CC BY
10
2016 Прикладная теория графов №4(34)
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.17
Т-НЕПРИВОДИМЫЕ РАСШИРЕНИЯ ДЛЯ ОРИЕНТИРОВАННЫХ
СВЕРХСТРОЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ
А. В. Гавриков
ООО «Яндекс.Маркет Лаб», г. Санкт-Петербург, Россия
Приведена конструкция одного из Т-неприводимых расширений для ориентированных сверхстройных деревьев.
Ключевые слова: Т-неприводимые расширения, ориентированное дерево, сверхстройное дерево.
DOI 10.17223/20710410/34/6
T-IRREDUCIBLE EXTENSIONS OF DIRECTED STARLIKE TREES
A. V. Gavrikov LLC Yandeks.Market Lab, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
A digraph H = (W, в) is called a T-irreducible extension of a digraph G = (V, a), if | W| = | V| + 1, there is a vertex w e W such that H — w = G, G is embedded into every subgraph H — u for u = w, and no arc can be deleted from в without disturbing these properties. T-irreducible graph extensions are widely applied to synthesizing fault tolerant computing networks. In the paper, it is shown that, for any directed starlike tree G = (V, a) consisting of some directed chains Pi = (v0, v^,..., Vi,ni), i = 1,..., k, beginning in the root (vo) of the tree, and having no other shared vertices, the digraph H = (V U {w},e), where a С в, (v0,w) e в, (w,vi,ni-i) e в for all i, 0 ^ i ^ k — 1, ni > 2 ^ ((w, vi,ni-2) e в, 0 < i < k — 1, (w, vi,ni-i) e в, 0 < i < k — 1), m > 3 ^ ^ ((w, vi,j), (vi,j, w) e в, 0 ^ i ^ k — 1,1 ^ j ^ ni — 3), is a T-irreducible extension of G.
Keywords: T-irreducible extension, directed tree, starlike tree.
Введение
Под ориентированным графом (или, для краткости, орграфом) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество (вершины орграфа); а — бинарное отношение на множестве V (дуги орграфа). Все используемые ниже и необъясняемые в тексте понятия теории графов взяты из [1].
Тривиальное расширение (ТР) орграфа G = (V, а) — это соединение G + w исходного орграфа G с вершиной w e V .В силу того, что тривиальное расширение орграфа G единственное с точностью до изоморфизма, можно ввести функцию TP(G).
Т-неприводимое расширение (ТНР) орграфа С — это расширение С, полученное удалением максимального множества дуг из ТР(С) [2]. ТНР для некоторых классов неориентированных графов рассматривались в работах [2, 3]. В [3] показаны конструкции ТНР для полных бинарных деревьев. Полиномиальные алгоритмы построения ТНР для объединения ориентированных цепей, объединения орграфа и его ТНР, направленных звезд описаны в [4]. В [5] предложен полиномиальный алгоритм построения одного из ТНР для многоугольных орграфов.
Т-неприводимые расширения являются одним из видов оптимальных расширений для орграфов. Конструкции оптимальных расширений применяются в диагностике дискретных систем и криптографии [6], а также в задачах отказоустойчивости [7, 8]. В общем случае задача определения того, представляет ли орграф Н расширение для орграфа С, является КР-полной. Задача поиска ТНР по заданному орграфу является вычислительно сложной, так как не существует полиномиального проверяющего алгоритма для подтверждения корректности сертификата решения. Для проверки того, что орграф Н является ТНР для орграфа С, необходимо установить, что:
1) орграф С является вершинным расширением орграфа Н (КР-полная задача);
2) никакая часть орграфа С, получающаяся удалением одной дуги, не является вершинным расширением орграфа Н (задача из со-КРС) [9].
Следующий критерий, на который опирается доказательство процедуры построения ТНР, вытекает непосредственно из определения.
Теорема 1 (критерий ТНР для орграфов). Орграф Н = ) является ТНР
для орграфа С = (V, а) тогда и только тогда, когда одновременно выполнены следующие условия:
1) | = IV| + 1;
2) в орграфе Н существует вершина т, такая, что Н — т = С;
3) орграф С вкладывается в каждый максимальный подграф Н — и орграфа Н, где и = т;
4) (свойство неприводимости). При удалении любой дуги, инцидентной вершине т, из орграфа Н полученный орграф не будет расширением для С.
1. Общие сведения о сверхстройных деревьях
Дерево — связный граф без циклов. Дерево, в котором только одна вершина имеет степень больше 2, называется сверхстройным (или звездоподобным). На сверхстройное дерево можно смотреть как на объединение к цепей Р0, Ръ ..., Рк-1, где к > 2, с общей концевой вершиной. При этом сверхстройное дерево можно закодировать вектором, состоящим из длин цепей в порядке неубывания: (п0,п1,... ,Пк-1), где п0 ^ п1 ^ ... ^ Пк-1. Такое кодирование сверхстройных деревьев является взаимно-однозначным: любому вектору (п0,п1, ••• ,Пк-1), где к > 2, соответствует единственное с точностью до изоморфизма сверхстройное дерево с числом вершим п0 + п1 + ... + пк-1 + 1, являющееся объединением к цепей РП0, РП1,..., РПк-1 с общей концевой вершиной. В этом дереве корневая вершина имеет степень к, к вершин — степень 1, а остальные п0 + п1 + • • • + пк-1 — к вершин имеют степень 2. Будем называть такой код вектором цепей. Корневую вершину в сверхстройном дереве обозначим через г0. Вершины, принадлежащие цепи Р^ длины п^, 0 ^ г ^ к — 1, обозначим у^, 1 ^ 3 ^ п — 1, где з — расстояние от вершины до концевой вершины г0.
На рис. 1 изображено сверхстройное дерево с 10 вершинами, являющееся объединением трёх цепей Р3, Р4 и Р5 с общей концевой вершиной. Это дерево имеет вектор цепей (3, 4, 5).
Рис. 1
2. ТНР для ориентированных сверхстройных деревьев
Под ориентированным сверхстройным деревом (сверхстройным ордеревом) будем понимать ориентацию сверхстройного дерева, при которой каждое ребро ориентируется в направлении от корневой вершины г0 к листьям: рёбра (г0,г»,1), 0 ^ г ^ к — 1, ориентированы от вершины г0 к вершине г^,1, рёбра (г^-,г^+1), 0 ^ г ^ к — 1, 0 ^ з ^ щ — 2, — от вершины г^^ к вершине В сверхстройном ордереве Т, кото-
рое является объединением к ориентированных цепей, корневая вершина г0 является источником и имеет степень исхода к; к вершин УгЛ_1, где 0 ^ г ^ к — 1, являются стоками.
На рис. 2 изображено сверхстройное ордерево, получающееся ориентацией сверхстройного дерева рис. 1.
Следующия теорема позволяет построить одно из ТНР для сверхстройных ордере-вьев.
Теорема 2. Пусть Т = (V, а) —некоторое сверхстройное ордерево, являющееся объединением к цепей РП0, РП1,..., РПк-1. Его ТНР Н = (V и {т}, в) получается добавлением в Т вершины т и следующих дуг:
1) добавляем дугу (г0,т) из корневой вершины г0 в вершину т;
2) добавляем дуги (и^г^-г) из вершины т в каждую вершину УгЛ_2, 0 ^ г ^ ^ к — 1, которая принадлежит цепи РП1, имеющей более двух вершин, т. е. п^ > 2; добавляем дуги (т,гг,„4-1) из вершины т в каждый сток Vi,ni-1, 0 ^ г ^ к — 1, в исходном сверхстройном ордереве Т;
3) добавляем встречные дуги ), (г^- , т) для каждой вершины г^^, 0 ^ г ^ ^ к — 1, 1 ^ з ^ ni — 3, которая принадлежит цепи Р^, имеющей более трёх вершин, т. е. п > 3.
VI,!
Рис. 2
Доказательство. Рассмотрим орграф Н = (Vи{т}, в)• Необходимо и достаточно показать выполнение всех пунктов теоремы 1 (критерия ТНР для ориентированных графов).
1. |Ш | = IV | + 1.
2. Т = Н — т в силу построения в теореме.
3. Покажем, что сверхстройное ордерево Т вкладывается в каждый максимальный подграф орграфа Н.
При вложении ф : V ^ Ш — г0 сверхстройного ордерева Т в максимальный подграф Н—го орграфа Н корневую вершину го отобразим в вершину т, ф(г0) = т, а остальные вершины отобразим сами в себя.
При вложении ф : V ^ Ш — г^-, ] = п — 1, сверхстройного ордерева Т в максимальный подграф Н — г^- орграфа Н, полученный удалением некоторой вершины г^-, не являющейся стоком, вершину г^ отобразим в вершину т, ф(г^) = т, а остальные вершины отобразим сами в себя.
При вложении ф : V ^ Ш — г^д, п = 2, сверхстройного ордерева Т в максимальный подграф Н — г^- орграфа Н, полученный удалением стока г^д цепи РП2 длины один, вершину г^д отобразим в вершину т, ф(г^д) = т, а остальные вершины отобразим сами в себя. Такое отображение возможно, так как в орграфе Н существует дуга (г0,т). Следовательно, дуга (г0,г^д), которая образует цепь РП2, отобразится в дугу (г0,и>).
При вложении ф : V ^ Ш — п > 2, сверхстройного ордерева Т в макси-
мальный подграф Н — гг,„4-1 орграфа Н, полученный удалением стока г^^ цепи длины больше 1, вершины г0, г^д, г^,2,... , г^^, г^^ цепи отобразим в вершины г0, т, г^д, г^,2,..., г^-3, г^-2, а остальные вершины отобразим сами в себя.
Таким образом, сверхстройное ордерево Т вкладывается в каждый максимальный подграф орграфа Н.
4. Свойство неприводимости. Докажем, что при удалении любой дуги, инцидентной вершине т, из орграфа Н полученный орграф не будет расширением для сверхстройного ордерева Т.
При удалении дуги (г0, т) в каждом из к максимальных подграфов Н — (г0, т) — г^ орграфа Н — (г0, т), 0 ^ г ^ к — 1, будет единственный источник г0 со степенью исхода к — 1. При этом в сверхстройном ордереве Т корневая вершина г0, являющаяся в нём единственным источником, имеет степень исхода к. Следовательно, вложение сверхстройного ордерева Т в некоторые максимальные подграфы орграфа Н — (г0, т) невозможно.
При удалении дуги (т, г^), 0 ^ г ^ к — 1, входящей в вершину эдд, которая принадлежит цепи Рп длины больше 1, в максимальном подграфе Н — (т, Эдд) — г0 орграфа Н — (т^д) будет единственный источник г^ со степенью исхода, меньше или равной 2. При этом в сверхстройном ордереве Т корневая вершина г0, являющаяся в нём единственным источником, имеет степень исхода больше 2, так как к > 2. Следовательно, вложение сверхстройного ордерева Т в некоторые максимальные подграфы орграфа Н — (т^д), где 0 ^ г ^ к — 1, щ > 2, невозможно.
При удалении дуги ), 0 ^ г ^ к — 1, 2 ^ з ^ ni — 2, входящей в верши-
ну г^,, которая принадлежит цепи Рп. длины больше 2, в максимальном подграфе Н — (т, г^,) — г^,^ орграфа Н — (т, г^,) будет единственный источник г^, со степенью исхода, меньше или равной 2. При этом в сверхстройном ордереве Т корневая вершина г0, являющаяся в нём единственным источником, имеет степень исхода больше 2, так как к > 2. Следовательно, вложение сверхстройного ордерева Т в один из максимальных подграфов орграфа Н — ), 0 ^ г ^ к — 1, 2 ^ з ^ ni — 2, щ > 3, невозможно.
При удалении дуги (г^,, т), 0 ^ г ^ к — 1, 1 ^ з ^ ni — 3, выходящей из вершины г^,, которая принадлежит цепи Pni длины больше 2, в максимальном подграфе Н — (г^,, т) — г^,^!^ орграфа Н — (г^, , т) будет к +1 сток. Это к вершин -1,
0 ^ з ^ к — 1, которые являются стоками в сверхстройном ордереве Т, и вершина г^,, так как дуга (г^,, т) удалена. При этом в ордереве Т есть только к вершин-стоков, которые являются листьями ордерева. Следовательно, вложение сверхстройного ордерева Т в один из максимальных подграфов орграфа Н — ), 0 ^ г ^ к — 1,
1 ^ з ^ п — 3, ni > 3, невозможно.
При удалении дуги (т^д), 0 ^ г ^ к — 1, входящей в сток г^, которая принадлежит цепи Рп2 длины 1, в максимальном подграфе Н — (т, г^) — г0 орграфа Н — (т, г^) вершина vi,1 будет изолированной. При этом в сверхстройном ордереве Т нет изолированных вершин. Следовательно, вложение сверхстройного ордерева Т в один из максимальных подграфов орграфа Н — (т, г^), 0 ^ г ^ к — 1, щ = 2, невозможно.
При удалении дуги (т,г^-1), 0 ^ г ^ к — 1, входящей в сток г^^, которая принадлежит цепи Рп. длины больше 1, в максимальном подграфе Н — (т,г^п,;_1) — г^_2 орграфа Н — (^г^^) вершина vi,ni_1 будет изолированной. При этом в сверхстройном ордереве Т нет изолированных вершин. Следовательно, вложение сверхстройного ордерева Т в один из максимальных подграфов орграфа Н — (т, _1), 0 ^ г ^ к — 1, щ > 2, невозможно. ■
ТНР Н, построенное по теореме 2 для сверхстройного ордерева Т на рис. 1, показано на рис. 3. Начала и концы дуг, которые не примыкают к какой-либо вершине на рисунке, инцидентны вершине т.
Рис. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997. 368 с.
2. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений: сб. науч. тр. / под ред. проф. А. А. Сытника. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 113-125.
3. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения полных бинарных деревьев // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2005. №14. С. 158-160.
4. Гавриков А. В. Т-неприводимые расширения объединений некоторых типов орграфов // Прикладная дискретная математика. 2013. №4(22). С. 47-56.
5. Гавриков А. В. T-неприводимые расширения для многоугольных орграфов // Изв. вузов. Математика. 2016. №2. С. 18-23.
6. Салий В. Н. Доказательства с нулевым разглашением в задачах о расширении графов // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2003. №6. С. 63-65.
7. Абросимов М. Б. Некоторые вопросы о минимальных расширениях графов // Известия СГУ. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 6. Вып. 1/2. С. 86-90.
8. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing systems // IEEE Trans. Computers. 1976. V. С-26. No. 9. P. 875-884.
9. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. №5. С. 643-650.
REFERENCES
1. Bogomolov A. M. and Salii V.N. Algebraicheskie osnovy teorii diskretnykh sistem [Algebraic Foundations of the Discrete Systems Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1997. (in Russian)
2. Kurnosova S. G. T-neprivodimye rasshireniya dlya nekotorykh klassov grafov [T-irreducible extension for some classes of graphs]. Teoreticheskie Problemy Informatiki i ee Prilozheniy, Saratov, SGU Publ., 2004, pp. 113-125. (in Russian)
3. Kurnosova S. G. T-neprivodimye rasshireniya polnykh binarnykh derev'ev [T-irreducible extension of complete binary trees]. J. TSU. Supplement, 2005, no. 14, pp. 158-160. (in Russian)
4. Gavrikov A. V. T-neprivodimye rasshireniya ob"edineniy nekotorykh tipov orgrafov [T-irreducible extension of unions of some types orgraphs]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2013, no. 4(22), pp. 47-56. (in Russian)
5. Gavrikov A. V. T-neprivodimye rasshireniya dlya mnogougol'nykh orgrafov [T-irreducible extension of polygonal digraphs]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2016, no. 2, pp. 18-23. (in Russian)
6. Salii V. N. Dokazatel'stva s nulevym razglasheniem v zadachakh o rasshirenii grafov [Zero-knowledge proofs in problems on extensions on graphs]. J. TSU. Supplement, 2003, no.6, pp. 63-65. (in Russian)
7. Абросимов М. Б. Некоторые вопросы о минимальных расширениях графов [Some questions about the minimum extensions on graphs]. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2006, vol.6, iss. 1/2, pp.86-90. (in Russian)
8. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing systems. IEEE Trans. Computers, 1976, vol. С-26, no. 9, pp. 875-884.
9. Abrosimov M. B. O slozhnosti nekotorykh zadach, svyazannykh s rasshireniyami grafov [On the complexity of some problems related to graph extensions]. Mat. Zametki, 2010, vol.88, iss. 5, pp. 643-650. (in Russian)
