CC BY
0
УДК 53
Гарлыева С.
студент
Туркменского государственного университета имени Махтумкули;
СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА В ПРОСТРАНСТВЕ L[0,T]
Уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма представляют собой важный класс интегральных уравнений, широко применяемых в различных областях математики, физики и инженерии. Они возникают при моделировании различных процессов, таких как теплопроводность, диффузия, колебания и т.д. Пространство L[0,T] является естественным пространством для изучения этих уравнений, так как оно содержит функции, интегрируемые с квадратом на отрезке [0,Т]. Уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма Уравнение Вольтерра второго рода имеет вид: у(х) = ^х) + /[0,х] КМу(^ Уравнение Вольтерра первого рода имеет вид: ^х) = /[0,х] КМу(^
Уравнение Вольтерра-Фредгольма второго рода имеет вид:
у(х) = ад + Л0Д] кму(^
Уравнение Вольтерра-Фредгольма первого рода имеет вид:
ад = ло,-п К(хд)у(^
где:
• у(х) - неизвестная функция;
• f(x) - заданная функция;
• K(x,t) - ядро интегрального уравнения. Пространство L[0,T]
Пространство L[0,T] состоит из всех измеримых функций ад, определенных на отрезке [0,Т], для которых интеграл Лебега от квадрата модуля функции по отрезку [0,Т] конечен: Л0,Т] №)|л2 dx < ~ Основные свойства
• Линейность: Оператор интегрального уравнения является линейным оператором в пространстве
L[0,T].
• Непрерывность: При определенных условиях на ядро К(хД) интегральный оператор является непрерывным в пространстве L[0,T].
• Компактность: В многих случаях интегральный оператор является компактным оператором в пространстве L[0,T].
• Существование и единственность решения: Для уравнений Вольтерра второго рода при достаточно гладких ядрах и функциях ^х) существует единственное решение в пространстве L[0,T]. Для уравнений Вольтерра первого рода и уравнений Вольтерра-Фредгольма задача о существовании и единственности решения более сложна и зависит от конкретных свойств ядра и функции ^х).
Методы решения
Для решения уравнений Вольтера и Вольтерра-Фредгольма существует множество различных методов, таких как:
• Метод последовательных приближений: Позволяет найти приближенное решение в виде ряда.
• Метод конечных разностей: Сводит интегральное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений.
• Метод коллокаций: Позволяет найти приближенное решение, удовлетворяющее уравнению в конечном числе точек.
• Метод Галеркина: Позволяет найти приближенное решение в виде линейной комбинации базисных функций.
Приложения
Уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма широко применяются в различных областях, таких
как:
• Теория управления: Моделирование динамических систем.
• Теория вероятностей: Решение интегральных уравнений типа Вольтерра.
• Физика: Задачи теплопроводности, диффузии, колебаний.
• Экономика: Моделирование экономических процессов. Список использованной литературы:
1. Рубия красильная // Ботанический словарь / сост. Н. И. Анненков. - СПб.: АН, 1878. - XXI + 645 с.
2. «Жизнь растений»: Том 6/Глава под ред. А. Л. Тахтадхян. - М.: Просвещение, 1981. - Т. 5. Часть 2: Цветковые растения/под ред. А. Л. Тахтадхян. - 358. - 512 с. - 300 000 экземпляров.
© Гарлыева С., 2024
УДК 53
Инеров Б.
Преподаватель,
Туркменского государственного финансового института
Мурадов М. студент,
Туркменского государственного финансового института
Шадманов Б. студент,
Туркменского государственного финансового института ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ОСНОВЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Теория вероятностей - это раздел математики, изучающий случайные явления и события. Она предоставляет инструменты для количественной оценки неопределенности и принятия решений в условиях риска.
Основные понятия
• Случайное событие: Событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого эксперимента.
• Пространство элементарных исходов: Множество всех возможных исходов эксперимента.
• Вероятность события: Числовая мера возможности наступления события, заключенная в интервале от 0 до 1.
• Случайная величина: Функция, сопоставляющая каждому элементарному исходу некоторое числовое значение.
• Математическое ожидание: Среднее значение случайной величины.
• Дисперсия: Мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
