CC BY
28
ИНФОРМАТИКА
УДК 519.17
0 ЧИСЛЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЕБЕР МИНИМАЛЬНОГО ВЕРШИННОГО 1-РАСШИРЕНИЯ СВЕРХСТРОЙНОГО ДЕРЕВА
М. Б. Абросимов
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Граф G* называется вершинным 1-расширением графа G, если граф G можно вложить в каждый граф, получающийся из графа G* удалением любой его вершины вместе с инцидентными ребрами. Вершинное 1-расширение G* графа G называется минимальным, если граф G* имеет на одну вершину больше, чем граф G, а среди всех вершинных
1 -расширений графа G с тем же числом вершин граф G* имеет минимальное число ребер. Дерево называется сверхстройным (звездоподобным), если только одна его вершина имеет степень больше двух. В работе дается нижняя и верхняя оценки числа дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения произвольного сверхстройного дерева и указываются семейства деревьев, на которых эти оценки достигаются.
Ключевые слова: минимальное вершинное расширение, сверхстройное дерево, звездоподобное дерево, отказоустойчивая реализация.
On the Number of Additional Edges of a Minimal Vertex 1-Extension of a Starlike Tree M. B. Abrosimov
For a given graph G with n nodes, we say that graph G* is its 1-vertex extension if for each vertex v of G* the subgraph G* - v contains graph G up to isomorphism. A graph G* is a minimal vertex 1-extension of the graph G if G* has n + 1 nodes and there is no 1-vertex extension with n + 1 nodes of G having fewer edges than G*. A tree is called starlike if it has exactly one node of degree greater than two. We give a lower and upper bounds of the edge number of a minimal vertex 1 -extension of a starlike tree and present trees on which these bounds are achieved.
Key words: minimal vertex extension, starlike tree, fault tolerance.
ВВЕДЕНИЕ
Минимальные расширения (вершинные или реберные) являются продолжением предложенной J. P. Hayes [1] графовой модели для исследования отказоустойчивости. В [1] и последующей статье F. Harary и J. P. Hayes [2] рассматривалась отказоустойчивость элементов дискретных систем (node fault tolerance, вершинное расширение). В работе [3] модель была распространена и на отказы связей элементов системы (edge fault tolerance, реберное расширение). Среди рассматриваемых систем особое внимание уделялось системам, граф которых является цепью, циклом или деревом. Исследованию минимальных вершинных 1-расширений частных случаев деревьев посвящены статьи [4-7]. Оказалось, что эта задача является вычислительно сложной [8] и поэтому общего аналитического описания минимального расширения (вершинного или реберного) для произвольного графа по-видимому не существует. В некоторых случаях удается предложить схему построения расширения, но не удается доказать его минимальность. В данной работе рассматриваются минимальные вершинные 1-расширения деревьев особого вида, кото-
© Абросимов М. Б2012
103
рые называются сверхстройными, или звездоподобными. Был проведен вычислительный эксперимент [7] по построению минимальных вершинных 1-расширений для сверхстройных деревьев с числом вершин до 10 включительно. Мы далее будем использовать некоторые статистические данные, полученные в результате этих вычислений. В работе [4] была предложена схема построения минимальных вершиных 1-расширений для произвольного сверхстройного дерева. Далее будет показано, что это результат является ошибочным, а схема позволяет строить вершинные 1-расширения, но в общем случае не минимальные. Однако полученный авторами результат может быть использован как верхняя оценка для числа дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения сверхстройного дерева. В работе [9] аналогичный вопрос рассматривался для минимальных реберных 1-расширений, где удалось получить только нижнюю оценку. Дадим далее основные понятия, преимущественно в соответствии с книгой [10].
Графом (неориентированным) называется пара О = (V, а), где а — симметричное и антирефлек-сивное отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности. Степенью вершины V в неориентированном графе О будем называть количество вершин в О, смежных с данной, и обозначать через d(v). Вектор, составленный из степеней вершин графа О в порядке невозрастания, называется вектором степеней. Будем говорить, что вектор степеней (а1,...,ап) одного графа мажорирует вектор степеней (Ь1,... ,Ьп) другого графа, если все компоненты второго не превышают по величине соответствующих компонент первого вектора: аі > Ьі, і = 1,... ,п.
Связный граф без циклов называется деревом. Дерево называется сверхстройным (звездообразным), если в точности одна его вершина имеет степень больше 2. Эту вершину будем называть корнем сверхстройного дерева. Другое определение звездообразного дерева: это граф, гомеоморфный звезде. На рис. 1 представлено 5-вершинное сверхстройное дерево.
Итак, вектор степеней сверхстройного дерева имеет вид (к, 2, . . . , 2,1, . . . , 1), где к > 2, и количество листьев в точности равно к [9]. Кратко вектор степеней сверхстройного дерева может быть записан в виде (к, 2т, 1к). Среди сверхстрой-ных деревьев есть представители других хорошо известных семейств графов.
В данной статье мы рассматриваем сверхстройные деревья, у которых сте-
Рис. 1. Сверхстрой- пень корневой вершины к > 2. Однако если это ограничение убрать, то при
ное дерево (2, 1,1) к = 1 или к = 2 сверхстройное дерево является цепью Рп.
Если т = 0, то сверхстройное дерево является звездой К1,к.
Сверхстройное дерево можно рассматривать как объединение к цепей с общей концевой вершиной. При этом дерево можно закодировать вектором, состоящим из длин цепей в порядке невозрастания: (т1,... ,тк), где т1 > ... > тк. Очевидно, что такое кодирование сверхстройных деревьев при к > 2 является взаимно однозначным. В самом деле, любому вектору (т1,... ,тк) будет соответствовать единственное с точностью до изоморфизма сверхстройное дерево с числом вершин т1 + ... + тк + 1. В этом дереве корневая вершина будет иметь степень к, к вершин будут иметь степень 1, а остальные т1 + ... + тк — к вершин будут иметь степень 2. Будем называть такой код вектором цепей. Дерево на рис. 1 имеет вектор цепей (2, 1,1).
1. НИЖНЯЯ ОЦЕНКА
Граф О* = (V*,а*) называется минимальным вершинным к-расширением (МВ-кР) п-вершинного графа О = (V,а), если выполняются следующие условия:
1) граф О* является вершинным к-расширением графа О, т. е. граф О вкладывается в каждый подграф графа О*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) граф О* содержит п + к вершин, т. е. IV* | = IV| + к;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1) и 2).
В данной работе мы будем рассматривать только случай к =1. Построение минимального вершинного 1-расширения можно представить как добавление одной вершины и некоторого числа ребер. Для удобства количество дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения графа О обозначим через ес(О).
Относительно специальных случаев сверхстройных деревьев некоторые результаты известны. Единственное минимальное вершинное 1-расширение цепи Рп есть цикл Сп+1, а любое минимальное вершинное к-расширение цепи Рп есть минимальное вершинное (к — 1)-расширение цикла Сп+1 (см. [1]).
Минимальное вершинное 1-расширение звезды К1,к единственно с точностью до изоморфизма, и получается добавлением вершины и соединением ее со всеми вершинами звезды. Для к > 1 также известен вид всех минимальных вершинных к-расширений звезды (см. [11]).
Покажем, что минимальное вершинное 1-расширение сверхстройного дерева (т1,... ,тк) не может иметь меньше к + 1 дополнительных ребер.
Теорема 1. Минимальное вершинное 1-расширение любого сверхстройного дерева Т вида (т1,... ,тк) отличается от него более чем на к дополнительных ребер:
ес(Т) > к.
Доказательство. Пусть Т — сверхстройное дерево с вектором цепей (т1,... ,тк) и к > 2. Обозначим через Т* некоторое минимальное вершинное 1-расширение дерева Т. По определению после удаления любой вершины из графа Т* дерево Т должно вкладываться в получившийся граф. Следовательно, граф Т* должен содержать вершину степени к или выше и будет отличаться от дерева Т не менее чем на к дополнительных ребер. Таким образом, для доказательства леммы достаточно показать, что Т* не может отличаться на к дополнительных ребер.
Предположим, что это не так, и Т* отличается от Т на к дополнительных ребер. Так как в Т есть одна вершина степени к, то в Т* должно быть не менее двух вершин степени к или выше. Действительно, если бы это было не так ив Т* была бы только одна вершина V степени к или выше, то вложение дерева Т в граф Т* — V было бы невозможно. Рассуждая далее, убеждаемся, что в Т* не может быть вершин степени меньше 2. В самом деле, если бы степень некоторой вершины V в графе Т* была бы равна 1, то, удалив смежную с V вершину, мы бы получили граф с изолированной вершиной, в который дерево Т вкладываться не будет. Наконец, в Т* не может быть вершины степени выше к, так как удаление такой вершины привело бы к удалению более к ребер. По предположению в получившийся граф должно вкладываться дерево Т, однако оно отличается от Т* на к ребер.
Итак, делаем вывод, что если Т* — некоторое минимальное вершинное 1-расширение дерева Т, которое отличается от Т на к дополнительных ребер, то Т * имеет вектор степеней (к,к, 2,..., 2). Обозначим через v1 и V2 вершины степени к графа Т*. Удаление одной из этих вершин приводит к удалению к ребер, следовательно, графы Т* — V!, Т* — v2 и Т изоморфны. С учетом того, что степени остальных вершин графа Т* равны 2, это означает, что вершины v1 и v2 соединены к цепями, длины которых есть т1 + 1, т2 + 1, ..., тк + 1.
Предположим, что минимальная из длин этих цепей равна 1, т. е. тк = 1. Это означает, что в Т* есть вершина V, которая смежная и с v1 и с v2. Но тогда в графе Т* — V старшая степень вершины будет к — 1, и вложение дерева Т будет невозможно. Следовательно, длины всех цепей т1 ,...,тк должны быть больше 1, в частности, и минимальная из длин цепей тк > 1.
Пусть и — вершина цепи минимальной длины тк, смежная с вершиной v1. Рассмотрим удаление вершины и. В графе Т* — и вершина v1 будет иметь степень к — 1, а d(v2) = к. Следовательно, только вершина v2 может быть образом корневой вершины дерева Т при вложении. Из вершины v2 выходит к цепей, однако минимальная из них будет иметь длину тк — 1. Таким образом, дерево Т не может вкладываться в граф Т* — и. Полученное противоречие показывает, что дерево Т не может иметь минимального вершинного 1-расширения с к дополнительными ребрами. □
Итак, любое минимальное вершинное 1-расширение сверхстройного дерева Т вида (т1,... ,тк) при к > 2 должно отличаться от Т не менее чем на к + 1 дополнительное ребро, должно иметь две вершины степени не ниже к, а степени остальных вершин не могут быть меньше 2. Звезды имеют минимальные вершинные 1-расширения как раз с таким числом дополнительных ребер. Существуют ли минимальные вершинные 1-расширения сверхстройных деревьев, кроме звезд, с числом дополнительных ребер к + 1, какими они могут быть и для каких сверхстройных деревьев это возможно?
Утверждение. Пусть Т — сверхстройное п-вершинное дерево с вектором цепей (т1,...,тк) и к > 2 такое, что т1 = 2, а тк = 1. Тогда граф Т*, полученный из этого дерева добавлением
вершины и соединением ее со всеми листьями и корнем, является минимальным вершинным 1-расширением дерева Т.
Доказательство. Заметим, что граф Т*, построенный по схеме из теоремы, будет иметь вектор степеней (к + 1, к + 1, 2,..., 2) или ((к + 1)2, 2П-1) и отличаться от дерева Т на к + 1 дополнительных ребер. Покажем, что граф Т* является вершинным 1-расширением дерева Т, тогда минимальность будет следовать из теоремы 1.
В графе Т* все вершины делятся на три группы подобных вершин (напомним, что две вершины графа называются подобными, если существует автоморфизм, при котором одна вершина является образом другой): вершины ^1 и -и2 степени к + 1, вершины, смежные и с «1, и с -и2 (вершины из цепей длины 1), и вершины, смежные либо с ^1, либо с -и2 (вершины из цепей длины 2).
При удалении вершины ^1 или -и2 получаем граф, изоморфный Т, и вложение очевидно.
При удалении вершины и, смежной и с ^1, и с -и2, вложение строится следующим образом: вершина ^1 — корень, вершина -и2 — заменяет удаленную вершину и и образовывает цепь длины 1, а остальные вершины остаются без изменений.
При удалении вершины V, смежной либо с ^1, либо с -и2, вложение строится следующим образом. Пусть для определенности вершина v смежна с вершиной -и2, а ,ш — другая смежная с v вершина: вершина v1 — корень, вершина v2 — заменяет удаленную вершину V и образовывает цепь v1,v, ад длины 2, а остальные вершины остаются без изменений. □
Таким образом, существуют сверхстройные деревья с вектором степеней вида (к, 2т, 1к), которые имеют минимальные вершинные 1-расширения с к + 1 дополнительным ребром и вектором степеней ((к + 1)2, 2т+к). На основании проведенного вычислительного эксперимента [7] были проанализированы все 67 сверхстройных деревьев с количеством вершин от 4 до 10. Большинство из них (57) имеют минимальные вершинные 1-расширения с числом дополнительных ребер к + 1. Только у девяти деревьев минимальные вершинные 1-расширения имеют к + 2 дополнительных ребра (это деревья (5,1,1), (6,1,1), (3,3,2), (5,1,14), (64,1,1), (7,1,1), (5,3,1), (3,2,2,2), (5,2,2)) и у одного дерева — к + 3 (это дерево имеет вид (3,3,3)). Дерево (5,3,1) примечательно тем, что у него есть 117 неизоморфных минимальных вершинных 1-расширений.
Определим, какие еще вектора степеней могут быть у минимальных вершинных 1-расширений сверхстройных деревьев с к+1 дополнительным ребром. Любой такой вектор с учетом рассмотренных выше ограничений на степени вершин минимального вершинного 1-расширения должен мажорировать вектор (к, к, 2т+к), который описывает граф, отличающийся от заданного дерева на к дополнительных ребер. Это означает, что мы можем добавить две единицы к компонентам такого вектора. Таким образом, кроме вектора степеней ((к + 1)2, 2т+к) возможны еще три: (к + 1,к, 3, 2т+к-1), (к2, 32, 2т+к-2) и (к2,4, 2т+к-1). При к = 3 первый и последний вектора совпадают. На рис. 2 представлены все минимальные вершинные 1-расширения сверхстройного дерева (2,1,1) (см. рис. 1) с векторами степеней трех оставшихся видов (4, 4, 2, 2, 2), (4, 3, 3, 2, 2) и (3, 3, 3, 3, 2).
Рис. 2. МВ-1Р сверхстройного дерева (2, 1, 1)
Покажем, что никакое сверхстройное дерево при к > 3 не может иметь минимального вершинного 1-расширения с векторами степеней (к2, 4, 2т+к-1) и (к2, 32, 2т+к-2).
2. ВЕКТОР (к2,4, 2т+к-1)
Теорема 2. Не существует сверхстройных деревьев вида (т1, ...,тк) и к > 3, минимальное вершинное 1-расширение которых имеет вектор степеней вида (к2, 4,2т+к-1).
Доказательство. В самом деле, предположим, что Т — сверхстройное дерево вида (ш1,...,шк) и к > 3, а Т* — его минимальное вершинное 1-расширение с вектором степеней (к2, 4, 2т+к-1). Обозначим для определенности через v1 и v2 вершины степени к, а через v — вершину степени 4 в графе Т*. Рассмотрим граф Т* — v1. Вместе с вершиной v1 удаляется к ее ребер, поэтому граф Т* — v1 допускает вложение дерева Т и отличается от него на одно ребро. Добавление одного ребра к дереву Т с вектором степеней (к, 2т, 1к) не может привести к появлению отличной от корневой вершины степени 4. При вложении дерева Т в граф Т* — v1 образом корневой вершины дерева Т может быть или вершина v2, или при к = 4 вершина v.
Рассмотрим сначала случай к > 4. Образом корневой вершины дерева Т может быть только вершина v2, а вершина v должна иметь степень меньше 4. Это означает, что вершины v и v1 в графе Т* должны быть смежными. Аналогично рассмотрев граф Т* — v2, приходим к выводу, что вершины v и v2 в графе Т* также должны быть смежны. Но тогда в графе Т* — v все вершины будут иметь степень меньше к, и вложение дерева Т будет невозможно.
Остается рассмотреть случай к = 4. Граф Т* будет иметь вид (43, 2т+к-1). Обозначим через v1, v2 и v3 вершины степени 4. Рассмотрим удаление одной из этих вершин, например v1. Так как Т* является минимальным вершинным 1-расширением дерева Т, то в графе Т* — v1 должна остаться хотя бы одна вершина степени 4. Следовательно, вершина v1 не может быть смежной одновременно с v2 и v3. В то же время в графе Т* — v1, как было установлено ранее, не может остаться две вершины степени 4. Это означает, что вершина v1 должна быть смежной либо с v2, либо с v3. Пусть для определенности вершина v1 смежная с v2 и несмежная с v3. Повторяя рассуждения для графа Т* — v3, мы приходим к выводу, что вершины v2 и v3 должны быть смежнми, т. е. вершина v2 будет смежная и с v1, и с v3. Но тогда в графе Т* — v2 не будет вершин степени выше 3, и вложение исходного дерева Т будет невозможно. □
При к = 3 вектор (к2,4, 2т+к-1) совпадает с вектором (к + 1,к, 3, 2т+к-1), поэтому с учетом теоремы 2 вектор (к2, 4,2т+к-1) не представляет интереса для поиска минимальных вершинных 1-расширений сверхстройных деревьев.
3. ВЕКТОР (к2,32, 2т+к-2)
Теорема 3. Не существует сверхстройных деревьев вида (т1,...,тк) и к > 3, минимальное вершинное 1-расширение которых имеет вектор степеней вида (к2, 32, 2т+к-2).
Доказательство. В самом деле, предположим, что Т — сверхстройное дерево вида (ш1,...,шк) и к > 3, а Т* — его минимальное вершинное 1-расширение с вектором степеней (к2, 32, 2т+к-2). Обозначим для определенности через v1 и v2 вершины степени к в графе Т*.
Очевидно, что вершины v1 и v2 не могут быть смежными. Если бы это было так, то в графе Т* — v2 не было бы вершин степени к. Аналогично, в графе Т* не может быть вершины, смежной одновременно с v1 и v2. Если бы была такая вершина ад, то в графе Т* — ад вершины v1 и v2 имели бы степень к — 1, и вложение дерева Т было бы невозможно.
Рассмотрим граф Т* — v2. Вместе с вершиной v2 удаляется к ее ребер, поэтому граф Т* — v2 допускает вложение дерева Т и отличается от него на одно ребро. Рассмотрим, какой вид может иметь граф Т* — v2 (рис. 3, а). Возможны три случая, схематично представленных на рис. 3, б-г. В графе Т* — v2 может быть к, к — 1 или к — 2 вершин степени 1 и соответственно 2, 1 или 0 вершин степени 3.
Исследуем каждый случай.
Случай 1 (рис. 3, б). Обозначим через 11 ,...,/& длины цепей, выходящих из вершины степени к (это вершина v1) и заканчивающихся вершиной степени 1. Так как дерево Т* вкладывается в граф Т* — v2, то, не ограничивая общности, получаем, что т1 = 11 — 1,... ,ш^ = — 1. Как было
установлено ранее, 1к > 2, а следовательно, тк > 1, т. е. в сверхстройном дереве Т не может быть цепи длины 1.
Рис. 3. Граф Т* — г>2 (а) и три случая для вектора (к2,32, 2га+к 2) (б-г)
Обозначим через V вершину, смежную с вершиной ^2, в цепи длины (т. е. в кратчайшей цепи, соединяющей вершины VI и v2). Рассмотрим граф Т* — V. По предположению дерево Т должно вкладываться в граф Т* — V. Однако в графе Т* — V вершина v2 имеет степень к — 1 и, следовательно, образом корневой вершины дерева Т при вложении может быть только вершина VI. Однако из нее выходит цепь длины т& — 1, которая меньше любой цепи в дереве Т. Таким образом, этот случай исключается.
Случай 2 (рис. 3, в). Обозначим через ^,..., 1^—1 длину цепей, выходящих из вершины степени к (это по-прежнему вершина v1) и заканчивающихся вершиной степени 1. Через обозначим длину последней цепи, выходящей из вершины v1 и заканчивающуюся вершиной, смежной с единственной вершиной степени 3. Далее, повторяя рассуждения первого случая, приходим к выводу, что и этот случай не возможен.
Случай 3 (рис. 3, г). Заметим, что в этом случае вершина v2 в графе Т* смежна с двумя вершинами степени 3. В силу отмеченного свойства графа Т* вершина v1 тогда не может быть смежна ни с одной из вершин степени 3, т. е. граф Т* — v1 будет попадать под случай 1 и случай 3 также должен быть исключен. Таким образом, были рассмотрены все три возможных случая и оказалось, что ни в одном из них граф Т* не является вершинным 1-расширением дерева Т. □
Полученный результат означает, что если сверхстройное дерево вида (т1,... ,т&) и имеет минимальное вершинное 1-расширение с вектором степеней вида (к2, 32, 2т+к—2), то это возможно только при к = 3. Такие сверхстройные деревья существуют и далее одно из них будет использовано в качестве контрпримера.
4. ВЕКТОР ((к + 1)2, 2т+к)
Как мы уже убедились, существуют сверхстройные деревья, у которых минимальные вершинные 1-расширения имеют вектор степеней вида ((к + 1)2, 2т+к). Следующая теорема дает полное описание сверхстройных деревьев, у которых минимальные вершинные 1-расширения имеют такой вид.
Теорема 4. Пусть Т — сверхстройное дерево вида (т1,..., т^) и к > 2. Дерево Т тогда и только тогда имеет минимальное вершинное 1-расширение с к +1 дополнительным ребром и вектором степеней ((к + 1)2, 2т+к), когда выполняется условие
(V? = 1,..., к : т, > 1) (V ] = 2,..., т^) (3 1 < I < к) (т^ = ] — 1 V т^ = т, — ^). (1)
Доказательство. Заметим, что если в сверхстройном дереве длины всех цепей равны 1, т. е. дерево является звездой, то условие (1) выполняется. Обозначим через Т сверхстройное дерево вида (т1 ,...,т&) и к > 2 с корневой вершиной V, а через Т* — граф, получающийся добавлением к дереву Т вершины и соединением ее с вершиной V и всеми листьями Т. Граф Т* будет иметь вектор степеней ((к + 1)2, 2т+к). Обозначим две смежные вершины степени к + 1 через v1 и v2.
Необходимость. Пусть граф Т* является минимальным вершинным 1-расширением дерева Т. Покажем, что высказывание (1) истинно. Рассмотрим одну из ветвей дерева Т — цепь Рт.. Перенумеруем ее вершины: v1, ^15...,^г. В графе Т * вершина Vjr соединена ребром с вершиной v2 по
построению. Рассмотрим удаление некоторой вершины vгj. Граф Т* — vгj имеет в точности две вершины степени не ниже к: v1 и v2. Следовательно, только одна из них может быть корнем дерева. Из вершины v1 выходит начальный фрагмент цепи Рт. — цепь длины з — 1. Из вершины v2 выходит концевой фрагмент цепи Рт. — цепь длины тг — з. Если v1 будет вершиной дерева, изоморфного Т, тогда из нее выходит цепь длины з — 1, а если v2, то тг — з. Следовательно, цепь одной из этих длин должна существовать в дереве Т. Так как цепь Рт. и ее вершина vг^ выбраны произвольно, то и получается формула (1).
Достаточность. Пусть высказывание (1) верно. Покажем, что Т* является минимальным вершинным 1-расширением дерева Т. Убедимся в том, что Т* является вершинным 1-расширением. Очевидно, что Т вкладывается в Т* — v1 и Т* — v2. Рассмотрим удаление вершины vг^ некоторой цепи Рт.. Не ограничивая общности, будем считать, что г = 1. Покажем, что дерево Т вкладывается в Т* — v1j. Граф Т* — v1j имеет в точности две вершины степени не ниже к: v1 и v2. Следовательно, только одна из них может быть корнем дерева. Из вершины v1 выходит начальный фрагмент цепи Рт1 — цепь длины з — 1. Из вершины v2 выходит концевой фрагмент цепи Рт1 — цепь длины т1 — з. Кроме того, вершины v1 и v2 соединены к — 1 цепями, длины которых т2 + 1,... ,т& + 1.
Если з = 1, тогда вложение получается следующим образом: v1 — корень, цепь v1, v2, v1ml,..., v12
— цепь длины т1. Остальные цепи составляются из вершин цепей Рт2,..., Ртк.
Если з = т1, то аналогично предыдущему случаю вложение получается так: v2 — корень, цепь v2, v1, v12,..., v1ml — цепь длины т1. Остальные цепи составляются из вершин цепей Рт2,..., Рт, начиная от v2, в обратном порядке.
Пусть з = 1 и з = т1. По условию существует цепь, например Рт2, такая, что ее длина равна или з — 1, или т1 — з. В первом случае v1 — корень, начало цепи Рт1 — цепь длины з — 1, а цепь v1 , ...^(^ 1) ^2 , ...^ц^^) имеет длину т1. Остальные цепи составляются из вер-
шин цепей Рт2,..., Рт. Во втором случае v2 — корень, конец цепи Рт1, начиная с вершины v2
— цепь длины т1 — з, а цепь v2,v2ml,..., v21 ,v1, v11,..., v1(j—1) имеет длину т1. Остальные цепи составляются из вершин цепей Рт2,..., Ртк, начиная от v2, в обратном порядке.
Таким образом, граф Т* является вершинным 1-расширением дерева Т, причем отличается от дерева Т на к + 1 дополнительное ребро. По теореме 1 дерево Т не может иметь расширения с к дополнительными ребрами и, следовательно, граф Т* является минимальным вершинным 1-расширением дерева Т. □
Замечание. Условие в формулировке теоремы означает, что если мы занумеруем, начиная от корня, все вершины цепи с длиной т, сверхстройного дерева, то для каждой вершины с номером з в этой цепи должна найтись или цепь длины з — 1, или цепь длины т, — з. При этом считаем, что цепь длины 0 в дереве есть, поэтому достаточно рассмотреть все вершины цепи, кроме первой и последней. Например, рассмотрим сверхстройное дерево с вектором цепей (4, 1, 1). Проверим, что условие выполняется для большей цепи:
з = 2 — цепь длины 1 в дереве есть;
з =3 — цепи длины 2 в дереве нет, но цепь длины 4 — 3 = 1 в дереве есть.
Таким образом, деревья (2, 1, 1), (3, 1, 1) или (4, 1, 1) подходят под условие теоремы 4. А вот сверхстройное дерево (5, 1,1) — нет, так как для вершины v1з с номером з =3 цепи длины 5 в дереве нет подоходящей цепи длины 2 (см. рис. 5, а). Из 67 сверхстройных деревьев с числом вершин до 10 включительно 57 имеют минимальное вершинное 1-расширение, отличающееся на к + 1 дополнительное ребро. Из них только 3 дерева не попадают под действие теоремы 4. Это сверхстройные деревья с векторами цепей (5, 1, 1), (3, 2, 2) и (4, 3, 2).
По построению минимального вершинного 1-расширения с вектором степеней ((к + 1)2, 2т+к) очевидно
Следствие. Пусть Т — сверхстройное дерево вида (т15...,т&) и к > 2. Если дерево Т имеет минимальное вершинное 1-расширение с к + 1 дополнительным ребром и вектором степеней ((к + 1)2, 2т+к), то оно имеет только одно минимальное вершинное 1-расширение с таким вектором степеней.
5. ВЕКТОР ((к + 1),к, 3,2ш+к—1)
Полного описания данного семейства пока не известно. Рассмотрим некоторые общие идеи построения минимального вершинного 1-расширения по данной схеме. Пусть Т — сверхстройное дерево вида (т1,..., тк), а Т* — минимальное вершинное 1-расширение дерева Т с вектором степеней ((к + 1),к, 3, 2т+к—1). Граф Т* отличается от дерева Т на к + 1 дополнительных ребер. Обозначим через и вершину степени к + 1, а через V — вершину степени к.
Рассмотрим граф Т* — и. Удаление вершины и приводит к удалению к+1 ребер, т. е. в получившемся графе будет столько же ребер, как и в дереве Т. По предположению дерево Т должно вкладываться в граф Т* — и, а раз количество ребер одинаково, то граф Т* — и изоморфен дереву Т. Это значит, что построение графа Т* можно представить следующим образом. Добавляется вершина и, которая соединяется с к листьями дерева Т и еще одним ребром с вершиной степени 2. Таким образом, кандидатов на минимальное вершинное 1-расширение п-вершинного сверхстройного дерева Т с вектором степеней ((к+1), к, 3, 2т+к—1) будет менее чем п—к — 1 штук (очевидно, что достаточно рассматривать по одному представителю от цепей одинаковой длины). Предположим, что последнее ребро соединяет вершину и с некоторой вершиной ад степени 2 в цепи длины т1. Если назначить номера вершинам этой цепи, начиная с вершины, смежной с вершиной V, то пусть номер вершины ад будет з. Тогда вершины и и V соединены к — 1 цепью длины тг + 1, г = 2,..., п. Кроме этих цепей из вершины V выходит цепь длины з, конец которой смежен с вершиной и, и кроме ребра {и, ад}, вершины и и ад соединены цепью длины т1 — з. Рассмотрим удаление вершины V,!, смежной с вершиной V в некоторой цепи тг. По предположению дерево Т вкладывается в получившийся граф. Образом корневой вершины может быть только вершина и, которая имеет в графе Т* — vг1 степень к +1. Из вершины и в графе Т* — VII выходит цепь длины т, — 1, следовательно, в дереве Т также должна быть цепь такой длины. Проведенные рассуждения позволяют предложить одно семейство сверхстройных деревьев, представители которого имеют минимальные вершинные 1-расширения с вектором степеней ((к + 1),к, 3, 2ш+к—1).
Теорема 5. Пусть Т — сверхстройное дерево вида (т1 ,...,тк) и к > 2 такое, что т, — т,+1 < 1, г = 1,..., к — 1. Тогда граф, получающийся из дерева Т добавлением одной вершины, соединением ее с листьями дерева Т и одной вершиной, смежной с листом, будет являться минимальным вершинным 1-расширением дерева Т.
Доказательство. Покажем, что граф Т*, описанный в формулировке теоремы, будет являться вершинным 1-расширением дерева Т, а минимальность будет следовать из теоремы 1. Обозначим, как и ранее, в графе Т* через и вершину степени к + 1, а через V — вершину степени к. Не ограничивая общности, будем считать, что при построении графа Т* добавленная вершина была соединена с предпоследней вершиной цепи т^ > 1: —1) (см. рис. 4).
Убедимся, что при удалении любой вершины графа Т* дерево Т можно будет вложить в полу-
чившийся граф. Для графов Т* — и и Т* — V вложение дерева Т очевидно. Далее исследуем удаление произвольной вершины vгj цепи длины т,. Как и ранее з
— это номер вершины в цепи, начиная от вершины, смежной с вершиной V.
Рассмотрим удаление вершины vгmi цепи т, = 1, т. е. вершины цепи длины 1. Вложение строится следующим образом. Ребро {^^ ,и} соответствует цепи т& длины 1. Цепи тг будет соответствовать цепь
и, ,..., ^1, V. Все остальные цепи, выходящие из
вершины и, будут соответствовать цепям исходного дерева Т. Вложение построено.
Рассмотрим удаление вершины vг1 цепи т, > 1, г = I, смежной с вершиной V. Вложение строится следующим образом. Вершина и соответствует корню дерева Т. Остаток цепи т, будет иметь длину т, — 1 и соответствовать цепи подходящей длины дерева Т. Цепи длины т, дерева Т будет соответствовать цепь длины т, — 1 с вершиной V. Все остальные цепи, выходящие из вершины и, будут соответствовать цепям исходного дерева Т. Вложение построено.
Рис. 4. Дерево (5,4,3,2,1) и схема построения для вектора (к + 1, к, 3, 2т+к-2)
Рассмотрим удаление вершины vгmi цепи т, > 1, г = I, смежной с вершиной и. Вложение строится следующим образом. Вершина и соответствует корню дерева Т. Ребро {^^, и} соответствует цепи тк длины 1. Цепь тк вместе с ребром {^, и} и остатком цепи т, от вершины V длины т, — 2 образуют цепь длины т,. Цепи тг будет соответствовать цепь и, ,..., . Все остальные цепи, выходящие
из вершины и, будут соответствовать цепям исходного дерева Т. Вложение построено.
Рассмотрим удаление вершины цепи тг, смежной с вершиной и. Вложение очевидно и стро-
ится следующим образом. Вершина и соответствует корню дерева Т. Цепи тг будет соответствовать цепь и, ,..., ^, V. Все остальные цепи, выходящие из вершины и, будут соответствовать цепям исходного дерева Т. Вложение построено.
Рассмотрим удаление вершины 1) цепи тг, смежной с вершиной и. Вложение очевидно и
строится следующим образом. Вершина и соответствует корню дерева Т. Ребро {^^, и} соответствует цепи тк длины 1. Цепи тг будут соответствовать цепь, оставшаяся часть цепи тг до вершины V длины тг — 2, цепь т& длины 1 с ребром, соединяющим конец цепи с вершиной и. Все остальные цепи, выходящие из вершины и, будут соответствовать цепям исходного дерева Т. Вложение построено.
Рассмотрим удаление произвольной вершины vг^ цепи т,, не относящейся ни к одному из рассмотренных ранее случаев. Вложение строится следующим образом. Вершина V соответствует корню дерева Т. Остаток цепи т, от вершины V будет иметь длину з — 1 и соответстовать цепи подходящей длины дерева Т. Цепь длины з — 1 вместе с вершиной и и остатком цепи т, от вершины и будет соответстовать цепи т,. Все остальные цепи, выходящие из вершины и, будут соответствовать цепям исходного дерева Т. Вложение построено.
Таким образом, граф Т* , построенный по описанной схеме, действительно является вершинным 1-расширением сверхстройного дерева Т из условия теоремы, а в силу теоремы 1 и его минимальным вершинным 1-расширением. □
Следствие 1. Пусть Т — сверхстройное дерево вида (т1,...,тк) и к > 2 такое, что т, — т,+1 < 1, г = 1,...,к — 1. Тогда дерево Т имеет, по крайней мере, т1 различных минимальных вершинных 1-расширений, отличающихся от Т на к + 1 дополнительное ребро.
Доказательство. Из теоремы 5 следует, что различных минимальных вершинных 1-расширений с вектором степеней ((к + 1),к, 3, 2ш+к—1) будет, по крайней мере, столько, сколько есть различных цепей длины, отличной от 1, т. е. т1 — 1. Заметим, что дерево из условия теоремы также попадает и под действие теоремы 4, что дает еще одно минимальное вершинное 1-расширение с вектором степеней ((к + 1)2, 2ш+к). Итого получается, что количество минимальных вершинных 1-расширений не менее чем т1. □
Рассмотрим сверхстройное дерево Т, являющееся объединением цепей длины 1 и 2, среди которых есть хотя бы одна цепь длины 1 и хотя бы одна цепь длины 2. Такое дерево попадает под условие и теоремы 4 и теоремы 5. А с учетом теоремы 3 получается
Следствие 2. Пусть сверхстройное дерево Т является объединением к (к > 3) цепей длинами не более 2, среди которых есть хотя бы одна цепь длины 1 и хотя бы одна цепь длины 2. Тогда дерево Т имеет в точности два неизоморфных минимальных вершинных 1-расширения, которые строятся по схемам из теоремы 4 и теоремы 5.
6. ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА
Заметим, что любой граф имеет вершинное к-расширение с к дополнительными вершинами. Действительно, добавим к данному графу к вершин и соединим их ребрами между собой и со всеми вершинами графа. Очевидно, что полученный граф будет являться вершинным к-расширением. Такое вершинное к-расширение называется тривиальным. Число дополнительных ребер составит к(к — 1)/2 + пк, где п — число вершин исходного графа. Таким образом, тривиальное вершинное к-расширение позволяет получить простейшую верхнюю оценку для числа дополнительных ребер минимального вершинного к-расширения произвольного графа. При к = 1 получаем, что число дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения произвольного п-вершинного графа не более п.
В статье [4] было высказано более сильное утверждение по сравнению с теоремой 4. Прежде
чем перейти к его формулировке, дадим одно определение. Вершина сверхстройного дерева Т называется сложной, если среди длин цепей дерева Т нет цепи длины і — 1 или т, — і. В теореме 4 рассматриваются сверхстройные деревья без сложных вершин. Сверхстройное деревое (5, 1, 1) из предыдущего примера имеет одну сложную вершину — вершину У13.
Утверждение [4]. Минимальное вершинное 1-расширение сверхстройного дерева с к цепями и р сложными вершинами содержит в точности к + р +1 дополнительных ребер.
При р = 0 приведенное утверждение совпадает с теоремой 4. Однако при р > 0 схема доказательства в [4] исследует вариацую вершинного 1-расширения с вектором ((к + 1)2, 2т+к). Пусть — сложная вершина, тогда предлагается добавить ребро из вершины старшей степени в вершину у^_1). Далее в [4] утверждается, что построенный граф будет являться минимальным вершинным 1-расширением заданного сверхстройного дерева. Однако ниже будет показано, что в общем случае построенный граф будет являться вершинным 1-расширением, но не обязательно минимальным.
Как было указано ранее, из 67 сверхстройных деревьев с числом вершин до 10 есть деревья, которые не попадают под действие теоремы 4, но имеют к + 1 дополнительное ребро. Оказывается, что все они являются контрпримерами к утверждению [4].
Сверхстройное дерево (5, 1, 1) имеет одну сложную вершину, но имеет единственное минимальное вершинное 1-расширение вида (к2, 32, 2т+к_2), отличающееся на 4 дополнительных ребра.
Сверхстройное дерево (3, 2, 2) также имеет одну сложную вершину, но имеет 2 минимальных вершинных 1-расширения вида (к2, 32, 2т+к_2) и одно вида ((к + 1),к, 3, 2т+к-1), отличающихся на
4 дополнительных ребра.
Наконец, сверхстройное дерево (4, 3, 2) имеет одну сложную вершину, но имеет 4 минимальных вершинных 1-расширения вида (к2, 32, 2т+к_2), отличающихся на 4 дополнительных ребра.
Еще один интересный пример представляет собой сверхстройное дерево (5, 2, 2). Можно заметить, что оно имеет две сложные вершины, но его 37 минимальных вершинных 1-расширений отличаются на 5, а не на 6 дополнительных ребер. Аналогичная ситуация с деревьями (6, 1, 1) или (3, 3, 2), у которых также по две сложные вершины, но минимальные вершинные 1-расширения отличаются на
5 дополнительных ребер.
Самое большое отклонение среди всех сверхстройных деревьев с числом вершин до 10 наблюдается на сверхстройном дереве (7, 1, 1). Непосредственной проверкой можно убедиться, что оно имеет 3 сложные вершины, но его 8 минимальных вершинных 1-расширений отличаются на 5, а не на 7 дополнительных ребер. Можно предположить, что на серхстройных деревьях вида (£, 1,1) (количество сложных вершин в таких деревьях составляет £ — 3, при £ > 3) при увеличении £ отклонение будет возрастать.
Каждый из этих контрпримеров показывает ошибочность утверждения в общем случае. Исследуем первый контрпример более подробно.
Пример. Рассмотрим сверхстройное дерево Т с вектором цепей (5, 1, 1). На рис. 5, а изображено это дерево. При непосредственной проверке убеждаемся, что единственной сложной вершиной является вершина у13 — вершина цепи длины 5.
Действительно, в дереве Т нет цепи длины 2 (і — 1 = 3 — 1 = 2, т1 — і = 5 — 3 = 2). На рис. 5, б, изображено вершинное 1-расширение, построенное по схеме [4]. Это расширение отличается на 5 дополнительных ребер. На самом деле это вершинное 1-расширение не является минимальным, и на рис. 5, в изображено единственное минимальное вершинное 1-расширение дерева Т с вектором степеней (34, 25), которое отличается на 4 дополнительных ребра. Пунктирными линиями обозначаются добавленные вершина и ребра.
ч>у
а б в
Рис. 5. Сверхстройное дерево (5,1,1) и два его вершинных 1-расширения
Убедимся, что граф на рис. 5, в действительно является вершинным 1-расширением сверхстройного дерева (5, 1, 1). В силу очевидной симметрии достаточно рассмотреть графы, получающиеся при
удалении верхней вершины и вершин, расположенных слева от нее. На рис. 6 показано вложение рассматриваемого дерева при удалении соответствующих вершин. Толстой линией выделена вершина, являющаяся образом корневой вершины, а лишние ребра обозначаются пунктирными линиями. Доказательство минимальности следует из теоремы 1.
Рис. 6. Вложение дерева (5, 1, 1) при удалении различных вершин
Ошибка в работе [4] состояла в том, что исследовалась лишь схема ((к + 1)2, 2т+к), а другие возможности не рассматривались. Другими словами, исследовалась схема, в которой добавляется одна вершина и соединяется ребрами с некоторыми из остальных вершин. Вершинное к-расширение графа С называется Т-неприводимым, если оно является частью тривиального к-расширения графа С, но никакая его собственная часть не является вершинным к-расширением графа С. По сути, авторы работы [4] описали Т-неприводимые 1-расширения сверхстройных деревьев. Однако с точки зрения минимальных вершинных 1-расширений этот результат может использоваться лишь как верхняя оценка. Следует отметить, что существуют сверхстройные деревья с р > 0, на которых эта верхняя оценка достигается. Например, сверхстройное дерево (5,1,1,1) имеет одну сложную вершину и 6 минимальных вершинных 1-расширений, отличающихся на 6 дополнительных ребер. Одно из этих расширений имеет указанный в работе [4] вид. Аналогичная ситуация возникает для сверхстройного дерева (6,1,1). Таким образом, нижняя и верхняя оценки для числа дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения произвольного сверхстройного дерева с к цепями и р сложными вершинами являются достижимыми, и можно сформулировать заключительный результат работы:
k < ec(T) < k + p.
Библиографический список
1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. Vol. 25, № 9. P. 875-884.
2. Harary F, Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. Vol. 27. P. 19-23.
3. Harary F., Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. Vol. 23. P. 135-142.
4. Harary F, Khurum M. One node fault tolerance for caterpillars and starlike trees // Intern. J. Comput. Math. 1995. Vol. 56. P. 135-143.
5. Кабанов М. А. Об отказоустойчивых реализациях графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов, 1997. Вып. 1. С. 50-58.
6. Абросимов М. Б. Минимальные расширения графов // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур. Томск, 2000. С. 59-64.
7. Абросимов М. Б., Комаров Д. Д. Минимальные вер-
шинные расширения сверхстройных деревьев с малым числом вершин / Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2010. 38 с. Деп. в ВИНИТИ 18.10.2010, № 590-В2010.
8. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 5. С. 643-650.
9. Абросимов М. Б. О нижней оценке числа ребер минимального реберного 1-расширения сверхстройного дерева // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2. С. 111-117.
10. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М., 1997. 368 с.
11. Абросимов М. Б. Минимальные расширения неориентированных звезд // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов, 2006. Вып. 7. С. 3-5.
