CC BY
24
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXI 1990
№ 2
УДК 532.526.011.6 : 533.694.71/.72
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЗАКРУЧЕННОЙ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА В НАБЕГАЮЩЕМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА
П. Е. Бабиков, Ю. Н. Ермак, Д. В. Янишевский
Настоящая работа посвящена численному исследованию течения жидкой испаряющейся пленки на поверхности центробежной форсунки в сверхзвуковом потоке вязкого газа. Выделены соответствущие области течения. Поставлены краевые задачи. Даны параметры подобия. Выполнено численное решение поставленной композитной задачи.
Рассмотрим безотрывное вращательно-поступательное течение вязкой жидкости на внешней затупленной поверхности центробежной форсунки, обтекаемой осесимметричным сверхзвуковым потоком вязкого газа (рис. 1). Очень важным является обеспечение безотрывного обтекания поверхности форсунки жидкой пленкой. Вопросы, касающиеся условий безотрывного обтекания пленки жидкости рассмотрены в работах [1, 2]. В дальнейшем будем считать, что эти условия выполнены. Пусть и, V — составляющие вектора скорости вдоль осей х и у соответственно, где х — координата вдоль поверхности тела, у — отсчитывается по нормали к поверхности тела; т — азимутальная составляющая скорости; Я0 — радиус затупления форсунки; б — характерная толщина пленки; р — плотность; р — давление; Т — статическая температура; Я — полная энтальпия; с — концентрация; |я — коэффициент вязкости; к. — коэффициент теплопроводности; ср — коэффициент теплоемкости при постоянном давлении. Подстро-чечный индекс £ соответствует газовой фазе, I — жидкой, подстрочечным индексом «о» обозначены характерные значения переменных задачи.
Будем предполагать, что числа Рейнольдса Reg и Re;, подсчитанные по характерным значениям, велики и одного порядка. Тогда в окрестности поверхности тела можно выделить следующие области течения. В начальной области (область I) в окрестности поверхности разрыва в газе и жидкости развивается зона смешения, в которой происходит испарение жидкости. На поверхности тела на дне жидкой пленки развивается пристеночный пограничный слой. Между этим пограничным слоем и слоем смешения располагается область невязкого течения. Ниже по потоку на больших характерных длинах все невязкое течение в пленке поглощается пограничным слоем и, таким образом, течение жидкости в пленке становится полностью вязким. На внешней границе контактной поверхности располагается газовый пограничный слой. Эта характерная область течения обозначается областью II. В пределах этой области происходит полное испарение пленки жидкости.
Между ударной волной и газовым пограничным слоем располагается невязкое течение в ударном слое. Будем считать, что всегда толщина пленки много меньше толщины ударного слоя и пренебрегать ее влиянием на невязкое течение в ударном слое.
Основными уравнениями, описывающими такое течение, являются уравнения Навье — Стокса. Задачей данной работы являлось численное исследование течения в области II. Введем следующие координаты и асимптотические разложения:
Если данные соотношения подставить в полные уравнения Навье — Стокса и выполнить предельный переход Ке(, й->-оо, можно получить следующие системы уравнений (черточки сверху опущены): для течения в газовой фазе
w = u0w + ... ; р = р0р + ... ; Р = Ро Р +••• ’> Т — Т0 Т -f-... ;
Н— Н0 Н ; с — с0-\-
[А — [А0 t*» ^ — К Ь , Ср Ср0 Ср •
для течения в жидкой фазе
d(urr) d(vrr)
дх ду
дщ Л"- ",2
f'l U‘T* + V
dui^w^ дг\_______/ ро \dPi д ! даЛ,
1 ду г дх) \Ро«о/ dx дУ \1 дУ/ ’
/ dwi dwi щ W[ дг \ д ! dwi
Р1 \ г дх “°1 ду г дх) = ду
ду \п ду] ’
+
2 / dw^2
ду
Условия на поверхности раздела выставляются в соответствии с работой [3]
dug dui
A ug + ^ -щ = A ut + ji, ;
dwe dwi
Aw* + *g-5j- = Awi + *i-S}\
*-5 (*,£')-
«О * ' \ 2 ) ' V- о
вд4//| + л(^.иА^(Л1ф
, “о I 2 / “о V ^
/>*=/><;
(р1лЛ(1_с)=_^
Здесь г — расстояние от оси симметрии тела, с — концентрация испаряющегося вещества; Рг — число Прандтля; Бс — число Шмидта; (рУп)г — массовая скорость испарения жидкости.
Условия на поверхности тела:
V = 0 ; и = V — та — 0 , Т = 7’™ или — = 0.
ду
Внешние краевые условия:
у ->оо и -+ ие, а> 0, Т -*■ Те. с -> 0 ,
где ы; и Тг считаются известными из решения задачи о невязком обтекании тела.
Начальные условия для систем уравнений находятся сращиванием асимптотических разложений в области II с асимптотическими разложениями в области I (подстрочечный индекс I соответствует значениям в области I, II — в области II):
«п в (Уп, *п -»• 0) =» «I г (^1, х, оо) ; ти(Уп, Хц -» 0) = И>1 е (уь Х\ -»оо) ;
g (Уп, -» 0) = С\ ^ (у,, *1 ->-оо) ; Ни е (уп, Хц ~*0) = Н1е (уи Х\ ->оо) ;
«III (Уп, *и -> 0) = Ии (у1, Х{ -*-оо) ;
I (Уи, Хи 0) = тю\ I (уь Х\ -*оо) ; 7-ц I (Уи, *п -»■ 0) = Т\ I (у\, XI ->оо) .
Краевая задача дополняется зависимостями ц(Т), 6(7) и термодинамическими соотношениями.
Система уравнений для течения в жидкой фазе имеет седьмой порядок, система уравнений, описывающая течение в газовой фазе — девятый; кроме того, неизвестным является положение границы раздела. Таким образом, для корректности постановки задачи необходимо поставить семнадцать граничных условий. К имеющимся условиям (4 — на стенке, 4 — при у оо, 5—на границе раздела) ставятся дополнительные условия на границе раздела:
определяющаяся формулой Кнудсена — Ленгмюра, взятая из работы [4], где — универсальная газовая постоянная; а — коэффициент аккомодации; Тг — температура на границе раздела; р\ — давление насыщенных паров при температуре Т»; ЛГ, — молекулярная масса испаряющегося вещества; р* — давление паров испаряющегося вещества над поверхностью.
Следует отметить, что точка на поверхности форсунки, где выставлялись стартовые профили неизвестных функций, вполне могла находиться в области I, т. е. по существу решалась композитная задача.
Параметрами подобия задачи являются величины:
Ре
число Эйлера Ей —^ ;
а также р" (Г), а, Бс, Ье, Рг, с.
Здесь иао — скорость набегающего потока; 1/0—характерная скорость слоя жидкости; Ар = ре — рш, где ре — характерное давление на внешней границе струи, р№ — давление на поверхности тела, Ье — число Льюиса. Характерные величины задачи:
Штрихами обозначены значения соответствующих величин для потока газа в точке торможения.
массовая скорость испарения с поверхности,
отношения
5 1 Ь А р и0 №0 и0
п и — — -(-£?-) if - £± — fp'° V.
g дх V Ро“о / dx> Ps \?е) ’
' , - A
pg =/>0 COS- X ; Cpo 7o= cp T, + -^>
2 ' rrt ^oo ' 2 ' Л)
где Cpo i 0 — , /?o — poo Иоо ; po = ,.
J HIo
Согласно работе [4] pi = cpl—, где M, — молекулярная масса
Mi
1
набегающего потока; с^ = (1 —с) cpi-j- с-ср 2; д _ с----- , где
!*1 И 2
индексом 1 обозначены соответствующие значения для набегающего газа, индексом 2 — для паров охладителя.
Ввиду того, что положение границы раздела неизвестно, проведено следующее преобразование координат:
у
для жидкой фазы X = х, Y = ^ ;
у
для газовой фазы X = х, Y= ---------+ 0,5 ,
2утах
где утаХ — характерное значение толщины газового пограничного слоя.
Таким образом, Y е [0, 1], а условия сшивки выставляются при У=0,5.
Задача решалась с помощью программы, которая предусматривала решение одной системы дифференциальных уравнений параболического типа. Производные по нормали вычислялись по схеме Келлера второго порядка точности, маршевые производные вычислялись по неявной схеме Эйлера первого порядка точности. Линия раздела «жидкость — газ» «раздвигалась» и условия сшивки двух систем уравнений выставлялись не в одной, а в двух точках, отстоящих одна от другой на некоторый малый интервал h.
Расчет производился с использованием данных работы [5], для следующих значений: Re«»= 1,2-104, ср0 = 4200 Дж/кг-град.; Т0 =
= 4800 К, [Ао=10-4 Па.с; Sc = 0,5; Ье = 1;[*г—Г0-76; *=1,4. В качестве охладителя рассматривалась вода. Для воды и ее паров предполагалось:
[хг = 5, Ргг = 2, сР[ = 1; р{= Ю5; Ср2= 1,5875,
/»"-2.
Коэффициент аккомодации а в формуле Кнудсена — Ленгмюра считался равным 0,9.
Скоростной напор воды на выходе из отверстия превышал давление воздуха в точке торможения в 1,7 и 30 раз. Величина азимутальной составляющей скорости при этом превышала величину продольной составляющей в пять раз. Кроме того, в первом случае, что соответствовало расходу 0,008 кг/с, варьировалась величина закрутки. Величина начальной азимутальной составляющей скорости пленки составляла
Рис. З
0,1; 4; 8 от величины Ио;=10~3 начальной продольной составляющей скорости пленки охладителя.
На рис. 2—5 показаны изменения б, и, хю, Т на границе раздела «жидкость — газ» и Тт—на стенке по мере увеличения продольной координаты. На каждом рисунке кривая а) соответствует решению с начальными данными г=0,001, и)0 г=0,1 -ы0г; кривая б) иог = 0,001г ш)01 = 4-и01; кривая в) — иог=0,001, Шог=8-Иог; г) — щ г = 0,045, ш)01 — 5-и01. При достаточно большом начальном полном импульсе потока охладителя влияние внешнего потока газа преобладает над влиянием стенки и происходит разгон потока. Полный импульс потока жидкой пленки увеличивается, возрастает и величина азимутальной составляющей скорости. Далее, по мере нарастания газового пограничнго слоя, уменьшается касательное трение на границе раздела и усиливается влияние стенки, которое тормозит поток, что приводит к росту толщины пленки. Причем закрутка ведет к более интенсивному испарению, росту газового пограничного слоя, и, следовательно, скорость пленки падает быстрее. Рассмотрим элементарный объем в пленке жидкости. При одном и том же заданном расходе, но при большей азимутальной составляющей скорости этот объем сделает большее количество витков и подвергнется большему тепловому воздействию набегающего потока. Поэтому температура пленки будет выше.
На рис. 4, 5 указаны точки 7\ и Т2, соответствующие температуре кипения воды при местном внешнем давлении. Они взяты из работы [5]. Как видно из положения этих точек, вода не закипит по крайней мере до х = 0,68 во всех вариантах расчета. Следует заметить, что при решении данной задачи не учитывались такие наблюдаемые на практике эффекты, как образование волн на поверхности пленки и капельный унос охладителя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ермак Ю. Н. Гидродинамика центробежной форсунки.— Инж.-физ. журнал, т. 1, 1986, № 1.
2. Е р м а к Ю. Н. К асимптотической теории эффекта Коанда. ■— Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 1.
3. Ч е р н ы й Г. Г. Ламинарные движения газа и жидкости в пограничном слое с поверхностью разрыва. — Изв. АН СССР, ОТН, 1954, № 12.
4. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита. •—М.: Энергия, 1976.
5. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. — М.: Наука, 1963.
Рукопись поступила 21/11 1989 г..
4—«Ученые записки» № 2
