CC BY
12интерпретировать каждое решение (1) как движение жидкости со свободной границей, определяемой соотношением p = const.
В [2] система (1) записана в специальных ла-гранжевых координатах, характеризуемых условием n = p:
xtt - У^ = 0> ytt + = 0 xi;Уп - xn У$ =1 • (2)
В данной работе выполнен анализ на совместность системы (2). Показано, что все вещественные решения (2) должны принадлежать одному из двух классов. Решения из первого класса характеризуются тем, что функции x(t, 4, n), y(t, 4, П) удовлетворяют линейной системе уравнений с постоянными коэффициентами
xtttt + lyttt + kxtt = 0, ytttt - lxttt + *Уи =
Решения из второго класса групповыми преобразованиями могут быть сведены к решениям, которые
описывают хорошо известные стационарные круговые движения сплошной среды.
Библиографические ссылки
1. Овсянников Л. В. О «простых» решениях уравнений динамики политропного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 5-12.
2. Нещадим М. В., Чупахин А. П. О некоторых решениях уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой // Сибирские электронные математические известия. 2011. Т. 8. С. 317-332.
References
1. Ovsjannikov L. V. O «prostyh» reshenijah uravnenij dinamiki politropnogo gaza // PMTF. 1999. T. 40, № 2. S. 5-12.
2. Neshhadim M. V., Chupahin A. P. O nekotoryh reshenijah uravnenij dvizhenija sploshnoj sredy so special'noj termodinamikoj // Sibirskie jelektronnye matematicheskie izvestija. 2011. T. 8. S. 317-332.
© Шанько Ю. В., 2013
УДК 517. 95
ЛИНЕЙНОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
Т. К. Юлдашев, М. А. Довгий
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected]
Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости начальной задачи для линейного параболического интегродифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в бесконечной полосе.
Ключевые слова: начальная задача, линейное уравнение в частных производных, интегродифференциальное уравнение Фредгольма, однозначная разрешимость, вырожденное ядро.
LINEAR PARABOLIC FREDHOLM INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION
Т. К. Yuldashev, M. A. Dovgiy
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: [email protected]
The questions of one-value solvability of initial value problem for linear parabolic Fredholm integro-differential equation in an infinite strip are considered.
Keywords: Initial value problem, linear partial equation, Fredholm integro-differential equation, one-value solvability, degenerate kernel.
Рассматривается в бесконечной полосе с начальными условиями D = DT x R интегродифференциальное уравнение u (0, x) =ф (x), x e R, (2)
Фредгольма вида t
u (t ,0) = ф (0) + M j J a (s) ds +
= JK(t,s) d-^ds + f (t,x) (1) \ ,( 0)d °t D (3)
д t 0 5 x2 +J f (s ,0) ds, t e Dt ,
0
Решетневскуе чтения. 2013
ux (t ,0) =ф '(0) + M2 j a (s) ds-
(4)
Пусть
где
+ j fx (s,0) ds, t e DT
0
f (t,x) e С 0,2 (D),
с (x) = с "(x) • Л + F0( x)
A = j b (s) q (s) ds > 0 .
(10)
ф(x) e С 2(R),
K (t, s) = a (t ) •b (s), a (t ), b (s) e C(DT ), Ml - заданные постоянные, i = 1,2, DT = [ 0,T].
Отметим, что изучению дифференциальных уравнений параболического типа посвящено много работ, но изучению интегродифференциальных уравнений в частных производных посвящено сравнительно мало. Интегродифференциальные уравнения имеют особенности в вопросе однозначной разрешимости.
В данной работе изучаются вопросы однозначной разрешимости начальной задачи для линейного параболического интегродифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в бесконечной полосе.
Обозначим
Тогда последнее уравнение запишется в виде
с "(х) - В • с (х) = F (х), (11)
где В = А F (х) =- В • F0(x).
Решая дифференциальное уравнение (11) методом вариации произвольных постоянных, получаем
с (х) = ск ц х + Б2 як ц х +
(12)
- j F (y) • e ( x,y) dy,
, ч r , M3 u (s, x) с (x) = j b1 (s)-2— ds .
0 5 x2
Тогда (1) перепишется в виде
д u (t, x)
(5)
д t
= a (t) • с (x) + f (t, x) .
Интегрируя по t, с учетом условия (2) из последнего равенства имеем
t t
и ^, х) =ф (х) + с (х) • | а (я) Ся + | / (я, х) Ся. (6)
0 0
Дифференцируя (6) два раза по х, получаем
t t
их','.; :; ;
0 0 t t
1хх (},х) = ф''(х) + с"(х)| а(я)Ся + | /хх (я,х)ds. (8)
0 0
Подстановка (8) в (5) дает
ц.
где Q (х, у) = як ц (х + у) + як ц (х - у), ц = \/В , коэффициенты подлежат определению, I = 1,2. Из (12) имеем
с (0) = Б1 , с'(0) = ц Б2 . (13)
С учетом (13) из (6) и (7) получаем, что
t t
и ^ ,0) = ф(0) + Б1 | а (я) Ся + | / (я ,0) Ся , (14)
0 0 t t
их ^ ,0) = ф' (0) + ц Б 2 •]" а (я) Ся + | /х(я ,0) Ся . (15)
0 0
Сравнение соотношений (14) и (15) с заданными условиями (3) и (4) дает
Di = M i , D 2 =-
M 2
Тогда (12) принимает вид
M
,(t, x) = ф ' ( x) + с '(x) •j a (s) ds + j fx (s, x) ds, (7)
с (x) = M1 ск ц x +--2 sh ц x +
ц
+ -1 ¡F ( y ) • g ( x,y) dy . Ц 0
(16)
Подставляя (16) в (6), имеем
с ( x) = j b ( s)
ф ''(x) + с ''(x) •j a (9) d9-
M
j fxx (9, x) d9
(9)
ds .
или
Примем обозначения
q (t) = j a (s) ds , A = j b (s) • q (s) ds
F0(x) = | Ь (я) •ф ''(х) Ся + | Ь (я) | /хх (9, х) С9 Ся . 0 0 0 Тогда дифференциальное уравнение (9) относительно с (х) приобретает вид
u (t, x) = ф (x) + q (t) <{M1 ск ц x + —2 sh ц x + l -1 x ] t
+ -j F (y) • e ( x, y) dy 1 + j f (s, x) ds
- 0 J 0
u (t, x) = ф (x) + j f (s, x) ds +
0
Г m 2
+ q (t) • < M1 ск ц x +--2 sh ц x -
l ц
T x
-ц j b (s) ds j e (x,y)•ф ''(y) dy -
0 0 x T s 1
-ц j e(x,y) j b (s) j fyy (9,y) d9ds dy 1, (17)
где
Q (x, y) = sh ц (x + y) + sh ц (x - y), ц = -у/А
A = | Ь • q (s) ds , q (t) = | a (s) ds . о о
Таким образом, доказано, что справедлива следующая теорема. Пусть:
1) выполняется условие (10);
2) K (1, s) = a (1) • Ь (s) ;
3) max {|ф (x)|;| f (t, x)| }<œ;
4)
5)
J Q (x, y) -ф ''(y) dy
< œ ;
J Q (x, y) - fyy (t,y) dy
< œ .
Тогда в области Б существует единственное решение задачи (1)-(5), которое имеет вид (17).
© Юлдашев Т. К., Довгий М. А., 2013
УДК 517. 9
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев, А. С. Крапивкина
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected], [email protected]
Рассматриваются вопросы существования периодических решений задачи Коши для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Используется нелинейный метод характеристик, который позволяет задачу свести к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Изучаются вопросы существования и практические пути отыскания периодических решений нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода.
Ключевые слова: квазилинейное уравнение, нелинейный метод характеристик, нелинейное интегральное уравнение, периодические решения, метод последовательных приближений.
ON PERIODIC SOLUTIONS OF THE QUAZILINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL
EQUATIONS OF FIRST ORDER
Т. К. Yuldashev, A. S. Krapivkina
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
The questions of existence of the periodic solutions of initial value problem for a quazilinear partial differential equations of the first order is considered. By the nonlinear method of characteristic the Volterra nonlinear integral equation of the second kind is obtained. The existence ofperiodic solutions and the ways offinding these periodic solutions of the obtained Volterra nonlinear integral equation are studied.
Keywords: The quazilinear partial differential equation, nonlinear method of characteristic, nonlinear Volterra integral equations, existence of the periodic solutions, the method of successive approximations.
В области D рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение вида
д U (t,x) + A (t, x, u (t, x) ))(t,x) =
д t
д x
f (t, x, u (t, x) )
с начальным условием
u (t, x) |t=0 =ф ( x),
(1)
где А (1, х, и )е С (Б х Я ), / (, х, и )е С (Б х Я ) ф (х) е С (Я), Б = [ 0;Т ]х Я, Я = (-<» ;<»).
Уравнения вида (1) встречаются при решении многих задач механики. В отличие от стандартных методов в данной работе уравнение (1) сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Стандартные методы позволяют найти точныхе (частные) решения уравнений при конкрет-
