CC BY
31
СУММИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И УРАВНОВЕШЕННЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПАЙНЫ
Е.А. Фоминых*
Челябинский государственный университет, Институт математики и механики УрО РАН
Пусть Р — уравновешенный специальный спайн трехмерного многообразия М. В данной работе построен частичный моноид С(Р), порожденный связными простыми подполиэдрами спайна Р. При этом гомоморфный образ моноида С(Р) совпадает с частичным моноидом всех нормальных поверхностей. Таким образом, нормальные поверхности можно кодировать элементами моноида С(Р).
Ключевые слова: трехмерное многообразие, простой полиэдр, уравновешенный специальный спайн, нормальная поверхность.
1. Введение
Компактный двумерный полиэдр Р называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами. Типичные окрестности точек простого полиэдра изображены на рис. 1. Простой полиэдр называется специальным, если все его компоненты связности точек типа I (2-компоненты) и точек типа II (1-компоненты) являются клетками соответственно размерностей 2 и 1. Объединение сингулярных (т.е. имеющих типы II и III) точек специального полиэдра Р является регулярным графом валентности 4.
Специальный полиэдр Р С М называется специальным спайном связного компактного трехмерного многообразия М, если разность М \ Р гомеоморфна либо дМ X (0,1], если М имеет край, либо открытому 3-шару, если М замкнуто.
Пусть специальный спайн Р связного многообразия М представлен в виде клеточного комплекса так, что все вершины имеют тип III, все внутренние точки ребер — тип II, а все остальные точки — тип I. Клеточная структура спайна индуцирует разбиение (3(Р) многообразия М на ручки [2; 4]. Ручки индексов 0,1,2 будем называть соответственно шарами, балками и плитками. Пересечения краев шаров с балками называются островами, с плитками — мостами.
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 99-01-00813), фонда Университеты России (грант № 992742) и ШТАЭ (грант № 97-808).
Вершина
Рис. 1. Допустимые окрестности точек простого полиэдра
Изотопия многообразия М называется нормальной, если она инвариантна на каждой ручке разбиения 0(Р).
Обозначим через АГ множество всех замкнутых поверхностей, нормальных по отношению к разбиению (3(Р) [2; 3]. Нормальные поверхности, которые можно перевести друг в друга с помощью нормальной изотопии, считаются одинаковыми.
Край каждого шара разбиения (3(Р) содержит 4 острова и 6 мостов, причем каждые два острова соединены мостом. Пересечение нормальной поверхности с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными). Край каждого элементарного диска проходит либо по трем (Г-диск), либо по четырем (<5-диск) мостам. Все (^-диски, по которым нормальная поверхность пересекает шар разбиения, эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга нормальной изотопией).
На множестве АГ определена стандартная частичная операция сложения [1; 3]. Сумма Г1+Г2 двух нормальных поверхностей и Гг определена тогда и только тогда, когда поверхности ^1,^2 можно реализовать так, чтобы их элементарные диски не имели общих точек. Очевидно, что нормальной изотопией можно устранить пересечение любых двух Г-дисков, а также Г-диска и (^-диска. Таким образом, сумма Г1 + Г2 не определена тогда и только тогда, когда поверхности ^1,^2 пересекают некоторый шар разбиения /3(Г) по неэквивалентным (^-дискам.
Нормальная поверхность называется фундаментальной, если ее нельзя представить в виде суммы двух непустых нормальных поверхностей.
Хорошо известно, что относительно операции сложения множество АГ является частичным коммутативным моноидом. Множество Т всех фундаментальных поверхностей является минимальной системой образующих этого моноида.
Обозначим через С(Р) множество всех связных простых подполи-эдров специального спайна Р. Построим отображение ф:С(Р) —> А/. Если связный простой полиэдр Р' С Р является поверхностью, то поверхность ф(Р') нормально изотопна полиэдру Р'. Если же полиэдр Р' 6 С(Р) отличен от поверхности, то поверхность ф(Р') нормально изотопна краю регулярной окрестности этого полиэдра.
Пусть Г — нормальная поверхность. Каждой плитке разбиения (3(Р) сопоставим число (степень), показывающее, сколько раз поверхность Г проходит по плитке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Нормальная поверхность Г называется уравновешенной, если на каждой балке разбиения 0(Р), пересекаемой поверхностью Г, степени двух плиток, примыкающих к балке, равны, и не меньше, чем степень третьей плитки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Специальный спайн Р многообразия М будем называть уравновешенным, если любая поверхность, нормальная по отношению к разбиению 0(Р), является уравновешенной.
Следующий результат был получен в работе [4].
ТЕОРЕМА 1. Пусть Р — уравновешенный специальный спайн многообразия М, и пусть (3(Р) — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда отображение ф определяет биекцию множества связных простых подпо-лиэдров специального спайна Р на множество фундаментальных поверхностей многообразия М.
2. Основной результат
Рассмотрим стандартную регулярную окрестность вершины специального полиэдра. Эта окрестность состоит из букета четырех отрезков и шести крыльев — частей 2-компонент (см. рис. 1). Каждое крыло примыкает к двум отрезкам.
ТЕОРЕМА 2. Пусть Р — уравновешенный специальный спайн многообразия М, и пусть (3(Р) — отвечающее ему разбиение на ручки. Сумма + ^2 двух фундаментальных поверхностей = ф(Р\) и ^ = ф(Р?) определена тогда и только тогда, когда полиэдр Р\ П Р2 является простым.
Доказательство. Пусть сумма поверхностей и Г2 определена. Предположим, что полиэдр Р\ Г1Р2 не является простым. Тогда в спайне Р найдется такое ребро е, что только одно из трех крыльев, примыкающих к ребру е, принадлежит полиэдру Р\ П Р^. Обозначим через Е балку разбиения 0(Р), содержащую ребро е. Таким образом, каждая из поверхностей и Г2 не пересекает одну из плиток, примыкающих к Е, причем эти плитки различны. Значит, поверхность + Г2 не является уравновешенной, что противоречит условию теоремы. Следовательно, ПОЛИЭДР Р\ П Р2 является простым.
Докажем теорему в обратную сторону. Пусть Р\ П Р2 — простой полиэдр. Предположим, ЧТО сумма поверхностей И ^2 не определена. Тогда поверхности Г\, Г2 пересекают некоторый шар V разбиения /3(Р) по неэквивалентным (^-дискам. Следовательно, каждый из полиэдров Р\,Р2, Р1ПР2 содержит все ребра, примыкающие к вершине V С V спайна Р. Заметим, что ни один из полиэдров Р\,Р2 не может содержать все 6 крыльев, примыкающих к вершине V. Действительно, если один из них, скажем, Р\, содержит все 6 крыльев, то по теореме 1 фундаментальная поверхность нормально изотопна краю регулярной окрестности полиэдра Р\, т.е. пересекает шар V только по Г-дискам. Пусть крылья ги2, примыкающие к вершине V, не содержатся в полиэдрах Р\, Р2 соответственно. Эти крылья различны и примыкают к одному ребру е, иначе в шаре V (^-диски поверхностей были бы эквивалентны. Тогда полиэдр Р\ П Р2 содержит ребро е, но не содержит двух крыльев, примыкающих к е. Это противоречит тому, что полиэдр Р\ ПР2 простой. Следовательно, Сумма Г1 +Г2 определена.
Пусть Р — уравновешенный специальный спайн многообразия М, и пусть С(Р) = {Р1,..., Рп}, где Р{ — связый простой подполиэдр спайна Р. Формальная линейная комбинация Х\Р\ + ... + хпРп, где жг- — целые неотрицательные числа, называется допустимой, если для любых жг /0,ж^ /0 полиэдр Р{ П Pj простой. Обозначим через С(Р) множество всех допустимых линейных комбинаций. Множество С(Р) является частичным коммутативным моноидом относительно естественной операции сложения линейных комбинаций. На моноиде АГ естественным образом можно задать действие неотрицательных целых чисел по правилу /гГ есть сумма к экземпляров поверхности Г. Продолжим по линейности отображение 'ф'.С(Р) —> АГ до отображения Ф: С(Р) —> АГ.
Сформулируем очевидное следствие теорем 1 и 2.
ТЕОРЕМА 3. Пусть Р — уравновешенный специальный спайн многообразия М, и пусть /3(Г) — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда отображение Ф■ С(Р) —> АГ является сюръективным гомоморфизмом частичных моноидов.
Таким образом, нормальные поверхности можно кодировать элементами моноида С(Р). При этом одна и та же поверхность допускает конечное число различных кодировок.
В заключение автор выражает благодарность С.В. Матвееву за полезные обсуждения.
Список литературы
1. Jaco W., Oertel U. An algorithm to decide if a 3-manifold is a Haken manifold // Topology. 1984. Vol. 23, № 2. P. 195 - 209.
2. Матвеев С.В. Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных многообразий // Укр. мат. журн. 1989. Т. 41, № 9. С. 1234 - 1239.
3. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии // М.: Изд-во Моск. ун - та. 1991.
4. Фоминых Е.А. Полное описание множества фундаментальных поверхностей для некоторых трехмерных многообразий // Геометрия и приложения: Тез. докл. Меж-дунар. науч. конф. Новосибирск, 2001 (в печати).
SUMMARY
Let Р be a balanced special spine of a three-dimensional manifold M. We construct a partial monoiiid C(P) generated by all connected simple subpoly-hedra of P. A homomorphic image of C(P) coincides with the partial monoid of all normal surfaces in M. Thus normal surfaces can be encoded by elements of ЦР).
