Течение весомой водяной пленки на затупленном плоском или осесимметричном теле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXV 1994 №1-2

УДК 532.58

ТЕЧЕНИЕ ВЕСОМОЙ ВОДЯНОЙ ПЛЕНКИ НА ЗАТУПЛЕННОМ ПЛОСКОМ ИЛИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ТЕЛЕ

М. С. Бузук, Ю. Н. Ермак

Проводится теоретическое исследование течения водяной пленки, образованной дождем на сферической и цилиндрической поверхностях.

Рассмотрение ведется в рамках ньютоновской модели обтекания затупленных тел.

Изучены влияние весомости жидкости и ее вязкости на толщину пленки и положения точек отрыва жидкой пленки от поверхности.

1. Основные оценки. При решении некоторых инженерных задач определенный интерес представляет знание ТОЛЩИНЫ ВОДЯНОЙ пленки на поверхности кровли строений сферической или цилиндрической формы во время дождя. Рассматривая реальный дождь, вряд ли можно получить решение этой задачи в рамках механики сплошной среды. Поэтому имеет смысл ввести определенную модель дождя. Будем считать, что падающие капельки воды заменяются равномерным потоком со значениями р0У0 — расхода, р0 — плотности (влашсодер-жания). Этот поток обтекает некое тупое тело. При этом течение в водяной пленке эквивалентно течению сжатого газа за скачком уплотнения. Форма скачка уплотнения совпадает с формой водяной пленки. Является важным тот факт, что на течение воды существенное воздействие оказывает сила тяжести.

Отношение влагосодержания в дожде ро = 0,01-0,1 кг/м3 к плотности воды р! = 1000 кг/ м3 является «малой» величиной и позволяет считать пленку тонкой. Это, в свою очередь, дает возможность ввести еще ряд допущений [1], необходимых для решения задачи, а именно:

— считается, что течение воды по поверхности тела состоит из большого числа независимых элементарных слоев, в каждом из которых движется только та жидкость, которая вошла в пленку в некоторой точке;

— между этой точкой входа и исследуемой точкой жидкость движется вдоль некоторой линии тока, совпадающей (из-за малой толщины пленки) в первом приближении с формой тела;

— кроме того, предполагается, что частица жидкости, входя в пленку, сохраняет только свою тангенциальную компоненту скорости, а нормальная равна нулю.

Исходя из этих посылок, можно оценить толщину водяной пленки, относительное влияние в ней сил вязкости и прийти к выводу о вязком характере течения. Для пленки воды толщиной 5 имеем 5/Я = Po/pi,

где R — радиус сферы (цилиндра), 5/R = КГ4 - 10-5. Для вязкого пограничного слоя в первом приближении 8/R = Re-1,/2, где Re = р^Л/ц =

= 106 -108, т. е. толщина пограничного слоя сравнима с толщиной пленки.

Ниже приводится решение сформулированной задачи: определение толщины вязкой водяной пленки, образующейся во время дождя на сфере и цилиндре, с учетом действия силы тяжести.

2. Соотношения на поверхности пленки. Обозначим Ф — угол между поверхностью водяной пленки и направлением набегающего потока VQ (рис. 1). Пусть заданы параметры потока Vq, Ро, Ро- В л пленке вода имеет тангенциальную и нормальную составляющие скорости Vl — и и v соответственно плотность pi и давление р1. Для нормальной к поверхности пленки компоненты выполняются соотношения сохранения потока массы, импульса.

Тангенциальная компонента непрерывна. Исходя из этого, можно записать следующую систему уравнений [1]:

PqVq sin Ф = Pxv;

Ро + PoVo sin2 ф ~ А + Pi"2;

Vq cos Ф = и.

(1)

В рассматриваемой задаче р0 = 1 атм. Отношение е = Р0/Р1 мало. Тогда (1) примет вид

-Я- = е sin Ф;

г Л

■Si—PS. = (1 - е) sin2 Ф; РО*о

у = СОвФ.

(2)

is

3. Уравнения движения. Для описания движения жидкости введем стандартные координаты, которые используются в теории пограничного слоя (см. рис. 1). Тогда уравнения продольного и поперечного импульсов примут вид [2]

где и и v — соответственно тангенциальная и нормальная составляющие скорости, а ае — кривизна линий у = const.

Распространяя соотношение (2) на все течение (это можно делать, так как толщина пленки мала), получим следующие асимптотические разложения:

где есть радиус кривизны поверхности в критической точке, а функции со штрихом являются, по существу, безразмерными зависимыми переменными, каждая из которых имеет порядок 0(1).

выполним предельный переход є —у 0, Re -» оо. Причем будем считать,

порядка Д = 0(1) и что В: = 0(1). Вместе с уравнением неразрывности полученные уравнения образуют систему, описывающую движение пленки (штрихи опущены):

рмё + ^++ Риыае = ~ Л+p«cos® + х

(3)

1+уэе дх (1+J*)2 дх (1 + уае)2 дх дху

\

2ае ди . и дае У dae dv

1_____v-І -Ч -ч -

x = x’R0, у = ey'R0, Pi~Po = PiPoV*+..., р = р0/є+..., и = U'Vq+..., v = bv'V0+...,

(4)

Введем, кроме этих функций, безразмерные параметры: Fr =

V2

yQ

число Фруда, Re = р^0 — число Рейнольдса и, подставив (4) в (3),

что образующийся при подстановке член вида Д = 1/(е^е) остается

ди ди + U-5-

ди А а2и . cosO. ду ду2 Fr ’

где у = 0 в плоском случае и 7 = 1 в случае осесимметричного течения, г — расстояние от рассматриваемой точки в течении жидкости до оси симметрии. Угол Ф между поверхностью водяной пленки и направлением набегающего потока (см. рис. 1) равен

Ф = агс + Р(е)

или для сферы и цилиндра

Ф = -у - х + О(е).

4. Невязкое течение. Необходимо отметить, что если в системе (5) положить А = 0, то получим случай невязкого течения или течений, в котором толщина вязкого подслоя много меньше толщины всей пленки. В этом случае ряд соотношений можно получить прямым интегрированием. Нобходимо на основании уравнения неразрывности ввести функцию тока у:

Эи/ /

|* = +риг'.

(6)

В то же время, считая у = 0 на линии симметрии, для плоского и осесимметричного случаев имеем соответственно:

V = ро^(л; у = о,5р0к0г2,

(7)

где индекс 5 означает, что расстояние г берется для точки пересечения линии тока и поверхности водяной пленки (для точки входа). Таким образом, функция тока у является функцией одной переменной — х-координаты точки входа. Чтобы не путать ее с обычной текущей координатой х, обозначим х-координату точки входа % . Система уравнений движения примет вид:

ди

дх

аги

ди 8ІПХ . Иг ’

соах.

ду др\

ду

Граничные условия:

+ = °> г = віпг* = 8ІП^

(8)

и = 0, при у = 0; и = віпі, у = 5(х);

Рі = сое2 у = 5(х).

(9)

Совершая переход от (х, у) координат к (х, у) и интегрируя первое уравнение системы (6) с учетом (7), (8) и граничных условий, получим

/

— значение продольной скорости и в любой точке течения. Или в декартовых координатах для тела, отличного от сферы:

и = ^соб2 Ф, + ~Яр~Я) • (11)

Интегрируя второе уравнение системы (6), получим давление на линии тока с точкой входа % в точке х :

А = со%гх- |£ш^£08Х(81п^)У^. (12)

$

Приравнивая (12) к нулю и полагая % = 0 — давление вдоль нулевой линии тока, получим уравнение для х, решение которого даст значения точек отрыва пленки в зависимости от числа Бг (рис. 2). При стремлении Бг -> оо координата точки отрыва стремится к значениям, приведенным в [1]: 54°44' для цилиндра и 60° для сферы.

Рис. 2. Положение точки отрыва в зависимости от числа Бг для невязкого течения пленки

Наконец, интегрируя второе уравнение (6), получим

Ч»5

Г=\-^7 (13)

•» риг;

О н 1

— уравнение \|/5 — линии тока и соответственно уравнение толщины водяной пленки:

«-1^--к*/*- <м>

0 0 о

Для сферы интеграл (12) можно взять аналитически и использовать для инженерных оценок формулу

агсвт

¥

‘'К

^___2сР5Х

Бг2 Рт

агсвш

(15)

Формулы (13), (14) справедливы всюду за исключением критической точки, где имеет место сингулярность, для раскрытия которой необходимо уточнить решение в окрестности критической точки. Это можно сделать, применяя координатное разложение для искомых функций и осуществляя предельный переход X -+ 0 [3, 4]. Для толщины пленки в критической точке получены следующие результаты. Для цилиндра:

50 * еЛ 1п

/бг +1, (/ЁГ+Т, Г

\ Бг е V Иг 2'

' (¥г + Т 1 V Рг +2

(16)

Для сферы:

50 -

(17)

Если устремить Рг -> оо в (15) и (17), то получатся оценки, совпадающие с аналогичными оценками для обтекания этих тел в рамках ньютоновской модели [1]:

для сферы. Полученные

^ « е 1п | — для цилиндра и = е —

решения приведены на рис. 3, 4.

5. Вязкое течение. Система (5) является системой уравнений в частных производных параболического типа и требует численного решения. В качестве граничных условий на внешней у = 8(дг) границе будем использовать соотношения (2), в которых предварительно выполним предельный переход 6 -> 0, аналогичный описанному выше, а в качестве граничных условий на внутренней границе у = О — условия непротекания и прилипания на поверхности тела. Таким образом, граничные условия для системы (5) будут выглядеть так:

при у = 5(х): и = совФ; ру = вт2 Ф;| при у = 0: и = 0; V = 0. I

(18)

Необходимо отметить, что введена новая функция, используемая в (18), — 8(х). По существу, 8(х) и является искомой функцией — толщиной пленки вдоль поверхности. Для того чтобы замкнуть систему (5), нам необходимо, во-первых, знать начальные условия, во-вторых,

Рис. 3. Толщина водяной плвнки ка

цилиндре для невязкого течения: Рис. 4. Толщина водяной пленки на 1 - Кг - 0,1; 2 - Ег = 1,0; 3 - Рг - 5,0; сфере для невязкого течения: Обозна-4 - Бг = 20,0; 5 - Иг = 50,0 чения кривых те же, что на рис. 3

требуется ввести связь на 8(х). Начальные условия получим посредством координатного разложения в окрестности критической точки. Что касается связи, то проще всего ввести интегральную связь из условия сохранения массы. Выглядеть она будет так: ,

8(Х) х

| = (19)

о о

б. Окрестность критической точки. Используем координатные разложения функций в окрестности критической точки, считая х достаточно малым [3, 4]:

и = х11(у)+... о = К(у)+...

Р\ ='Л(у)“Л(у)*2+—

эе = ае0+... совФ = веоДС+...

• л 1 «о*2

81ПФ = 1-----^—+...

Здесь ее0 = —— кривизна поверхности тела в окрестности критике

ческой точки. Подставим это разложение в (5) и получим

Фг _ 1 .

6у Рг ’

(у+1)^ + 4^ = о, у = 1,0.

Для полученной системы дифференциальных уравнений координатное разложение выражений (18) даст граничные условия. Кроме того, интегральная связь (19) превратится в еще одно условие на внешней границе. Поэтому граничные условия для системы (20) будут выглядеть следующим образом:

где последнее условие является связью, которая позволит найти неизвестную константу 50. Для численного решения было бы удобно деформировать координаты следующие образом: у' = у/8. Функции давления Р2,Рз могут быть получены прямым интегрированием второго и третьего уравнений системы (20) с использованием граничных условий (21). Для нахождения функций V, V и константы 50 необходимо численное решение системы, состоящей из первого и последнего уравнений системы (20) и соответствующих граничных условий и связей. Полученное для системы (20) решение будет служить начальным условием для системы (5).

7. Численное решение. Прежде чем приступить к численному решению непосредственно системы (5), имеет смысл провести растяжение координат, аналогичное проведенному в п. 6: у' = При рас-

(21)

2

О

10° 20'

30° 40° х О

20° *0° 60° х

Цилиндр

Сфера

Рис. 5. Давление р\(х) на поверхности тел

Рис. 6. Толщина водяной пленки на цилиндре для вязкого течения:

1 - Fr = 0,1; 2 - Fr = 0,5; 3-Fr = 2,5;

4 - Fr = 6,0; 5 - Fr = 9,0 ,

чете необходимо проводить контроль за реализацией безотрывного течения пленки. Критерием возникновения отрыва служат условия:

при у' = 0: либо р = 0.

Определение точного значения точек отрыва не проводилось, однако установлено, что в обоих случаях, как в плоском* так и в осесимметричном, определяющим для отрыва является второй критерий (см. рис. 5). Результаты численного решения приведены на рис. 6, 7.

Авторы признательны П. Е. Бабикову, любезно предоставившему библиотеку программ для численного решения дифференциальных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фримен Н. К теории гиперзвукового потока, обтекающего плоские и аксиально-симметричные тела. // J. Fluid Mech.—1956. Vol. 1, pt. 4.

2. Wygnanski I. J., Champagne F. H. The laminar wall-jet over a curved surface // J. Fluid Mech.—1968. Vol. 31, pt. 3.

3. Ермак Ю. H., Нейланд В. Я. Влияние вязкости на отход ударной волны при обтекании цилиндра гиперзвуковым потоком // Ученые записки ЦАГИ.-1971. Т. 8, № 6.

4. Ермак Ю. Н., Нейланд В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР, МЖГ.-1967, Ns 6.

Рис. 7. Толщина водяной пленки на сфере для вязкого течения: Обозначения кривых те же, что на рис. 6

Рукопись поступила 15/V1991 г.