Связность множества решении задачи Коши функционально-дифференциального уравнения с вольтерровым оператором и импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Keywords: functional-differential inclusion; impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Корчагина Елена Валерьевна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Филиппова Ольга Викторовна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Alexandr Bulgakov

doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

Elena Korchagina

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

Olga Filippova

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

УДК 517.911.5

СВЯЗНОСТЬ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМ ОПЕРАТОРОМ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

© А. И. Булгаков, J. Р. Munembe

Ключевые слова: связность множества решений; функционально-дифференциальные уравнения с воль-терровым оператором и импульсными воздействиями.

Аннотация: Здесь приводится теорема о структуре множества решений уравнения в метрическом пространстве, с помощью которой формулируется теорема о связности множества решений задачи Коши функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями.

Вопрос о связности множеств решений задач эволюционного типа имеет богатую историю и восходит к классическим работам А. Кнезера, М. Хукухаре, где он был решен для обыкновенных

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131), "Программой Всемирного исследовательского сотрудничества в математике, статистике и информатике"при поддержке SIDA и включена в Темплан № 1.6.07.

дифференциальных уравнений. Этот результат переносился затем многими авторами на объекты более общего вида, в том числе на дифференциальные и интегральные уравнения и включения (Р.В. Ахмеров, Е.Е. Викторовский, Б.Д. Гельман, И.Т. Кигурадзе, А.Я. Лепин, Л.Н. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский, A.A. Толстоно-гов, А.Ф. Филиппов, И.А. Финогенко, J. Davy, W. Kelley, N. Kikuchi, S. Nakagiri, H. Marakami, S. Szufla и др. (библиографию можно найти в монографиях [1-5])). Плодотворную роль при исследовании вопроса о связности для задач с однозначными операторами сыграла топологическая схема доказательства, разработанная М.А. Красносельским и А.И. Перовым. Здесь приводится теорема, которая обобщает принцип связности М.А. Красносельского и А.И. Перова.

Пусть Y, Yi— полные метрические пространства. Рассмотрим отображение P : M ^ У\, где M С У— замкнутое ограниченное множество, а также уравнение

q = P (x), (1)

где q Е Yi. Под решением уравнения (1) понимается всякий элемент x Е M, удовлетворяющий (1). Через H(M) обозначим множество всех решений уравнения (1).

Будем говорить, что оператор P q-замкнут, если из условия q Е P(E) вытекает, что q Е P(E) для любого замкнутого множества E С M.

Теорема 1. Пусть оператор P q-замкнут. Тогда множество H (M) связно тогда и только тогда, когда по любому т > 0 можно найти связное множество X(т) С M, удовлетворяющее условиям: H (M) С X (т); для любо го x Е X (т) выполняется нераве нет,во руг [q,P (x)] ^ т, где РУ\ [', ■] - расстояние в метрическом пространстве У1.

Теорему 1 можно использовать для исследования структуры множества решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями. Для этого введем обозначения.

Пусть tk Е [a,b](a < ti < ... <tm < b)— конечный набор точек. Обозначим через Cn[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, ti], (ti,t2],..., (tm, b] ограниченных функций x : [a,b] ^ Rn, имеющих пределы справа в точках tk, k = 1, 2,..., m, с нормой ||x||g„ja 6] = = sup{|x(t)|,t Е [a, b]}, Ln[a,b]— пространство суммируемых функций.

Рассмотрим задачу

x = ^(x),x(a)= x0^ Rn) (2)

Ax(ti) = Ii(x(ti)), i = 1, 2,...,m,

где непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Ф : Cn[a,b] ^ Ln[a,b] обладает свойством: для каждого ограниченного множества U С Cn[a,b] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией. Отображения Ii : Rn ^ Rn, i = 1, 2,..., m непрерывн ы, Ax(U) = x(ti + 0) — x(ti),

i = 1, 2, . . . , m.

Под решением задачи (2) будем понимать такую функцию x Е Cn[a, b], что для всех t Е [a, b] имеет место равенство

* m

x(t) = x0 + j Ф^^йв + X(ti ,b] (t)Ax(ti),

г=1

где Х(с,ъ\— характеристическая функция отрезка (с, Ь].

Пусть Н(хо)— множество решений задачи (2).

В силу того, что оператор Ф : Сп[а,Щ ^ Ьп[а,Ь] вольтерров, естественным образом можно ввести определение решения (локального) на любом отрезке [а,т] С [а,Ь] задачи (2). Пусть Н(хо,т)— множество всех решений задачи (2) на отрезке [а,т].

Будем говорить, что множество решений задачи (2) (Н(хо)) априорно ограничено, если существует такое г > 0^ любого т Е (а, Ь] не существует у Е Н(хо,т), что

\\У\\сп{а,Ъ\ > Г■

Используя теорему 1 и результат работы [6], можно доказать следующее утверждение. Теорема2. Пусть множество решений задачи(2) априорно ограничено. Тогда, множество Н(х0) — непустой связный компакт пространства Сп[а,Ь].

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Ахмеров P.P., Каменский М.Н., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 55-126.

3. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: ТбГУ, 1975.

4. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 5. С. 99-141.

5. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

6. Булгаков А.П., Ляпин Л.Н. О связности множеств решений функциональных включений // Матем. сб. 1982. Т. 119, № 2. С. 295-300.

Abstract: The theorem about the structure of the solutions set of an equation in a metric space is given. Based on this result, there is also formulated the theorem on connectedness of the solutions set of the Cauchy problem for a functional-differential inclusion with impulses.

Key words: the solutions set connectedness; functional-differential equations with Volterra operator and impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Alexandr Bulgakov

doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

Мунембе Джоао Пауло д. ф.-м. н., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту e-mail: [email protected]

Joao Paulo Munembe

doctor of phys.-math. sciences, professor

Eduardo Mondlane University

Mozambique, Maputo

e-mail: [email protected]