Квантование массивных 2и 3-форм в искривленном пространстве-времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

УДК 530. 12

Е. Н. Кириллова

КВАНТОВАНИЕ МАССИВНЫХ 2- И 3-ФОРМ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

Рассматриваются модели массивных антисимметричных тензорных полей второго и третьего рангов (массивных 2- и 3-форм) в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени. Производится квантование этих моделей на языке р-форм и оценивается эффективное действие. Калибровочная инвариантность в массивной теории восстанавливается с помощью многоступенчатой процедуры Штюкельберга. Результат записан в терминах Даламбертианов, действующих на р-формы.

Ключевые слова: квантовые поля в искривленном пространстве-времени, антисимметричные тензорные поля, калибровочные полевые теории, эффективное действие.

1. Введение

Полностью антисимметричные тензорные поля (р-формы) имеют широкий спектр применимости. В частности, они появляются в моделях суперсимметрии и супергравитации, в струнных теориях, используются в квантовой хромодинамике, в моделях кваркового конфайнмента, в решеточных полевых теориях и космологии. Ссылки на соответствующие работы с кратким обзором истории интереса к антисимметричным тензорным полям (АТП) приведены в статье [1].

Различные аспекты массивных антисимметричных тензорных полевых моделей рассматривались в [2-6]. Такие модели, в отличие от безмассовых, не обладают калибровочной инвариантностью, что ведет к трудностям в расчетах эффективного действия. Для того чтобы упростить вычисление эффективного действия в массивных теориях, удобно переформулировать их как калибровочные теории, после чего можно применять к ним методы квантования калибровочных теорий.

В работе [1] построено эффективное действие для массивных АТП-моделей в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени. Эффективное действие записано в терминах Даламбертианов, действующих на скалярные, векторные, антисимметричные тензорные поля второго и третьего рангов. Полученный результат использован в работе [6] для изучения проблемы квантовой эквивалентности классически эквивалентных теорий.

Целью настоящей статьи является построение схемы квантования массивных АТП-моделей в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени на языке р-форм, что упрощает расчеты и позволяет достичь единообразия вычислений независимо от ранга поля.

Квантование безмассовых тензорных полей, или р-форм, в произвольном четырехмерном искрив-

ленном пространстве проводилось в работе [7]. Массивный случай является более запутанным, поскольку для восстановления калибровочной инвариантности теории требуются дополнительные поля (поля Штюкельберга). Так же как и для без-массовых р-форм, используемая для квантования в массивном случае процедура Фаддеева-Попова является многоступенчатой. Однако в массивной теории на каждом этапе появляются не одно, а два вспомогательных взаимосвязанных поля, что усложняет процедуру

Статья организована следующим образом. В гл. 2 приводятся необходимые сведения из теории форм и единым образом описываются массивные АТП-модели второго и третьего рангов. В гл. 3 производится квантование этих моделей на языке р-форм и оценивается эффективное действие. В заключении подведены основные итоги.

2. Модель

(р)

Рассмотрим р-форму В (нас будут интересовать

(2) (3)

формы В и В , так как в четырехмерном про-

странстве-времени р<4):

(р) 1 ^

В =— V В (х) йхЛ А... А йхМр, (1)

р I « . . ..«р 4 ' ’ 4 '

" • «... Vр

внешняя производная которой имеет вид

(р) 1

йВ =------------ V (йВ) н ^(х) йх^ а ... а йх^*1 (2)

(р +1)!

«... мр+1

(р+1)

и определяет напряженность поля ¥ :

(р+1) (р)

¥ = йВ с компонентами

(р+1) (р)

¥ «..«р+1 =(йВ .)*.«„, =

=|;(-1гХв . = (р+ш-1)"^..«,«„г(4)

У=1 ц,...«у...«р+1

Ко-производная 3, метрически сопряженный производной оператор, имеет компоненты

(ЗВ) = - В (5)

V '«.«,-1 «...«,-!

Комбинируя й и 3, получаем оператор Лапласа

Д:

Д = d3 + 3d (6)

со свойствами

(ДА, В) = (А, ДВ) = (йА, йВ) + (ЗА, 3В), который действует на компоненты форм следующим образом:

ДВ =-У'УВ + УЯГ В -

«...« V ^...«р ¿—I «г «...«-1«г+1...«р

г=1

р р

Еу о» р о (7)

«г « «...н,-1у«г+1...«-1р«+1...«р’ К1/

г=1 ^=1, ^ Ф р

т. е. результат применения Д (7) к формам отличается по знаку от действия Даламбертиана:

□р = - Д = - d3 - Зd. (8)

Наконец, определим внутреннее произведение

(р) (р) форм А, В:

и

(3)

(р)(р) 1 . ,-----

(л, 5 ) = Jd4xV-g(X)^5

p !

^i...^p

(2) i (2) (2)

[ B ] = -- (dB, dB) =

= - 2^J d 4 XV- g( x)FvF

¿UVA

1 (3) (3)

Scl [ B ] = -- (dB, dB) =

= - 2~~4! J d4 ^V-gôX)^F uvA^ +

да

(9)

(10)

Теперь, обобщая действие Максвелла на

р-формы, можно записать классическое действие

для безмассовых р-форм [5]:

(р) i (р+1) (p+i) i (p) (р)

Scl[B] = --{ F , F ) = --{dB,dB) =

= -Др+ЦЇ ' d 4 X'FtiïFU’..up+1F U'.Up“-

( p +1)

где F дается формулами (2)-(4). Действие (10) инвариантно относительно преобразований

(р) (р) (р ) (р-1) 2

B ^ B' = B - d ¿ , поскольку d = 0.

Добавим в действие (10) массовый член

, (р) 1 (p) (р) да2 (p) (р)

Scl [ B ] = --{dB, dB) + — ( B, B ). (11)

В компонентах это выражение выглядит таким образом [1, 6]:

да

2^2Ї

J d4xV-g(X)BuvBuv

(12)

+_Jd^^4-g(x)B^, (13)

FfivÁ = VMBvA + VvBAM + VABMv ,

F , =VB, -V BP + V.B -V B ,.

UvAp u vAp v Ap¡u A p¡ÁV p ¿uvA

Калибровочная инвариантность действия (11) нарушается присутствием массового члена. Она может быть восстановлена с помощью полей Штюкельберга. Эта процедура в компонентах рассматривалась, например, в работе [5], а также в [1, 6] как раз для действия (12) и (13).

Модифицируем действие (11), введя в него

производную вспомогательной произвольной

(p-1)

формы C , при этом кинетическое слагаемое не изменится благодаря тому, что d2 = 0:

(p) (p-1) (p) i (p-1)

Scl [ B, C ] = Scl [ B + — d C ] = m

1 (p) (p) m2 (p) 1 (p-1) (p) 1 (p-1)

= — (dB, dB) + — (B +—d C , B + — d C ). (14)

2 2 m m

Заметим, что действие (14) инвариантно отно-

(p)

сительно совместных преобразований форм B и

(p-1)

C:

(p) (p) (p) (p-1)

B ^ B' = B - d £ ,

(p-1) (p-1) (p-1) (p-1)

C ^ C' = C + m £ ,p = 2,3 (15)

и относительно преобразований полей Штюкель-берга

(p) (p) (p) (p-1) (p-1) (p-1) (p-2)

B ^ B' = B, C ^ C = C - d Л . (16)

(p-2)

Если p - 2 > 0, то и параметр Л инвариантен относительно преобразований

(p-2) (p-2) (p-2) (p-3)

Л^Л ' = Л + d д (17)

и т. д.

Перейдем к квантованию теории (14).

3. Квантование ma^m^ra р-форм в четырехмерном искривленном пространстве

Построим формальный функциональный интег-

(p) (p-1)

рал по полям B, C , соответствующий классическому действию (14):

(p) (p-1) , (p) (p-1) (p) (p-1)

I[B, C ] = jDB DC exp(iS[B, C ]). (18)

+

Этот интеграл будет содержать бесконечные калибровочные объемы, связанные с инвариантностью действия (14) относительно преобразований (15)—(17). Для устранения этих бесконечностей удобно использовать многоступенчатую процедуру Фаддеева - Попова (см., напр.: [8, 9]) в форме, адаптированной к Абелевым теориям с линейно зависимыми генераторами [9, 10]. Для полей БМУ, БИ„Х (в компонентах) эта процедура проделана в [1, 6]. Здесь мы проведем квантование единым образом.

Обозначим

(р) (р) (р-1) (р-1) Б = а, С = в ,

(19)

формы же а, в более низких порядков появляются на следующих этапах квантования. Выберем для всех этапов функцию, фиксирующую калибровку, таким образом:

(р-1) (р) (р-1) (р-2)

К = З а + т( в + й в ), (20)

причем последнее слагаемое отсутствует при р - 2 < 0, такая ситуация возникает на низшем этапе квантования, т. е.

(0) (1) (0)

К = 8 а+ т(в+ 0).

(21)

С помощью функции (20) строим детерминант Фаддеева - Попова

(р-1) (р-2) _ (р-1) а В в 8[ К’ ].

преобразованная функция (25) оказывается, в свою очередь, инвариантной относительно преобразований вида (24) более низкого порядка с параметром

(р-2) а :

(р-1) (р-1) (р-1) (р-2) а ^ а' = а - й а ,

(р-2) (р-2) (р-2) (р-3)

в в = в + т а . (27)

Для исключения бесконечных калибровочных объемов, связанных с инвариантностью подынтегрального выражения (22) относительно преобразований (27), строится фиксирующая калибровку

(р-2)

функция К той же структуры (20), но более низкого порядка, по ней строится следующий детерминант Фаддеева - Попова вида (22) и т. д., до до-

(0)

стижения К (21).

Пройдем этот путь в обратном направлении. Начнем с вычисления детерминанта Фаддеева-По-пова низшего порядка Д0 по формулам (21)—(25).

Преобразования, вызвавшие появление этой функции, имеют вид

(1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) (0) а^а' = а-йа,в ^ в' = в+ та, (28)

(0) (0) а К' (21), (23) за счет того, что йЗ а = 0, выглядит

(22)

(0) (0)

(0)

Здесь З[...] - дельта-функция, волна над значком поставлена для отличия от ко-производной (5),

(р-1) (р-1) (р) (р-1)

к' - к (а, в’) (23)

- это калибровочная функция от преобразованных

(р) (р-1)

переменных а', в', а сами преобразования имеют вид

(р) (р) (р) (р-1) (р-1) (р-1) (р-1) (р-1) а ^ а' = а-й а , в ^ в' = в + т а . (24)

(р-1)

Преобразования (24) с параметром а имеют структуру преобразований (15), а значит, действие

(14) и подынтегральное выражение (18) инвариантны относительно преобразований (24) при учете (19). Преобразованная калибровочная функция (23) выглядит так (см. (21) и (24)):

(р-1) (р-1) (р-1)

К' = К + (-Зй + т2) а . (25)

Включим, следуя методу Фаддеева - Попова, в функциональный интеграл (18) «единицу», образованную из (22),

(р-1) (р-2) _ (р-1)

1 = Д рЛВ а В в З[ К ] (26)

для устранения бесконечных калибровочных объемов, связанных с преобразованими (24). Однако

просто: К' = К + (□»+т 2)а. Тогда, по (22),

А 0 = (Ц> +т2).

(29)

(0) (0)

Теперь «единицу» 1 = Д 01 В а З[К' ] подставляем в выражение вида (22) для определения Д1:

-1 , (1) (0) _ (1) (0) _ (0)

Д-1 = Д 0| ВаВ вЗ[К'] Ва З[ К' ]. (30)

Произведем стандартным образом в (30) обратные к (28) преобразования. При этом инвариантная

(1)

относительно них функция К не изменится, а

(0) (0) (0)

К' ^ К , и от параметра а подынтегральное вы-

(0)

ражение больше не зависит: I В а представляет

собой мультипликативную расходимость, которую

можно устранить, переопределив Д1 следующим образом (учтены (21) и (25)):

-1 (1) (0) (1) (0) (2) (1) (0)

Д1 = Д 01 ВаВ в З[З а+ т в]З[З а+ т(в+ й в)].

С помощью первой дельта-функции снимаем

(0) (1) интегрирование по В в и, интегрируя по В а ,

получаем для второго определителя Фаддеева - Попова

Ді = Д-1 •Det <Д+m2) =

= Det“'(Ц, +m2)Det (□'+m2). (31)

Образуя «единицу»

(l) (О) (l)

1 = Д'| DaD ßS[K ' ], (Зг)

можем подставлять ее либо в следующий определитель Фаддеева - Попова Д 2 вида (гг) (в случае p = 3), либо, в случае p = г, уже в функциональный интеграл (1S) для исключения расходимостей, связанных с калибровочными преобразованиями типа

(15) (в форме @4) при p = г). Рассмотрим сначала этот случай. Итак, из (1S), (19), (Зг)

Теперь (З5) принимает вид

(г) (і)

I [а, ß] =

(г) (і)

(г) (і) (і) (0) _ (і)

(г) (г) (г) (і) (і) (і) (і) (і)

а ^ а = а- d a,ß ^ ß = ß+ ma,

(г) (і)

(г) (і) (0) (і)

(*) (і) - (*) (і) (О) (і) i (і) (і)

Даß] Da Dß DßDxexp(-—(xx))x

„ (г) (1) (0) (1) (г) (і)

xS[S а+ m(ß+ dß) - x]exp(iS[a,ß]).

(г) (і)

(l) (О)

I[а,ß] = ^Det ^ +m )I[ß,ß], где введено обозначение

(l) (О) (l) (О) i (l) (l)

I[ß, ß] = |Dß Dßexp{-^[-(dß,dß)

(l) (О) (l) (О)

+m (ß+ dß,ß+ dß)]}.

(38)

(39)

:Д'|Da Dßexp(iS[а,ß])DaDßS[K']. (33)

Произведем в (ЗЗ) обратные преобразования к

(34)

(1) (1)

при этом К' ^ К , а остальное выражение не ме-

(1)

няется. Зависимость от а в подынтегральном выражении исчезает, и можно избавиться от соответствующего бесконечного объема, переопределив

(2) (1)

I [а, в]:

Оставшееся в (38) подынтегральное выражение инвариантно относительно преобразований вида

(16) вспомогательных полей Штюкельберга, которые мы еще не учли, и в показателе экспоненты, на самом деле, стоит действие массивного векторного

(1)

поля, 1-формы в, в которое добавлены поля Штю-

(0)

кельберга в для восстановления калибровочной инвариантности. Чтобы вписать вычисление этого интеграла в общую схему, переобозначим, сравнивая с (14),

(1) (1) (0) (0)

в = у, т в = 0 . (40)

Тогда калибровочные преобразования подынтегрального выражения (39) будут иметь ту же форму, что и (24):

(l) (l) (l) (О) (О) (О) (О) (О)

Y ^y' = Y-d Y, в ^ & =в+ m y .

(41)

(35)

При этом мы добавили в аргумент дельта-

(1)

функции произвольную 1-форму X с весом

І (1) (1)

ехр(-(х, х)). Проинтегрировав по этой пере-

2а

менной, получаем в показателе экспоненты

1 (2) (2) т2 (2) 1 (1) (2) 1 (1)

І{— (й а,й а) +------(а +— йв,а +— йв) -

2 2 т т

1 (2) (1) (0) (2) (1) (0)

-----[(8а + т(в+ й в),8а+ т(в+ й в))]. (36)

2а

Из свойств оператора Лапласа Д (6), (8) и скалярного произведения (А, Б) = (Б, А) видно, что

параметр а следует положить равным 1, тогда ин-

(2)

теграл по Б а в (35)-(36) факторизуется:

. (2) І (2) (2) -I

|Ва ехр{—[а,(П2 +т2)а]} = Веґ 2(П2+т2). (37)

Для преобразований (40) строим функцию фик-

(°)

сации калибровки нулевого порядка У, а соответ-

- (0) _ (0)

ствующую «единицу» 1 = Д 01 В у З[У' ] подставляем в выражение (39), после чего совершаем обратное к (41) преобразование, исключаем бесконеч-

(0)

ный объем I В у и переопределяем интеграл (39),

добавляя в аргумент дельта-функции произволь-

(0) / (0) (0)

ную 0-форму х с весом ехр(--------(х,х)). Проин-

2а

(0)

тегрировав по х, видим, что коэффициент а должен быть равен в данном случае (-1). Переменные

(1) (0)

разделяются, и мы получаем для 1[в, в]:

(1) (0) -I -1

I[в,в] = Д0В^ 2(Ц +т2)Ве1 2(Ц,+т2). (42)

Учитывая (29), получаем попутно производящий функционал и эффективное действие массивной 1-формы (векторного поля):

-1 1

2 (1) = ехр(/Г(1)) = Вв1 ^(□1+т2)Вв1 2(Ц, +т2), (43)

Г(1) =— [Tr ln(Dj +m2) _ Tr ln(D0 +m2)]. (44)

в 2

Возвращаясь к (38), с учетом (31) и (42) получим производящий функционал

Z(2) ЄХР0Г(2) )

в в

_ 1 1 _ 1

= Det 2(D2+m2)Det 2(Ц+m2)Det 2(D0 +m2) (45)

и эффективное действие для массивной 2-формы

Г(2) = 1~ [Tr ln(^2 +m2) _ в2

_Trln(D1 +m2) + Trln(d0 +m2)]. (46)

Переходим к случаю 3-формы. «Единица» (32) должна быть подставлена в определитель Фаддеева - Попова А 2 :

, , (2) (1) (1) (0) _ (2) _ (1)

А-1 = Aj DaD ßDaD ßö[K']S[K']. (47)

Произведем в (47) обратные к (34) преобразова-

(1) (1)

ния, при этом K' ^ K , а остальное выражение не

(1)

меняется. Зависимость от а в подынтегральном выражении исчезает, и можно избавиться от соответствующего бесконечного объема. Далее снима-

(1)

ем интегрирование по ß с помощью первой дельта-функции, при этом исчезает и зависимость от (0) (0) ß . Бесконечный объем I D ß удаляем, переопре-

(2)

деляя детерминант. Интеграл по Da факторизуется, в итоге имеем

А 2 = А_1 • Det (□ +m2) =

= Det+1 (П0 +m2) Det-1 (□1 +m2) Det+1 (□+m2). (48)

Наконец, подставляем «единицу»

(2) (1) (2)

1 = A J D aD ßS[ K' ]

в функциональный интеграл (18), (19) при p = 3 и действуем в полной аналогии со случаем p = 2.

(3)

Вычисляем интеграл по D a и в результате получаем, как и в случае p = 2, выражение через интеграл от форм более низкого порядка (для сравнения - формула (38)), который уже вычислен, см. (45):

(3) (21)

(2) (1)

I[В, С] = Д2• Вег 2(Ц +т )I[В,С]. (49)

Используя выражение (45) вместе с (48), можем сразу записать ответ:

1 1

Z(3) = ехр(—Г(3)) = Det 2(П3 + m2)Det 2(П2 + в в

i i +m2)Det 2(П1 +m2)Det 2(П0 +m2), (50)

Г (3) = — [Tr ln(d3 +m2) - Tr ln(d2 + m2) + в 2

+Tr ln(D1+m2) - Tr ln(D0 + m2)]. (51)

Конкретизация выражений (44), (46), (51) осуществляется с помощью обобщенных дзета-функций, сопоставляемых операторам (— IZ^+m2) [6], с переходом к евклидовской формулировке. Дзета-функциональная техника регуляризации используется, например, в [11].

4. Заключение

Представлено единообразное вычисление эффективного действия массивных 1-, 2-, 3-форм в произвольном четырехмерном пространстве-времени в терминах Даламбертианов, действующих на р-формы. Калибровочные преобразования и функции, фиксирующие калибровку в многоступенчатой процедуре квантования Фаддеева - Попова, записаны в общем виде для всех этапов вычислений.

Данный подход упрощает использование массивных моделей антисимметричных тензорных полей в исследовании различных аспектов, к примеру, в доказательстве квантовой эквивалентности, а также при использовании в суперсимметричных теориях. Особая роль (анти)симметричных тензорных полей на специальных многообразиях подчеркивалась, к примеру, в работе [12].

Квантование массивных АТП-моделей (массивных р-форм) в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени является более сложной задачей, чем квантование безмассовых АТП-моделей, поскольку калибровочная инвариантность в массивной теории восстанавливается с помощью многоступенчатой процедуры Штюкель-берга, и существует пара взаимосвязанных полей на каждом этапе квантования. Однако можно увидеть преемственность выражений для производящих функционалов: функциональный интеграл от форм более высокого порядка выражается одинаковым образом через предшествующий функционал

(Р) (Р-1) -1 (Р-1) (Р-2)

I[а, в ] = Др-Det 2(Пр +m2)I[ в , в ], (52)

здесь Др-1 - детерминант Фаддеева - Попова соответствующего порядка, Пр - Даламбертиан, действующий на р-формы.

Возможно обобщение на случай d-мерного пространства.

Благодарность. Автор признателен профессо- Президентским грантом поддержки ведущих на-

ру И. Л. Бухбиндеру за формулировку направления учных школ РФ, проект № 3558.2010.2. работы. Статья была частично спонсирована

Список литературы

I. Kirillova E . N . Gravitation and Cosmology. 2009 . Vol . 15 . No . 4 . P. 327 .

2 . Kobayashi M . Prog . Theor. Phys . 1992 . Vol . 88 . P. 1231.

3 . Deguchi S . , Kokubo Y. Mod . Phys . Lett . 2002 . Vol .A 17 . P.503.

4 . Bastianelli F. et al . High Energy Phys . 2005. Vol . 0504. P. 010 .

5 . Buchbinder I . L . et al . Phys. Lett. 2007 . Vol . B 649 . P. 454.

6 . Buchbinder I . L . et al . Phys. Rev. 2008. Vol . D 78 . P. 084024.

7 . Folacci A. J . Math . Phys . 1991. Vol . 32 . P. 2813 .

8 . Schwarz A . S . Lett . Math . Phys . 1978. Vol . 2 . P. 247 .

9 . Buchbinder I . L . , Kuzenko S . M . Nucl . Phys. 1988. Vol . B 308. P. 162 .

10 . Buchbinder I . L ., Kuzenko S . M . Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity // IOP Publishing Ltd . Bristol and Philadelphia, 1995,

1998.

II. Garattini R . TSPU Vestnik . 2004. Issue 7(44) . P. 72 .

12 . Geyer B . , Lavrov P. M . TSPU Vestnik. 2004. Issue 7(44) . P. 62 .

Кириллова Е. Н., кандидат физико-математических наук, доцент.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская, 60, г. Томск, Томская область, Россия, 634061.

E-mail: [email protected]

Материал поступил в редакцию 25.05.2010

E. N. Kirillova

Quantization oF MAssivE 2- AND 3-FoRMs IN CuRvED spACE-TIME

We consider the models of massive second and third ranks antisymmetric tensor fields (massive 2- and 3-forms) in arbitrary four-dimensional curved space-time. We perform quantization of these models in р-forms formalism, and evaluation of the effective actions. The gauge invariance of massive theory is restored with help of the multi-step Stuckelberg procedure. The result is noted in terms of d'Alembertians acting on р-forms.

Key words: quantum fields in curved space-time, antisymmetric tensor fields, gauge field theories, effective action.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. ffiyevskaya, 60, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634061.

E-mail: [email protected]