CC BY
11
СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Кулжанов У.Н.1, Уралова О.Б.2, Каримов И.Т.3
1Кулжанов Уткир Нематович - доктор физико-математических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и прикладной математики, математический факультет, Самаркандский государственный университет имена Шарофа Рашидова; 2Уралова Озода Бурибоевна - преподаватель, кафедра точных наук,
Самаркандский государственный университет ветеринарной медицины, животноводства и биотехнологий;
3Каримов Ислом Тоштемирович - магистрант, кафедра теории вероятностей и прикладной математики, математический факультет, Самаркандский государственный университет имена Шарофа Рашидова, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой статье рассматривается основные свойства характеристической функции случайной величины. Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Приводятся шесть свойств и одна теорема, их доказательства. Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислены важнейшие свойства характеристических функций. Кроме того, приведен пример на доказательство по определению, что все моменты нечётных порядков стандартного нормального распределения существуют и равны нулю..
Ключевые слова: случайная величина, характеристическая функция случайной величины, обратное преобразование Фурье, биномиальное распределение, ряды Тейлора, непрерывное соответствие.
PROPERTIES OF CHARACTERISTIC FUNCTIONS Kulzhanov U. N.1, Uralova O.B.2, Karimov I.T.3
1Kulzhanov Utkir Nematovich - Doctor Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND APPLIED MATHEMATICS, FACULTY OF MATHEMATICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY NAMED AFTER SHAROF RASHIDOV; 2Uralova Ozoda Buriboevna - Lecturer, DEPARTMENT OF EXACT SCIENCES, SAMARKAND STATE UNIVERSITY OF VETERINARY MEDICINE, ANIMAL HUSBANDRY AND BIOTECHNOLOGY;
3Karimov Islom Toshtemirovich - undergraduate, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND APPLIED MATHEMATICS, FACULTY OF MATHEMATICS, SHAROF RASHIDOV SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article discusses the main properties of the characteristic function of a random variable. The characteristic function of a random variable is one of the ways to specify a distribution. Characteristic functions can be more convenient in cases where, for example, the density or distribution function has a very complex form. Also, characteristic functions are a convenient tool for studying issues of weak convergence (convergence in distribution). Six properties and one theorem, their proofs are given. Characteristic functions are very convenient for studying the properties of sums of random variables. The most important properties of characteristic functions are listed. In addition, an example is given to prove by definition that all moments of odd orders of the standard normal distribution exist and are equal to zero.
Keywords: random variable, characteristic function of a random variable, inverse Fourier transform, binomial distribution, Taylor series, continuous correspondence.
Характеристическая функция случайной величины имеет следующие свойства:
Свойства 1. Характеристическая функция всегда существует:
Доказательство. Воспользуемся свойством , равносильным неравенству^
Свойства 2. По характеристической функции однозначно устанавливается распределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Т.е. если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают. Формулы, с
(Еп)2 < ЕП2
помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье».
Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения, и она находится по формуле
Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится. Свойства 3. Характеристическая функция случайной величины '' ' Л функцией случайной величины равенством:
связана с характеристической
. ь £ а,
Пример 1. Вычислим характеристическую функцию случайной величины имеющей нормальное распределение с параметрами ■.': и . Мы знаем, что у стандартизованной случайной величины
М _ 1 <-1 характеристическая функция равна ^У1 ' г . Тогда характеристическая
функция величины ^ '■: ^ I равна
Свойства 4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению
характеристических функций слагаемых: если случайные величины и 11 независимы, то, по свойству (Е7) математических ожиданий
Замечание 1. Чтобы характеристическая функция суммы 71 случайных величин распадалась в
произведение их характеристических функций, попарной независимости слагаемых не хватит. То же самое можно сказать про свойства (Е7) математических ожиданий.
Замечательным свойствам (Ф4) мы сразу же воспользуемся, как обещали, для доказательства леммы 5, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.
Пусть 5 _ ^ ' ^ и _ ^ " независимы. Характеристическая функция их суммы ^ "I" 'I равна
Видим, что характеристическая функция суммы есть характеристическая функция нормального
распределения с параметрами и 'Ч"!"11:. Следовательно, % '' " ^ -'■ |+-'■- по
свойству (Свойства 2).
Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения, распределения Пуассона и гамма-распределения, используя характеристические функции из примеров 59 - 63.
Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона и 11 характеристическая функция суммы
ф£.+п(0 = ^Р - 1) } ехр {д - 1) } = ехр {(1 + 11)(ей-1)}
равна характеристической функции распределения Пуассона . Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями ' и характеристическая функция суммы
(0 = Фб(£)Фп С*) = (1 -Р + ре*У' (1 - р + ре1*} ттт. , ц-.п+гп - (1 -р^ре )
равна характеристической функции биномиального распределения с параметрами П-\-7П и Р. Для ■'; независимых (в совокупности) случайных величин с показательным распределением Е,
характеристическая функция суммы
равна характеристической функции гамма-распределения я-п.
Свойства 5. Пусть существует момент порядка ■'■■' ~ - | случайной величины т.е. '-4 '.
Тогда характеристическая функция непрерывно дифференцируема к раз, и её к-я производная в
нуле связана с моментом порядка .'■.' равенством:
Существование и непрерывность к -и производной, равно как и законность переноса производной под
знак математического ожидания мы доказывать не будем.
£
Упражнение 1. Доказать, что для случайной величины ^ со стандартным нормальным распределением момент чётного порядка '_!.■'■.' равен ,2к
Ер = (2Л? - 1)!! = (2Л? - 1) ■ (2fc - 3) ■ ... ■ 3 ■ 1.
Доказать по определению, что все моменты нечётных порядков стандартного нормального
распределения существуют и равны нулю.
Как только появились производные высших порядков, самое время разложить функцию в ряд Тейлора11'.
Свойства 6. Пусть существует момент порядка ■'■■' ~ - | случайной величины т.е. '.
Тогда характеристическая функция в окрестности точки £ = О разлагается в ряд Тейлора
Ряды Тейлора бывают особенно полезны в теории пределов. Следующее основное свойства характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем, и это свойство -последняя теорема, оставленная нами без доказательства.
Теорема 1 (теорема о непрерывном соответствии). Случайные величины слабо сходятся к
случайной величине ^ тогда и только тогда, когда для любого Ь характеристические функции
сходятся к характеристической функции
Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами ■-1 _
функций распределения со слабой сходимостью и ^ V характеристических функций со сходимостью
в каждой точке. «Непрерывность» этого соответствия - в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом другом классе.
Список литературы /References
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. - М.: Юрайт-издат, Высшее образование, 2009.-479 с.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник - М.: Юнити, 2012.-543 с.
