Т-неприводимые расширения для сверхстройных деревьев Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т.15, вып.3

НАУЧНЫЙ

ОТДЕЛ

ИНФОРМАТИКА

УДК 519.17

Т-НЕПРИВОДИМЫЕ РАСШИРЕНИЯ ДЛЯ СВЕРХСТРОЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

Д. Ю. Осипов

Осипов Дмитрий Юрьевич, аспирант кафедры теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Рассматривается один из способов построения оптимального расширения графа — Т-неприводимое расширение (ТНР). До сих пор остается нерешенной следующая задача: построить одно из ТНР для произвольного сверхстройного дерева. Данная задача была решена С. Г. Курносовой для подкласса сверхстройных деревьев -- пальм. Для несложных сверхстройных деревьев данная задача была решена М. Б. Абросимовым. Приводится контрпример для схемы из статьи Харари и Хурума «One node fault tolerance for caterpillars and starlike trees», которая описывает построение одного ТНР для произвольного сверхстройного дерева. Приводится схема построения ТНР для сложных сверхстройных деревьев с числом вершин k ^ 4 и доказывается её корректность. Рассматриваются различные семейства сложных сверхстройных деревьев с k = 3 и строится ТНР для каждого из семейств.

Ключевые слова: граф, Т-неприводимое расширение, сверхстройные деревья, сложные сверхстройные деревья, несложные сверхстройные деревья.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-330-339

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Все понятия и определения, используемые в данной статье, соответствуют понятиям и определениям в [1].

Определение 1. Расширением n-вершинного графа G называется граф H с n + 1 вершинами такой, что граф G вкладывается в каждый максимальный подграф графа H.

Простейшим примером расширения графа G будет его тривиальное расширение — соединение графа G с одноэлементным графом (т. е. к графу G добавляется вершина, которая соединяется ребром с каждой вершиной графа G).

Понятие расширения графа тесно связано с вопросами отказоустойчивости дискретных систем. Если граф G рассматривать как функциональную модель некоторого устройства £, то расширение H графа G можно воспринимать как схему отказоустойчивой реализации этого устройства: при отказе любого элемента (что истолковывается как удаление из H соответствующей вершины и всех связанных с нею ребер) в неповрежденной части обнаруживается работоспособная модель для £.

При таком подходе естественно возникает вопрос об оптимальности отказоустойчивой реализации для данной системы, т. е. о получении такого расширения H графа G, которое не содержало бы «лишних» ребер. Один из способов — конструкция минимального расширения графа, другой — его Т-неприводимое расширение.

© Осипов Д. Ю., 2015

Д. Ю. Осипов. Т-неприводимые расширения для сверхстройных деревьев

Определение 2. Минимальным расширением графа G называется его расширение с минимальным количеством ребер,

В общем случае при построении минимального расширения возникает необходимость добавлять ребра в исходный граф, т. е, менять всю систему, моделируемую этим графом, Но иногда технически важно найти решение следующей задачи: построить оптимальное расширение данного графа, сохраняя его первоначальную конструкцию (т. е, не меняя связей внутри него), Для этого существует конструкция Т-неприводимого расширения,

Определение 3. Т-неприводимым расширением графа G называется расширение графа G, получаемое из тривиального расширения данного графа удалением максимально возможного набора добавленных при построении тривиального расширения ребер,

Определение 4. Деревом называется связный граф, в котором нет циклов.

Определение 5. Дерево называется сверхстройным, если в точности одна его вершина имеет степень больше 2, Эту вершину будем называть корнем сверхстройного дерева.

Сверхстройное дерево можно рассматривать как объединение к цепей с общей концевой вершиной, При этом дерево можно закодировать вектором, состоящим из длин цепей в порядке невозрастания: (ш1,..., mk), где ш1 > ... > mk, Очевидно, что такое кодирование сверхстройных деревьев при к > 2 является взаимно однозначным,

Будем нумеровать цепи сверхстройного дерева от 1 до к, Цепи длины ш1 присвоим номер 1, цепи длины ш2 — номер 2 и т. д. Цепь длины шк будет иметь номер к, Введем следующую нумерацию вершин сверхстройного дерева: корень сверхстройного дерева — v0, остальные вершины будут иметь вид vij, где i — номер цепи сверхстройного дерева, которой принадлежит вершина, j — расстояние данной вершины от корня (смежные с корнем вершины имеют расстояние 1),

2. ТНР ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕСЛОЖНЫХ И СЛОЖНЫХ С к > 4 СВЕРХСТРОЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

До сих пор остается нерешенной следующая задача: построить одно из ТНР для произвольного сверхстройного дерева. Данная задача была решена С, Г, Курносовой для подкласса сверхстройных деревьев — пальм (см, [2]), Попытка построить одно из ТНР для произвольного сверхстройного дерева описывается в [3],

В [3] описывается схема (далее будем называть эту схему схемой Харари - Хурума) построения одного из ТНР для произвольного сверхстройного дерева. Заметим, что в [3] доказательство корректности схемы Харари - Хурума отсутствует, Эта схема использует понятие сложной вершины,

Определение 6. Вершина vij сверхстройного дерева T называется сложной, если среди длин цепей дерева T нет цепи длины j — 1 или mi — j,

В соответствии со схемой Харари - Хурума для построения одного из ТНР для произвольного сверхстройного дерева необходимо:

• добавить новую вершину к исходному графу;

• соединить ребром добавленную вершину с корнем и со всеми листьями исходного дерева;

• если в исходном сверхстройном дереве нет сложных вершин, то полученный граф и является искомым ТНР, Если есть некоторая сложная вершина vij, то соединить ребром добавленную вершину и вершину vi(j-1), Так поступаем для всякой сложной вершины,

Однако схема Харари - Хурума построения одного из ТНР для произвольного сверхстройного дерева не всегда корректна, В [4] даются контрпримеры для данной схемы, Например, для сверхстройного дерева (3, 2, 2) в [4] строится граф по схеме Харари - Хурума, а затем доказывается, что построенный граф не является ТНР для сверхстройного дерева (3, 2, 2),

Определение 7. Сверхстройное дерево, имеющее хотя бы одну сложную вершину, назовем сложным сверхстройным деревом,

Информатика

331

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Определение 8. Сверхстройное дерево, не имеющее ни одной сложной вершины, назовем несложным сверхстройным деревом.

В [4] приводится предположение, что схема Харари - Хурума неверна только для определенного подкласса сверхстройных деревьев, а именно для сложных сверхстройных деревьев, состоящих из трех цепей.

В [5, с. 108-110] дается описание построения одного из ТНР для произвольного несложного сверхстройного дерева и доказывается корректность данного построения.

Обозначим через Tk — сверхстройное дерево (mi,..., mk), где mi > ... > mk.

Определение 9. Графом Tk назовем граф, получаемый из сверхстройного дерева Tk добавлением новой вершины и ребер, соединяющих эту вершину с корнем, со всеми листьями исходного дерева Tk и со всеми такими вершинами vi(j-1), что Vj — сложная вершина исходного дерева Tk (1 < i < k, 2 < j < mi - 1).

Определение 10. Графом T^ назовем граф, получаемый из сверхстройного дерева Tk добавлением новой вершины и ребер, соединяющих эту вершину со всеми листьями исходного дерева Tk и со всеми такими вершинами vi(j-1), что Vj — сложная вершина исходного дерева Tk (1 ^ i ^ k, 2 ^ j ^ mi — 1).

Замечание 1. Пусть даны сложные сверхстройные деревья Tk вида (m1, m2,... ,mk). Пронумеруем вершины Tk ранее описанным способом: v0vi1 vi2 ...vi(m.-1)vimi, где 1 < i < k, v0 — корень Tk. Построим для Tk по определению 10 граф Tk (вершину, добавленную при построении графа Tk, назовем w). Рассмотрим вложение исходного графа Tk в некоторые максимальные подграфы графа

Tk.

• Tk — w. Вложение очевидно, получился исходный граф Tk.

грИ

Tk —

v0. Корнем может быть только вершина w. Тогда цепи wvimi vi(mi-1)... vi2vi1, где 1 < i < k. Tk вкладывается в граф Tk' — v0.

будут иметь вид:

Tk — vij, где vij — сложная вершина, 1 ^ i ^ k, 2 ^ j ^ mi — 1. Так как vij — сложная вершина, то по определению в графе Tk' — vj имеется ребро {w,vi(j-1)}, тогда корень — вершина v0, i-я цепь будет иметь вид: v0vi1 vi2 ...vi(j-1)wvimivi(mi-1) ...vi(j-+1) (длина цепи mi), остальные цепи имеют вид как в исходном дереве Tk. В силу произвольности выбора сложной вершины Tk вкладывается в любой из графов Tk — vij, где vij — сложная вершина.

• Tk' — vij, где vij — вершина, не являющаяся сложной, 1 < i < k, 2 < j < mi — 1. Если vj не является сложной, то дерево Tk имеет цепь длины j — 1 или mi — j. Пусть имеется некоторая цепь vovt1 vt2 ... vtmt.

а) mt = j — 1. Тогда цепь v0vi1 vi2 ...vi(j-1) — цепь длины mt, цепь v0vt1 vt2... vtmt wvimivi(mi-1) ... vi(j+1) — цепь длины mi. Остальные цепи имеют вид как в исходном дереве Tk.

б) mt = mi — j. Тогда wvimi vi(mi-1). ..vij+1) — цепь длины mt, цепь wvtmt ... vt2vt1 v0vi1 vi2 ...vi(j-1) — цепь длины mi. Остальные цепи имеют вид

wvSTOs vs(ms-1) . . . vs2vs1, S = i, S = t.

В силу произвольности выбора вершины, Tk вкладывается в любой из графов Tk' — vj, где vj — вершина, не являющаяся сложной.

Очевидно, если данные рассуждения справедливы для графа Tk', то они справедливы и для графа Tk, построенного для того же самого графа Tk.

Замечание 2. Пусть даны сложные сверхстройные деревья Tk вида (m1,m2,...,mk). Пронумеруем вершины Tk ранее описанным способом: v0vi1vi2 ... vi(mi-1)vimi, где 1 < i < k, v0 — корень Tk. Построим тривиальное расширение для Tk и назовем полученный граф Hk (вершину, добавленную при построении тривиального расширения, назовем w). Будем удалять ребра из графа Hk и проверять, является ли расширением для Tk полученный граф.

332

Научный отдел

Д. Ю. Осипов. Т-неприводимые расширения для сверхстройных деревьев

• Hk — {w,vimi}, 1 < i < к. Очевидно, в таком случае достаточно удалить вершину уцш.-1) из Hk — {w,vimi}. Тогда вершина vimi будет иметь степень 0, следовательно, исходный граф не вкладывается в полученный граф. В силу произвольности выбора удаляемого ребра ни один из графов Hk — {w,vimi}, 1 < i < к, не является расширением для Tk.

• Hk — {w, vi(j-1)}, где vij — сложная вершина, 1 < i < к, 2 < j < mi — 1. Если vij — сложная

вершина, то по определению сложной вершины в Tk нет цепей длины j — 1 или mi — j. Удалим из графа Hk — {w,vi(j-1)} вершину vij-. Тогда вершина vi(j-1) имеет степень 1, т.е. становится листом одной из цепи. Корнем могут быть только две вершины v0 и w.

а) vo — корень. Тогда в цепь v0 vi1vi2 ...vi(j-1) вкладывается некоторая цепь исходного дерева Tk, пусть эта цепь имеет вид v0 vt1 vt2. ..vtmt. Тогда в цепь v0 vt1 vt2 ...vtmt wvimi vi(mi-1) ...vi(j+1) вкладывается цепь длины mi исходного дерева Tk. Возможно только такое вложение. Получилось, что mt = j — 1. Данный факт противоречит условию, что в Tk нет цепи длины j — 1. Вложение невозможно.

б) w — корень. Тогда в цепь wvimivi(mi-1) ...vi(j+1) вкладывается некоторая цепь исходного дерева T3, пусть эта цепь имеет вид v0vt1 vt2 ...vtmt. Тогда в цепь wvtmt ...vt2vt1 v0vi1 vi2 ...vi(j-1) вкладывается цепь длины mi исходного дерева Tk. Возможно только такое вложение. Получилось, что mt = mi — j. Данный факт противоречит условию, что в Tk нет цепи длины mi — j. Вложение невозможно.

В силу произвольности выбора удаляемого ребра, ни один из графов Hk — {w,vi(j-1)}, где vij — сложная вершина, 1 ^ i ^ к, 2 ^ j ^ mi — 1, не является расширением для Tk.

Теорема 1. Пусть Tk — несложное сверхстройное дерево или сложное сверхстройное дерево с к > 4. Тогда одним из ТНР для Tk будет граф T'k.

Доказательство. 1. Доказательство случая для произвольного несложного сверхстройного дерева приводится в [5, с. 108-110].

2. Пусть дано некоторое сложное сверхстройное дерево Tk вида: (m1,..., mk), где m1 > ... > mk, к > 4. Пронумеруем вершины Tk ранее описанным способом: v0 vi1vi2 ...vi(mi-1) vimi, где 1 < i < к, v0 — корень Tk. Построим в соответствии с определением 9 граф Tk. Добавленную при построении графа Tk вершину назовем w.

2.1. Покажем, что граф Tk является расширением для Tk. Покажем, что Tk вкладывается в каждый

максимальный подграф графа Tk. Будем использовать вложения исходного графа Tk в разные максимальные подграфы графа Tk, как описано в замечании 1. Тогда останется проверить, вкладывается ли граф Tk в графы Tk — vi1 и Tk — vimi, 1 < i < к.

• Tk — vimi, 1 < i < к. Тогда корень — вершина w, i-я цепь будет иметь вид wv0vi1vi2 ... vi(mi-1) (длина цепи mi), остальные цепи имеют вид wvtmtvt(mt-1)...vt1, t = i. В силу произвольности выбора вершины Tk вкладывается в любой из графов Tk — vimi, 1 < i < к.

• Tk — vi1, 1 < i < к. Тогда корень — v0, i-я цепь будет иметь вид v0wvimivi(mi-1)...Vi2 (длина цепи mi), остальные цепи имеют вид как в исходном дереве Tk. В силу произвольности выбора вершины Tk вкладывается в любой из графов Tk — vi1, 1 ^ i ^ к.

Таким образом, доказано, что граф Tk является расширением для сверхстройного дерева Tk.

2.2. Покажем, что граф Tk является ТНР для Tk. Докажем свойство неприводимости, т. е. что при удалении любого ребра из Tk свойство расширения для полученного графа не сохраняется.

В соответствии с замечанием 2 из тривиального расширения графа Tk нельзя удалить ни одного из ребер {w,vimi} или {w,vi(j-1)}, где vij — сложная вершина (1 < i < к, 2 < j < mi — 1), так, чтобы полученный граф являлся расширением для Tk. Значит, из графа Tk также нельзя удалить ни одного из этих ребер так, чтобы полученный граф являлся расширением для Tk.

Остается проверить, является ли расширением для Tk граф Tk — {w,v0}.

Информатика

333

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Рассмотрим граф Tk — {w, v0}. Удалим из Tk— {w, v0} вершину vn. Вершина v0 будет иметь степень k — 1. Корнем может быть только вершина w, но тогда цепь wvimivi(mi_i)...vi2 имеет длину только m1 — 1. Граф Tk — {w, vo} не является расширением Tk или граф Tk должен иметь цепь длины m1 — 1. Пусть эта цепь имеет вид v0 vt1. ..vt(mi _1). Тогда цепь wv1mi v1(mi-1) . ..v12 имеет длину m1 — 1, а цепь wvt(mi _1) ... vt1v0 имеет длину m1.

Повторим данные рассуждения для цепи длины m1 — 1 (т. е. начнем с удаления вершины vt1). Получим, что граф Tk — {w,v0} не является расширением Tk или граф Tk должен иметь цепь длины m1 — 2.

Продолжая дальше данные рассуждения, получим, что граф Tk — {w,v0} не является расширением Tk или Tk должно иметь вид: (m1,..., m1 — 1,..., m1 — 2,..., 2,..., 1,...), но сверхстройное дерево такого вида не является сложным по определению, что противоречит условию.

Значит, граф Tk — {w,v0} не является расширением Tk.

Свойство неприводимости доказано.

Таким образом, граф Tk является ТНР для сверхстройного дерева Tk. □

3. ТНР ДЛЯ СЛОЖНЫХ СВЕРХСТРОЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ С k = 3

Рассмотрим сложное сверхстройные деревья T3, т. е. вида (m1 , m2 , m3).

Теорема 2. Пусть дано сложное сверхстройное дерево T3 вида

(m1, m1 — 1, m2), m1 = 2m2, m2 = m1 — 2, m2 = 1. (1)

Тогда единственным ТНР для дерева T3 будет граф T3'.

Доказательство. Пусть дано некоторое сложное сверхстройное дерево T3 вида (1). Пронумеруем вершины T3 ранее описанным способом: v0 v11 v12 ...v1mi, v0 v21 v22 ...v2(mi _1), v0 v31v32 ... v3m2, v0 — корень T3. Построим в соответствии с определением 10 граф T3'. Добавленную при построении графа T3' вершину назовем w.

1. Покажем, что граф T3' является расширением для T3. Покажем, что T3 вкладывается в каждый максимальный подграф графа T3'. Будем использовать вложения исходного графа T3 в разные максимальные подграфы графа T3', как описано в замечании 1 (с учетом k = 3). Тогда останется проверить, вкладывается ли граф T3 в графы T3' — v1mi, T3' — v2(mi-1), T3' — v3m2 и T3' — vi1, 1 < i < 3.

• T3' — v11. Тогда цепь wv1mi ... v12 — цепь длины m1 — 1, цепь wv2(mi-1)... v21 v0 — цепь длины m1, wv3m2 ... v31 — цепь длины m2. Граф T3 вкладывается в граф T3' — v11.

• T3' — v1mi. Тогда цепь v0vn ... v1(mi_1) — цепь длины m1 — 1, цепь v0v21 ... v2(mi_1)w — цепь длины m1, v0v31 ... v3m2 — цепь длины m2. Граф T3 вкладывается в граф T3' — v1mi.

• T3'—v31. Тогда цепь v11 ... v1mi — цепь длины m1 — 1, цепь v11 v0v21... v2(mi _1) — цепь длины m1, v11 wv3m2 ... v32 — цепь длины m2. Отметим, что в графе T3' есть ребро {w, v11}, потому что по определению вершина v12 — сложная (в T3 нет цепей длины 1 или m1 — 2 по условию теоремы). Граф T3 вкладывается в граф T3' — v31.

• T3' — v3m2. Тогда цепь vn . ..v1mi — цепь длины m1 — 1, цепь vn wv2(mi _1) . ..v21 — цепь длины m1, v11 v0v31 ... v3(m2_1) — цепь длины m2. Граф T3 вкладывается в граф T3' — v3m2.

• T3' — v21. Тогда цепь v1(mi_m2)wv2(mi_1) ...v22 — цепь длины m1 — 1, цепь

v1(mi_m2) v1(mi _m2_1) . . . v11v0v31 . . . v3m2 цепь длины m1, цепь v1(mi_m2) . . . v1mi

цепь длины m2.

В графе T3' должно быть ребро {w,v1(mi_m2)}. По построении T3', если в T3' есть ребро {w,v1(mi_m2)}, вершина v1(mi_m2+1) должна быть сложной. По определению сложной вершины в T3 не должно быть цепи длины m1 — m2 (выполняется благодаря условиям теоремы: m2 = 1 и m1 = 2m2) или цепи длины m2 — 1 (выполняется по умолчанию). Условия выполнены, следовательно, вершина v1(mi_m2+1) сложная, и в графе T3' есть ребро {w,v1(mi_m2)}. Граф T3 вкладывается в граф T3' — v21.

334

Научный отдел

Д. Ю. Осипов. Т-неприводимые расширения для сверхстройных деревьев

• T" — v2(mi_i). Тогда цепь wv 1mi ... v12 — цепь длины m1 — 1, цепь wvnv0v21 ... v2(mi_2) — цепь длины m1, цепь wv3m2 ... v31 — цепь длины m2. Граф Т3 вкладывается в граф Т" — v2(mi_1).

Таким образом, доказано, что граф T" является расширением для сверхстройного дерева Т3.

2. Покажем, что граф Т3' является ТНР для Т3. Докажем свойство неприводимости, т. е. при удалении любого ребра из Т3' свойство расширения для полученного графа не сохраняется.

В соответствии с замечанием 2 (нужно учитывать, что к = 3) из тривиального расширения графа Т3 нельзя удалить ни одного из ребер {w,vimi} или {w,vi(j_1)}, где vij — сложная вершина (1 < i < 3, 2 < j < mi — 1), так, чтобы полученный граф являлся расширением для Т3. Значит, из графа Т3' также нельзя удалить ни одного из этих ребер так, чтобы полученный граф являлся расширением для Т3.

Свойство неприводимости доказано. Таким образом, граф Т3' является ТНР для сверхстройного дерева Т3.

3. Покажем, что граф Т3' является единственным ТНР для Т3. Предположим, что существует еще одно ТНР для Т3. Назовем этот граф #3'. Тогда в графе #3' хотя бы одно из ребер {w,vimi} или {w,vi(j_1)}, где vij — сложная вершина (1 < i < 3, 2 < j < mi — 1), должно быть заменено на некоторое другое ребро (или на некоторый набор ребер).

Однако в соответствии с замечанием 2 (нужно учитывать, что к = 3), из тривиального расширения графа Т3 нельзя удалить ни одного из ребер {w,vimi} или {w,vi(j_1)}, где vij — сложная вершина (1 ^ i ^ 3, 2 ^ j ^ mi — 1), так, чтобы полученный граф являлся расширением для Т3. Значит, ни одно из ребер {w,vimi} или {w,vi(j_1)}, где vij — сложная вершина (1 < i < 3, 2 < j < mi — 1),

нельзя заменить так, чтобы полученный граф являлся расширением для Т3. Следовательно, граф #3' не может быть расширением для Т3 и тем более ТНР для Т3. Получили противоречие.

Граф Т3' является единственным ТНР для Т3. □

Теорема 3. Пусть дано сложное сверхстройное дерево Т3 вида

(m1,m2, m3), m1 = m2 + m3 + 2, m1 = 2m2, m1 = 2m2 + 1, m3 = 1 (2)

или

(m1, m2, m3), m1 = m2 + m3 + 1, m1 = 2m2, m3 = 1. (3)

Тогда единственным ТНР для дерева Т3 будет граф Т3'.

Доказательство. Пусть дано некоторое сложное сверхстройное дерево Т3 вида (2) или вида (3). Пронумеруем вершины Т3 ранее описанным способом: v0 vi1 vi2 ...vi(mi _1)vimi, где 1 < i < 3, v0 — корень Т3. Построим в соответствии с определением 10 граф Т3'. Добавленную при построении графа Т3' вершину назовем w.

1. Покажем, что граф Т3' является расширением для Т3. Покажем, что Т3 вкладывается в каждый максимальный подграф графа Т3'. Будем использовать вложения исходного графа Т3 в разные максимальные подграфы графа Т3', как описано в замечании 1 (с учетом к = 3). Тогда останется проверить, вкладывается ли граф Т3 в графы Т3' — vi1 и Т3' — vimi, 1 < i < 3.

• Т3 v31. Тогда цепь v1(mi _m2) . . . v11 v0 v21 . . . v2m2 цепь длины m1, цепь v1(mi _m2)wv3m3 . . .

v32 — цепь длины m3, цепь v1(mi _m2)v1(mi _m2+1) ... v^ — цепь длины m2.

В графе Т3' должно быть ребро {w,v1(mi_m2)}. Если Т3 вида (2), то должно быть ребро {w,v1(m3+2)}, если Т3 вида (3), то должно быть ребро {w,v1(m3 +1)}.

По построению Т3', если в Т3' есть ребро {w,v1(m3+2)}, вершина v1(m3+3) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (2) не должно быть цепи длины m3 + 2 (выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = 2m2) или цепи длины m1 — m3 — 3 (выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 2 и m1 = 2m2 + 1). Условия выполнены, вершина v1(m3+3) — сложная, в графе Т3' есть ребро {w,v1(m3+2)}.

Информатика

335

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

По построению T", если в Т3' есть ребро {w,v^m3+i)}, вершина v1(m3+2) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (3) не должно быть цепи длины m3 + 1 (выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 1 и m1 = 2m2) или цепи длины m1 — m3 — 2 (выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 1 и m1 = 2m2). Условия выполнены, вершина v1(m3+2) — сложная, в графе Т'3 есть ребро {w,v1(m3+1)}.

• Т3' — V3m3. Тогда цепь wv1(mi —m3) ...vn V0V31 . ..v3(m3—1) — цепь длины m1, цепь wv^ ... v1(mi-m3+1) — цепь длины m3, цепь wv2m2 ... v21 — цепь длины m2.

В графе T3' должно быть ребро {w,v1(mi-m3)}. Если Т3 вида (2), то должно быть ребро {w,v1(m2+2)}, если Т3 вида (3), то должно быть ребро {w,v1(m2+1)}.

По построению Т3', если в Т3' есть ребро {w,v1(m2+2)}, вершина v1(m2+3) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (2) не должно быть цепи длины m2 + 2 (выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 2) или цепи длины m1 — m2 — 3

(выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 2). Условия выполнены, верши-

на v1(m2+3) — сложная, в графе Т3' есть ребро {w,v1(m2+2)}.

По построению Т3', если в Т3' есть ребро {w,v1(m2+1)}, вершина v1(m2+2) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (3) не должно быть цепи длины m2 + 1 (выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 1) или цепи длины m1 — m2 — 2

(выполняется благодаря условию теоремы, что m1 = m2 + m3 + 1). Условия выполнены, верши-

на v1(m2+2) — сложная, в графе Т3' есть ребро {w,v1(m2+1)}.

• Т3 v21. Тогда цепь v1(mi —m3) . . . v11 v0v31 . . . v3m3 цепь длины m1, цепь v1(mi —m3)

v1(mi-m3 + 1) . . . v1mi — цепь ДЛИНЫ m3, цеПЬ v1(mi —m3) wv2m2 . . . v22 — цеПЬ ДЛИНЫ m2.

• Т3' — v2m2. Тогда цепь wv1(mi —m2) . . . vn vo v21 . . . v2(m2 — 1) — цеПЬ ДЛИНЫ m1, цепь wv3m3 ...v31 — цепь длины m3, цепь wv1mi ... v1(mi— m2+1) — цепь длины m2.

• Т3' — vn. Если Т3 вида (2), тогда цепь v1(mi —m3) wv3m3 . ..v31 vo v21 . ..v2m2 — цепь длины m1 (по условию m1 = m2 + m3 + 2), цепь v^ —m3)v1(mi— m3+1) ...v1mi — цепь ДЛИНЫ m3,

цепь v1(mi —m3) v1(mi —m3—1)... v12 (по условию m2 = m1 — m3 — 2) — цепь ДЛИНЫ m2.

Если Т3 вида (3), тогда цепь wv3m3 ... v31 v0 v21 ...v2m2 — цепь длины m1 (по условию m1 = m2 + m3 + 1), цепь wv^m^ —m2)v1(mi— m2—1)... v12 — цепь ДЛИНЫ m3, цепь wv1mi ... v1(mi —m2+1) — цепь длины m2 (по условию m2 = m1 — m3 — 1).

• Т3' — v1mi. Если Т3 вида (3), тогда цепь wv3m3 ... v31 v0 v21 . ..v2m2 — цепь длины m1 (по

условию m1 = m2 + m3 + 1), цепь wv^— m3)v1(mi —m3+1) ...v1(mi—1) — цепь ДЛИНЫ m3, цепь wv11 v12 ... v1m2 — цепь длины m2.

В графе Т3' должно быть ребро {w,v11}. По построению Т3', если в Т3' есть ребро {w,v11}, вершина v12 должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (3) не должно быть цепи длины 1 (выполняется благодаря условию теоремы, что m3 = 1) или цепи длины m1 — 2 (выполняется благодаря условию теоремы, что m3 = 1). Условия выполнены, вершина v12 — сложная, в графе Т3' есть ребро {w,v11}.

Если Т3 вида (2), тогда цепь wv3m3 ...v31 v0 v11 . ..v1(mi —m3—1) — цепь длины m1,

цепь wv1(mi —m3) v1(mi —m3 + 1) . . . v1(mi —1) цепь ДЛИНЫ m3, цепь wv2m2v2(m2 — 1) . . . v21 цепь

ДЛИНЫ m2.

Таким образом, доказано, что граф Т3' является расширением для сверхстройного дерева Т3 вида (2) и (3).

2. Докажем свойство неприводимости, т. е. при удалении любого ребра из Т3' свойство расширения для полученного графа не сохраняется.

Доказательство аналогично доказательству, приведенному в п. 2 теоремы 2.

3. Доказательство того что граф Т3' является единственным ТНР для Т3 вида (2) и вида (3), аналогично доказательству, приведенному в п. 3 теоремы 2. □

336

Научный отдел

Д. Ю. Осипов. Т-неприводимые расширения для сверхстройных деревьев

Следствие 1. Если m2 = m3 = m, mo (2) приобретет вид (2m + 2, m, m), m = 1.

Следствие 2. Если m2 = m3 = m, mo (3) приобретет вид (2m + 1, m, m), m =1,

Теорема 4. Пусть дано сложное сверхстройное дерево T3 вида

(mi,m2, m3),

mi — m2 > 2, mi — m2 — m3 > 2 или mi — m2 — m3 < 0, (4)

m2 — m3 > 1, mi = 2m2, mi = 2m3, m2 = 2m3, m3 = 1.

Доказательство. Пусть дано некоторое сложное сверхстройное дерево Т3 вида (4). Пронумеруем вершины Т3 ранее описанным способом; v0 vii vi2 ...vi(mi—i) vimi, где 1 < i < 3, v0 — корень T3. Построим в соответствии с определением 10 граф Т33'. Добавленную при построении графа Т3 вершину назовем w.

1. Покажем, что граф Т" является расширением для Т3. Покажем, что Т3 вкладывается в каждый максимальный подграф графа Т3. Будем использовать вложения исходного графа Т3 в разные максимальные подграфы графа Т3, как описано в п. 1 теоремы 3, кроме случаев вложения графа Т3 в максимальные подграфы Т'3 — vii и Т'3 — vimi. Эти случаи рассмотрим отдельно.

Для того чтобы было возможно вложение графа Т3 в разные максимальные подграфы графа Т'3, как описано в п. 1 теоремы 3, нужно существование в графе Т'3 ребер {w,vi(mi—m3)}, {w,vi(mi—m2)}.

По построению Т'3, если в Т'3 есть ребро {w,vi(mi—m3)}, вершина vi(mi-m3+i) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (4) не должно быть цепи длины mi — m3 (выполняется благодаря условию теоремы, что mi — m2 — m3 > 2 или mi — m2 — m3 < 0 и условию mi = 2m3) или цепи длины m3 — 1 (выполняется по умолчанию). Условия выполнены, вершина vi(mi-m3+i) — сложная, в графе Т'3 есть ребро {w,vi(mi-Шз)}.

По построению Т3, если в Т3 есть ребро {w,vi(mi-m2)}, вершина vi(mi-m2+i) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (4) не должно быть цепи длины mi — m2 (выполняется благодаря условию теоремы, что mi — m2 — m3 > 2 или mi — m2 — m3 < 0 и условию mi = 2m2) или цепи длины m3 — 1 (выполняется благодаря условию теоремы, что m2 — m3 > 1). Условия выполнены, вершина vi(mi-m2+i) — сложная, в графе Т3 есть ребро {w,vi(mi-m2)}.

• Т3 vii. Тогда цепь v2(m2 —m3) wvimi . . . vi2 цепь длины mi, цепь v2(m2 —m3) v2(m2 —m3 + i) . . .

v2m2 — цепь длины m3, v2(m2 —m3)v2(m2 —m3 — i) . . . v2ivQv3i . ..v3m3 — цеПЬ m2.

Вложение графа Т3 в граф Т3—vii возможно, если m2 = m3 (выполняется благодаря условию теоремы, что m2 — m3 > 1).

В графе Т'3 должно быть ребро {w,v2(m2 —m3)}. По построению Т'3, если в Т'3 есть ребро {w,v2(m2 —m3)}, вершина v2(m2 —m3+i) должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (4) не должно быть цепи длины m2 — m3 (выполняется благодаря условию теоремы, что m2 = 2m3) или цепи длины m3 — 1 (выполняется по умолчанию). Условия выполнены, вершина v2{m^—m3+i) — сложная, в графе Т3 есть ребро {w,v2(m2 —m^)}.

• Т33 — vimi . Тогда цепь v2(m2—m3) wvn ...vi(mi —i) — цеПЬ длины mi, цепь v2(m2 —m3)

v2(m2 —m3 + i) . . . v2m2 цепь длины m3, v2(m2 —m3)v2(m2 —m3 — i) . . . v2iv0v3i . . . v3m3 цепь m2.

В графе Т'3 должно быть ребро {w,vii}. По построению Т'3, если в Т'3 есть ребро {w,vii}, вершина vi2 должна быть сложной. По определению сложной вершины в Т3 вида (4) не должно быть цепи длины 1 (выполняется благодаря условию теоремы, что m3 = 1) или цепи длины mi —2 (выполняется благодаря условию теоремы, что mi — m2 > 2). Условия выполнены, вершина vi2 — сложная, в графе Т3 есть ребро {w,vii}.

Таким образом, доказано, что граф Т3 является расширением для сверхстройного дерева Т3 вида (4).

2. Докажем свойство неприводимости, т. е. при удалении любого ребра из Т'3 свойство расширения для полученного графа не сохраняется.

Доказательство аналогично доказательству, приведенному в п. 2 теоремы 2.

Информатика

337

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

3. Доказательство того, что граф Т3' является единственным ТНР для Т3 вида (4), аналогично доказательству, приведенному вп. 3 теоремы 2. □

Теорема 5. Пусть дано сложное сверхстройное дерево Т3 вида (mi , m2, m3), не удовлетворяющее условиям (1), (2), (3) и (4). Тогда одним из ТНР для дерева Т3 является граф Т3.

Доказательство. Пусть дано некоторое сложное сверхстройное дерево Т3 вида (mi , m2 ,m3), не удовлетворяющее условиям (1), (2), (3) и (4). Пронумеруем вершины Т3 ранее описанным способом; v0vii vi2 ...v,i(mi-i) vimi, где 1 < i < 3, v0 — корень Т3. Построим в соответствии с определением 9 граф Т3. Добавленную при построении графа Т3 вершину назовем w.

1. Покажем, что граф Т'3 является расширением для Т3. Покажем, что Т3 вкладывается в каждый максимальный подграф графа Т3. Будем использовать вложения исходного графа Т3 в разные максимальные подграфы графа Т3, как описано в п. 2.1 теоремы 1 (с учетом того, что k = 3).

Таким образом, доказано, что граф Т3 является расширением для сверхстройного дерева Т3.

2. Покажем, что граф Т3 является ТНР для Т3. Докажем свойство неприводимости, т. е. при удалении любого ребра из Т3 свойство расширения для полученного графа не сохраняется.

В соответствии с замечанием 2 из тривиального расширения графа Т3 нельзя удалить ни одного из ребер {w, vimi} или {w, vi(j-i)}, где vij — сложная вершина (1 < i < 3, 2 < j < mi — 1), так, чтобы полученный граф являлся расширением для Т3. Значит, из графа Т3 также нельзя удалить ни одного из этих ребер так, чтобы полученный граф являлся расширением для Т3.

Остается проверить, является ли расширением для Т3 граф Т3 — {w,v0}.

Рассмотрим граф Т3 — {w, v0}. Заметим, что граф Т3 — {w, v0} — это граф Т3', построенный для Т3. Таким образом, нужно показать, что граф Т3' не является расширением для Т3.

Предположим, что граф Т3' является расширением для Т3.Тогда граф Т3 должен вкладывается в каждый максимальный подграф графа Т3'. Будем использовать вложения исходного графа Т3 в разные максимальные подграфы графа Т3', как описано в замечании 1 (с учетом k = 3). Тогда останется проверить, вкладывается ли граф Т3 в графы Т3' — vii и Т3' — vimi, 1 < i < 3.

а) Т3'—v3i. Исходный граф Т3 вкладывается в Т3'—v3i только при выполнении одного из следующих условий; mi = 2m2, mi = m2 + m3, m3 = 1 или Т3 имеет вид (mi, m — 1, m2), m2 = 1;

б) Т3' — v3m3. Исходный граф Т3 вкладывается в Т3' — v3m3 только при выполнении одного из

следующих условий; mi = 2m3, mi = m2 + m3, m3 = 1 или Т3 имеет вид (mi,mi — 1,m2),

m2 = 1;

в) Т3'—v2i. Исходный граф Т3 вкладывается в Т3'—v2i только при выполнении следующего условия; mi = 2m3, mi = m2 + m3, m3 = 1;

г) Т3' — v2m2. Исходный граф Т3 вкладывается в Т3' — v2m2 только при выполнении одного из

следующих условий; mi = 2m2, mi = m2 + m3, m3 = 1 или Т3 имеет вид (mi,m — 1,m2),

m2 = 1, m2 = mi — 2;

д) Т3'—vii. Исходный граф Т3 вкладывается в Т3'—vii только при выполнении одного из следующих условий;

• Т3 имеет вид (mi ,mi — 1,m2), m2 = 1;

• mi = m2 + m3 + 1, mi = 2m2, m3 = 1;

• mi = m2 + m3 + 2, mi = 2m2, mi = 2m2 + 1, m3 = 1;

• m2 = m3, m2 = 2m3.

е) Т3' — vimi. Исходный граф Т3 вкладывается в Т3' — vimi только при выполнении одного из

следующих условий;

• Т3 имеет вид (mi ,mi — 1,m2), m2 = 1;

• mi = m2 + m3 + 1, mi = 2m2, m3 = 1;

• mi = m2 + m3 + 2, mi = 2m2, mi = 2m2 + 1, m3 = 1;

• m2 = m3, m2 = 2m3, m2 = mi — 2, m3 = mi — 2, m3 = 1.

338

Научный отдел

Д. Ю. Осипов. Т-неприводимые расширения для сверхстройных деревьев

Для вложения графа Т3 в графы T" — уц и T" — vimi, 1 ^ i ^ 3, нужно, чтобы выполнялся каждый из пунктов а)-е). Тогда для Т3 должно выполняться одно из следующих условий:

1') (mi,mi — 1,m2), где mi = 2m2, m2 = mi — 2, m2 = 1;

2') (m1, m2, m3), где m1 = m2 + m3 + 2, m1 = 2m2, m1 = 2m2 + 1, m3 = 1;

3') (m1, m2, m3), где m1 = m2 + m3 + 1, m1 = 2m2, m3 = 1;

4') (m1, m2, m3), где m1 — m2 > 2, m1 — m2 — m3 > 2 или m1 — m2 — m3 < 0, m2 — m3 > 1, m1 = 2m2,

m1 = 2m3, m2 = 2m3, m3 = 1.

Заметим, что условие 1') совпадает с (1), 2') совпадает с (2), 3') — с (3), а 4') — с (4). Однако по условию теоремы Т3 не удовлетворяет условиям (1)-(4). Противоречие. Значит, Т3' не является расширением для Т3.

Свойство неприводимости доказано.

Граф Т3 является ТНР для сверхстройного дерева Т3. □

Таким образом, с учетом теорем 1-5 задача построения одного из ТНР для произвольного сверхстройного дерева полностью решена.

Библиографический список

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М. : Наука, 2009.

2. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 113-125.

3. Иагагу F., Khurum М. One node fault tolerance

for caterpillars and starlike trees // Internet J. Comput. Math. 1995. Vol. 6. P. 135-143.

4. Осипов Д. Ю. Об одном контрпримере для Т-неприводимых расширений сверхстройных деревьев // Прикладная дискретная математика. 2014. № 3(25). С. 98-102.

5. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.

T-irreducible Extensions for Starlike Trees

D. Yu. Osipov

Osipov Dmitrii Yurievich, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

We deal with a sort of optimal extensions of graphs, so called T-irreducible extensions. T-irreducible extension of a graph G is an extension of G obtained by removing a maximal set of edges from the trivial extension of G. A difficult starlike tree is a starlike tree that has at least one difficult node. T-irreducible extensions for nondifficult starlike trees were constructed by M. B. Abrosimov, T-irreducible extensions for palms (one of subclasses of starlike trees) were constructed by S. G. Kurnosova. Counterexamples were found to a method of Harary and Khurum, who tried to construct possible T-irreducible extensions for starlike trees. T-irreducible extensions for difficult starlike trees are constructed.

Key words: graph, T-irreducible extension, starlike tree, difficult and nondifficult starlike trees.

References

1. Bogomolov A. M., Salii V. N. Algebraioheskie osnovy teorii diskretnyh sistem [Algebraic foundations of the theory of discrete systems]. Moscow, Nauka, 2009 (in Russians).

2. Kurnosova S. G. T-neprivodimye rasshirenija dlja nekotoryh klassov grafov [T-irreducible extensions for some classes graphs]. Teoretioheskie problemy informatiki i ee priloxhenij [Theoretical Problems of Informatics and its applications]. Saratov, Saratov Univ. Press, 2004, vol. 6, pp. 113-125 (in Russians).

3. Harary F., Khurum M. One node fault tolerance for caterpillars and starlike trees. Internet J. Comput. Math., 1995, vol. 6, pp. 135-143.

4. Osipov D. Yu. On a Counterexample for a T-irreducible Extensions of Starlike Trees. Applied Discrete Mathematics, 2014, no. 3(25), pp. 98-102 (in Russians).

5. Abrosimov M. B. Grafovye modeli otkaxoustoj-ohivosti [Graph models of fault tolerance]. Saratov, Saratov Univ. Press, 2012, 192 p. (in Russians).

339