Петли спайнов и вычисление параметров линзовых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕТЛИ СПАЙНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

М. А. Овчинников1

Челябинский государственный университет

Спайном типа длинная восьмерка называется специальный спайн, особый граф которого состоит из двух петель и нескольких двойных ребер. С. В. Матвеев показал, что при некоторых условиях на структуру такого спайна многообразие является линзой В настоящей работе решается задача вычисления параметров данной линзы

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 93-011-190.

ПЕТЛИ СПАЙНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ

85

Рис 1

1. Введение

ОПРЕДЕЛНШЕ Спайном компактного ^-многообразия М с непустым краем на зывается "¿-полиэдр Р С 1п1М, такой, что М-Р гомеоморфно прямому произведению дМ х [0,1) края многообразия М на полуинтервал Спайном замкну тою 3 мноюобразия М называется < плйн многообразия М — 1пШ, где В — трехмерный шар, лежащий в М

Понятие спайна типа длинная восьмерка впервые возникло в работах С В Матвеева в связи с исследованием новою способа задания трехмерных чноюобразий посредством специальных спайнов [1,2]

Определение Полиэдр Р называется специальным если

1) лиял каждой точки полиэдра Р гомсоморфен окружности, либо окруж ности с диам ^ром, либо окружности с тремя радиусами (см рис 1),

2) связные ком попей 1 ы множества точек первого лига являются 2 клетка

ми,

3) множество точек третьего /ила

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Спайн Р многообразия М называется специальным спайном, если полиэдр Р специален

Как показал Каолер [3], по своему специальному спайну многообразие вос-шшавливается однозначно, что для произвольного спайна, вообще говоря не имее1 места Благодаря этому факту специальные спайны могут использоваться как представления 3-многообразий

Очевидно, множество особых точек специального полиэдра представляет собой связный граф степени 4 который далее будем называть особым графом Ребра и вершины особого графа будем также называть ребрами и вершинами полиэдра Ребро, концы которого совпадают, называем петлей В противном случае ребро будем называть простым Приклеивающее отображение края 2-компоненты полиэдра в особый граф будем называть приклеив акщей кривой, или просто кривой Естественным образом определяется понятие кратности прохода приклеивающей кривой по ребру специальною полиэдра Кратность прохода может равняться 0, 1,2 или 3 Длиной кривой называем число ребер, проходимых кривой, с учетом кратностей прохода

86

М.А ОВЧИННИКОВ

ОО ООО СООЗ

Рис. 2

Определение. Пусть Р — специальный полиэдр. Р называется специальным полиэдром типа длинная восьмерка, если множество особых точек полиэдра Р является графом, состоящим из двух петель и нескольких, может быть, из нуля, двойных ребер (пар ребер с общими концами).

Первые самые простые графы этого вида изображены на рис.2.

2. Специальные полиэдры типа длинная восьмерка, являющиеся спайнами линз

Определение. Пусть Р — специальный полиэдр типа длинная восьмерка, п — число его вершин. Предположим, что одна из петель принята за начальную и обозначена С о , двойные ребра последовательно пронумерованы и обозначены соответственно С\, ..., &"„_ 1, вторая петля обозначена Сп Пусть с — одна из приклеивающих кривых. Будем говорить, что кривая с кончается на двойном ребре (петле) С, если кривая с проходит по ребрам, составляющим двойное ребро (петлю) С к , где 0 < к < п, и, при к < п, не проходит по ребрам следующего двойного ребра (петли) С^+ъ

Теорема 1 Пусть замкнутое ориентируемое многообразие М имеет спайн Р типа длинная восьмерка, не имеющий кривых длины 1. Тогда многообразие М можно разбить па два полнотория, оси которых изотопны петлям особого графа.

Доказательство. Обозначим петли и двойные ребра спайна Р, как в определении перед теоремой. Обозначим через Н регулярную окрестность в М особого графа спайна Р. Пусть т — число 2-клеток спайна Р. Обозначим 2-клетки через 0\,.. , Пт. Через К], где 0 < ] < ш, обозначим регулярную окрестность в М 2-клетки минус крендель Я. Таким образом, на регулярной окрестности в М спайна Р мы ввели структуру разбиения Хегора. Известно, что для замкнутого многообразия количество 2-ручек любого его разбиения Хегора равно роду разбиения (числу ручек кренделя). Следовательно, число т приклеивающих кривых равно п + 1, где л — число вершин спайна Р.

Поскольку Р является специальным полиэдром типа длинная восьмерка, то на каждом двойном ребре кончается не более одной кривой. Из отсутствия кривых длины 1 следует, что на начальной петле никакая кривая не кончается и на конечной петле кончается не более двух кривых. Учитывая, что особый граф содержит п — 1 двойных ребер, мы приходим к следующей лемме.

ПЕТЛИ СПАЙНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ... 87

Рис. 3

Лемма. На начальной петле спайна Р никакая кривая не кончается, на каждом двойном ребре кончается одна кривая, и на конечной петле кончаются две кривые.

Существует единственная кривая с, имеющая кратность прохода по конечной петле равную двум. Соответствующую кривой с 2-ручку обозначим через К Обозначил! через Т объединение кренделя Н и всех 2-ручек, кроме К, полученных из окрестностей 2-клеток. Через Т" обозначим дополнение к Т в многообразии М. Очевидно, что многообразие Т' является полным тором, поскольку оно получено приклейкой 1-ручки к шару М — (Ти К). Покажем, что Т тоже полноторие.

Согласно лемме, но последней 1-ручке кренделя Ч проходит только одна 2-ручка и только один раз, значит, эти две ручки вместе образуют устранимую пару ручек. Аналогичное явление имеет место на двойных ребрах Последовательно применяем прием устранения пары устранимых ручек и получаем, что Т гомеоморфно тору, в качестве оси которого можно принять окружность начальной петли.

Рассмотрим подробнее конечную петлю. Ее регулярная окрестность представляет собой полноторие, в крае которого 2-клетки высекают #-граф (т.е. граф, гомеоморфный окружности с диаметром). Обозначим через а дугу, высеченную 2-клеткой, у которой приклеивающая кривая не проходит по конечной петле, через Ь обозначим дугу, высеченную 2-клеткой, чья приклеивающая кривая проходит по петле однократно, и через с -- дугу, высеченную 2-клеткой, чья приклеивающая кривая проходит по петле дважды (см рис. 3). Окружность «и6 изотопна окружности петли. Очевидно, в крае тора можно выбрать окружность 7, параллельную окружности а и Ь и пересекающую дугу с только в одной точке Мы получили окружность, изотопную петле, не лежащую в спайне Р и пересекающую меридиональный диск тора 7" однократно, т.е. являющуюся осью тора Т'. Доказательство окончено.

Первое утверждение теоремы 1 является небольшим усилением аналогичной теоремы в [1]. Идея доказательства заимствована там же.

88

М.А. ОВЧИННИКОВ

3. Определение параметров линзы по ее спайну типа длинная восьмерка

Следует отметить, что определение первого параметра линзы трудностей не представляет. Это можно сделать, например, вычислив первую группу го-мологий. Не совсем очевидным оказывается ответ на вопрос, как определить второй параметр линзы. Хорошо известен следующий факт.

Предложение 1. Пусть гомеоморфизм / : дТ\ —* дТ^ краев полных торов Т\

/ь/2,тьт2 обозначены ориентированные параллели и меридианы на краях

Тогда линза Ь — 7\ и/ Т^ имеет параметры а и Ъ.

Другими словами, в качестве второго параметра линзы можно взять коэффициент при параллели первого полнотория в выражении для параллели второго полнотория. Подробности о задании склейки полноториев целочисленными матрицами второго порядка можно найти в [4].

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть линза Ь является объединением полных торов Т\ и 7 2. Предположим, что элементы фундаментальной группы линзы, представляемые ориентированными осевыми окружностями с\ и С2 торов Т\ и 7'г , связаны соотношением [с2] = [с I ]6 -

Тогда в качестве второго параметра линзы Ь можно взять число Ь

Доказательство. В поверхности дТ\ — дТ% С Ь отметим две ориентированные окружности ¡1 и ¡2, гомотопные осевым окружностям торов Т\ и Т->. Их, очевидно, можно принять в качестве параллелей полноториев Отметим меридиан п\\ тора 1\ . Начнем выписывать матрицу гомеоморфизма краев полноториев. Если выразить ориентированную кривую ¡2 в двумерном торе дТ\ — (972 через координатные кривые /1 и Ш] этого же тора , то коэффициент при ¡х окажется равен Ь, так как [ц] = [С1]1 и [пм] = [сх]0. В завершение применяем предложение 1.

Следствие. Пусть замкнутое многообразие М имеет спайн Р типа длинная восьмерка без приклеивающих кривых длины 1, и элементы [с] и [(/] фундаментальной группы спайна Р, представляемые ориентированными окружностями с и (1 петель особого графа, связаны соотношением [с(| = [с]6.

Тогда многообразие М является линзой со вторым параметром, равным числу 6.

Непосредственным следствием этого результата и теоремы 1 является процедура вычисления параметров линзы по ее спайну типа длинная восьмерка.

и 7 2 задается соотношениями

ПЕТЛИ СПАЙНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ

89

Определение Пусть специальный полиэдр Р типа длинная восьмерка является спайном замкнутого многообразия М и не содержит кривых длины 1 и кривых, умещающихся на одном двойном ребре. Предположим, что его петли и двойные ребра последовательно обозначены Со, Сп, ■ • • > <-?«• Целочисленная функция степень двойного ребра (петли) , где 0 < к < п, определяется следующим рекуррентным правилом. Степень и)о начальной петли полагаем равной 1. Пусть некоторая приклеивающая кривая с кончается на двойном ребре Сь\<к<п-\, либо однократно проходит по конечной петле С п. Тогда и>к равно сумме степеней' двойных ребер (начальной петли), не считая С к , проходимых кривой с , причем ги0 берется дважды, если кривая проходит дважды по начальной петле. Пусть с — приклеивающая кривая, дважды проходящая по конечной петле. Степень да спайна Р определяется как сумм а степеней двойных ребер и петель, проходимых приклеивающей кривой с, с учетом кратностей прохода по петлям.

Примечание. Свойство кривой умещаться на одном двойном ребре не эквивалентно свойству иметь длину 2. Линза ¿4д имеет специальный спайн с одной вершиной и кривой длины 2.

Следствие. Алгоритм вычисления параметров линзы по ее спайну типа длинная восьмерка.

Пусть замкнутое многообразие М имеет спайн Р типа длинная восьмерка, не содержащий кривых длины 1 и кривых, умещающихся на одном двойном ребре, р — степень спайна Р, ц — степень конечной петли спайна Р.

Тогда многообразие М гомеоморфно линзе Ьр>д

Доказательство. Применим стандартную процедуру вычисления фундаментальной группы полиэдра. Каждой петле и одному из двух ребер в каждом двойном ребре сопоставим образующий хг, где г — номер двойного ребра (петли). Каждое гакое ребро пометим соответствующим символом ж,. Начальную петлю и проходящие по ней две кривые ориентируем одинаково. Каждое следующее помеченное ребро ориентируем противоположно той кривой, которая на этом двойном ребре кончается Если кривая еще не ориентирована, ориентируем ее согласованно с первым помеченным ребром, по которому она проходит. Выпишем копредставление фундаментальной группы полиэдра Р. Остается непосредственно убедиться, что для каждого г образующий х, равен образующему хо, взятому в степени, равной значению функции ги, степени двойного ребра (петли), и что порядок фундаментальной группы равен степени да спайна Р.

Пример. На рис 4 изображен спайн типа длинная восьмерка. Точнее, изображена окрестность особого графа спайна в многообразии, так что на границе окрестности видны приклеивающие кривые, высеченные 2-компонентами спайна, а все, что внутри окрестности, в том числе и граф, состоящий из двух петель и трёх двойных ребер, оставлено на рисунке невидимым.

Степени двойных ребер (петель): дао = 1, Ю\ — 1, даг — 1, даз = 4, №4 = 4

Степень спайна: да = 13

Многообразие: ¿13,4

90

H. E. PATA НОВ

Рис 4

Примечание. Алгоритм не приспосабливался к более общему случаю — когда присутствуют кривые длины 2 на двойных ребрах, поскольку тогда, как показано в [2], для данной линзы легко получить специальный спайн типа длинная восьмерка с меньшим числом вершин либо идентифицировать многообразие с одним из простейших- S3,RP3,S2 х S1, ¿зд

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Матвеев С.В Один способ задания 3-многообразий // Вестн МГУ Математика, механика. 1975 Т 3 С 11-20

[2] MATVEEV SV. Complexity thcoiy of three-dimensional manifolds // Acta Appl Math. 1990 V. 19. P. 101-130.

[3] Casler B.G. An embedding theorem for connected 3-manifolds with boundary // Proc. Amer. Soc. 1965. V. 16 P. 559-566.

[4] Rolfsen D. Knots and Links .Berkeley Publish or Perish, 1976