CC BY
33
УДК 536.25
СТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ КОМБИНИРОВАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА В.И. Ряжских, В.А. Сумин, А.А. Богер, М.И. Слюсарев
Получены аналитические решения задач распределения стационарных температурных полей в квадратной области при различной комбинации граничных условий первого рода
Ключевые слова: граничные условия первого рода, квадратная область, аналитическое решение
Введение. При анализе внутренних задач теп-ломассобмена в некоторых случаях возможен переход от сопряженной постановки к несопряженной, что существенно упрощает получение их решения [1]. Такая ситуация встречается, например, при исследовании кондуктивно-ламинарной свободной конвекции [2, 3], что позволяет вначале идентифицировать температурное поле, а затем осуществить нахождение поля скоростей. Таким образом, тепловая задача, по-существу, сводится к задаче теплопроводности в различных геометрических областях. В частности, для прямоугольной области, задача теплопроводности решена в [4]. Однако отсутствует обобщение этого решения на случай комбинированных граничных условий первого рода, которое можно получить с помощью линейной суперпозиции температурных полей, что демонстрируется на примере квадратной области со стороной к , три стороны которой поддерживаются при температуре /0, а четвертая при температуре /1.
Постановка задачи. Пусть количество теплоты, выделяемое внутренними источниками д = 0 , тогда уравнение теплопроводности и граничные условия формулируются следующим образом:
дх2 дУ2
/ (0; к) = /1;
/ (к; у) = / (х; 0) = / (х; к) = /о,
(1)
(2)
(3)
где /0, /1 - температуры стенок; р, Ср, X - плотность, удельная теплоемкость, теплопроводность среды; т - время.
Ряжских Виктор Иванович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732)55-35-54
Сумин Виктор Александрович - ВГТА, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (4732)55-35-54
Богер Андрей Александрович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732)55-35-54
Слюсарев Михаил Иванович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732)55-35-54
Стационарная постановка задачи (1) - (3) в безразмерных переменных приобретает вид:
д2Т д2Г
дХ2 дУ2
= 0;
Т (0;У ) = 1;
Т (1;У ) = Т (X ;0) = Т (X ;1) = 0
(4)
(5)
(6)
где X = -, У = у, е = Т, Т =
к к т /1 - /0
кинематическая вязкость. Применим преобразование Фурье
д2Т"
т = — , где V -
V
дУ2 д2 Т
= Шг5Ь (ЦУ )СУ =
СУ = Ш; и = —
дУ2 дУ
бш (У) = V; ё¥ = ц 008 (У)
_дг дУ ’
1 дТ
-ц{—сое (цу )СУ =
= -ц{ сое (цу )СУ =
дТ
дУ'
СУ = ёи; и = Т
= -Ц
соб(цУ) = V; dV = -цбш(цУ) [Т -соб (цУ )]|0 +ц| Т бш (цУ )СУ
= -ц
Т (1)соб ц-Т (0)соб0 + ц| Т бш (цУ )СУ
= -ц[цТу ] = -ц2ТУ . Таким образом, получим
"д 2Т"
д 2Т
аХ7
дУ2
= -ц2Т ;
дХ
1 11 [1] = /1 • (цУ)СУ = —соб(цУ)0 =-(собц- 1).
2
к
Изображение системы (4) - (6) в результате применения конечного интегрального синус-
преобразования таково
д TY
дX'■
--Ц2ТГ = 0;
1
Ту (0) = —(cos ц-1); Ц
Ту (1) = 0,
(7)
(S)
(9)
где д - корни уравнения sin ц = 0 . Решение (7) - (9)
Т =-
Lr
cos ц-1 ц-sh ц
sh [ц( - X) .
(l0)
Оригинал (l0) имеет вид: coS Цm - 1
sh[Цm (1 -X) sin(цтГ). (11)
Аналогичным образом получаются решения уравнения (4) с граничными условиями:
Т(X ,1) = 1, Т (X;1) = Т (1; У) = Т (X;0) = 0 ;
Т(1,У) = 1, Т(0;У) = Т(X;1) = Т(X;0) = 0 ;
Т(X,0) = 1, Т(0;У) = Т(X;1) = Т(1;У) = 0 , которые запишутся следующим образом
Т = -2| ^ Л 1 sh(Y)sin(XnX), (15)
l Xn-shX_
coS Цm - 1
T = -2]
1 Цm • Sh Ц, cos X„ -1
Sh ^mX )Sin ^mY ); (l6)
l X„ -shX
sh[Xn (1 - Y) sin(XX). (17)
n n
Учитывая линейность исходного уравнения, и применяя принцип линейной суперпозиции, получим его решения при граничных условиях
Т (0;У ) = Т (X ;1) = 1; Т (1;У ) = Т (X ;0) = 0; (18)
Т (0;У ) = Т (1;У ) = 1; Т (X ;1) = Т (X ;0) = 0; (19)
Т (0;У ) = Т (X ;0) = Т (1;У ) = 1; Т (X ;1) = 0. (20)
соответственно
' cos ^ -1 1 Цm •sh Цm
Т = -2|
Sh [Цm (1 - X)) Sin (m^)-
- 2I sh (X nY )sin (X nX);
(2l)
(l2) Т = -2|-
(l3) m=l 1 Т = -2Ї-
(l4) il 8Wl 2 -
n-І X n • Sh X n
coS Цm-lLu/..
1=1 г m г m
cos Ц-m -1 (
Цm • & M^m
coSXn-l s Xn 'sh Xn^
(23)
n
n
m=
Температурные поля рассчитаны по формулам: а - (11); б - (18); в - (19); г - (20)
Литература
1. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явление переноса. - М.: Химия, 1974. - 688с.
2. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло и массообо-мен. В 2-х книгах, кн.1. - М.: Мир, 1991. - 678с.
3. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Богер А.А., Рябов С. В. Динамика ламинарного свободно-кондуктивного течения ньютоновской жидкости между плоскими вертикальными изотермическими стенками // Инженернофизический журнал. - 2009. Т. 82. - №6. - с.1141-1148.
4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, - 1967. 598с.
Воронежская государственная технологическая академия
STATIONARY TEMPERATURE FIELD IN A SQUARE REGION AT FIRST KIND COMBINED BOUNDARY CONDITIONS. V.I. Ryazhskih, V.A. Sumin, A.A. Boger, M.I. Slyusarev
The analytical solution of stationary temperature fields distribution problems in a square region at different combinations of first kind boundary conditions are obtained
Key words: first kind boundary conditions, square area, analytical solution
Анализ. Характерные поля температур представлены на рисунке, анализ которых показывает, что полученные решения физически корректно описывают их структуру.
Выполнено при финансовой поддержке РФФИ по гранту № 10-08-00120-а.
