IК >15.12
ТЕОРЕМА О ТОПОЛОГИЗАЦИИ АССОЦИИРОВАННЫХ СПЕКТРОВ
А.В.Иванов
Доказана теорема о топологи (ации некоторых пполие упорядоченных спектров множеств. В речул 1.Т11ТГ 1ТОЙ тополо-гизации предельное пространс тво г пек три пщимши тся не-метризуемым бикомпактом, <ч«тн а и «темтп. которого наследственно сепарабельна. Теорема дока тип в предположении аксиомы Йенсена ф. Следствием ншргмм являются полученные ранее автором утверждении о существовании ряда пространств, все конечные степени которых наследственно сепарабельны.
В настоящей работе для каждого непрерывного дерева Т высоты и>1 со счетными уровнями определяется т' оциированный с Т непрерывный вполне упорядоченный СНеК I р множеств 5 = {Ха, Пр : а, /3 £ 0^1}. Основная теорема работы, доказанная в предположении аксиомы Йенсена О, утверждает, что на множествах Ха спектра 5 может быть задана топология гак, что псе Ха будут метризуемыми компактами, проекции тг"+1 вполне замкнутыми кольцевыми отображениями, а предельное пространство X = Пгп5 — неметризуемым компактом, счетная степень которого Л'14'0 наследственно сепарабельна. Использование дополни оми.ных теоретикомножественных предположений в этой теореме совершенно необходимо, поскольку К. Кюнен показал [5], что в предположении аксиомы Мартина, совмещенной с отрицанием континуум гипотезы, всякий бикомпакт, счетная степень которого наслед! темно сепарабельна, метризуем. В частных случаях, когда Г нвлиеп и деревом Ку-репы, деревом Ароншайна или тривиальным деревом высоты «<1 (т е. Т = о11),основная теорема работы позволяет подучи п. построенные
(С) А.В.Иванов, 1995
ранее автором примеры пространств, все конечные степени которых наследственно сепарабельны (см. [2], [3]).
В дальнейшем все рассматриваемые отображения топологических пространств предполагаются непрерывными и отображениями ” на”.
Напомним, что частично упорядоченное множество (Т, <) называется деревом (см., например, [7]), если Т имеет наименьший элемент и для любого х 6 Т множество х — {у 6 Т : у < х} вполне упорядочено отношением <. Порядковый тип множества х называется порядком элемента х и обозначается через о(х). Высота дерева Т есть ординальное число 1(Т) — вир{о(ж) + 1 : х € Т). Множество иа — {х € Т : о(х) = а} называется а-уровнем Т. Каждое максимальное вполне упорядоченное подмножество Т называется ветвью Т; а-ветвь есть ветвь порядкового типа а. Для любого а дерево Т\а — называется ограничением Т на а. Дерево Т называ-
ется непрерывным, если для любой пары различных точек х,у £ Т таких, что о(х) = о(у) 6 Ьи>\, имеем х ф у. Легко показать, что каждое дерево Т может быть пополнено до непрерывного дерева.
В дальнейшем нас будут интересовать непрерывные деревья высоты и>\, все уровни которых не более чем счетны. Простейшим примером такого дерева может служить множество счетных ординалов ш\. Таковы также деревья Ароншайна — деревья высоты со счетным уровнем без о)1-ветвей. Существование деревьев Ароншайна может быть доказано в ZFC (см. [7]). Примером иного рода является дерево Курепы — дерево высоты Ш2- Деревья Курепы существуют в предположении аксиомы конструктивности Ь — V (см. [6]). Тому же классу принадлежат и деревья Суслина, существование которых равносильно отрицанию гипотезы Суслина БН (см. [7]).
Итак, пусть Т — непрерывное дерево высоты и^, все уровни которого имеют мощность < Шо- Непрерывный спектр множеств * 5 = {Ха,тгр : а,/3 6 0^1} будем называть ассоциированным с деревом Т, если выполняются следующие условия:
1) для любого а и любого х € Ха неравенство > 1 влечет
* Спектр множеств 5 = {Ха,тГр : а,/?Е с^г} (топологических пространств) называется непрерывным, если для любого предельного Си естественное отображение из Ха в предел спектра Ба = {Ха,7Г^ : /?, 7 < а} является биекцией (гомеоморфизмом).
|(я-“+1)-1а:| = С (7га : Ит5 —* Ха — предельная проекция);
2) множество Тб — {х : х 6 Ха, |(тг^+1)-1 х\ > 1,а £ о^}, наделенное естественным частичным порядком (т.е. х > у, если х € Хр, у £ Ха, 0 > а и х@х = у), изоморфно Т.
Предложение. Для любого непрерывного дерева Т высоты и>\ со счетными уровнями IIа, а £ шх, существует непрерывный обратный спектр множеств 5 = {Ха, Жр : а, (3 Е ш\}, ассоциированный с Т. Доказательство. Построим спектр 5 по индукции. Пусть Хо — точка и пусть /о : 11о —> Хо — тривиальное вложение {[/0 = { наименьший элемент Т} — 0-уровень Т}.
Предположим теперь, что для любого /3 < а мы построили множества Хр, проекции тг^, : Хр —> Хр',(3 > (3‘, и отображения //3 : ир —* Хр так, что выполнены следующие условия:
1а) |(Я0+1Г1*| > 1 <=>■ |(^+1)_1х| = С,
2а) обратный спектр = {Хр,тг^ : /?,-у < а} непрерывен,
За) 1(^+1)“1^1 > (/? + 1 < а);
4„) дерево 7'|5ир{)з:/з<а} изоморфно множеству Тза (с естественным частичным порядком) при отображении Ра = и{/р : (3 + 1 < а}.
Если а — предельный ординал, то полагаем Ха — Нт{Х0, : (3, у < а}. В силу 4а) для любого а £ 11а множество Ра(а) есть нить Следовательно, Га(а) £ Ха и мы определяем отображение f0, по формуле Га(а) = Faa. Условия 1а+1)-4а+1) очевидно выполнены.
Предположим теперь, что а = 7+1. Положим
Ха = Х7иу{йх : х £ /7Г/.у} (Ях — экземпляр множества Я мощности С). Определим теперь отображение 7г“ : Ха —» X7 по формуле
„ _ Г х, если х £ Ху С Ха,
7 - | у, если х £ С Ха.
Возьмем произвольное инъективное отображение /« : (Л* —>■ Ха, удовлетворяющее следующему условию: если а £ \]а и а > 6 € [/7, то /<*(а) £ Я/7(6) С Ха. Легко показать, что условия 1«+1) — 4<*+1) выполнены.
Продолжая индукцию, мы получим непрерывный обратный спектр множеств 5 = {Ха, жр :«,/?£ }, ассоциированный с деревом
Т. (Отображение =: и{/„ : а £ си 1} является изоморфизмом между Т и Т5). Предложение доказано.
Напомним теперь необходимые сведения, касающиеся вполне замкнутых отображений.
Определение 1 (см. [9]). Отображение / : X —+ У называется вполне замкнутым, если для любой точки у £ У и любого открытого (в X) конечного покрытия {[/{} прообраза /~1у множество и/#и, и {у} открыто в У.
Следующая конструкция В.В.Федорчука [8,9] дает важный класс вполне замкнутых отображений. Пусть У — компактное пространство. Предположим, что точки У находятся во взаимно однозначном соответствии с некоторым множеством компактных пространств {Ху : у £ У}. Пусть для каждой точки у £ У заданы окрестность Оу и непрерывное отображение Иу : Оу \ {у} —> Ху. Пространство Федор чука В {У, Ху,ку} (см. [9]) определяется на множестве : у £ У}- Открытая база В {У, Ху, 1гу} состоит из множеств
вида
0(у, и, V) = V и : г Е [/ П Н^У},
где V открыто в Ху и и — окрестность у в У. Если для любого у £ X \ А Ху состоит из одной точки, то пространство В обозначается так: В{У, Ху ,1гу : у £ Л}. Пусть п : В —► У — проекция, т.е. 7г(г) = у, если 2 £ Ху. В.В.Федорчук доказал [9], что В — компактное пространство, тг всегда вполне замкнуто и прообраз ж~ху каждой точки у £ У гомеоморфен Ху.
Определение 2. Вполне замкнутое отображение / : X —► У называется функциональным, если для любой точки у £ У существует окрестность Оу и существует отображение Иу : Оу\ {у} —> /_1 у такие, что отображение / гомеоморфно отображению тг : В{У,/_1у, /1у} —*• У, т.е. существует гомеоморфизм д : X —> В такой, что диаграмма
X В{У,Г1у,ку}
/\ >*
У
коммутативна.
Определение 3 (см. [9]). Отображение / : X —► У называется кольцевым, если для любой точки х £ X и для любой пары окрестностей Ох и О/х существует перегородка ^ С /*Ох между /ж и У \ О/х.
В.В.Федорчук показал [9], что функциональное вполне замкнутое отображение F : X —* У является кольцевым, если для любой точки у £ У отображение ку : Оу\ {у} —* /-1у обладает следующим свойством:
(Я) для любой точки г £ /-1у и для любой пары окрестностей иу и О г точек у иг множество к~1 Ог содержит перегородку между у и Оу\иу.
Каждое кольцевое отображение обладает следующим важным свойством (см. [9]):
(С) /-1 /А = А для любого замкнутого подмножества А \ X, образ которого /Л связен и содержит более одной точки.
Пусть X — множество и пусть Е — подмножество Хп (п > 0). Мы будем говорить, что Е лежит в общем положении в Xй, если каждая проекция 7Г; : Хп —► X произведения Хп на г-й сомножитель X (г = 1,2,..., гг) взаимно однозначна на Е и П{ЕГ\ 7Г;- Е — 0 при г ф
Лемма 1. Пусть / : X —*• У — отображение множества X на компактное метрическое пространство У, при котором прообраз каждой точки /_1у имеет мощность либо С, либо I, и пусть множество С = {у : |/-гу| = С} счетно. Тогда для любого множества Е, принадлежащего У”, п > 1 ,и лежащего в У" в общем положении, можно определить топологию на X так, что выполняются следующие условия:
1) если — замкнутое подмножество Хп, /" Е Э Е и у — предельная точка £, то ^ 3 (/")_1У *'
2) X есть метризуемый компакт и / — кольцевое вполне замкнутое отображение;
3) если |/_1у| = С, то /-1у гомеоморфно отрезку [0;1].
Доказательство. Положим С{\;{кк = {у = (уь ..., уп) £ У" : у„ = с, при / = 1 У{ ф С при г ф .71}, где >1, - • -, — натуральные
числа, 1 < к < п, ^ < п, ji ф ^ при { ф1]\С{ — точки из С. В каждом множестве С{\ ' {кк Г\ Еа (ЕЛ — производное множество /?) выберем счетное плотное подмножество Щ*и положим О = и{^; ^ : I < к < п, с* £ С, м < п, 7,- ^ ^г}. Точки О могут быть занумерованы натуральными числами: О = {с?1}. Для каждой точки <11 £ £> выберем последовательность С* С Е, сходящуюся к с/1 так, что С, ПС; = 0 при * # .?•
* /п : X” —> Уп — произведение отображений / : X —» У.
Возьмем произвольную точку с £ С и рассмотрим множество {^'к} точек О, которые имеют хотя бы одну координату, равную с. Пусть — номера координат сРк, которые равны
с. Обозначим через 7Г;- проекцию У" на ^'-й сомножитель. Поло-
Л*)
ЖИМ Я(с) = и*; 1^) 7Г;к С,ь. Покажем, что можно выбрать подпосле-
т—1
довательности С/ С С\к так, что множество Я (с) (если оно не пусто) будет последовательностью, сходящейся к с. Все проекции взаимно однозначны на , так как С\к С Е н Е лежит в общем положении в У”. Следовательно, множества 7Гц С\к являются последовательностями, сходящимися к с. Пусть {Оп} — открытая счетная база в точке с в У такая, что 0„+1 С Оп, п> 1. Обозначим через Р биекцию и>о на шо х шо■ Пусть Р(к) = (у>(&), </(&)), к € ыо. Теперь построим подпоследовательности С[к С С,* по индукции. В последовательности
... возьмем точку с1 такую, что I I {яч^с1} С 0\. Предполо-
т=1 т
жим, что уже выбраны в каждой последовательности С{я1к), к < р— 1, точки ск так, что Ня(кУ)
ар_1) У {тг^с16} С Ок, к <р-
т=\
Пусть О — окрестность точки с такая, что О С Ор и
р-и(»(*0)
они и {ж1Я(к)Ск} = 0. Возьмем в последовательности С; ^ ^ точ-
к = 1 т = 1
}(9(Р))
ку ср так, что ^ {тг;д(р)ср} С О. Условие ар очевидно выполнено.
т—1
Продолжая индукцию мы получим бесконечные подпоследовательности С[к — {с1 : I Е д~1(к)} С С\к выбранных точек. Для упрощения символики будем обозначать эти подпоследовательности также через С\к. Итак, в силу ар) множество Я(е) есть последовательность. сходящаяся к с.
Занумеруем точки множества и рациональные точки отрезка [0; 1] натуральными числами. Пусть — координаты ^'-й
точки о>о и г* — к-я рациональная точка отрезка. Зафиксируем нумерацию точек каждой последовательности С,. Тем самым мы также
зафиксируем нумерацию точек в каждой проекции С; в У. Пусть с £ С. Возьмем счетную открытую базу {0&} в точке с такую, что
ОО
[0*+1] с Ок при к > 1 и гр О* ПЯ(с) = 0. Определим отображение
к = \
Ис : У \ {с} —* [0,1] следующим образом. Если точка у есть ^'-й член последовательности тг^ С{к, то полагаем Лс(у) = к ; если у £ грО*, то полагаем Лс(2/) = Гк- Таким образом, Ьс определено на замкнутом В У \ {с} подмножестве Н(с) и игр Оь поскольку 7Г{Сг П 7Г}>С)1 = 0 при ^ ^ У или г ф г', так как С Е и Е лежит в общем положении в У".
Теперь продолжим это отображение до непрерывного отображения кс : У \ {с} —* [0,1]. Положим, наконец,
X = В{У,[0, \}с,Ис :сЕС}.
Поскольку множество С счетно, пространство X имеет счетную базу, следовательно, X — метризуемый компакт. По построению каждое отображение 1гс обладает свойством (Я). Поэтому отображение / = 7г : X —*• У является кольцевым. Таким образом, условия 2) и 3) выполнены.
Проверим условие 1). Пусть Е — замкнутое подмножество Хп, /п Е Э Е и у € Е*. Если ни одна координата точки у не лежит в С, то отображение /п взаимно однозначно в у и, следовательно, {Г)-'у С Е. Таким образом, условие 1) выполнено.
Пусть теперь точка у = (г/ь ... ,уп) имеет координаты, лежащие в С. Пусть у*, - с\,...,ухк = Ск, где с\ ^ С п у{ ф С при
г ф г;, / = 1, ...,к. Тогда у £ Сгс\'.\'.ск С\ Ел. Пусть х 6 ()~1 г/ и пусть Ох — произвольная окрестность точки х. Покажем, что (/п)#Ох П Е ф 0. Тогда Ох П Р ^ й и, следовательно, х £ т.е. условие 1) выполнено. Возьмем окрестность О Э х такую, что
П
О С Ох и О = ^ Ох,, где Ох, — базисные окрестности координат 1=1
точки х. Заметим, что (/”)^0 — \\}#Ох, и множества {/* = /#Ох,-суть окрестности точек у, при г ф *1,..., Каждая окрестность Oxil (I — 1,... ,к) имеет вид
Охи =^,иГ1(^1П/»-1(^|)),
где — открытые множества отрезка [0,1] и суть окрестности
П
г/,-, = с; в У. Множество и = ^ {/,• является окрестностью точки у в
1 = 1
У", следовательно, существует точка (Г" 6 £)**;-/_*» такая, что сР" £ и. Последовательность Ст = {а, : г € а>о} С Е сходится к <Г'\ следовательно, существует натуральное число ?тг0 такое, что а,- £ V при г > то- Возьмем в каждом множестве V*, (/ = 1,..., к) рациональную точку ?•;. В фиксированной нумерации рациональных точек отрезка [0,1] точка г/ имеет некоторый номер р,-,. Таким образом, мы получаем множество из к положительных целых чисел Pil, ■. ■, Р{к. Дополним это множество до набора из п натуральных чисел (р\,...,рп) произвольным образом. В фиксированной нумерации точек множества Шд точка (р 1,... ,р„) имеет некоторый номер р. Будем считать, что р > то. Этого всегда можно достигнуть путем выбора рациональной точки г; £ V*,. Покажем, что точка ар последовательности Ст лежит в (/п)#0. Поскольку ар £ (7, достаточно показать, что 7гг,ар £ при / = 1,... Д. По определению отображения
(7г;,ор) = Гр. = Г/ £ V;,. Таким образом, аГ £ (/п)#0. Поэтому Ст П (/“)#0 ф 0 и, поскольку Ст С Е, Е П (/п)#0 ^ 0. Лемма доказана.
Пусть и>1 — первый несчетный ординал. Подмножество В С называется стационарным в ыь если В П F ф 0 для любого замкнутого (в порядковой топологии) несчетного множества РСыь Легко показать, что любое несчетное замкнутое подмножество и>\ стационарно в Ш\ .
Пусть Я — множество мощности С. Обозначим через “Я множество отображений из а в Я. Любую последовательность вида < вр : 0 £ « >. ер £ “Я, мы будем называть (Я, ^-последовательностью. Для каждой (Я, (^-последовательности р =< вр : 0 £ а > (Я, 7)-последовательность р|7 =< ер |7 : 0 £ у > называется ограничением р на 7.
Следующее утверждение совместимо с аксиомами ZFC (см. [4]).
Аксиома Йенсена ф. Для любого а Еш\ можно выбрать (Я, а)-последовательность р„ так, что для любой (Я,и)])- последовательности х множество {а : х\а = ра} стационарно в ш\. (Последовательность < ра : а £ ш\ > называется универсальной гиперпоследова-
тельностью).
Заметим, что аксиома Йенсена 0 влечет СН. Обозначим через проекцию Да на : д^(Л) = Л|/? для любого й £“ Я. Ясно, что обратный спектр множеств Т = {“Я, : а,/? £ а>1} является
непрерывным. Пусть 51 = {Ха,ж£ : а,/? £ Ы1} — такой непрерывный обратный спектр множеств, что |Х„| = С для любого а. Для каждого натурального числа п обозначим через 5" обратный спектр
{Хпа,(жа0)п :«,/?£ ыа}.
Построим теперь вложения /гп = {/“ : а £ а)]} : ,5" -*Г обратных спектров 5" в спектр Т так, что /“Х£ П /“!“ = 0 для любого а и т ф п. Пусть <3 — множество мощности С. Доказательство следующей леммы очевидно.
Лемма 2. Пусть / : X —» У — отображение множеств, 1X1 < С, |У | < С и пусть до '■ У —<3 — вложение. Тогда существует вложение д 1 : X —*“+1 С) такое, что диаграмма
X «+1д
/1 1 Р“+1
у _£о^ ад
коммутативна (здесь р“+1 — проекция).
Применяя лемму 2,мы можем построить по индукции вложения б" = {до„ : а £ ип} спектров 5" в спектр {а(Э,Р0 : а,/? £ а^}. Затем, полагая д%х = (д%пх, п) для х £ Х£ строим для любого п вложения в” = {у“ : а £ «1} спектров 5" в {а<3 х шо,р0 х г</ : а,/? £ такие, что д“Х" П д^Х™ = 0 для любого а и т ф п. Наконец, также применяя лемму 2, строим вложение Н обратного спектра {“<2 х и>о ,Рр х id : а, /3 £ ш\} ъ Т и полагаем = Н об„.
Зафиксируем в предположении О универсальную гиперпоследовательность Г =< ра : а £ >, ра С“Я. В дальнейшем мы
будем считать, что для каждого непрерывного спектра множеств 5 = {Х<*, Жр : а,/3 £ Ы1} заданы вложения Яп = {/“} 5” в Т. Это
позволяет отождествлять точки X" с их образами в аЯ при отображениях /“. В частности, мы будем говорить, что элемент ра универсальной гиперпоследовательности Г лежит в Х“ (ра С Х£), если Ра С/“Х2.
Лемма 3. Пусть 5 = {Ха,тгд : а,0 £ ш\} — непрерывный спектр из метризуемых компактов, X = Ііт 5 и пусть В — подмножество X мощности ш\. Предположим, что точки В занумерованы (возможно с повторением) счетными ординалами (В =< Ьа : а Є >) так, что для любого а Є ші 7га67 ф 7г„67< при 7,7' < а и 67 ф 6у. Тогда для любого стационарного в множества А существует 0 Є А такое, что В\р — тгр{Ьа : а < 0} плотно в прВ и (В\р)л П %рВ ф 0. Доказательство. Зафиксируем открытую счетную базу в каждом пространстве Ха. Пусть А — стационарное множество в ші. Пересечение А с множеством предельных ординалов Ьш\ стационарно в ш\, поскольку Ьи>\ замкнуто в и несчетно. Предположим, что для любого 0 Є А П Ьші множество В\р не плотно в крВ, т.е. яр В \ [В\р] ф 0. Пусть 0 Є АП Ьш\ и пусть х Є прВ \ [В|/з]. Так как 0 — предельный ординал и 5 — непрерывный обратный спектр, существует а = <т{0) < 0 такое, что тг^х П ж^[В\р} = 0. Следовательно, точка тг^х имеет окрестность Ор Є такую, что ОрГ\тт^[В\р] — 0.
Таким образом, для любого 0 Є А П Ьи>і имеем ординал сг(0) < 0 и открытое множество Ор Є ®ст(/3) такие, ЧТО К„(р)[В\р] С\ Ор — Ч и ка(р)ВГ\Ор ф 0. Теперь нам понадобится следующая лемма, которая доказана в [11].
Лемма 4. Если множество С стационарно в ш\ и отображение сг : С и>і удовлетворяет условию сг(0) < 0 для любого 0 Є С, то существует ординальное число с*о Є такое, что множество сг_1(ао). несчетно.
Применяя эту лемму,мы получаем ординал «о Є такой, что множество <т— 1 (ог0) С АС\Ьш\ несчетно. Для любого 0 Є <г-1(ао) имеем открытое множество Ор Є {р) — ®а0- Поскольку |<т— 1 (ого)| > ^0, существует несчетное множество О С С-1 («о) такое, что для любого
0 Є Б Ор = О Є ®О0. Для каждого 0 Є О имеем тг^о[В\р] П 0 = 0 И 7Г0,0ВПО Ф 0. Противоречие, поскольку \JpzD Ка0(В\р) = ЪааВ. Итак, существует 0 Є А Г\ Ьш\ такое, что прВ С [5|/з]-
Обозначим через Е множество всех точек 0 Є Ьш\ таких, что ж р В С [В\р\. Тогда Е П А ф 0. Мы утверждаем, что для любого стационарного множества А С ш\ пересечение АГ\Е стационарно в ш\. Действительно, если F С — замкнутое несчетное подмножество, то А П F стационарно и, следовательно, 0 ф (А П F) П Е = (А П Е) П F.
Покажем теперь, что существует 0 £ А П Е такое, что
(В\р)л Л жрВ ф 0. Предположим, что для любого 0 £ А Л Е пересечение (В\р)л Л жрВ пусто. Тогда имеем, что В\р = ЖрВ и жрВ есть дискретное (в себе) множество для любого 0 £ А Л Е, посколь-КУ [В\в\ Э ярВ. Множество В\р — жрВ счетно, следовательно, существует точка хр € жр В такая, что множество жр1хр Л В несчетно. Так как 0 — предельный ординал (Е С Ьи>\), существует а = <т(0) < 0 и существует окрестность Ор £ ®*(/з) точки ж^хр такие, что ж^(жрВ \ {ж/з}) Л Ор = 0. Итак, для любого 0 £ А Л Е мы имеем ординал а(0) < 0 и открытое множество Ор £ ®<,(/?) такие, что |жаОр Л В\ > <^о и \ж~1Ор Л {Ь-у : у £ 0}\ = 1. Применяя лемму 4, как и в рассуждениях, приведенных выше, получаем ординал ао £ ^1 и несчетное множество £) С А Л Е такие, что Ор — О £ <8<г(|з) = За,, для любого 0 £ О. Тогда \ж~10р Л {67 : у £ 0}\ = 1 для любого 0 £ И. Но |я-о 10 Л В\ > и В = и0ес{67 : 7 6 Р}- Противоречие. Лемма доказана.
Докажем теперь основную теорему.
Теорема. Пусть Т — непрерывное дерево высоты ш\, уровни которого не более чем счетны, и пусть 5' = {Ха,Жр : а, 0 £ 0)1} — ассоциированный с деревом Т непрерывный спектр множеств. Тогда на каждом множестве Ха можно задать топологию так, что будут выполнены следующие условия:
1) Ха — метризуемые компакты;
2) проекции вида тг“+1 суть колцевые вполне замкнутые отображения;
3) если X £ Ха и |(тг“+1)-12:| = С, то (7г“ + 1)-1х гомеоморфно отрезку [0;1];
4) счетная степень предельного пространства X = Нт5 наследственно сепарабельна;
5) если элемент ра универсальной гиперпоследовательности Г лежит в Х2 в общем положении, то для любого замкнутого множества Е С Хп такого, что ж%Е Э ра, имеем Е Э (ж2)~1Р?х-
Доказательство. Топологизируем спектр 5 по индукции. Для а — 1 определим на Х\ топологию отрезка [0; 1]. Предположим теперь, что уже заданы топологии на Хр для всех 0 < а так, что выполнены следующие условия:
1а) все пространства Хр метризуемы и компактны, 0 < а;
2„) все проекции вида 7Г^+1 — вполне замкнутые кольцевые отображения, 0 + 1 < а;
За) если х £ Хд и |(7г^+1)_1х| = С, то (7г^+1)-1ж гомеоморфно отрезку [0; 1], 0 + 1 < а;
4а) если элемент рр универсальной гиперпоследовательности Г лежит в Хр в общем положении, то для любого замкнутого подмножества С Хд+1 такого, что (тг0+1)пЕ Э рд, имеем F Э ((Кр+1 )”)_1Ра.
0 + I < а.
Если а — предельный ординал, то полагаем
Ха=Мт{Х1,У0,:0,0,£а}.
Поскольку а — счетный ординал и каждое Хд является метризуемым компактом, Ха — также метризуемый компакт. Тем самым условие 1а+1) выполнено. Условия 2а+1)-4а+1) следуют из 2„)-4а).
Пусть теперь а = 7+1. Тогда топологизируем Ха по лемме 1. В качестве отображения / в лемме 1 мы берем 7Г^+1. Если для некоторого п р7 лежит в X" в общем положении, то в качестве Е в условии леммы 1 берем р7; в противном случае полагаем п = 1 и Е = 0. Условия 1а+1)-4а+1) следуют из условий 1)-3) леммы 1.
Продолжая индукцию, мы получим непрерывный обратный спектр ,5' из метризуемых компактов, удовлетворяющих условиям
1)-3) теоремы.
Проверим условие 5). Пусть ра — элемент универсальной ги-перпоследовательности, лежащий в общем положении в X”,
^ = [.Р] с Хп И I"? э Ра- В силу условия 4а+г) имеем 7Г2+1Р э ((’г2+1)")_1Ра- Пусть х = (хи...,хп) е pi■ Мы пока-жем, что каждое отображение ^„+11^-1^. : тг“1 ж, —► (тг“+1)-1а^ не-
приводимо (г — 1,...,п). Это очевидно, если |(тг“+1)-1;е>| = 1 (тогда по определению ассоциированного спектра 17Г~1 | = 1). Если
1(,га+1)~1;гг| = с, то В силу 3„+2) (7Г2+1)_1®г ГОМвОМОрфнО Отрезку [0;1]. Все проекции спектра 5 вида тг“+1 являются кольцевыми отображениями, поэтому предельные проекции обладают свойством (с) (см.[9], лемма 6). Следовательно, отображение 7г0+1|т-1 неприводимо.
Итак, мы доказали, что все отображения Па+Ац-'х ,
1 = 1,...,п, неприводимы. Следовательно, отображение
также неприводимо и значит (7г”)_1х С Р. Итак, условие 5) выполнено.
Докажем теперь, что все конечные степени X наследственно сепарабельны. В дальнейшем мы будем обозначать через he X наследственное число Суслина X и через hd X — наследственную плотность X. В силу теоремы 4 из [1] (эта теорема утверждает, что для компактного пространства X hcX2 < uiq влечет hd X < u>o) достаточно показать, что для любого п hcXn < uiq, т.е. в Хп нет дискретных в себе несчетных подмножеств.
Докажем, что если дискретное в себе множество С С Хп лежит в Хп в общем положении, ТО |С| < UJQ. Предположим, что |С| = и>\. Тогда занумеруем точки С (возможно, с повторением) счетными ординалами (С =< ca : a Е и>i >) так, что для любого а множество С\а лежит в общем положении в X" и 7г£с7 ф 7г£с7< при у, у' < а и Су ф с-,'. По определению универсальной гиперпоследовательности Г множество М = {а : С\а = Ра} стационарно в ш\. Поэтому по лемме 3 существует а £ М такое, что тг"С П (С|«)й ф 0. Пусть у £ С такая точка, что х = 7r"j/ £ (C\a)d■ В силу 5) и С|„ = ра имеем [С] Э (тг£)-1х. Но это противоречит дискретности С. Действительно, если |(7г")_1ж| = 1 (т.е. у = (7г")-1ж), то у £ Cd, так как X £ (C\a)d- Если |«)_1а;| > 1, то [С \ {у}} Э (тг")_1х \ {г/}. В силу 3) и непрерывности S множество (тг^)-1х связно. Следовательно, [С \ {у}] Э (тг£)_1х ^ у, т.е. у £ Cd.
Итак, мы доказали, что всякое дискретное в себе множество С С Хп, лежащее в Xй в общем положении, имеет мощность < и>о-Докажем теперь индукцией по п, что lie Хп < wq. Поскольку каждое дискретное множество С С А" лежит в X в общем положении, имеем |С| < ojо и, следовательно, he X < wo-
Предположим, что неравенство he Хк < wo доказано для всех к < п — 1. Пусть С — несчетное подмножество Xй. Возможны два случая:
1) пересечение С с некоторой гранью Xп вида
G = {(jei, ..., хп) : Хк = а}, о £ X, 1 < к < n, (1)
несчетно;
2) пересечение С с каждой гранью G вида (1) счетно.
Случай 1. Поскольку грань G гомеоморфна Хп~1 и по индуктивному предположению hcXn~l < w0, мы имеем, что С П G не дискретно в себе. Поэтому С также не дискретно.
Случай 2. В этом случае можно выбрать несчетное подмножество С' С С, лежащее в X" в общем положении. Как мы доказали, С' не дискретно в себе. Следовательно, С также не дискретно.
Итак, hcXn < шо и, значит, для любого п Xй наследственно сепарабельно. Заметим теперь, что счетная степень Х1"0 является пределом обратного спектра из конечных степеней {Х",р™}, где р™ — проектирование Хт на Xй, т> п. Поэтому наследственная сепарабельность X11 для любого п влечет наследственную сепарабельность Х"0.
Теорема доказана.
Литература
1. Жолков С. Ю., Салычев А. С. Стрелки и наследственное' число Суслина в квадратах топологических пространств // Вестник МГУ. Сер. Математика. Механика. 1976. №1. С. ‘27-32.
2. Иванов А. В. О наследственной сепарабельности и размерности произведений бикомпактов // Доклады АН СССР. 1978. Т. 239. №5. С. 1037-1040.
3. Иванов А. В. О бикомпактах, все конечные степени которых наследственно сепарабельны // Доклады АН СССР. 1979. Т. 243. №5. С. 1109-1112.
4. Jensen R. В. The fine strusture of the constructible hierarchy // Ann. Math. Logic. 2:3 (1972). P. 229-308.
5. Kunen K. Strong Sand L spaces under MA // Set-theoretic Topology. New York: Academie Press. 1977.
6. Jech T. J. Automorphisms of wj-trees // Trans. Amer. Math. Soc. 173(1972). P. 57-70.
7. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973.
8. Федорчук В. В. Бикомпакты без промежуточных размерностей // Доклады АН СССР. 1973. Т. 213. №4. С. 795-797.
9. Федорчук В. В. Бикомпакт, все бесконечные замкнутые подмножества которого 71-мерны// Математический сборник. 1975. Т. 96(138). С. 41-62.
10. Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств // Математический сборник. 1976. Т. 99(141). JV* 1. С. 3-33.
11. Федорчук В. В. О мощности наследственно сепарабельных бикомпактов // Доклады АН СССР. 1975. Т. 222. №2. С. 302-305.
