Об одной слабой форме нормальности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 515.12

ОБ ОДНОЙ СЛАБОЙ ФОРМЕ НОРМАЛЬНОСТИ А. П. Комбаров1

Топологическое пространство называется паранормальным, если любая счетная дискретная система замкнутых множеств {Dn : п < ui} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств {Un : п < и>}, т.е. Dn С Un и Dm П ¡7„ ^ I в том и только в том случае, когда Dm = Dn. Доказывается, что если для какого-нибудь нормального функтора Т : Comp —> Comp степени ;:г 3 компакт F(X) является наследственно паранормальным пространством, то X — метризуемый компакт.

Ключевые слова: нормальный функтор, компакт, наследственная паранормальность, метризуемость.

A topological space is said to be paranormal if every countable discrete collection of closed sets {Dn : n < ш} can be expanded to a locally finite collection of open sets {Un : n < oj}, i.e., Dn с Un and Dm П Un ф 0 if and only if Dm = Dn. It is proved that if T : Comp —> Comp is a normal functor of degree > 3 and the compact space T(X) is hereditarily paranormal, then the compact space X is metrizable.

Key words: normal functor, compact space, hereditarily paranormality, metrizability.

Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются регулярными. Под ординалом понимается множество всех меньших ординалов, кардинальное число — это начальный ординал. Терминология и обозначения, не разъясняемые ниже, такие же, как в книгах [1, 2].

Рассматривается следующая слабая форма топологического свойства нормальности: пространство называется паранормальным (в смысле Никоша [3]), если любая счетная дискретная система замкнутых множеств {Dn : п < со} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств {Un : п < со}, т.е. для всех п < со выполняется Dn С Un и Dm П Un ф 0 в том и только в том случае, когда Dm = Dn. Нетрудно заметить, что не только все нормальные пространства, но и все счетно-паракомпактные пространства являются паранормальными. Примеры паранормальных пространств, не являющихся ни нормальными, ни счетно-паракомпактными, легко извлекаются из работ [1, 4]. Существование тихоновского не паранормального пространства следует из леммы 1. Предварительно напомним некоторые обозначения, введенные В. В. Федорчуком [5]. Для бесконечного кардинального числа т через aNT обозначается александровская компактификация дискретного пространства NT мощности т. Пространства и aNu в дальнейшем для удобства будут обозначаться через N и aN соответственно (где N — пространство натуральных чисел). Очевидно, aN = {п : п < со} U {w} — это сходящаяся последовательность с пределом со. Стоит отметить, что пространство ((aNT) х (aN))\{(T,co)} при т = со\ является аналогом плоскости Тихонова [1, раздел 3.12.19] и, возможно, самым простым тихоновским, но не нормальным пространством.

Лемма 1. Если кардинальное число т несчетно, то пространство ((aNT) х (aN)) \ {(г, w)} не является паранормальным, пространством.

Доказательство. Система {(т,п) : п < со} замкнутых одноточечных множеств, очевидно, дискретна в ((aNT) х (aN)) \ {(г, w)}. Предположим, что эта система может быть расширена до системы открытых множеств {Un : п < со}, т.е. для всех п < со выполняется (г, п) € Un и (г, m) € Un в том и только в том случае, когда т = п. Зафиксируем такие конечные подмножества Кп С NT, что для всех п < со имеют место включения

(г, п) € (aNT \ Кп) х {п} С Un.

Поскольку объединение всех множеств Кп счетно, а множество NT несчетно, найдется точка х € NT\U{Kn : п < со}. Произвольная окрестность точки (х,со) содержит окрестность вида {(х,п) : п > т} U {(х,со)}. Для каждого п > т, точка х не принадлежит множеству Кп, поэтому (х,п) € (aNT \

1 Комбаров Анатолий Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: apkombarovQgmail.com.

Кп) х {п} С Un. Следовательно, произвольная окрестность точки (х, со) пересекается с открытыми множествами Un при всех п > т. Поэтому система {Un : п < со} не может быть локально конечной. Лемма доказана.

Напомним, что ковариантный функтор J- : Comp—>■ Comp, действующий в категории Comp компактов и их непрерывных отображений, называется нормальным в смысле Е. В. Щепина [6], если J-обладает следующими свойствами: функтор J- непрерывен, т.е. J- перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра; функтор J- сохраняет вес; функтор J- мономорфен, т.е. сохраняет инъективность отображений; функтор J- эпиморфен, т.е. сохраняет сюръективность отображений; функтор J- сохраняет пересечения, прообразы, точку и пустое множество. Пусть X — некоторый компакт, J- — некоторый нормальный функтор и ж € J-(X). Степенью точки х называется такое наименьшее натуральное число п, что х принадлежит образу J-(f) для некоторого отображения /: К —>■ X n-точечного пространства К. Если такого конечного числа п не существует, то степень точки х считается бесконечной. Степенью функтора J- называется максимум степеней всевозможных точек х € J~{X) для всевозможных компактов X [6].

Хорошо известна следующая теорема Федорчука [5]: если, для, какого-нибудь нормального функтора F степени ^ 3 компакт F{X) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт. Следствием теоремы Федорчука является классическая теорема Катетова [7], доказанная еще в 1948 г.: если топологический куб ком,пакт,a, X наследственно нормален, то X — метризуемый компакт,. Т. Ф. Жураев [8] заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность компакта J-(X) на наследственную счетную паракомпактность. Следующая теорема 1 является одновременным обобщением теорем Федорчука и Жураева.

Теорема 1. Если для какого-нибудь нормального функтора F степени ^ 3 пространство F{X) наследственно паранормально, то X — метризуемый компакт.

В качестве следствия теоремы 1 отметим следующую теорему 2, также являющуюся обобщением теоремы Катетова [7].

Теорема 2. Если топологический куб ком,пакт,а, X наследственно паранормален, то X — метризуемый компакт.

Для доказательства теоремы 1 необходимы следующие леммы.

Лемма 2. Пусть Y — счетно-компактное бесконечное пространство и произведение X х Y наследственно паранормально. Тогда, всякое замкнутое подмножество в X является G$-множеством.

Доказательство. Пусть Q — счетное бесконечное подмножество пространства Y. Поскольку пространство Y счетно-компактно, можно выбрать предельную точку у множества Q. Найдутся открыто-замкнутые в пространстве Qo = {у} U Q окрестности Qi точки у, такие, что {у} = П{Qi : г < со} и Qi+1 С Qi для всех г < со [ 1, следствие 6.2.8]. Пусть теперь F — замкнутое подмножество X. Множества Фi = F х (Qi-\ \ Qi ), г < со, образуют счетную систему замкнутых подмножеств пространства Z = (X х Q) U ({X \ F) х {у}), рассматриваемого как подпространство произведения X х Qo. Покажем, что система {Ф^ : г < со} дискретна в Z. Пусть (x,q) € Z. Если х ^ F, то открытое множество (X \F ) х Qo является окрестностью точки (х, q ), которая не пересекается с Ф^ для всех i < со. Если же х € F, то q ф у. Пусть i(q ) = min{i : q £ Qi}. Тогда X x (Q^q )_i \ Q^q ) ) является окрестностью точки (x,q ), которая пересекается только с Фi(q)- Поскольку пространство Z по условию паранормально, найдется локально конечная система {Gi : г < со} открытых подмножеств пространства Z, такая, что Ф^ С Gi для всех г < со. Пусть q € Q. Множество Wq = {х € X : (х, q ) € Gi(q )} открыто в X. Если х € F, то (х, q ) € ) С G^q ), так как q € Q^q \ Q^q у Ясно, что х € Wq для всех q € Q. Таким образом, F С П{Wq : q € Q}. Если х F, то возьмем точку (х,у ). Пусть U х V — окрестность точки (х,у ), пересекающаяся лишь с конечным числом множеств Gi. Пусть N = тах{г : (U х V ) П Gi ф 0}, и пусть q € Qn+i П V. Тогда (U х V ) П ) = 0, так как i(q ) ^ N + 1. Но (х, q ) € С/ х V. Следовательно, (x,q ) ф. G^q ут х £ Wq. Таким образом, F = П{Wq : q € Q}. Лемма доказана.

Далее рассматривается пространство ехр(Х) всех (непустых) замкнутых подмножеств пространства X в топологии Вьеториса. Для каждого натурального числа к пространство ехр(Х) содержит подпространство expfc(X) = {_F € ехр(Х) : \F\ ^ к}, называемое гиперсимметрической степенью пространства X. Следующая лемма 3 доказана в работе [9, предложение 2].

Лемма 3. Для любого бесконечного кардинального числа, т гиперсимметрическая степень exp2(aNT) содержит в качестве подпространства произведение (aNT) х (aN).

Из леммы 3 и леммы 1 получаем следующую лемму.

Лемма 4. Если кардинальное число т несчетно, то гиперсимметрическая степень exp2(<x/Vr) не является наследственно пара,нормальным, пространством.

Следующая лемма 5 доказана В. В. Федорчуком в статье [5].

Лемма 5. Пусть X — такой компакт, что для некоторого нормального функтора F степени ^ 2 компакт F(X) совершенно нормален. Тогда, компакт X метризуем.

Лемма 6. Всякий компакт X, для которого гиперсимметрическая степень ехр3(Х) является наследственно паранормальным, пространством, метризуем.

Доказательство. Если компакт X содержит только одну неизолированную точку, то этот компакт гомеоморфен aNT при некотором т. Поскольку гиперсимметрическая степень exp2(a:iVr) является подпространством exp3(o;iVr), то из леммы 4 следует, что кардинальное число т счетно, и, значит, в этом случае компакт X метризуем. Пусть теперь X содержит две различные неизолированные точки х\ и ж2. Выберем открытые множества IJ\ и [/2, V\ и V2 так, чтобы х\ € V\ С V\ С U Х2 € V2 С V2 С U2 и U\ П U2 = 0. Пусть F\ = X \ U\ и F2 = X \ С/2. Очевидно, V\ х exp2(F\) гомеоморфно подпространству ехр3(Х), поскольку Vin.Fi =0. Из леммы 2 следует, что всякое замкнутое подмножество пространства exp2(F\) является G$-множеством. Далее, известно, что ехр(—) является нормальным функтором в категории Сотр с естественно определяемыми (нормальными) подфункторами expfc(X) = {F1 € ехр(Х) : \F\ ^ к} степени ^ к [6]. Поэтому гиперсимметрическая степень ехр2(—) — нормальный функтор. Применяя лемму Федорчука (лемма 5), получаем, что компакт F\ метризуем, как и компакт F"2. Поскольку X = F\ UF^, компакт X также метризуем, что следует, например, из [1, теорема 3.1.19, теорема 4.2.8]. Лемма доказана.

Лемма 7. Совершенный образ пара,нормального пространства является пара,нормальным, пространством.

Доказательство. Пусть / — совершенное отображение паранормального пространства X на Y, и пусть {Dn : п < со} — дискретная система замкнутых подмножеств пространства Y. Тогда система {f~l{Dn) : п < со}, очевидно, дискретна в X. Из паранормальности пространства X следует существование локально конечной системы открытых (в X) множеств {Vn : п < со}, такой, что для всех п < со выполняется включение /_1(F>ri) С Vn, причем /_1(F>m) П Fn / 0 в том и только в том случае, когда f~l{Dm) = /-1(F>ra). Для каждого п < со положим Un = Y \ f(X \ Vn). Нетрудно заметить, что множества Un открыты, причем Dn С Un и /-1(£/га) С Vn. Если же Dm П Un ф 0, то f~l(Dm) П /-1(£/га) / I и, следовательно, f~l(Dm) П Vn ф 0. Поэтому f~l(Dm) = j~l(Dn), что означает Dm = Dn. Докажем локальную конечность системы {Un : п < со}. Пусть у (£Y. Для любой точки х € f~l{y) выберем окрестность 0(х), пересекающуюся с конечным числом множеств Vn. Поскольку f~l{y) — компакт, найдутся окрестности 0(xi), г < к , такие, что f~l{y) С О = U {O(xi) : г < к} . Нетрудно проверить, что множество Y \ f(X \0) — окрестность точки у , пересекающаяся лишь с конечным числом открытых множеств Un. Лемма доказана.

Из леммы 7 и предложения 3.7.4 из книги [1] выводится

Лемма 8. Совершенный образ наследственно пара,нормального пространства является наследственно паранормальным, пространством.

Доказательство теоремы 1. Наследственно паранормальный компакт J-(X) содержит подпространство Fa{X) = 7г^^)3(Х3 х {а}). Здесь а € -F"(3) — некоторый элемент степени 3, а '■ х F(?>) —> F(X) — отображение Басманова [10], которое определяется формулой = J-"({)(r), £ € X3,r € 3). Теперь рассмотрим отображение suppo7rjrх,з, где supp — носитель, осуществляющий естественное преобразование функтора в экспоненту [6]. Отображение supp: J-a(X) —> ехрз(Х) непрерывно и является эпиморфизмом (лемма 3 из работы [5]). Таким образом, гиперсимметрическая степень ехр3(Х) является непрерывным образом компакта J-a(X), который содержится в наследственно паранормальном пространстве J-(X). Из леммы 8 следует, что компакт ехр3(Х) также является наследственно паранормальным пространством. По лемме 6 компакт X метризуем. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эпгелькипг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

2. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

3. Nyikos P. Problem section: Problem В // Topol. Proc. 1984. 9. 367.

4. Комбаров А.П. О тесноте и нормальности S-произведений // Докл. АН СССР. 1978. 239. 775-778.

5. Федорчук В.В. К теореме Катетова о кубе // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 4. 93-96.

6. Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи матем. наук. 1981. 36. 3432.

7. Katitov М. Complete normality of cartesian products // Fund. Math. 1948. 35. 271-274.

8. Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 4. 8-11.

9. Комбаров А.П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 5. 59-61.

10. Басманов В.Н. О функторах, переводящих связные АУД-бнкомпакты в односвязные пространства // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1984. № 6. 40-42.

Поступила в редакцию 20.04.2016

УДК 519.7

НЕСРАВНИМЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МОНОТОННЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

А. В. Чашкин1

Оценивается число несравнимых /г-мерных интервалов в n-мерном булевом кубе. Полученный результат используется для оценки сложности приближенного вычисления произвольной n-местной монотонной булевой функции.

Ключевые слова: монотонная булева функция, сложность приближенного вычисления, несравнимые интервалы.

The number of incomparable ^-dimensional intervals in the Boolean n-cube is estimated. The result is used to estimate the complexity of approximate computation of an arbitrary monotone Boolean function of n variables.

Key words: monotone Boolean function, complexity of approximate computation, incomparable intervals.

1. Множество {0,1}га всех булевых наборов длины п называется булевым кубом размерности п и обозначается символом Вп. Все наборы с к единицами называются к-м слоем Вп. Расстоянием Хемминга между наборами а. и (3 из Вп называется число d(oc,/3) = i \aí ~ Al) равное количеству несовпадающих разрядов сх и (3. Булев куб является частично упорядоченным множеством с частичным порядком при котором набор сх не больше набора (3 (о; ^ ¡3), если ^ /3¿ при всех г = 1,2,... ,п. Если а ^ /3и а / /3, то говорят, что набор сх строго меньше набора (3 (о; -< ¡3). Наборы а. и (3 называются сравнимыми, если либо а. ■< (3, либо (3 -< а.. Если ни одно из этих отношений не выполняется, то наборы называются несравнимыми. Последовательность наборов А = (схi, 0:2, ■ ■ ■, ось) называется цепью, если d(oíi, оц+\) = 1 и оц ■< оц+\ для всех i = 1, 2,... , к — 1. Длиной цепи А называется число наборов в этой цепи. Говорят, что цепь связывает наборы аи/Зи проходит через набор 7, если а. и (3 являются соответственно первым и последним наборами цепи, а 7 принадлежит этой цепи. Цепь называется максимальной, если она не является частью цепи большей длины. Множество попарно несравнимых вершин называется антицепью. Антицепь называется максимальной, если она не является подмножеством другой антицепи, состоящей из большего количества наборов. Классическая комбинаторная теорема Дилуорса обнаруживает связь между цепями и антицепями в частично упорядоченном множестве. Эта теорема утверждает, что минимальное число цепей, которыми можно покрыть частично упорядоченное множество, равно мощности максимальной антицепи этого множества. Другая, не менее известная теорема — теорема Шпернера — утверждает, что максимальная антицепь в n-мерном булевом кубе состоит из (^^j) наборов. Поэтому в силу этих двух

теорем n-мерный булев куб можно покрыть непересекающимися цепями.

Покажем, что справедливо обобщение теоремы Шпернера, в котором антицепи состоят из fc-мерных интервалов.

1 Чашкин Александр Викторович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chashkinQinbox.ru.