Квантование безмассовых p-форм в искривленном пространстве-времени произвольной размерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1; 539.12; 537.8

Е. Н. Кириллова

КВАНТОВАНИЕ БЕЗМАССОВЫХ Р-ФОРМ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Рассматриваются модели безмассовых антисимметричных тензорных полей рангар (р-форм) в произвольном ,0-мерном искривленном пространстве-времени (р < D). Производится квантование этих моделей и оценивается эффективное действие. Результат записан в терминах Даламбертианов, действующих на р-формы.

Ключевые слова: квантовые поля в искривленном пространстве-времени, антисимметричные тензорные поля, калибровочные полевые теории, эффективное действие.

1. Введение

Безмассовые полностью антисимметричные тензорные поля (АТП, р-формы) появляются естественным образом в моделях расширенной супергравитации [1], в безмассовом спектре струн и суперструн [2], однако изучение их восходит еще к 1960-м гг. (см. ссылки и краткий обзор в статье [3], а также ссылки в упомянутых выше работах).

Большая часть работ, связанных с АТП, имеет отношение к суперсимметричным теориям (из работ последних лет упомянем, к примеру, [4-7]). В связи с этим важное значение приобретает квантование р-форм различными способами в пространстве произвольной размерности. Впервые квантование АТП (в четырехмерном пространстве-времени) было проведено авторами работ [8, 9]. При квантовании р-форм был обнаружен эффект «гостов для гостов» [8-10]. В работе [11], где производилось квантование безмассовых р-форм в четырехмерном искривленном пространстве-времени, гостовая структура теории опирается на результаты, полученные в теориях супергравитации. В нашей работе калибровочные поля появляются в ходе квантования с использованием многоступенчатой процедуры Фаддеева-Попова.

Аналогичные расчеты для массивных АТП проводились в работах [3, 12-14]. Подобные результаты могут быть использованы для изучения проблемы квантовой эквивалентности классически эквивалентных теорий, как это сделано для массивного случая в статье [12]. В работах [15, 16] и прочих работах упомянутых авторов используется другой подход к данной проблеме.

Целью данной статьи является построение схемы квантования безмассовых АТП-моделей с использованием многоступенчатой процедуры Фаддеева-Попова в произвольном D-мерном искривленном пространстве-времени и представление эффективного действия в терминах Даламбертианов, действующих на р-формы.

Статья организована следующим образом. В гл. 2 приводятся краткие сведения из теории форм и записывается классическая модель для без-массовых р-форм, р < D. В гл. 3 производится

квантование модели и оценивается эффективное действие. В заключении подведены итоги.

2. Модель

( р )

Рассмотрим р-форму В в ^-мерном пространстве-времени, р < D:

(р) 1 „

В = -у X Ви\... ир (х) ^ л... л йх Р .

Р ■ М\ . . .Мр

Ее внешняя производная есть

( р) \ ,,

йВ =—-— X (йВ). „ (х) йхи\ л... л йхИр+\,

(р + \)1 'м^р+Л 7

КУ ^ 1)- М\-Мр+\ а ко-производная ё имеет вид

(5В )и\...Ир-\ =- Вт..иР1.

Далее, Даламбертиан □ , действующий на

формы, отличается по знаку от оператора Лапласа А = й5 + 5й = -□ со свойствами (АЛ,В) = (А,ДВ) =

= (йА,йВ) = (ёА,ёВ). Внутреннее произведение форм (А,В) = (В А) определяется таким образом:

(р)(р) \ . п ,------------ .. ..

(А, В) = -1dDx^J-g{X)Аи\.. ирВМі'. р .

Обобщая действие Максвелла на р-формы, имеем классическое действие для безмассовых р-форм

[17]:

, (р) і (р+\) (р+\) і (р) (р)

3е[В] = --( F , F ) = --(й В,йВ) = -

\

2( р +!)!

сл/-^(Х)^„\...Ир+\ И\..Ир+\

(\)

(р+1) (р)

где F = d В с компонентами

(р+1) (р) р+1

F 33 = (dB )з,.з,.1=Е ИГ^++ . =

л=1 31...3л-3р+1

= ( р + 1)(-1) рВ[31...3р ;3р + 1]

Действие (1) инвариантно относительно преобразований

(р) (р) (р) (р-1)

В — В' = В - d В , (2)

при этом преобразования (2) инвариантны относи-

(р-1) (р-1) (р-1) (р-2)

тельно преобразований В — В' = В - d В ,

(0)

поскольку Й 2 = 0 и т. д., до достижения В. Будем квантовать теорию (1) с учетом преобразований типа (2) всех порядков.

3. Квантование безмассовых р-форм в ^-мерном искривленном пространстве

Построим формальный функциональный интег-

(р)

рал по полям В , отвечающий классическому действию (1):

(р) . (р) , (р)

I [ В ] - 1р = | DB ехр/(Sd [ В ]). (3)

Данный интеграл плохо определен, поскольку содержит бесконечные калибровочные объемы. связанные с инвариантностью действия (1) относительно преобразований (2), р < D.

Для устранения этих бесконечностей используем многоступенчатую процедуру Фаддеева-Попо-ва (см. [18-20]).

Выберем функцию, фиксирующую калибровку,

стандартным способом:

(р-1) (р)

К = 5 В . (4)

Здесь 3 - ко-производная. Эта функция при преобразованиях (2) меняется следующим образом:

(р-1) (р-1) (р) (р) (р-1)

К' - К (В') = 5 В-5й В . (5)

Заметим, что эта функция инвариантна относительно преобразований типа (2) более низкого, чем р, порядка.

Следуя методу Фаддеева-Попова, строим детерминант Фаддеева-Попова с помощью функции

(5) , . (р-1)_ (р-1)

А= |DB 5[ К ], (6)

где 5 [...] - дельта-функция, волна над значком поставлена для отличия от ко-производной 3. Включим в функциональный интеграл (3) «единицу», образованную из (6),

, (р-1)_ (р-1)

1 = А р-,| DB 5[ К ] (7)

для устранения бесконечных калибровочных объемов, связанных с преобразованиями (2). (3) примет вид

. (р) (р-1)~ (р-1) , (р)

1р = Ар_1/DBD В 5[ К ]ехр^[В]). (8)

Произведем в (8) преобразования, обратные к

(р) (р)

(2): В' —— В , при этом инвариантное относительно этих преобразований классическое действие (1) не изменится, а К' — К , после чего подынтег-

ральное выражение в (8) больше не зависит от па-(р-1) (р-1)

раметра В , и I D В представляет собой мультипликативную расходимость, которую можно устранить, переопределив 1р:

. (р)~ (р-1) , (р)

1р = А р_1/DB 5[ К ]ехр/(Sd [ В ]). (9)

Оценить 1р на данном этапе пока что невозможно по двум причинам:

1) А р-1 (6) содержит бесконечные калибровоч-

ные объемы, связанные с инвариантностью преобразованной калибровочной функции (5) относительно преобразований вида (2) порядка (р - 1) и ниже; _ (р-1)

2) обобщенная дельта-функция 5[ К ] от кали-

(р-1)

бровочной функции К плохо определена ввиду

( р -1) ( р -1)

того, что не все компоненты К или К' ненуле-(р-1) Л р) „ (р-1)

вые (см. (4) и (5)): 5 К' =5 В -5 й В = 0, поскольку 32 = 0.

Рассмотрим первый пункт подробнее. Для исключения расходимостей из А ^, связанных с преобразованиями (13) порядка (р - 1), в (6) следует включить «единицу», образованную с помощью

(р-2) (р-1)

следующей калибровочной функции, К =5 В . Соответствующий детерминант Фаддеева-Попова есть

„ (р-2)_ (р-2)

А-Д = |D В 5[ К ], (10)

. (р-2)~ (р-2) и 1 = А р-21D В 5 [ К' ], так что

. . (р-^~ (р-1) (р-2) ~ (р-2)

А-р-1= А р-2| D В 5[ К' ^ В 5[ К ]. (11)

( р-2)

В свою очередь К инвариантно относительно преобразований вида (2) порядка (р-2):

(р-2) (р-2) (р-2) (р-3)

В — В' = В - й В , и соответствующие расходимости в (10) должны быть устранены. Этот процесс продолжается до достижения А 0, построенного с помощью калибровочной фун-

(0) (1)

кции К = 5 В, преобразованная функция есть

(0) (1) (0)

К = 5 В-5й В,а

, . (0)_ (1) (0) , (0)_ (1) (0) А-=^В5[5В-5йВ] = ^В5[5В-СВ] = DeГ1 □ 0,

А 0= Det□ 0. (12)

Для устранения расходимостей, связанных с калибровочными преобразованиями вида (2) порядков от 1 до р, надо вычислить последовательно все детерминанты Фаддеева-Попова с А 0 до А р-1 по принципу (11). Так, А1 будет вычисляться следую-

щим образом:

. (Г)_ (Г) (0)_ (0)

A -г= A 0JD BS[K']D B 8[K].

(1З)

(1) (1) (0) (0) (1)

Преобразуем В' — В, тогда К' — К, а К' не

(0)

меняется, поэтому зависимость от В в подынтегральном выражении исчезает, и бесконечный объ-

(О)

ем

J D B можно устранить, переопределив интег-

рал:

, (Г)_ (Г) _ (0)

A -г= A 0 J DB8[ K']8 [ K].

(14)

Подобным образом будем поступать при вычислении детерминантов Фаддеева-Попова любого порядка, так что вместо (11) будем иметь

. . (р-1)~ (р-1) ~ (р-2)

А рр-1= А р-2| DB 3[ К' ]3[ К ]. (15)

Однако выражение (15) не является хорошо определенным при (р - 2) > 0 из-за плохо опреде-

3 (р-1) 3 (р-2)

ленных 3 К' и 3 К , поскольку

(р-1) 2( р) 2 (р-1)

5 К' = 52 В - 5 Т В = 0 ввиду свойства ко-про-

3 (р-2)

изводной 32 = 0. То же справедливо и для 5 К . ( р -1) ( р -1)

Другими словами, у К' или К порядка выше нулевого не все компоненты являются ненулевыми. Если, к примеру, взять дивергенцию вектора

УгД., то 5D [УгД. ] = 5[У:А1]...5[УрАр] = 0 всегда,

если у А1 отсутствует одна из компонент.

Нужно иначе определить дельта-функцию, исключив нулевые компоненты аргумента, обобщая метод, представленный в работе [19]. Обозначим новую обобщенную дельта-функцию 3[К]. Поскольку принципиальным в К является то, что это ко-производная от какой-то формы, то вместо К здесь так и будем писать ЗУ. (Заметим, что _ (0) _ (1) _ (1) (0) Л (1) (0)

5 [К'] = 5 [5 В'] = 5 [5 В-□ В ] = 5 [5 В -□ В ] хорошо определена, у нее только одна компонента, ненулевая.)

Рассмотрим представленную в виде интеграла Фурье дельта-функцию

_ (1) . (1) (1) (1)

3[КУ] = | БУ ехр .(У, К). (16)

Для исключения бесконечных объемов, следуя методу Фаддеева-Попова, включим в (16) «едини. (0) _ (0) -1 цу» 1 = А01 БУ3[К], как и при записи А/, по

той причине, что бесконечные объемы в (16) возникают из-за калибровочной инвариантности типа (2)

(1) (1) (1) (0)

У — У' = У-ТУ , (17)

поскольку в скалярном произведении

(1) (1) (1) (2) (1) (2)

(V, KV) = (V,3V) = (dV, V) из (16) преобразование (17) дает

(1) (2) (1) „ (0) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (1) (dV',V) = (dV-d V,V) = (dV,V) = (V,SV) = (V,KV),

т. е. (17) не меняет подынтегральное выражение (16). Итак,

^ (1) ^ (2) . (1) (1) (1) (0)_ (0)

3[ K'] = 3 [3 V] = Д0 j DV exp i(V, K'V )DV 3 [ K'v ]. (18)

Произведем в (18) обратное к (17) преобразова-

(1) (1) (0) (0) (1) (1)

ние V’ ^ V , тогда KV ^ Kv =3V , а KV не меня-

(1)

ется. Теперь от переменной V больше ничего в подынтегральном выражении (18) не зависит. Бес-

(0)

конечный объем DV устраняем, переопределив

Л (1)

3 [K' ]:

~ (1) ~ (2) . (1) (1) (1) Л (0)

3[ K' ] = 3[3 V' ] = Д0 j DV exp i (V, KV )3 [ Kv ]. (19)

Для преобразования выражения вида (19) запишем его в форме

~ (2) . (1) (1) (2) Л (1)

3[3 V ] = Д0 j DV exp i(V,3V )3[3 V ], (20)

где

~ (1) _ (1) . (0) (0) (1)

3[3V ] = 3 [3 V ] = j DV exp i(V,3V) (21)

- обычная обобщенная дельта-функция. Преобразуем (20) с учетом (21):

(2) (1) (1) (2) (0) (0) (1)

3[3V ] = Д0 j DV exp i(V ,3 V) DV exp i(V ,3 V).

(0) (1) (0)(1)

Учитывая, что (V, 3 V) = (dV, V), запишем ~ (2) . (1) (0) (1) (2) (0)

3[3V ] = D0j DVDV exp i(V,3V + dV) = .

(0) (2) (0)

= Д0 j DV3 [3V + dV ].

Здесь 3[...] - обычная обобщенная дельта-функция. Итак,

~ (2) . (1) (1) (2) Л (1)

3[3V ] = Д0j DV exp i(V ,3 V )3 [3V ] =

. (0)_ (2) (0)

= A0J DV8[SV + dV ],

(ее)

(i)

и 3[K'] (19) можно представить в виде

~ (1) . (0)_ (1) (0)

3[ K] = A0 J DV 8 [ K-+ dV ].

Теперь, имея хорошо определенную дельта-

(г) 3 (г)

функцию от K' - 3[K'] (19), можем вычислить детерминант Фаддеева-Попова первого порядка (14):

. (1)Л (1) ~ (0)

A -1= A 0 J DB 3[ K'] 3 [ K] =

— З4 —

„ . (1) (1) (1) (1) ~ (1) ~ (1)

= Д2 j DVDB exp i(V, K'B))[S V] S[S B] =

(1) (1) (1) (1) (1) (1)

= Д2 j DVDB exp i(V, K'B )S[3 V ] S[3 B]. (2()

Добавим в аргументы S-функций в (2() произ-

(0) (0)

вольные параметры — р и — у и проинтегрируем

(0) (0)

по ним с весом exp[-i(р, у)], получим

„ . (1) (1) (1) (1) (1) (1)

Д -1=д2 j DVDB exp i(V, K'B )exp[-i( 3 V, 3 B)] =

(1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) = Д2 jDB[DVexpi(V,3 B-3dB-d3B)] =

2r (') S (2) (') 2 i

= Д2 j DBS [3 B-DB] = Д0 Det 1D1,

, Ob (3) (i) _ (i)

= A0 A. J DV 8 [S V + dV ]8 [S V ].

(е7)

A. =A°eDet^r = Det 2^0Det^r.

(е4)

С помощью (24) образуем «единицу»

(1) (1) (1) (2)

1 = Д1 jDBJ[K'] = ДЛDBS[SB'] для исьслючен^

~ (2)

калибровочных расходимостей из Д1 и из 3[ K ' в ]:

, (2Ь (2) л (1)

Д -1= Д J DB3[ K ']3 [K ]. (25)

Вместо обычных обобщенных дельта-функций в (25) стоят модифицированные, из которых

~ (2) ^ (2) исключены расходимости. А 3[K'B ] = 3[3B'] =

~ (() (2) л (1)

= 3[3B-3d B] рассмотрим по образцу 3[К'] (10))

^ (1)

и с учетом выражения для 3[ K] (20):

~ (2) л (() (() (2)

3[ KV ] = 3[3 V'] = 3 [3 V - 3dV ] =

(2) (2) (2) (1)

= Dj j DV exp i(V, KV )3 [Kv ] =

(2) (1) (2) (2) (1) (1) ^ (0)

= Д0Д1 jD VDVexpi(V,KV)expi(V,Kv)3[Kv].

^ (0)

Используем выражения для 3[ K ] (21):

. (2) , (2) (1) (2) (2) (1) (2) л (1) c) [K'v ] = Д0Д1 j D VDV exp i(V, KV )exp i(V,3 V)8[8 V] =

(1) (2) (2) (2) (1) (1) (

= Д 0Dj j DV [ D V exp i(V, KV + d V )])[3 V ] =

(1) (2) (1) (1)

= Д 0 Д1 jDV 3[ KV + dV ]S[3V ].

Таким образом,

~ (2) „ (() , (2) (2) (2) ^ (1)

3[ K'v ] = 3[3 V'] = Д1 j DV exp i(V, KV )3 [Kv ] =

, (1)_ (2) (1) _ (1) = A 0A. J DV S [KV + d V ]S [S V ].

Можно переписать (е6), подобно (ее), через v:

~ (3) . (Є) (Є) (3) ^ (2)

S[S V ] = A. J DV exp i(V,SV )S [S V ] =

Теперь используем (26) и (22) при учете (4) в вычислении (25):

(2) (2) (1) (2) (2) (2) (2)

А -1= А 1| БВ5[ К ']5 [ К ] =

(2) (2) (2) (2) (1) (1)

= А21БВБУ ехрг(У,К' )3[Кв]£[Ку] =

(2) (2) (0) (0) (2) (2) _ (2) (0)_ (2) (0)

= А2 А21ВВВУВВВУ ехр .(У, Ц )3[У+ТУ ]3[5В+ТВ].

Добавим здесь в аргументы 5-функций, как в

(1) (1)

А: (23), произвольные параметры - р и - у и

(1) (1)

проинтегрируем по ним с весом ехр[-/(р, у)], получим

(2) (2) (0) (0) (2) (2)

А-1 = (А 0 А1 )21БВБУ БВБУ ехр г (У, К'у) е

(е) (О) (е) (О)

exp[-i(SV + dV ,SB + dB)].

(е8)

(е6)

Учтем в выражении (28), что

(2) (0) (2) (0) (2) (2) (0) (0)

(3 V + dV ,3 B + dB) = (3 V,3B) + (dV + dB) =

(2) (2) (0) (0)

= (V + d3 B) + (V,DB), тогда

, „ . (2) (2) (0) (0)

Д-1 = (Д 0Д1)2 j DBDV DBDVx x

(0) (2) (2) (2) (0) (0) x expi(V,K'v-d3 B)exp[-i(V,□ B)], а

, (0) (0) (0) (0) (0Ь (0)

jDBD V exp[-/(V,DB)] = jD B S[-DB] = DeflD 0.

Теперь (28) принимает вид

(2) (2) (2) (2) (2)

Д-1 = (Д0 Д1 )2 Det- □ 0 j DBDV exp i( V, KV - d 3 B) =

. (2b (() (2) (2)

= (ДЛ)2 DeflD 0j DB S [3 B - 3dB - d3 B) =

= (Д 0 Д1 )2 Det- □ 0Det- □ 2.

Принимая во внимание выражения (12) и (24) для Д0 и Д1, запишем

Д2 = DeV □ 0Det ~2 □1 DetD2. (29)

Для вычисления Д( образуем «единицу»

. (2Ь (2)

1 = Д 2 j DB3 [K' B ] и запишем Д( по образцу (25):

, ((Ь (() ~ (2)

Д (-1 =Д2 j DB3 [ K' b ]3 [ KB ]. ((0)

~ (4)

Выражение ((0) требует знания 3[3 V ]:

~ (4) . (() (() (4) Л (()

3[3 V ] = Д2 j DV exp i(V,3V )3 [3 V ] =

(() (2) (() (4) (2) (() (2)

= Д^ j D V D V exp i(V ,3 V )exp i(V ,3 V )3 [3 V ] =

. (Є)_ (4) (Є) 3 (Є)

= A. A e J DV 8 [S V + dV ] 3[SV] =

. (Є) (0b (4) (Є) _ (Є) (0)

= A0ArAe J DV DV 8 [S V + dV ] 8 [S V + dV ], таким образом,

(4) (З) (З) (4) (З)

3[S V ] = Ae J DV exp i(V, S V) 3 [S V ] =

(О) (е) (4) (е) (е) (О)

= A0ArAe J D V DV 8 [S V + dV ] 8 [S V + d V ].

3 (З)

Подставим первую форму записи 3[ K'в ] (31) в (30):

(З) (З) (З) (З) (З) (З)

A3-1 = Aee J DBDV exp i(V, K^) 3[S V ] 3 [S B] =

_ (3) (3) (3) (3) (i) (i)_ (3)

= (A0ArAe )e J DBDV exp i(V, K'B) DBDV 8 [ S B +

(i) _ (3) (i) _ (i) _ (i)

+ d B] 8 [S V + dV ] 8 [ S B] 8 [S V ].

(32)

, (i) (i) (i) (i) (i) (i)

J DBDV exp[-i( S B, S V )]exp[-i(d B, d V)] =

, (i) (i) (i) (i) (i) . (ib (i)

= JDBDV exp i(V, -dS B- SdB) = J DB 8 [-□B] =

= Det □..

Используя ((() в выражении для Д( 1 ((2), получаем

„ . (() (() (() (4) (() (()

Д( =(Д0Д1Д2) j DBDV exp i(V, 3 B - 3dB-d3 B )Det D-

(() (4) (()

= (д0д1д2)2Det_1d1 jo вS[3 в-db] =

= (Д0 Д1Д2)2 Det _1D1 DerlD ( и при учете (12), (24) и (29) имеем Д ( = (Д 0Д1Д 2)-2 Det] DetD( =

= Det 4С0Det3□1 Det2□2Det1□3. (34)

Соответствующая «единица» имеет вид

(3)3 (3) -1

1 = А31Б В5[К'в ] и подставляется в А4 по образцу (25):

„ (4)Л (4) Л (3)

А4-1 =А31Б В5 [ К 'в ]5 [ КВ ]. (35)

(4)

(31) S[ K 'в ] в (35) дается выражением типа (31)

~ (4) 3 (5) (4) (4) (5) Л (4)

S[ Kv ] = S [S V ] = A3 J DV exp i(V,SV )3[S V ]

(36)

(p-i) K,

Добавляем в аргументы первых двух 3 -фун-

(2) (2)

кций в ((2) произвольные параметры - р и - у соответственно и интегрируем по ним с весом

(2) (2)

exp[-i( р, Y)], а в аргументы вторых двух

S (0) (0)

3 -функций - р и - у и интегрируем по ним с ве-

(0) (0)

сом exp[-i(р, y)], получим

„. (() (() (1) (1) (() (()

Д (-1 = (Д0 Д1Д 2)2 j DBDV DBDV exp i]V, K'B] x

(() (1) (() (1) (1) (1) x exp[-i(3 B + dB,3V + dV )]exp[-i(3 B,3 V)].

Здесь

(() (1) (() (1) (() (() (1) (1)

(3B + dB,3V + dV) = (3B ,3 V) + (d B, dV) =

(() (() (1) (1)

= (d3B, V) + (3d B ,V)

(непринципиально, что (36) записано для

(p-i) 3 (3) учитывая выражение (5) для K ), а S[KB ] дается

второй строкой выражения (31) (см. определение

( p-Г)

(4) для K ). Таким образом,

(4) (4) (4) (4) (4) (4)

A 4-1 = A3e J DBDV exp i(V, KB)3[S V]3[S ^] =

(4) (4) (е) (е) (О) (О)

= (A 0ArA eA 3)e J D BDVDBDV DBDV x

(4) (4) (е) (е) (4) (е) (е) (О)

x exp i(V, KB )8[S B + dB ]8 [S V + dV ]8[S B +

(0^ (e) (0)

+ dB ]8 [S V + dV ].

Проводя вычисления аналогично (32)-(34), получим

A4 = (A0A1AeA3)-ГDet□4 Det□eDeГ□0 =

= Det+5 □(, Det-4 □. Det+3 ^Det-2 □ D)et+1 ^4. (37)

Вычисляя далее описанным выше способом A5-1, A6-1,.. по общему рекуррентному правилу

(k) (k) (k) (k) Л (k) Л (k)

A^1 = TAk_o1^J'D B D V expi(V,iK:B)3[S V]3[ S B],(38)

где рекуррентная формула для хорошо определенной (модифицированной) дельта-функции специ-

3 (k)

ального аргумента 3[ S V ] имеет вид

3 (k) , (k-1) (k-1) (k) ^ (k-1)

3[S V] = Ak-eJD V expi( V, S V)3[S V ], (39)

= получаем результаты, легко обобщаемые к виду

(33) A k =П (Det □ J

(k-s+1)-(-1)( k -s)

(4О)

Расписывая формулу (39), получаем разные выражения для четных и нечетных значений к. Для четного к

3 (к) к-2 (к-2) (к-4) (0) _ (к)

8[8 V] = П А,- •/Б V Б V ...DV 8[8 V +

i=0

(k-e) (k-e) (k-4) (Є) (0)

+ d V ] 8[ S V + d V ]... 8[SV + dV],

3 (k) k-Є (k-Є) (k-4) (1)_ (k)

3[S V ] = n a,.-J D VDV ... DV 8 [ S V +

i=0

— З6 —

и

(к-2) _ (к-2) (к-4) _ (3) (1) _ (1)

+ d V ]З[З V + d V ]...З[SV + dV]д[дV] -

для нечетного к. Или, в более компактном виде,

к -2

3 (к) к-2 (2я)_ (2^+2) (2*)

8^] = П А,-Щ D V5[З V + d V ] -

,=0 *=0

к четное, (41а)

к-3

^ (к) к-2 (2^+1) (2 *+3) (25+1) (1)

8 [З V ] = ПА,|П D V ~8[8 V + і V ]• 5[ЗV] -

,= 0 5=0

к нечетное. (41б)

Вернемся к вычисляемому функциональному интегралу (9), полученному из исходного формального функционального интеграла (3) включением «единицы», образованной из (6). В связи с переопределением дельта-функции его следует переписать в виде

(р) . (р) , (р) 3 (р-1)

I[ В ] - Ір = А р-1І DB ехр,(Sc, [ В ])8[ К ]. (42)

Конкретизируем выражение (42), используя

формулы (1) и (4):

. (р) , (р) (р) 3 (р)

Ір = А р-11D В ехр[--(і В,і В)]8[З В ].

Далее проанализируем по отдельности четное и нечетное р. Начнем с четного.

(р) (р-2) (р-2) (0) , (р) (р)

Ір =А| БВБ В Б В ...б В ехр[~ (і В, і В)] X

_ (р) (р-2) „ (р-2) (р-4) _ (2) (0)

х 5[З В + і В ] 5[З В + й В ]...5[ЗВ + йВ] (43) где множитель Д есть

А-ПА, =П П(Беї□ 5)(,-5+1>(-1)('-5) . (44)

,=0 ,=0 5=0

(р)

Рассмотрим в (43) интеграл по Б В :

, (р) (р-1) , (р) (р) _ (р) (р-2)

Г Б В Б у ехр[— (і В, і В)] 5 [З В + і В -•’ 2

(р-1) , (р-1) (р-1)

- у ]ехр[-2( у , г )].

(а-о

Мы добавили у в аргумент дельта-функции:

проинтегрируем по этой переменной с весом

, (р-1) (р-1) ехр[-—( у , у )] . Имеем

. (р) , (р) (р) (р) (р-2) (р) (р-2)

[Б В ехр{— [(і В,і В) + (З В + і В , З В + і В )]} =

•' 2

, (р-2) (р-2)

= Бег~1'2□ рехр[-—(і В ,і В )] .

-1 . (р-2) 1 (р-2) (р-2)

2р = АБег 2Пр|D В ехр[-—^ В ,d В )]х

(р-4) (0) „ (р-2) (р-4) „ (2) (0)

хD В ... DB 5[5 В +d В ]... 5[5 B + dB]. (46)

( р-2)

Интегрирование по В дает результат типа (45); таким образом,

Хр = А Бег~У2 □ рБеГи2 □ р-2... БеГ П0,

р четное. (47)

Расписывая подробно выражение (44), получим для четного р:

(

р +ао г

Бег □ Беї □

Л

(

Беї □2 Беї □

-(2-1)

2 (

Беї □

Л

р-2

.(48)

Подставляя (48) в (47), имеем окончательно

'Беї □„^ _р Беї □2Л -р р еї -2 (Беї

Беї □, V 11 Беї □ V 3 3 р еї р еї

2р =

- - -х( Беї □ ) -( Беї □ 2) -...(Беї □„) -

-(Беї□„) 2 2 (Беї□) 2(Беї□ 2 2 (Беї□ ) 2

..(Беї □

•р-4

,-(2+7

X□-) 2 (еї□р) (Беї□-) 2 (Беї(Беї□) 2 =

= П (Ш □к)

р (-1)к+1 р-к+1

к+1 р-к+1

2 , р четное.

(49)

(45)

Подставим (45) в (43). Полученное выражение для I , освобожденное от расходимостей, есть уже производящий функционал 2 :

Таким образом,

„К (-1)

гр =П (Бег □)

к=0

Теперь нужно найти 2Р для нечетного р. Проводим вычисления по аналогии со случаем четного р, см. (42)-(49):

2 (р) (р-2) (1) (р) (р) _ (р) 1р =А|Б В Б В ... Б В ехр[-—(d В,dB )Щб В +

1/_р-2) _ 1р-2) (р-4)1

+ d В ]с>[с> В +(! В ]...х

_ (1)

хб[б В ] = Бег □ рБег_1/2 □ р-2... Бег_1/2 ц: в итоге

= А Бег□ Бег□ р-2...Бег□,,

У г г А 1

р нечетное. (50)

Вернемся к А (44). Подробно расписывая формулу для нечетного р, находим суммарные степени для каждого типа функциональных детерминантов Бегк □ , получая

к=0

-(

p+i (

p i а+ао

= (Det По)

Det П1 Det □

f

Det П3 Det □.

f Det □ П-2Л

______F z

^ Det□ p-1

V p 1 У

Подставляя (51) в (50), видим, что

p+i

(Detn2) 2

p p-1

_____ (Detnp_ 2) 2

C^1) ■" (DetO^y1

= (DetП0) 2 (Det□1) 2(DetП2) 2 ...(Det□p_2)

+2 -1 p (-1)kp-k+1

X (DetU^i) 2 (Dern) 2 =n(Det□k) 2 .

k=0

Так что для нечетного p

k p-k+1

(-1)

Zp =n (Det □k) 2

k=0

k=0

= i (-1)p X (-1)k (p +1 - k)Tr ln □k .

2 k=0

В итоге

p+1

Гp = ^Х(-1)p+1-k(p +1 -k)Trln□,,k <k. (54)

k=0

(51)

(52)

Объединим выражения (49) и (52) для четного и нечетного р:

р р+1-к

Zp = П (ВехЦ.) 2 (-1)р+1-к. к=0

Найдем из производящего функционала эффективное действие согласно формуле Z [ В ] =

(р) (р)

= Zр = ехр(/Г[ В ]). Соответственно, г[ В ] = Гр =

(р)

= -1Тг 1п Z [ В ] и

Гр =- £ (-1)р+1-к ()1п Вех Пк =

(53)

Заметим, что верхний предел суммирования в (54) увеличен на единицу по сравнению с (53), поскольку (р = 1 - к) при к=р + 1 дает нуль.

При р = 0,1,2,3 получаем известные выражения

Го = 2-Тг 1п По, Г! =- 2 [2Тг 1п По -Тг 1п Ц],

Г2 = ^ [3Тг 1п П0 -2Тг 1п Щ+Тг 1псу,

Г3 = - -1[4Тг 1п П0 -3Тг 1п П1 +2Тг 1пП2 -Тг 1п П3].

4. Заключение

Представлено вычисление эффективного действия безмассовых р-форм в произвольном В-мерном пространстве-времени в терминах Даламбертиа-нов, действующих на р-формы. Обобщен на В-мерный случай подход к квантованию калибровочных полей с использованием многоступенчатой процедуры квантования Фаддеева-Попова, развитый в работе [19], в частности, получено выражение для хорошо определенной (модифицированной) дельта-функции специального аргумента 3 (к)

8[8У ] (41) (для произвольного к), не все компоненты которого являются ненулевыми.

Данная работа позволяет дополнить аналогичные расчеты для массивных АТП [3], [12-14] и далее завершить на этой основе исследования квантовой эквивалентности массивных и безмассовых АТП-моделей в искривленном пространстве-времени произвольной размерности.

Автор признателен профессору И. Л. Бухбинде-ру за формулировку направления работы.

2

Список литературы

1. Nieuwenhuizen P. van // Phys. Rep. 1981. Vol. 68c. P. 301.

2. Green M., Schwarz J., Witten E. Superstring Theory // Cambridge U.P., Cambridge, 1987.

3. Kirillova E. N. Gravitation and Cosmology. 2009. Vol. 15. No. 4. P. 327.

4. Ryttov T A., Shrock R. «Comparison of Some Exact and Perturbative Results for a Supersymmetric SU(WC) Gauge Theory», arXiv:1202.1297 [hep-th].

5. Alencar G., Landim R. R., Tahim M. O. et al. «Antisymmetric Tensor Fields in Codimension Two Brane-World», arXiv:1009.1183 [hep-th].

6. Iso S., Sugino F., Terachi H., Umetsu H. // Phys. Rev. 2005. Vol. D 72. P. 066001.

7. Caicedo M. I., Martin I., Restuccia A. // Annals Phys. 2002. Vol. 300. P. 32.

8. Townsend P. K. // Phys. Lett. 1979. Vol. B 88. P. 97.

9. Namazie M. A., Storey D. // Nucl. Phys. 1979. Vol. B 157. P. 170.

10. «Faddeev-Popov ghosts associated with the p-forms themselves have ghosts» ([4, 5]).

11. Folacci A. J. // Math. Phys. 1991. Vol. 32 (10). P. 2813.

12. Buchbinder I. L., Kirillova E. N., Pletnev N. G. // Phys. Rev. 2008. Vol. D 78. P. 084024.

13. Кириллова Е. Н. // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (Tomsk State Pedagogical University Bulletin). 2011. Вып. 5 (107). С. 5.

14. Kirillova E. N. // Tomsk State Pedagogical University Bulletin. 2011. Issue 8 (110). P. 24.

15. Bastianelli F., Bonezzi R., Iazeolla С. «Quantum theories of (p,q)-forms», arXiv:1202.1297 [hep-th].

16. Bastianelli F., Benincasa P., Giombi S. J. // High Energy Phys. 2005. Vol. 0504. P. 010.

17. Buchbinder I. L., Berredo-Peixoto G. de, Shapiro I. L. // Phys. Lett. 2007. Vol. B 649. P. 454.

18. Schwarz A. S. // Lett. Math. Phys. 1978. Vol. 2. P. 247.

19. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. // Nucl. Phys. 1988. Vol. B 308. P. 162.

20. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity // IOP Publishing Ltd. Bristol and Philadelphia, 1995, 1998.

Кириллова Е. Н., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская, 60, Томск, Россия, 634061.

E-mail: [email protected]

Материал поступил в редакцию 11.05.2012.

E. N. Kirillova

quantization of massless p-forms in curved space-time of arbitrary dimensionality

We consider models of massless p-ranks antisymmetric tensor fields (p-forms) in arbitrary D-dimensional curved space-time (p < D). Quantization of these models has been performed. We evaluate the effective actions of these models. The result is presented in terms of d'Alembertians acting on p-forms.

Key words: quantum fields in curved space-time, antisymmetric tensor fields, p-forms, gauge field theories, effective action.

Tomsk State Pedagigical University.

Ul. Kievskaya, 60, Tomsk, Russia, 634061.

E-mail: [email protected]