Свойства решений специальной модели двумерных движений сплошных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

УДК 517.95

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ДВУМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ

СПЛОШНЫХ СРЕД

Ю. В. Шанько

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

В аэрокосмической науке и технике имеет большое значение исследование моделей движения сплошных сред. Рассмотрена одна такая специальная модель. Обсуждаются некоторые физические свойства соответствующих решений.

Ключевые слова: уравнения движения сплошных сред, переопределенная система.

PROPERTIES OF SOLUTIONS OF A SPECIAL MODEL FOR TWO-DIMENSIONAL MOTIONS

OF CONTINUOUS MEDIA

Yu. V. Shan'ko

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

Investigation of models of continuous media has a great importance in aerospace science and technology. In this paper we consider a special model of motions of continuous media. We discuss some physical properties of these motions.

Keywords: equations of motion of continuous media, overdetermined system.

Исследование моделей сплошной среды имеет большое значение при изучении перемещения транспортных средств, включая ракетно-космические аппараты. В работе рассматривается одна из специальных моделей, которая задается дифференциальными уравнениями:

щ + иих + уиу + рх = 0, у( + иух + ууу + ру = 0,

их + Vy = ° Р + иРх + УРу = ° (!)

где t - время, х и у - пространственные координаты; и и у - компоненты вектора скорости; р - давление. Эта система описывает тепловые движения полит-ропного газа [1], а также течения жидкости, при которых каждая из изобар может служить свободной границей.

Система уравнений (1) является переопределенной, следовательно, необходимо исследовать ее на совместность. Этому посвящены работы [2-5], где уравнения (1) были переписаны в лагранжевых координатах:

хи - У; = ° Уи + X; = ° X;Уп - хп У; = 1' (2)

Систему уравнений (2) удается полностью проинтегрировать и найти все классы точных решений.

В работе исследуются свойства найденных решений. В частности, показано, что для всех решений давление и завихренность связаны функциональной зависимостью. Найдены классы решений, отвечающие за перемещение жидкости с граничными условиями типа движущихся твердых стенок.

Библиографические ссылки

1. Овсянников Л. В. О «простых» решениях уравнений динамики политропного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 5-12.

2. Нещадим М. В., Чупахин А. П. О некоторых решениях уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой // Сиб. электрон. матем. изв. 2011. Т. 8. С. 317-332.

3. Шанько Ю. В. Об одной переопределенной системе уравнений движения сплошной среды // Ре-шетневские чтения. 2013. Т 2, № 17. С. 122-123.

4. Хабиров С. В. Плоские изотермические движения идеального газа без расширений // ПММ. 2014. Т. 78, № 3. С. 411-424.

5. Шанько Ю. В. Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений идеальной жидкости // Решетневские чтения. 2014. Т 2, № 18. С. 163-164.

References

1. Ovsyannikov L. V. "Simple" solutions of the equations of dynamics for a polytropic gas // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1999. Vol. 40, issue 2, pp. 191-197, doi: 10.1007/BF02468514.

2. Neshchadim M. V., Chupakhin A. P. O nekotorykh resheniyakh uravneniy dvizheniya sploshnoy sredy so spetsial'noy termodinamikoy [About some solutions of the equation moving continuous medium with special thermodynamics] / Sib. elektron. matem. izv. 2011. Vol. 8, pp. 317-332 (In Russ.).

Решетнеескцие чтения. 2015

3. Shan'ko Yu. V. Ob odnoy pereopredelennoy sisteme uravneniy dvizheniya sploshnoy sredy [About one overdetermined system of equations of motion of a continuous medium] // Reshetnevskie chteniya. 2013. Vol. 2, no. 17, pp. 122-123 (In Russ.).

4. Khabirov S. V. The plane isothermal motions of an ideal gas without expansions // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2014, Vol. 78, iss. 3, pp. 287-297, doi: 10.1016/j.jappmathmech.2014.09.012.

5. Shan'ko Yu. V. Ob odnoy pereopredelennoy sisteme uravneniy dvumernykh dvizheniy ideal'noy zhidkosti [On one overdetermined system of equations of two-dimensional motions of an ideal fluid] // Reshetnevskie chteniya. 2014. Vol. 2, no. 18, pp. 163— 164 (In Russ.).

© Шанько Ю. В., 2015

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ТИПА ВОЛЬТЕРРА С НЕЛИНЕЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Т. К. Юлдашев, О. В. Солодова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра с начальным условием. С помощью несложного интегрального преобразования задача сведена к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра. Доказана теорема о существовании и единственности решения данной задачи на рассматриваемом отрезке.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, начальная задача, интегральное преобразование, нелинейное интегральное уравнение, однозначная разрешимость.

TO VOLTERRA TYPE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH NONLINEAR RIGHT-HAND SIDE

Т. К. Yuldashev, О. V. Solodova

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]

The questions of one-valued solvability for a nonlinear Volterra type integro-differential equation with initial value condition are considered. By the aid of uncomplicated integral transformation this problem is reduced to the nonlinear Volterra type integral equation. The theorem of existence and uniqueness of the solution of given initial value problem in considering segment are proved.

Keywords: integro-differential equation, initial value problem, integral transformation, nonlinear integral equation, one-valued solvability.

Рассматривается на отрезке DT интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра вида

/ (t)-XjK (s)u (s) ds = f (t,u (t)) (1)

с начальным условием

u (t )| t =0 =ф,

(2)

где К (?) е С (ВТ), / (г, и) е С (В), X - параметр; В = ВТ х Я; ВТ =[ 0;Т ]; Я = (-ж; да).

Отметим, что для интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма подобная методика разработана в работах [1-3]. Примем обозначение

S (t) = jK (s)u (s) ds.

(3)

Тогда уравнение (1) принимает вид

и'(0-Х3(0 = f(t,и (0). (4)

Интегрируя (4) по г, получаем

г г

и (?) = ф + Х 1^(5) ds + | f (5-,и (5-)) ds. (5) 0 0 Подставляя (5) в (3), имеем

г 5 г

9 (?) = Х| К( 5) |&(9) d6ds + фJ К(5) ds +

0 0 0