Полунепрерывная снизу зависимость от параметров множеств решений функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями

Булгаков Александр Иванович; Корчагина Елена Валерьевна; Филиппова Ольга Викторовна

УДК 517.911, 517.968

ПОЛУНЕПРЕРЫВНАЯ СНИЗУ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия. Аннотация: Сформулирована теорема о полунепрерывной снизу зависимости множеств решений задачи Коши от правой части функционально-дифференциальных включений, импульсных воздействий и начальных условий.

Пусть и € [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим ЪЩМ) пространство суммируемых по Лебегу функций х : и ^ К” с норм ой ||х||ш(и) — / \x(s)\ds, п(и )[•, •] - расстояние по

и

Хаусдорфу между множествами пространства Ъп(Ы).

Множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) подмножеств пространства Ьп[а, Ь] обозначим через Б(Xп[а, Ь]).

Пусть ^ € [а, Ь] (а < £1 < ... <1т < Ь) - конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, £1], (£1^2], ■ ■ ■, (£т, Ь] ограниченных функ-

СП[а,Ь] ~

ций х : [а, Ь] ^ Кп, имеющих пределы справа в точках ^, к — 1, 2,т, с нормой ||х11л«

— 8ир{\х(£)\ : £ € [а, Ь]}; Е+ — [0, то) Ь+[а, Ь], С + [а, Ь] - конусы неотрицательных функций

пространств Ь1[а, Ь] и С [а, Ь] соответственно; х(а, Ь) - характеристическая функция интервала

(а, Ь).

Рассмотрим задачу

X € Фо(х), (1о)

А(х(гк)) — 1ок(х(£к)), к — 1,2,...,т, (2о)

х(а) — хо, (3о)

а также для любого г — 1, 2,... рассмотрим задачи

х € Фг(х), (1*)

А(х(£к)) — !%к(х(£к)), к — 1,2,...,т, (2*)

х(а) — х*, (3*)

где для каждого г — 0,1,... вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Ф* : С [а, Ь] ^ Б(ЪП[а, Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф*(и) ограничен суммируемой функцией. Для каждого г — 0,1, к — 1, 2, ...т отображения 1*к : Кп ^ Кп

непрерывны.

Пусть Н(х*, т) (г — 0,1,...) - множество решений задачи (1*) —(3*) на отрезке [а, т] (т € (а, т]).

Будем говорить, что задачи (1*) — (3*) (г — 0,1, 2,...) априорно ограничены в совокупности, если найдется такое число I > 0, что для любых фиксированных г — 0,1, ..^ т € (а, Ь], и любого у € Н(х*,т) выполняется оценка \\yHgп[ат] ^ I-

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131) и включена в Темплан № 1.6.07.

Определение!.. Будем говорить, что импульсные воздействия 1гк : К™ ^ К™, г = 1, 2, к = 1, 2, обладают свойс твом Л, если для каждого г = 1, 2,..., к = 1, 2,...,т найдется

непрерывная неубывающая функция 1гк : К+ ^ К+, удовлетворяющая равенству Сгк(0) = 0, что для любых х,у € К™ выполняется оценка

\1ок (х) - 1гк (у)| < Тгк (|х - у|), (4)

причем для любого к = 1, 2, ...,т и любого г € К+ имеем 1гк(г) ^ 0 при г ^ то.

Определение 2. Будем говорить, что импульсные воздействия 1гк : К™ ^ К™, г = = 1, 2,..., к = 1, 2,..., т, и отображения Фг : С [а,Ь] ^ Б (И»™ [а, Ь]), г = 1, 2,..., обладают свойством В, если импульсные воздействия 1гк : К™ ^ К™, г = 1, 2,..., к = 1, 2, ...,т, обладают свойством Л, и если для каждого г = 1, 2,... найдется пзотонный непрерывный вольтерров оператор Гг : С+ [а, Ь] ^ Ь+[а, Ь], удовлетворяющий условиям: Г(0) = 0, для любых функций х,у € С [а, Ь] и любого измеримого множества и € [а, Ь] выполняется неравенство

^"(М)[ф0(х);фг(у)] < ||Гг(^(х - У))Ь 1(U), причем для любого г € С + [а, Ь] Г(г) ^ 0 при г ^ то, и задачи

у = Гг(у), Ау^к ) = Тгк (y(^k)), к = 1,2,...,т, у (а) = \хо - хг\, г = 1,2,...

априорно ограничены в совокупности, где отображение Z : С™[а, Ь] ^ С+ [а, Ь] определено равенством (Zx)(t) = \ х(^) \.

Теорема. Пусть последовательность хг ^ хо в К™, при г ^ то. И пусть задачи (1г) — (3г), г = 0,1,... априорно ограничены в совокупности. Далее пусть импульсные воздействия 1гк : К™ ^ К™ г = 1, 2,..., к = 1, 2,..., т, и отображения Фг : С [а, Ь] ^ Б(Ь™[а, Ь]), г = 1, 2,..., обладают свойством В Тогда для каждого решенпя у € Н(хо, Ь), для любого t € [а, Ь] представимого в виде

Р m

y{t) = Xq + q(s)ds + Y^ X(tk ,b]A(y(tk)),

a k=i

где ^ € Фо(у) и А(у^к)) (к = 1, 2,..., т) удовлетворяют равенствам (2о), найдется такая последовательность уг € Н(хг, Ь), г = 1, 2,..., что для любого t € [а, Ь] выполняется равенство

~ m

yi(t) = Xq + qi(s)ds + Y^ X(tk,b]A(yi(tk))

a k=i

где qi E Фi(yi^ и A(yi(tk)) (k = 1, 2, условиям (2i), и yi ^ y в пространстве

С [а, b] при i ^ то, при этом qi ^ q в пространстве Ln[a, Ь] при i ^ то.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

2. Завалищип С. Т., С'есекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

3. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища ж., 1987.

4. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 5. С. 99-141.

5. Филиппов А.Ф. Диференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

Abstract: There is derived the theorem on lover semicontinuous dependence of solution-set to the cauchy problem on the right-hand side of functional-differential inclusion, on the impulses and on the initial conditions.

Keywords: functional-differential inclusion; impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Корчагина Елена Валерьевна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Филиппова Ольга Викторовна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Alexandr Bulgakov

doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

Elena Korchagina

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

Olga Filippova

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

УДК 517.911.5

СВЯЗНОСТЬ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМ ОПЕРАТОРОМ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

Ключевые слова: связность множества решений; функционально-дифференциальные уравнения с воль-терровым оператором и импульсными воздействиями.

Аннотация: Здесь приводится теорема о структуре множества решений уравнения в метрическом пространстве, с помощью которой формулируется теорема о связности множества решений задачи Коши функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями.

Вопрос о связности множеств решений задач эволюционного типа имеет богатую историю и восходит к классическим работам А. Кнезера, М. Хукухаре, где он был решен для обыкновенных

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131), "Программой Всемирного исследовательского сотрудничества в математике, статистике и информатике"при поддержке ЭГО А и включена в Темплан № 1.6.07.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Булгаков Александр Иванович, Корчагина Елена Валерьевна, Филиппова Ольга Викторовна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Булгаков Александр Иванович, Корчагина Елена Валерьевна, Филиппова Ольга Викторовна