Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений идеальной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика и механика

Распределение плотности и продольной составляющей скорости

Картина течения в рассматриваемой области соответствует имеющимся экспериментальным представлениям.

Библиографические ссылки

1. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа в канале // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 4. С. 77-90.

2. Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich V. M. Numerical modeling of supersonic flows in channel // Russian Journal of Numer. Anal. and Math. Modeling. 2012. Vol. 27, № 6. P. 585-601.

References

1. Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich V. M. Chislennoe modelirovanie techenij vjazkogo teploprovodnogo gaza v kanale (Numerical modeling of flows of viscous heat-conducting gas in channel). Vychislitel'nye tehnologii. 2013, vol. 18, № 4, р. 77-90.

2. Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich V. M. Numerical modeling of supersonic flows in channel (2012) Russian Journal of Numer. Anal. and Math. Modeling, vol. 27, 6. р. 585-601.

© Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В., 2014

УДК 517.95

ОБ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Ю. В. Шанько

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 Е-mail: [email protected]

Рассмотрена переопределенная система уравнений в частных производных, каждое решение которой можно интерпретировать как двумерное течение идеальной жидкости со свободной границей. Проводится частичный анализ на совместность данной системы. Приводятся примеры точных решений.

Ключевые слова: идеальная жидкость, точные решения, движение со свободной границей.

ON ONE OVERDETERMINED SYSTEM OF EQUATIONS OF TWO-DIMENSIONAL MOTIONS OF AN IDEAL FLUID

Yu. V. Shan'ko

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

An overdetermined system of PDE is studied. Every solution of this system can be interpreted as a two-dimensional flow of an ideal fluid with a free boundary. A partial analysis on the compatibility of the system is performed. Some examples of exact solutions are constructed.

Keywords: overdetermined system, equations of motion of a continuous medium.

Рассмотрим переопределенную систему уравнений ux + vy = 0,

ut + uux + vuy + px = 0, ,

у pt + upx + vpy =(p0 / p0) p, (1)

vt + uvx + vvy + py = 0, ,

t x y где p0 = p0(t) - некоторая функция.

Решетневскуе чтения. 2014

Система (1) описывает двумерные движения жидкости с дополнительным условием постоянства величины p / p0 в частице.

Это условие позволяет интерпретировать каждое решение (1) как движение жидкости со свободной границей, определяемой соотношением p = 0.

Запишем систему (1) в специальных лагранжевых координатах, характеризуемых условием p / p0 = п :

% - P0У; = 0 у и + Po x; = 0

x; Уп- ^ У;=1 (2)

В данной работе проведен частичный анализ на совместность системы (2). Построены примеры точных решений. Подробно разобран случай p0 = 1.

© Шанько Ю. В., 2014

УДК 519.3:62-50

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Изучены вопросы приближенного решения одной задачи оптимального управления для нелинейного псевдогиперболического уравнения третьего порядка при смешанных условиях. Приведены формулы приближенного вычисления функционала качества при известных управляющих воздействиях.

Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, смешанные условия, оптимальное управление, обобщенная разрешимость, приближенное решение, минимизация функционала.

APPROXIMATE SOLUTION OF OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR A NONLINEAR PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION OF THIRD ORDER

Т. К. Yuldashev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]

The issues of approximate solution of optimal control problem for nonlinear partial pseudohyperbolic differential equations of the third order with mixed value conditions are studied. The formulae of approximate calculation of functionality of quality at known control activities are presented.

Keywords: Pseudohyperbolic equations, mixed value conditions, optimal control, generalized solvability, functional minimization, approximate solution.

Псевдогиперболические уравнения третьего порядка возникают в теории нестационарного течения вязкого газа при конвективной диффузии солей в пористой среде, распространении начальных уплотнений в вязком газе, а также при рассмотрении двухфазной стратифицированной пористой среды, состоящей из жидкости и твердых тел.

Пусть управляемый процесс описывается квазилинейным псевдогиперболическим уравнением вида

д u (t, x)

-ц-

д 3u (t, x) д 2u (t, x)

д t2 д t д x2 д x2

= P (t, x) + f (t, x, u (t, x ) ) со смешанными условиями

u (t, x)| t=0 =ф l( x) , ut (t, x)| t =0 =ф 2 ( x),

u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=l = 0,

(1)

(2) (3)

где f (t, x,u) e С (D x R), P (t, x) - управляющая функция; 0 <ц- малый параметр; фj(x)x=0 =

= ф/ ( x)l x=l = 0

ф j (x) e С3(Dl),

j = 1,2.

D = DT х , DT =[ 0^ ], Dl = [ 0,l ] ,0 <l 0 < T

При фиксированном управлении P (/, x) используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде ряда Фурье

u (t,x, ц) = ^ai (t, ц) • bt(x).

i =1

i = 1,2,

где bt(x) = Jysin^ix, ^i = -