CC BY
29Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 6, 1999
УДК 515.12
А. В. Иванов
О НАСЛЕДСТВЕННОЙ СЕПАРАБЕЛЬНОСТИ СЧЕТНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
В предположении аксиомы Йенсена дано положительное решение вопроса А. В. Архангельского и В. В. Федорчука [1] о существовании совершенно нормального наследственно сепарабельного счетно компактного пространства, которое не уплотняется на бикомпакт.
Основным результатом работы является теорема 1, утверждающая (в предположении аксиомы Йенсена ♦), что для любого наследственно сепарабельного совершенно нормального бикомпакта Z существует некоторое специальное счетно компактное не бикомпактное пространство У, произведение которого на Z совершенно нормально и наследственно сепарабельно. Следствием из этой теоремы является положительное решение вопроса А. В. Архангельского и В. В. Федорчука [1] о существовании совершенно нормального наследственно сепарабельного счетно компактного пространства, которое не уплотняется на бикомпакт. (В работе [1] было доказано (также в предположении ♦ ) существование аналогичного пространства с заменой требования наследственной сепарабельности на сепарабельность.)
Теорема 1. Теорема 1 (♦). Для любого наследственно сепарабельного совершенно нормального бикомпакта Z существует такое счетно компактное пространство У, что выполняются следующие условия:
1) У локально бикомпактно и локально счетно.
2) У является объединением растущей последовательности {иа : а < открытых подпространств со счетной базой.
3) Из любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств У, по крайней мере, одно бикомпактно.
© А. В. Иванов, 1999
4) Произведение У х Z наследственно сепарабельно и совершенно нормально.
Доказательство. Мы будем пользоваться следующей формулировкой аксиомы Йенсена. Пусть К — некоторое множество мощности с и а — порядковое число. Обозначим через аК множество отображений из а в К. Любую последовательность вида
(вв : в < а) , Вв €
будем называть (К, а)-последовательностью. Для каждой (К, а)-пос-ледовательности р = (в в : в < а) и каждого ординала 7 < а определено ограничение р на 7:
р1т = (вв 1т : в <7).
Аксиома Йенсена ♦ утверждает, что для каждого а < можно выбрать (К, а)-последовательность да так, что для любой (Подпоследовательности х множество {а : х\а = да} стационарно 1 в о\. При этом последовательность Г = (да : а < о\) называется универсальной гиперпоследовательностью. Аксиома Йенсена совместима с ZFC (см. [3]). В дальнейшем мы будем предполагать, что универсальная гиперпоследовательность Г фиксирована.
Рассмотрим обратный спектр множеств Б = {Ха,р'а : а, в < о\}, в котором Ха = а +1 = {7 : 7 < а}, а проекции р^ : Ха ^ Хв определяются так: р<р(у) = 7 при 7 < в и р^(7) = в при 7 > в. Все множества спектра Б умножим на Z и получим спектр
Б1 = {Ха х Z,r'a = р^ х 1(1г : а, в < о1},
состоящий из множеств мощности < с. (\Z \ < с, так как Z — бикомпакт с первой аксиомой счетности.)
Рассмотрим спектр
Т = {аК,д'а : а,в < 01},
проекции которого определены по формуле: др(в) = в\в, и зафиксируем какое-нибудь вложение
{!а :1 < а < °1} : Б1 ^ Т
1 Подмножество В С шх стационарно в шх, если для любого замкнутого несчетного подмножества Р С шх пересечение Р П В непусто.
спектра Б1 в Т. Тем самым точки каждого пространства Ха х Z отождествляются с элементами “К. В дальнейшем мы будем говорить, что элемент да универсальной гиперпоследовательности Г лежит в Ха х Z, если да С! /а(Ха х Z).
Проведем теперь по рекурсии топологизацию спектра Б. На множествах Ха при а < о о зададим дискретную топологию. Предположим теперь, что на всех множествах Хв при в < а уже задана топология так, что выполнены следующие условия:
1«) Хв — компакты, в < а;
2а) если элемент дв (в < а) универсальной гиперпоследовательности Г лежит в (Хв \ {в}) х Z, то для любого 7 (в < 7 < а) имеет место равенство
[(^ )-1дв ] = (гв )-1 [дв ];
3а) спектр Ба = {Хв,рв : в,1 < а} непрерывен.
Если а — предельное число, зададим на Ха топологию предела спектра Ба. Легко видеть, что условия 1а+1) — 3а+1) при этом выполнены.
Пусть теперь а = 6 +1. Для каждого дв € Г, лежащего в (Хв \ {в}) х Z, в < 6, положим Ев = (гв)-1дв. В пересечении [Ев]П({6} х Z) (если оно непусто) выделим счетное плотное подмножество О в = {^в} (такое существует в силу наследственной сепарабельности Z). Для каждой точки йв в множестве Ев выберем последовательность Св, сходящуюся к <1в, так, чтобы отображение проектирования рй : Хй х Z ^ Хй взаимно однозначно отображало последова- тельность Св на последовательность рй (Св) = {хв : ] € N}, которая, очевидно, сходится к точке 6. Потребуем, кроме того, чтобы все последовательности Рй С) попарно не пересекались и чтобы множество
с = и рй (Св)
было последовательностью, сходящейся к точке 6 (выполнения этих условий всегда можно добиться путем перехода к подпоследовательностям). Определим теперь отображение Н из множества С в двоеточие (ра)-1(6) = {6, а} по формуле: Н(хв) = 6, если ] четно, Н(хв) = а, если ] нечетно. Продолжим отображение Н : С ^ {6, а} до непрерывного отображения пространства Хй \ {6} в двоеточие {6, а}. Полученное продолжение также обозначим через Н.
Наконец, топологизируем Ха, положив Ха = В (Хй ,Ух,Нх),
где В — пространство В. В. Федорчука [2], Ух = {х} при х = 6, Уй =
(Ра )-16, Нй = Н.
Проверим выполнение условия 2а+1), а именно покажем, что для любого дв С (Хв \ {в}) х Z (дв € Г, в < а) выполнено равенство
[(га)-1дв ] = (га)-1[дв ].
Пусть Ь € (гвз)-1[дв ]. Покажем, что Ь € [(га)-1дв ]. Если Ь € ((Ра)-16) х Z, то это сразу следует из 2а) и взаимной однозначности отображения да в точке Ь. Пусть теперь Ь € ((Рй)-16) х Z, т. е. либо Ь = (6, г), либо Ь = (а, г) (здесь 2 € Z). Пусть (для определенности) Ь = (а, г) и пусть Ь' = г'а(Ь) = (6, г) € Хй х Z .В силу условия 2а)
Ь' € [(гв) 1дв] = [Ев]
и, следовательно, в любой окрестности точки Ь' имеются точки множества О в. Рассмотрим произвольную базисную окрестность ОЬ точки Ь в Ха х Z вида
ОЬ = О(6, и, {а}) х Ш,
где Ш — окрестность г в Z, а О(6, и, {а}) — базисная окрестность точки а в топологии пространства В(. . .):
О(6, и, {а}) = {а} и (Н-1(а) П и),
и — окрестность точки 6 в Хй . Множество ОЬ' = и х Ш является окрестностью Ь', следовательно, существует точка 4 € Ов, лежащая в ОЬ'. Но тогда и все члены последовательности Св, начиная с некоторого, также содержатся в ОЬ'. По построению отображения Н множество Н-1(а) содержит все точки последовательности рЙ (Св) с нечетными номерами. Следовательно, ОЬ П (га)-1Св = 0 и ОЬ П (г<а)-1дв = 0. Значит, Ь € [(г^)-1дв], что и требовалось доказать.
Продолжая топологизацию множеств Ха, мы получим непрерывный спектр Б = {Ха,ра : а, в < О}, удовлетворяющий условиям
1^1) — 3Ш1). Предельное пространство этого спектра обозначим через Х, предельные проекции — через ра. Бикомпакт Х имеет единственную точку, в которой характер Х несчетен. Эту точку мы обозначим
через 01. Положим У = Х \ {01} и докажем, что пространство У — искомое. Условие 1), очевидно, выполнено. Для доказательства выполнения условия 2) достаточно положить иа = (ра)-1(Ха \ {а}).
Для проверки остальных условий нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Пусть F — непустое замкнутое подмножество Х х Z, такое, что F = ^ \ ({01} х Z)]. Тогда найдется а < 01 такое, что элемент да универсальной гиперпоследовательности Г лежит в (Ха \ {а}) х Z и [да] = raF, где га = ра х — предельная проекция спектра Б1.
Доказательство. Занумеруем точки множества F' = F \ ({^1} х Z) счетными ординалами в (К, 01 ^последовательность2
F' =< ха : а < 01 >
(возможно, нумерацию придется вести с повторением) так, чтобы для каждого предельного а < 01 множество
F' \а = {хв \ а = Га(хв) : в < а}
лежало в множестве Qа = rаF \ ({а} х Z) и было всюду плотно в нем. (Выполнения требования всюду плотности F'\а в Qа можно добиться, например, так. В каждом Qа выделим счетное всюду плотное множество Оа и далее пронумеруем точки F' так, чтобы точки каждого счетного множества г— 1Оа С F' имели номера < а.) В силу аксиомы Йенсена множество
А = {а : ¥''\а = gа, а — }
стационарно в 01. Положим
Fа = ПаГа(F П Г-1({а} х Z)),
где па — проекция произведения Ха х Z на Z. Очевидно, что Fа Э Fа^ при а' > а. Поскольку Z — совершенно нормальный бикомпакт, последовательность ^а : а < 01} стабилизируется, начиная с неко-
торого ао, т.е. Fа = Fа0 при а > ао. Нетрудно показать, что Fа0 = П ({^1} х Z)) (п — проекция Х х Z на Z).
2Это можно сделать, поскольку ♦ влечет СН.
Для каждого а положим
Ва = Па(^а] П ({а} х Z)).
Покажем, что Ва С Ва> при а' > а (а, а' € А). По построению да всюду плотно в Qа. Следовательно, в силу условия 2Ш1)
[(га' Г^а]^' )-1 Ш Э{а'} х Ва.
Но, в свою очередь, [(^)_^а] С [Qа']. Итак, ] Э {а'} х Ва, откуда следует, что Ва С Ва'. Покажем, что
и Ва = ^0 .
аеЛ
Поскольку
[Qa] П ({а} х Z) С г а (F П г—1({а} х Z)),
включение иВа С Fa0 очевидно. Докажем обратное включение. Предположим противное. Пусть г € Fa0 \ иВа. Тогда для любого а € А точка (а, г) имеет в Ха х Z окрестность Уа х Оаг, которая не пересекает Qa. При этом Оаг можно выбирать из фиксированной счетной базы окрестностей г, а открытое в Ха (напомним, что Ха = а + 1) множество Уа содержит все ординалы в, удовлетворяющие неравенствам а(а) < в < а, где а(а) — некоторый ординал, меньший а (здесь существенно, что а — предельное число и спектр Б непрерывен). Тем самым определено отображение а : А ^ 01, удовлетворяющее условию а (а) < а для любого а € А. В [2] доказано, что в этом случае обязательно найдется во < 01, прообраз которого а-1 (во) несчетен. Выделим из множества а-1 (во) несчетное подмножество Н, для всех элементов а которого окрестности Оаг одинаковы: Оаг = О. Для любого а € Н имеем
{в : во < в < а} х О П Qa = 0.
Возьмем наименьшее а1 € Н. Тогда (Уа1 х О) П Qal = 0 и, следовательно,
Г—/(Уа 1 х О) П г— 1Qa = 0
для любого а € Н. Таким образом, окрестность г—1(Уа1 х О) точки (01, г) не пересекает множества
F' = и Г’—^а.
аеН
Противоречие, поскольку г € Fa0 = \ F').
Итак,
и В а = Fao .
аеЛ
Поскольку Fao сепарабельно, последовательность {Ва : а < 01} стабилизируется, начиная с некоторого а2, т. е. для любого а > а2 Ва = Fao. Таким образом, для каждого а € А, а > а2
^а] П ({а} х Z) = г а (F П г— 1({а} х Z)).
Следовательно, [Qa] = raF, и, значит, [да] = raF. □
Покажем теперь, что Х х Z наследственно сепарабельно. Для этого достаточно проверить сепарабельность замкнутых подмножеств. Пусть F' — замкнутое подмножество У х Z и F = [F']xxz. В силу леммы существует а такое, что да € (Х \ {а}) х Z и [да] = raF. По условию 2Ш1 + 1) т-а неприводимо отображает множество F на raF. В самом деле, если Т — собственное замкнутое подмножество F и т-аТ = raF, то
Т Э [г—1да] = г—1 [да] = r—1raF
— противоречие.
Множество raF сепарабельно. Так что из неприводимости т-а на F следует сепарабельность F. Следовательно, У х Z наследственно сепарабельно.
Заметим, что из равенства r—1raF = F и совершенной нормальности произведения Ха х Z следует, что F имеет тип Ой в Х х Z и, значит, F' — Ой-подмножество У х Z.
Покажем, что У х Z нормально. Пусть F[ и F2 — непересекающи-еся замкнутые подмножества У х Z и пусть Fi = [F']xxz, * = 1, 2. В силу леммы существует такое а < 01, что г—1г^1, * = 1, 2. Если raFl П raF2 = 0, то множество ^1 П F2) \ ({01} х Z) также непусто — противоречие с дизъюнктностью F1, F2. Следовательно, raFl Пго,F2 = 0 и, значит, Fl П F2 = 0. Таким образом, любые непересекающиеся замкнутые подмножества в У х Z имеют непересекающиеся замыкания в Х х Z. Нормальность У х Z доказана, следовательно, У х Z совершенно нормально.
Проверим свойство 3) пространства У. Отождествим У со слоем У х {г} произведения У х Z. Тогда замкнутые непересекающиеся подмножества Fl, F2 С У можно считать подмножествами У х Z. Мы
уже показали, что замыкания Fi, F2 в Y х Z не пересекаются. Но замыкание Fi может отличаться от самого Fi только на одну точку (wi,z). Так что хотя бы одно из множеств Fi замкнуто в X х Z, а значит, бикомпактно.
Счетная компактность Y следует из свойства 3) (см. [1]). □
Следствие(О). Существует совершенно нормальное наследственно сепарабельное счетно компактное пространство E, которое не уплотняется на бикомпакт.
Доказательство. Возьмем в качестве бикомпакта Z в теореме 1 "две стрелки"П. С. Александрова и получим пространство Y, удовлетворяющее условиям 1) - 4). Затем для Y построим пространство E(Y), описанное в [1], и положим E = E(Y). Все свойства E, сформулированные в условиях следствия, кроме наследственной сепарабельности, доказаны в [1]. Наследственная сепарабельность E следует из наследственной сепарабельности Y х Z. □
Resume
We present an example of a countably compact perfectly normal hereditarily separable space that does not admit a one-to-one mapping onto some Hausdorff compact space. Thus we give a positive solution to A.V. Arhangelskii and V.V.Fedorchuk’s question.
Список литературы
[1] Архангельский А. В., Федорчук В. В. Об уплотнениях счетно компактных пространств на бикомпакты// Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 4. С. 871-880.
[2] Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств// Ма-тем. сборник. 1976. Т. 99. № 1. С. 3-33.
[3] Jensen R. B. The fine structure of the costructible hierarchy// Ann. Math. Logic. 2:3. 1972. P. 229-308.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
