CC BY
14
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТ ДЛЯ БЕЗМАССОВОГО
АНТИСИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ
1 2
Мерзликин Б.С. , Снегирев Т.В. Email: [email protected]
1Мерзликин Борис Сергеевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник; 2Снегирев Тимофей Владимирович - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник,
отдел исследований и разработок, Томский государственный педагогический университет, г. Томск
Аннотация: в работе исследуется безмассовый супермультиплет (0,1/2) с минимальной суперсимметрией в четырехмерном пространстве-времени. Описание поля co спином ноль ведется в терминах антисимметричного тензорного поля второго ранга (раЬ. Суперпартнером к антисимметричному тензорному полю второго ранга выступает спинтензерное поле Рариты-Швингера Ч/а. Действие для модели выбирается в виде суммы свободного действия для антисимметричного тензерного поля второго ранга и действия для поля со спином 3/2. Показано, что безмассовый супермультиплет со спинами (0,3/2) запрещен.
Ключевые слова: суперсимметрия, антисимметричное тензорное поле.
SUPERMULTIPLET FOR MASSLESS ANTI-SYMMETRIC TENSOR
FIELD
Merzlikin B.S.1, Snegirev T.V.2
1Merzlikin Boris Sergeevich - PhD in Physics and Mathematics, Researcher; 2Snegirev Timofey Vladimirovich - PhD in Physics and Mathematics, Researcher, RESEARCH AND DEVELOPMENT DEPARTMENT, TOMSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY, TOMSK
Abstract: the paper investigates massless supermultiplet (0,1/2) with minimal supersymmetry in four-dimensional space-time. The description of the field with spin zero is carried out in terms of the antisymmetric tensor field of the second rank . The superportner to the antisymmetric tensor field of the second rank is the Rarita-Schwinger spintensor field . The action for the model is selected in the form of the sum of the free action for the antisymmetric tensor field of the second rank and the action for the field with spin 3/2. It is shown that a massless supermultiplet with spins (0,3/2) is forbidden.
Keywords: supersymmetry, antisymmetric tensor field.
УДК53.01, 51-71 DOI: 10.24411/2312-8267-2019-10901
Хорошо известно, что в релятивистской теории поля скалярное поле р описывает частицу со спином 0. Динамика свободной частицы описывается функцией Лагранжа [1]
1 т2
L = ~даРдар- — рр. (1) Здесь т- массовый параметр, при m = 0 данный лагранжиан описывает безмассовую частицу со спином (спиральностью) 0. Суперпреобразования, смешивающие безмассовый скаляр и безмассовый спинор , который описывается лагранжианом
L = 1фад ар, (2)
имеют вид [2]
8р = aîp Ç, 5р = -iad ар уа(. (3) 5
Их вид полностью определяется требованием инвариантности суммы лагранжианов (1) и (2). Вычисляя коммутатор суперпреобразований, вычисленных для скалярного поля, получим
[S1,S2 ] р = — i2 а2д a(p(2Ya<i-Это означает, что антикоммутатор двух суперзарядов пропорционален оператору трансляции в импульсном представленни. Данные суперпреобразования отвечают безмассовому супермультиплету с частицами ( 0, 1 / 2 ) .
С другой стороны, в четырехмерном пространстве-времени безмассовая частица со спином 0 может быть описана безмассовым антисимметричным тензорным полем второго ранга, рab = — рba. Функция Лагранжа для данного поля имеет вид
L = 1 Fa b CFa b C , (4)
где
F a b C = д[ apb C] => д[ a Fb C d] = 0 . (5) Лагранжиан (4) инвариантен относительно калибровочных преобразований
S pab = д [a£b] => SFab C = 0. Найдем суперпреобразования из требования, чтобы сумма лагранжианов (2) и (4) была инвариантна относительно них. Выпишем общий анзац
S pab = axpY ab{. Sip = if>Fab CYabC(. (6) Тогда вариация лагранжиана равна
SL = —рд dFab AYdab CZ — (a + 3p)d aF abMb (7)
Заметим, что первое слагаемое зануляется в силу (5), тогда из требования обращения вариации лагранжиана в ноль получаем решение р = — Вычислим коммутатор на антисимметричный тензор
[S^SJcp"» = -iAa2Fabc(2Yc^
= -Ма2(дссраЬ + d[a(pb}c%YcZi-Видим, что первое слагаемое отвечает генератору трансляции, а второе слагаемое есть калибровочное преобразование (6) с калибровочным параметром £ b = рbC(2YC(1. Известно, что для калибровочных полей коммутатор двух суперпреобразований определен с точностью до калибровочного преобразования. Дуальные супермультиплеты также рассматривались в [4].
Хорошо известно, что суперпреобразования связывают безмассовые частицы, отличающиеся спином на 1/2. Поэтому безмассовый супермультиплет со спинами ( 0, 3 /2) запрещен. Полезно посмотреть как это возникает с технической точки зрения. Безмассовая частица со спином 3/2 описывает спин-вектором 4a с функцией Лагранжа
L = —{чaYabC дb4, (8)
где yabC = ~Y[aYbYC]. Наиболее общий анзац суперпреобразования для скаляра и спин-6
вектора выглядит
Sp = iai¥aYa(, S4a = р дap( + y дbpyab{. Можно показать, что никаким подбором параметров а,р ,y нельзя добиться инвариантности суммы лагранжианов (1) и (8). Суперсимметричные модели, включающие частицу со спином 3/2 можно посмотреть в [5].
Наиболее общий анзац для антисимметричного тензора и спин-вектора выглядит
8(раЬ = ¿а1Ч>[а7й]<' + ia24>cYabcS,
5ц,а = piF^Ybc( + p2FbcdYabcd(. Вариация суммы лагранжианов (4) и (8) дает
SL = — i2(ai — 3p2)дaFabC^Ybx4c — ia2 дaFab^YbCd4d. (9) Таким образом инвариантность лагранжиана относительно суперпреобразований может быть достигнута, если положить a2 = р1 = 0 , р2 = Однако, вычисляя коммутатор двух суперпреобразований получим
[SMtp^ = о.
Это означает, что найденные преобразования супералгебре не отвечают, то есть супесимметрия не реализуется как и следовало ожидать.
Благодарность: Работа выполнена в рамках проекта MK-1649.2019.2.
Список литературы /References
1. Пескин М. Введение в квантовую теорию поля / М. Пескин, Д. Шредер // Москва-Ижевск: РХД, 2001. 783 с.
2. Volkov D. V., Akulov V.P. Possible universal neutrino interaction // JETP Lett. 16 (438), 1972.
3. Zinoviev Yu.M. Massive spin-2 supermultiplets // ArXiv. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://arxiv.org/abs/hep-th/0206209/ (дата обращения: 28.10.2019).
4. Altendorfer R., Bagger J. Dual sypersymmetry algebra from Partial sypersymmetry Breaking // Phys. Lett. B (460) 127.
5. Zinoviev Yu.M. Massive supermultiplets with spin 3/2 // JHEP 0705 (2007) 092.
