Научная статья на тему 'Температурное поле тепловыделяющей жидкости в квадратной области с неоднородными граничными условиями первого рода'

Температурное поле тепловыделяющей жидкости в квадратной области с неоднородными граничными условиями первого рода Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
100
20
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРВОГО РОДА / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ / СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ / THE INTEGRAL FOURIER / STATIONARY TEMPERATURE FIELDS / NON-UNIFORM FIRST KIND

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ряжских Виктор Иванович, Сумин Виктор Александрович, Богер Андрей Александрович

На основе применения интегрального преобразования Фурье аналитически решена задача о стационарном распределении температурных полей тепловыделяющей жидкости в квадратной области при неоднородных граничных условиях первого рода для кондуктивного режима переноса теплоты.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Ряжских Виктор Иванович, Сумин Виктор Александрович, Богер Андрей Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The temperature field of heat-generating fluid in a square area with a non-uniform first kind boundary conditions

Based on the of the integral Fourier transforms the problem of stationary temperature fields distribution of heat-generating fluid in a square area is analytically solved under non-uniform first kind boundary conditions for the conductive heat transfer mode.

Текст научной работы на тему «Температурное поле тепловыделяющей жидкости в квадратной области с неоднородными граничными условиями первого рода»

УДК 536.25

Профессор В.И. Ряжских, доцент В.А. Сумин, доцент А. А. Богер

(Воронеж. гос. ун-т. инж. технол.) кафедра высшей математики, тел. (473) 255-35-54

Температурное поле тепловыделяющей жидкости в квадратной области с неоднородными граничными условиями первого рода

На основе применения интегрального преобразования Фурье аналитически решена задача о стационарном распределении температурных полей тепловыделяющей жидкости в квадратной области при неоднородных граничных условиях первого рода для кондуктивного режима переноса теплоты.

Based on the of the integral Fourier transforms the problem of stationary temperature fields distribution of heat-generating fluid in a square area is analytically solved under non-uniform first kind boundary conditions for the conductive heat transfer mode.

Ключевые слова: неоднородные граничные условия первого рода, преобразование Фурье, стационарное распределение температурных полей.

В связи с проблемой хранения радиоактивных отходов пристальный интерес исследователей вызывает изучение поведения тепловыделяющих жидкостей в замкнутых объемах при различных граничных условиях на смоченной поверхности [1, 2]. Для решения этой задачи необходимо рассмотрение тепловой обстановки не только в турбулентном и ламинарном режимах, но и в кондуктивном, когда вязкость среды высока из-за присутствия твердой дисперсной фазы. Это дает основание использовать в качестве модельного представления о механизме переноса теплоты только молекулярную теплопроводность [3]. В такой постановке задачи можно идентифицировать структуру температурного поля и определить ряд характеристик, среди которых локализация и величина максимальной температуры имеет наиболее важное прикладное значение.

Рассматривается квадратная область со стороной И, м, содержащая теплопроводную среду с однородной мощностью тепловыделения q, Вт/м3, и известными теплофизическими характеристиками - плотностью р , кг/м3; теплопроводностью Я, Вт/(мК); теплоемкостью ср, Дж/ (кг-К), одна сторона которой поддерживается при температуре г1, К, а остальные -при температуре г0, К. Математическая формулировка задачи в этом случае будет:

© Ряжских В.И., Сумин В.А., Богер А.А., 2012

dt .

pc' = i

г£±+І2'

dx 2 dy 2

+q ;

t(x, h) = ti ;

t(h, y) = t(x,0) =t( y)= tо ;

(1)

(2)

(3)

где т - текущее время, с; г - локальная температура, К.

Пусть для определенности г1 > г0, тогда система (1)—(3) в безразмерном виде такова:

dt 1

дв Pr

2

д2Т д T +

удХ 2 dY2 ,

1

Pr

(4)

T (X ,1) = Т ; (5)

Т (о, Y ) = T (X ,0)= Т (1, Y )= 0; (6)

(ti -1 о .

xy TV

где X = - ; Y = f ; в = —; Тх =

h

h

qh

Pr = -

a - кинематическая вязкость и

теплопроводность среды, м2/с.

Будем рассматривать стационарный случай, тогда система

трансформируется в систему

д 2Т д 2Т

дХ2 дY2

= -i;

Т (X ,1) = Ті ;

(4)-(6)

(7)

(8)

V

V

a

T(0, Y) = T(X,0) = T(1, Y) = 0 .

(9)

Данная задача является задачей Дирихле для эллиптического уравнения в прямоугольнике. Ее решение имеет вид [5]

Ti( X ,Y) = Z

-2

11 sh (цп )

T0 (cos tn - 1)

tn

xsh(t)+ Z 2(C0S1)ich(t) + i-^x

m=1

sht

x sh(/umX)}sin(m Y)+ 0.5Y - 0.5Y2 . (10)

Однако решение задачи (7) - (9) можно получить в другой форме, используя конечное интегральное преобразование.

Применим конечное интегральное синус-преобразование [4] по переменной X:

d TjX -22TX = — (cos 2-1); (11)

dY2 X 2

Tx (0) = 0;

TX(1) = - — (cos2-1),

(12)

(13)

где TX - изображение T; 2 - корни характеристического уравнения sin 2 = 0 . Решение уравнения (11) с граничными условиями (12) -(13) имеет вид

cos 2-1

sh2

.(14)

Используя формулу обращения интегрального синус-преобразования [4], получим

T = 2 Z COsAn -1

n=1 2n

sh[n (1 - y)]

(

1

-----T

22

sh(2nY )

sh2n

2n

где 2n = nn, n = 1, да .

sin(2nX ),

(15)

Для двух методов решения получим следующие графические зависимости для х = 0.5 . Исходя из рис.1 можно заключить, что решение, полученное при помощи конечных интегральных преобразований и методом разделения переменных, одинаково.

Рис. 1. Сравнение профилей температур в срединном сечении области решения

Решение (15) может быть обощено для различных вариантов граничных условий

Т(о, Y) = Т1; Т (1, Y) = Т (X,0) = Т(X,1) = 0 ; (16)

Т(1, Y) = Тх; Т(0, Y) = Т(X,1) = Т(X,0) = 0 ; (17)

Т(X,0) = Т1; Т(0, Y) = Т(X,1) = Т(1, Y) = 0 ; (18)

Т(0, Y) = Т(X,1) = Т1; Т(1, Y) = Т(X,0) = 0 ; (19)

Т(0, Y) = Т(1, Y) = Т1; Т(X,1) = Т(X,0) = 0 ; (20)

Т (0, Y)= Т(X,0)= Т (1, Y) = Т1; Т (X,1) = 0 . (21)

Для граничных условий (16)-(18)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

решения по структуре аналогичны (15), а для граничных условий (19)-(21) решения

получены с использованием принципа суперпозиции в силу линейности задачи:

T = 2 Z

m=1

COs tm - 1

tm

sh(tmX )

2

rm

T1 -

1

sh[m(1 - X)]

sht

tm

Mr/ ) + 2 Z ^2^ x

n=1 2n

sh[n (1 - Y)]

2n

sh2n

T1 --

2n

h(2nY)

sh2n

2n

[sin(2nX); (22)

n

y

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

T = 2 2

m=1

eos — -1

Sh[m (1 - X)]

( 2 Л —2 - T1 V —m

¡h—x)

s—

SÍn(— mY );

(23)

eos— m - 1

m=1 —n.

Sh\—m(1 - X)] _

— - T1

V m J

h—X ]

sh—

—m

srn(—mY)+2 2 x

n=1 Яп

sh(KY)

^n2 .

shXn

T -

sh[ (1 - Y)]

shl„

Я.n

\sin(nX), (24)

где Я и — - корни уравнений sin Я = 0 и sin — = 0 .

Структура температурных полей при различных граничных условиях показана на рис. 2. Видно, что увеличение T приводит к

пропорционально-эквидистантному увеличению значений температур в области решения.

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

Рис. 2. Температурные поля при T = 1, соответствующие решениям (15), (22)-(24)

Анализ рядов, проведенный численно, позволяет сделать вывод о быстрой их сходимости. Например, представленные температурные поля на рис. 2, получены при п = 25, что вполне по точности удовлетворяет инженерной практике. Отметим, что в случае нагрева противоположных сторон, температурное поле имеет структуру “седла”. Таким образом, неоднородность температурного поля определяется неоднородностью граничных условий, которую необходимо учитывать в задачах переноса теплоты в тепловыводящих жидкостях в кондуктивном режиме.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никифоров, А.С. Обезвреживание жидких радиоактивных отходов [Текст] / А. С. Никифоров, В.В. Куличенко, М.И. Жихарев. -М.: Энергостомиздат, 1985. -184 с.

2. Большов, Л.А. Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости [Текст] / Л.А. Большов, П. С. Кондратенко, В.Ф. Стрижов // Успехи физических наук. -2001. -Т. 171. -№ 10. -С. 1051-1070.

3. Лыков, А.В. Тепломассообмен [Текст] : справочник / А.В. Лыков. -М.: Энергия, 1978. -480 с.

4. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука, 1973. -832 с.

5. Беляев, Н.М. Методы теории теплопроводности [Текст] / Н.М. Беляев. В 2 частях. Ч. 1. - М.: Высшая школа, 1982. - 327 с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.