CC BY
63
УДК 536.25
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ТЕСТОВОЙ ЗАДАЧИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ДЛЯ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА
М.И. Слюсарев, Е.Д. Чертов, В.И. Ряжских
Двукратным применением конечного интегрального синус-преобразования получено аналитическое решение задачи о стационарной кондуктивно-ламинарной свободной конвекции ньютоновской жидкости в каверне квадратного сечения при мгновенном изменении температуры боковой стенки и отсутствии тепловых потоков на верхнем и нижнем основаниях
Ключевые слова: свободная конвекция, кондуктивно-ламинарный режим, каверна
Введение. Теоретический аппарат современной вычислительной математики [1] в состоянии дать лишь весьма грубое представление о свойствах методов, предназначенных для проведения вычислительного эксперимента при исследовании свободной конвекции [2, 3]. Поэтому первостепенное значение для сравнения, отбора и совершенствования численных алгоритмов имеют так называемые тестовые задачи. Одним из рекомендуемых тестов [4]
является задача о стационарном плоском конвективном движении вязкой жидкости в квадратной области при однородном подогреве сбоку. Несмотря на то, что существование и единственность решения такого класса задач при определённых условиях доказаны в [5], его аналитического представления не удалось получить до сих пор. Однако рассмотрение данной задачи в рамках кондуктивно-ламинарного режима делает возможным линеаризовать уравнения Обербека-Буссинеска, что значительно упрощает исходную постановку без существенного искажения физического смысла [6].
Формулировка задачи. Так как кондуктивно-ламинарный режим свободной конвекции характеризуется малыми абсолютными значениями скорости среды, то уравнения Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца [7] примут следующий вид:
д2О д2О ^ дТ —2 +-------т — — бг— ;
дХ2 дУ2 дХ
дХ2 дУ2
(1)
(2)
д¥( 0,У) = д¥(1,У) = д¥(Х,0) = д¥(Х,1)
дХ
дХ
дУ
дУ
дТ (Х,0) = дТ (Х, 1)
дУ
дУ
— 0;
— 0; (5)
(6)
Т (0,У ) — 1, Т (1, У ) — 0;
(7)
где Х — х/к , У — у/к ; и — и/м>, V — и/м ;
Т — (ґ—)/(**— *с); р — р/р; и—фф; р — р™2;
м — у/к ; т — к/м; бг — Pgk3 (к — їс )у2; Рг — у/а ; к -длина стороны квадратной области; и , и - компоненты скорости в направлении декартовых координат х и у; р, а, у, в - постоянные плотность, температуропроводность, коэффициенты кинематической вязкости и температурного расширения ньютоновской жидкости; g - ускорение свободного падения; ґс, ґк -температуры "холодной" и "горячей" стенок;
О—— 5и и —9Г V — д¥
— дХ дУ ’ — дУ ’ — дХ '
Из (3), (6), (7) следует, что
Т (Х, У ) — 1 — Х,
поэтому система (1) - (3) трансформируется в уравнение
д4 Ф дХ4
+ 2-
д 2Ф
д4 Ф ,
- +--------т — —1
дХ дУ дУ4
(8)
д Т д Т л —т +—т — 0;
дХ2 дУ2
(3)
¥(0,У) — ¥(1,У) — ¥(Х,0) — ¥(Х,1) — 0 ; (4)
с граничными условиями
ф( 0,у ) — ф(1,у ) — ф(х,0 ) — ф(х,1) — 0, (9)
дФ( 0,У) — дФ(1,У) — дФ(Х,0) — дФ(Х,1)
дХ
дХ
дУ
дУ
- — 0,(10)
Слюсарев Михаил Иванович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 55-35-54
Чертов Евгений Дмитриевич - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-35-54
Ряжских Виктор Иванович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-35-54
где Ф ——¥/ бг.
Следует отметить, что сформулированная задача (8) - (10) аналогична классической задаче теории пластин и оболочек для случая прогиба прямоугольной однородной пластины, защемлённой на
границе, при равномерно распределённой нагрузке [8]. Для её решения используется широкий спектр приближённых методов, таких как, комбинированный метод Канторовича, метод аппроксимации граничных условий, метод Вайнштейна, энергетический метод и др. [9]. В этой связи особо выделяется метод Тимошенко, отправным пунктом которого является решение свободно опертой прямоугольной пластины, на прогибы которой накладываются прогибы пластины, подвергнутой действию распределённых по её краям моментов, причём эти моменты подбираются таким образом, чтобы удовлетворить условию grad Ф = 0 на контуре защемлённой пластинки. Решение получается в виде совокупности рядов с коэффициентами, определяемых из системы, состоящей из бесконечно большого числа линейных уравнений.
Решение задачи. Применяя конечное интегральное синус-преобразование [10] к системе (8) -(10) по переменной X, получим в изображениях
d4 F d2F
—fL - 2X2 IF- + X4Fx -
Л4 JF2 X
dY4
dY2
-X
д2 Ф(1, Y) x д 2Ф(0, Y)'
dX2
dX2
= X(cosX-1) ;(11)
X
Fx (0 ) = Fx (1) = 0; dFx (0) = dFX (1)
dY
dY
= 0,
(12)
(13)
где
1
FX (Y) = j®(X,Y)sin (XX)dX .
152Ф(1, Y) . . 1 д2ф(0, Y) . .
A =f X2 Sin(^)dY ; B = j dX2 sin(^)dY;
0 dX 0 dX
1 d2FX (1) . , 1 d2Fx (0) . ,
C = \~dY^T- sin (^Y )dY; D = sin (Y )dY .
0 0
В силу симметрии задачи A = B = E и C = D = F из (14) следует решение в изображениях
1
-----(cos X -1) (cos f -1) + F (cos f -1) +
Xf
+EX(cosX- 1)]/(X2 +f2)2 . (15)
Переходя в (15) к оригиналу, получим структуру решения в виде
1
ф( ,Y ) = 4¿¿<
XnF,
-(cosX„ - 1)(c:osFm -1) +
+FmFm (cos Fm - 1) + EnXn (cosXn - ^ X
X sin(XnX)sin(FmY)/(Xn + F2m )2 } , (16)
где Хи = пп , цт =тп . Очевидно, что (16) удовлетворяет условиям (9). Константы Еп и Ет подберём так, чтобы выполнялись условия (10)
дФ(у,7) = дФ(Х, у)
дХ _ д?
где у = 0 V1, тогда имеем
• = 0.
¿¿IK,Xn sin(FmY)] = 0, (17)
¿ÉKnFm sin (X nX )] = 0, (18)
причём X находится из характеристического уравнения sin X = 0 .
Вновь применяя конечное интегральное синус-преобразование к системе (11) - (13) по Y, получим в изображениях алгебраическое уравнение
-ц(Сcosц- D) + ц4FY + 2X2ц2FY +X4FY -
-X(cosX-B) = —— (cosX-1)(cosц-1), (14)
Xf
где
Fxy =}Fx (Y)sin(fY)dY ,
причем д находится из характеристического уравнения sinц = 0, а за A, B, C, D обозначены константы:
где
=
F— (cos Xn -1)(cos Fm -1)+ FmFm (cos Fm - 1) +
XnFm
+En Xn (cos X n -!)]/( +Fm )2 = 0.
Уравнения (17) и (18) эквивалентны, поэтому = Кт, Еп = Кп . Меняя суммирование по п и т в (17) получим систему уравнений относительно К
да г / 2
¿ MnmXj(Xn +Fm )
= 0.
(19)
Анализ решения. Система линейных уравнений (19) относительно Кп , причём Кп с чётными номерами равны нулю, решалась методом последовательных приближений для п=59. Значения Кп приведены в таблице, из которой следует, что по
абсолютному значению с возрастанием п значения Кп убывают быстро и фактически в расчётах можно ограничиться гораздо меньшим их числом для обеспечения сходимости. Подстановка решения (16) в уравнение (8) даёт невязку в 2,1 %. Если вычислить максимальное значение Ф при X = ? = 1/2 , то оно
оказывается равным - 1,93 • 10-4, что отличается ме-
n K n K
1 -3Д09Т0-2 31 6,663-10-8
3 -3,370-10-5 33 4,665-10-8
5 8,679-10-5 35 4,812-10-8
7 3,600-10-5 37 5,281-10-8
9 1,543-10-5 39 5,490-10-8
11 7Д76Д0-6 41 5,995-10-8
13 3,570-10-6 43 6,530-10-8
15 1,871-10-6 45 5,920-10-8
17 1,020-10-6 47 7Д03Д0-8
19 5,777-10-7 49 6Д14Д0-8
21 3,345-10-7 51 8,031-10-8
23 2,043-10-7 53 7,282-10-8
25 1,303-10-7 55 7,837-10-8
27 8,895-10-7 57 8,060-10-8
29 6,629-10-7 59 7,866-10-8
y
g7 oi
y
нее чем на порядок, если использовать приближённые решения по методам Тимошенко и Канторовича соответственно 1,26 -10-3 и 1,29 -10-3. На рис. 1 приведены поля функции тока и её профиль в срединном сечении квадратной области, которые дают представление о структуре течения и оказываются эквидистантными по вг. Соответствующее поле скоростей показано на рис. 2, отвечающее физическому смыслу решённой задачи [4].
10.
Рис. 2. Поле скоростей в квадратной области
Литература
Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т.1:пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 384 с.
Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. - Мн.: Университетское, 1988.-167 с.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с. Davis G. De V. Natural convection of air in a square cavity: a bench mark numerical solution // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 1983. V. 3, p. 249-264. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973. - 408 с.
Lee K-T. Laminar natural convection heat and mass transfer in vertical rectangular ducts. // Int. J/ of Heat and Mass Transfer. - 1999. - V. 42. p. 4523-4534.
Latif M. Jiji. Heat Convection. - Springer, 2006. - 443 pp.
Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. - М.: Наука, 1982. - 567 с.
Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966. - 636.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований в 2-х т. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. - М.: Наука, 1969. - 344.
Рис. 1. Поле функции тока (а) и его профиль в срединном сечении (б) квадратной области
Воронежская государственная технологическая академия
ANALYTICAL SOLUTION OF THE CONDUCTIVE-LAMINAR FREE CONVECTION FIRST TEST PROBLEM
M.I. Slyusarev, E.D. Chertov, V.I. Ryazhskih
By using a double finite integral sine Fourier transform an analytical solution of the steady-state conductive-laminar free convection problem for Newtonian fluid in a cavity of square cross-section is found at constant temperatures of the side walls and the absence of heat flux on the upper and lower boundaries of the region
Key words: free convection, conductive-laminar regime, rectangle area
